【东南大学】工程力学·动能定理

★ 势能
任选 M 0为零势能位置 M处的势能
V=∫
M0
M
F ⋅ dr
M0
V1 = ∫
M0
M1
F ⋅ dr
M1
V2 = ∫
M2
M2
F ⋅ dr
W12 = ∫
F ⋅ dr = V1 − V2
★ 常见的势能 ● 重力势能
选 z 0 = 0 为重力零势能位置
V = ∫ (-mg ) ⋅ dz = mgz
z
1 1 1 2 2 2 T＝ ∑ mi ( riω ) = ( ∑ mi ri )ω = J z ω 2 2 2 2
平面运动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 T＝ ∑ mi ( riω ) = ( ∑ mi ri )ω = J Pω 2 P为瞬心 2 2 2
vi = riω
其中 ri 为质点 i 到瞬心的距离
A 30o W W B M D
拉力； W 3、圆轮B处的轴承约束力。
解：1.确定物块D的加速度
1 1 1 1 2 2 2 2 T2＝ mD vD + J Bω B + m A v A + J Aω A 2 2 2 2
= 1W 2 1 1W 2 2 1W 2 1 1W 2 2 vD + ( r )ωB + vA + ( r )ω A 2 g 2 2 g 2 g 2 2 g
★ 理想约束
●约束力作功之和为零的约束称为理想约束。 光滑面、光滑铰链、光滑轴承、不可 伸长的柔索、刚性杆、纯滚动等。 ●纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O P FN F
P为瞬时速度中心，这一瞬时 P点的位移为零。作用在P点的 摩擦力F 所作元功为
δWF = F ⋅ drP = F ⋅ v P dt = 0
或
例16-1 已知:均质杆AB的 质量为 m，杆长为 l，置
ω
P vC
C
B
于光滑的水平面上，转动 v AA 角速度为ω 。 求：AB杆的动能。 由题意，P为AB杆的速度瞬心。 解：
1 ω2 m 2 l2 T = J Pω 2 = [ l + m ( − h 2 )] 2 2 12 4
l2 − h2 ⋅ω 4
力的功、动能
★ 力的功 ★ 理想约束 ★ 动能
★ 力的功 ● 功的定义 元功 或
δW = F ⋅ dr
ds
θ
dr
F
δ W = F cos θ d s
dr = dxi + dyj + dzk
记 F = Fx i + Fy j + Fz k
功 W =∫
M2
M1
F ⋅ dr = ∫
M2
M1
( F dx + F dy + F dz )
例16-2
B ll C B´
1 T1＝ 0， T 2＝ J A ω 2， 2 1 2 J A = m (2l ) 3
应用动能定理
T 2－ T 1＝ ∑ W i
i
ω C´
mg
ll AA F D
1 1 ⋅ m(2l ) 2 ω 2 = kl 2 ( 2 − 1) + mgl 2 3
ll
3 ⋅[mg + kl ( 2 −1)] ω= 2ml
∑P
i
i
dT ＝P输入－P有用－P无用 机器 dt P输入 —输入功率 P有用 —输出功率 P无用 —损耗功率
★ 机械效率
有效功率 机械效率
dT P =P + 有效 有用 dt
η=
P有效 P输入
§16-4
势能、机械能守恒定律
★ 势力场
有势力（保守力）： 作功与路径无关，只与力作 用点的始、末位置有关。
δW dr P= = F ⋅ = F ⋅v dt dt
力的功率等于力与其作用点速度的点积。 作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率：
δW dϕ P= =M⋅ = M ⋅ω dt dt
等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的积。
★ 功率方程
由
dT＝∑ δWi
i
等式两边同除以dt
功率方程
δWi dT ＝∑ = dt dt i
∫
M M
1
2
F ⋅dr =
∫
M M
1
2
− Fdr
δ1 = r1 − l0 ；δ 2 = r2 − l0
(
)
δ1
和 δ2 分别表示初、末位置时弹簧的变形量。
弹性力的功也与路径无关
r1
l0 r
M1
r2
F
dr
M2
定轴转动刚体上作用力的功
δ W = F ⋅ d r = Ft ⋅ d s = Ft ⋅ R d ϕ
i
∑W
i
= W D + W A + WM
= −WsD + Wsin30 sD + M ϕ B
ωA
vA
ωD B
30o W W M vD D
A
对系统整体应用动能定理 W T2－T1＝∑ Wi i
解：1.确定物块的加速度
1W 2 1 1W 2 2 1W 2 1 1W 2 2 vD + ( r )ωB + vA + ( r )ω A − T1 2 g 2 2 g 2 g 2 2 g
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
弹性力的功
设弹簧自然长度为l0 , 刚度系数为k 弹簧力的功W12的计算：由
W 12 =
r2
1
k ⎡ 2 2 W12 = ∫ − k ( r − l0 )d r = ( r1 − l0 ) − ( r2 − l0 ) ⎤ ⎦ r 2⎣ k 2 2 W 12 = δ1 − δ 2 或 2
■ 讨
论
● 几个工程实例讨论
运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力 并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小 腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，使 运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进 的驱动力。
2
由平行轴定理 J P = J C + m PC 则
1 1 2 T ＝ m vC + J C ω 2 2 2
● 刚体的动能
平移刚体的动能
1 2 T = mv 2
定轴转动刚体的动能
1 T = J zω 2 2
z为定轴
Lz = J z ω
对比动量矩
平面运动刚体的动能
1 T = J Pω 2 P为瞬心 2 1 1 2 T ＝ m vC + J C ω 2 2 2
W12 =
∫ϕ
ϕ2
1
F R cos ϕ dϕ =
∫ϕ
ϕ2
1
M O dϕ
力偶的功
W12 =
∫ϕ
ϕ2
1
M dϕ
常力偶时
W12 = M ϕ
内力的功
z
A
系统内力 F A = − F B
FA FB B
思考：物体中这一对 内力在什么情形下作
y
功的和为零？什么情 形下不为零？
x
刚体中内力作功之和等于零；变 形体中内力作功之和不等于零。
★ 动能
● 质点的动能 ● 质点系的动能 ● 刚体的动能
平移刚体的动能 平移刚体各点速度相等 vi = v
1 1 2 T = (∑ mi )v = m v 2 2 2 1 2 T = mv 2
1 T = ∑ mi vi2 i 2
定轴转动刚体的动能
vi = riω
其中 ri 为质点 i 到转轴的距离 z为定轴
l
A
l
D
例16-2
B l C B´
解：1.弹簧力所作之功W1
δ 1 = l ,δ 2 =
2l − l
2 1
W1 =
1 2
k (δ
−δ )
2 2
= kl 2 ( 2 − 1)
l
ω C´
F mg
A A l D
2.重力的功W2
W 2 = m gl
3.AB 杆的角速度设为ω
1 T1＝ 0， T 2＝ J A ω 2， 2
= −WsD + Wsin30 sD + M ϕ B
将所有量表示成变量sD 的函数
sD ϕB = , r
vD sD vD = vA = sD , ωA = ωB = = r r
W M W 3 vDaD = ( － )vD g r 2
3W 2 M W vD − T1 = ( － )sD 2 g r 2
解：3. 确定圆轮B轴承处的约束力 对局部系统应用质心运动定理
FBy FT B W W
0 = FBx − FT cos30
αB M
FBx aD D
W a D = FBy − 2W − FT sin30 g
3 3 M FBx = FTcos30 = ( W − ) r 4 2 1 53W M + ) FBy = ( 12 2 r
T1 +V1 = T2 + V2
§16-5
动力学普遍定理的综合应用
分别建立了质系动量和 动量矩与质系所受外力 系的主矢和外力系的主 矩之间的关系，它们是 矢量形式的。 建立了质系的动能与作 用于质系上的力的功之 间的关系，是标量形式 的 。
动量定理 动力学普遍定理 动量矩定理 动能定理
例16-4 均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A 和B以及物块D的重量均为W，圆轮B上作用 有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2> M>Wr/2。 圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承 的摩擦力。 求：1、物块D的加速度； 2、二圆轮之间的绳索所受
ω12
J2 d T = ω1d ω1 ( J 1 + 2 ) i12
M2 M2 ∑ δW = (M1 − i )dϕ1 = (M1 − i )ω1dt 12 12
dT = ∑ δW
M1 −
M2 dω i12 α1 = 1 = J dt J1 + 22 i12
取系统
§16-3
功率、机械效率
★ 功率 力的功率： 力所作之功对时间的变化率。
M W － aD = r 2 g 当M>Wr/2，aD>0，物块向上运动 3W
解：2.确定圆轮A和B之间绳索的拉力
B A 30o W W W M D FT
αB B
W W
FBy
M FBx aD D
以圆轮B、物块D组成的局部系统为研究对象， 分析受力和运动，应用动量矩定理：
1W 2 W r αB + aDr = M − (W -FT )r 2g g
取分离体
例16-3
已知:J 1 , J 2 , i12 =
R2 , M1, M 2 . R1
α 求： 1 .
Ⅱ Ⅰ
解2：动能定理
1 1 2 2 T = J 1ω1 + J 2ω 2 2 2
∑ δW = M
1
⋅ dϕ1 − M 2 ⋅ dϕ 2 J2 T = ( J1 + 2 ) i12 2
ω1 R2 i12 = = ω 2 R1
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例16-3
轮Ⅰ 轮Ⅱ
已知:J 1 , J 2 , i12 =
J1α1 = M 1 − Ft R1
R2 , M1, M 2 . R1
α 求：1 .
Ⅱ Ⅰ
解1：定轴转动动力学方程
J 2α 2 = Ft R2 − M 2
α1 R2 = i 12 = α2 R1
M2 i12 α1 = J J 1 + 22 i12 M1 −
h
或
vC = P C ⋅ ω =
1 1 ω2 l2 ω2 m 2 2 T ＝ m vC + J C ω 2 = m( − h2 ) + l 2 2 2 4 2 12
§16-2
动能定理
● 质点的动能定理
动 能 定 理二 种 形 式 微分形式 积分形式
dT = δW
T2 − T1 = W12
解题中一般采用的形式 求加速度一般采用微分形式，或积分形式， 求速度一般采用积分形式。
x y z
● 常见力的功 重力的功W12
重力的投影：Fx=0 , Fy=0 , Fz= -mg 重力的功W12的计算：
W 12 =
M1(x1,y1,z1)
z
mg
M2(x2,y2,z2)
y
∫
M M
1
2
(F
x
dx + F ydy + Fzdz
)
x
=
∫
z2 z1
( − m g ) d z = m g ( z1 − z 2 )
● 质点系的动能定理
微分形式
d T = ∑ δ Wi
积分形式
T2 − T1 = ∑ Wi
例16-2 均质杆件AB的长度为2l，质
B
l
C
量为m，A处铰接。刚度系数为k、 原长为l的弹簧，一端固结于C点， 另一段固结于地面上的D点。杆件 AB 在竖直位置时在微小扰动下， 运动到水平位置。 求：1.弹簧力所作之功； 2.杆件AB水平位置时的角速度。
第十三章 动能定理
(Theorem of the Kinetic Energy) 2010年12月14日
第十六章 动能定理
第十六章 动能定理
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 力的功、动能 动能定理 功率、机械效率 势能、机械能守恒定律 动力学普遍定理的综合应用
§16-1
z0
● 弹性势能
选弹簧原长处为弹性零势能位置 (δ 0 = 0 ) δ0 1 2 V = ∫ F ⋅ dr = kδ δ 2 选无穷远处为引力零势能位置
( r0 = ∞ )
● 引力势能
V=∫
r0
r
fm1m2 fm1m2 (− )dr = − 2 r r
★ 机械能守恒定律
仅有势力作功 动能定理
W12 = V1 − V2 T2 - T1 = W12
解：2.确定圆轮A和B之间绳索的拉力
1W 2 W r α B + a D r = M − (W - FT ) r 2 g g
FBy B W W
αB M
FBx aD D
根据运动学关系
a D＝rα B
FT
3W M − W + FT aD = 2 g r
1 3 M FT = ( W − ) r 2 2
3 3 M < Wr时，FT > 0;M ≥ Wr时，FT < 0, 不合理。 2 2