第三章 剪切与圆轴扭转

d dx G
A
令 I P

A
dA
2
IP 只与横截面尺寸有关。
三、物理关系求剪应力分布
物理关系——应力应变之间关系 G d 得 G

dx
由此式得剪应力分布： ①某点剪应力与该点到轴心距离成正比。 ②轴心 η =0，外表面ηmax max ③相同半径ρ 圆周上 各点η相同。 O ④剪应力方向与半径垂直， max 与横截面相切。 max 图上表示剪应力分布
60 P P m 9.55 ( ＫＮ .m) 2n n
公式中单位： 功率 P——Kw 转数 n——转/分钟，r ·p ·m
P m 9.55 10 ( N mm ) n
6
由上式得出如下结论： ①功率一定，n↑，力偶矩m↓,对传递相同功率的轴，高速轴 细，低速轴粗。对减速机而言，与电机相连轴细，与搅 拌轴相连轴粗。 ②n 一定，P ↑, m ↑,按一定搅拌功率设计反应釜，不可随意 提高功率。 ③m 一定， n↑， P ↑, 如果搅拌轴转速不够，欲提高 n ，则 应加大功率。
3.2.2 受扭轴任一截面上内力计算
求内力——截面法 内力形成内力偶——称为扭矩. MT 表示. m mA 如图：受扭转轴，两 端外力偶矩mA，mB m B 求扭矩。 B A n 任取一截面m—n，将AB分为 m 两部分，取右侧研究： mA 由内、外力偶矩平衡得： T T - mA =0 T = mA A
c a b d
dx e f f'
g g' h h'
微段dx长 剪切变形，egfh相对于abcd面变形长ee` ee` ——绝对变形 相对变形 ee' tg γ很小 dx
γ——为矩形直角微变形，称为剪应变或角 应变。 γ单位 弧度(rad)
剪切虎克定律——当剪应力不超过材料剪切 比例极限ηp ，η与γ 成正比， η =G γ G——剪切模量，物理意义——表示材料抵 抗剪切变形能力。 剪切模量G与弹性模量之间关系：
n
扭矩本质为内力偶矩。 扭矩是代数量——有大小、正负。 正负规定如下： 由右手螺旋法则决定——四指沿扭矩旋转方向， 拇指指向与横截面外线一致，扭矩为正， 反之为负。
3、计算扭矩方法
用截面法：将轴分为两部分，任一截面上 扭矩数值为该部分所有外力偶 矩代数和。
4、扭矩图
表示扭矩在各截面上的变化规律。 作图方法： 取平行于轴线坐标表示各横截面位置。 垂直于轴线坐标表示各截面扭矩数值。 正扭矩在坐标轴上边，负在下边。
从动轮
将AB轴视为刚性，利用力的平移定理对轮 受力进行简化：各力向中心平移，得到一 合力与一附加力偶矩。 简化后受力如图：
mA
mB
TA = T1 + t1 R D R C T A T B mA = (T1 - t1) R1 TB = T2 + t2 mB= ( T2 - t2) R2 mA 与 mB 大小相等，方向相反，为ＡＢ轴所受外 力偶矩。
(+) (+)
T CD
mD
TCD = 9 kN· m
A
B
C
D
§3.3 圆轴扭转时的应力
分析强度问题的关键——求出截面中最大应力 及应力分布规律。 分析强度问题基本方法： ①由试验观察，作出假设与推论。 ②由变形几何关系，找出应变变化规律。 ③由物理关系——应力与应变关系，得应力分布规律。 ④由静力学关系——应力与内力关系，得出应力计算 公式。
B'
Φ
由试验观察得到： ①各圆周线形状，大小，及两线之间距离 均未变，只转一个角度。 ②扭转后各纵向线均近似直线，只倾斜一 个角度γ 表面矩形方格变为平行四边形。 由此可做
平面假设：
受扭变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，形状、大小不变。即圆柱体受扭后仍为 圆柱体。
圆轴扭转变形可视为——各截面象刚性平面一 样，一个接一个绕轴 线转动。离固定端越 远，转角越大。 由平面假设得推论： ①扭转导致横截面相对转动，表面小矩形变为 平行四边形，矩形直角改变了角度γ ，可推 得发生了剪应变，存在剪应力。剪应力方向 为与半径垂直圆周方向。 ②变形前后横截面距离不变，圆轴未伸长与缩 短，纵向应变ε =0，只有剪应力，无正应力。
一、由试验观察得假设与推论
如图：一左端固定圆轴，在表 面均布一些平行轴线纵向线， A 和垂直轴线圆轴线，圆周线 代表横截面。 在右端加一个力偶矩 m，使轴扭转。 受扭后变形如右图： 取轴表面一条纵向线AB观察； A点不动，B点转动到B`点。 AB与AB`夹角 γ OB与OB`夹角Φ
B
m
A
γ
B om
2、剪力与剪应力
构件受剪切作用，剪切面产生内力F 如图：搅拌轴上受剪切的键
A
A
轴上的键受力特点 如图 键一部分镶嵌在轴内,另一部 分插入连轴器键槽内
N'
剪 切面
N
利用截面法沿剪切面将键 分成两部分，取一部分 分析，受力图
Fs
剪切面
N
剪切面上的内力FS，外力N，根据内外力 平衡得： N=FS FS——剪力，与剪切面相切，假定剪力分布均匀 剪应力——单位面积上剪力，用η表示。 FS 2 2 剪应力单位：MPa(N/mm )，Pa(N/m )
（３）由功率 P 求外力偶矩 m
假设皮带上的力 T1 , t1 T1每分钟做功 W1=2π R n· T1 t1每分钟做功 W2=2π R n· t1 W1为正功， W2为负功 有用功 W= W1 - W2 =2π R n(T1-t1)= 2π nm 电机功率 P 单位：kW，1kW=1kJ/s 电机每分钟做功W=60P 60P= 2π nm，
1、外力偶矩计算
(1)直接计算
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2、间接求外力偶 由一胶带 主 动 轮 n R1 带动传动轴， A 如图： t1 T1
C
D B
n R2
T2 T' 2
n
t' 1
n
T' 1
t2 t' 2
研究AB传动轴， A轮受到的胶带拉力 T1，t 1 T1 ＞ t 1 B轮受到的胶带拉力 T2，t 2 T2 ＞ t 2
注意：一般受剪构件同时也受挤压，应进行 剪切与挤压两方面计算。 剪切与挤压强度计算可解决三方面计算： ①强度校核 η ≤ [η] ζbs ≤[ζbs ]
Fs ②设计结构尺寸 A [ ]
Abs
[ bs ]
Fbs
③确定许用载荷 Fs≤[η]Abs Fbs≤[ζbs ]Abs

FS 4 F 2 A d
二、变形几何关系导出应变变化规律
在受扭转圆周上，相距 dx 两截面之间取 一段，截面 1—1，2—2 如图：
1 O1
G
γ
2 O2
dΦ
A
1 dx
D G' D'
R
m
2
假设扭转时1—1相对2—2不动， 2—2截面 相对1—1截面转dΦ角,AD线扭转变为AD`. tgγ ≈DD`/AD =DD`/dx , DD`=Rd Φ d R γ非常小时，tg γ≈ γ 剪应变 dx

Q 4F A d 2
j
Pj Aj

F dh
Fbs F bs Abs dh
实现最省材料,则剪切和挤压同时破坏:
j 2
F 4F 2 2 dh d
d
8h

§3-1 剪切

d
例题3-1

b
a
FS FS
图示接头，受轴向力F 作 用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm， [σ]=160MPa，[τ]=120MPa， [σj]=320MPa，铆钉和板的材 料相同，试校核其强度。 解：1.板的拉伸强度 N F A (b 2d )
FS [ ] A
[η ]——许用剪切应力
[ζbs ]——许用挤压应力
Fbs bs [ bs ] Abs
[η ]和[ζj ]与许用拉应力[ζ]可近似建立如下关系： [η ] = (0.6~0.8) [ζ ] 对塑性材料 [ζbs ] = (1.7~2) [ζ ] [η ] = (0.8~01) [ζ ] 对脆性材料 [ζbs ] = (0.9~1.5) [ζ ]
挤压应力ζbs
Fbs bs Abs
ζbs——挤压力
Abs——挤压面积，构件之间接触面积。
挤压面积确定： ①对平面接触，Abs为接触面积。 ②对圆柱面接触， Abs为圆柱面投影面积， Abs=dt
d
如图：
t——板厚度 d——孔直径
t
3.1.3 剪切与挤压强度条件
确保构件安全工作，应保证材料中应力在 允许范围内。剪切与挤压强度条件：
F
钢板
F
钢板受力P作用，则钢板孔表面受到挤压作用。
d
如图：
Pj
塑性 变形后的孔
挤压力过大造成的破坏现象： ①接触面局部表面发生塑性变形，或钢板圆 孔变长圆孔或销钉压溃，或两者同时存在。 ②工程上表现在连接件孔变大后，连接松动。
挤压应力与压缩应力区别： ①挤压应力只分布于两构件相互接触局部 区域，在挤压面表层。挤压应力较大， 稍远处迅速减小。 ②压缩应力均匀分布于整个构件内部。
E G 2(1 )
§3.2 扭转概念与受力分析
P
T
T
杆件扭转的受力特点：作用在杆两端一 对力为力偶，等值、反向。
杆件扭转的变形特点：杆横截面绕轴线产 生相对转动，使纵 向线变为螺旋线。
§3.3 扭转时外力计算
扭转构件强度计算方法：
①由受力分析求外力。 ②由截面法求内力。 ③由试验作假设和推论，建立应力在 横截面分布形式。 ④建立应力、应变计算式，进行强度 与刚度计算。
例题：受多力偶矩轴EF
m A =10kN· m
m C =2kN·m
解：用截面法 求各截面扭矩。 ①EA段
T
E
A
T=0
mB
C B =3kN·m
mA
mD
F D =9kN·m
②AB段 T = mA =10 kN·m
mA
T
AB
③ BC段
mB
T
BC
T = 10-3 = 7 kN·m
③CD段
D
MT
(+)
扭矩图
A
假设剪力分布均匀，计算剪应力η为名义剪 应力，与真实剪应力分布有差别。
例：一个受剪销钉受力如图。销钉横截面积A.
Q
Q
F/2 F F/2
销钉存在两个剪切面，受力如图 2FS =F, FS=F/2 销钉上剪应力η
F/2
Fs F Fs
F/2
Fs Fs
F 2A
3.1.2 挤压概念、挤压应力
压——两物体表面间相互压紧，使表 面局部受压。 挤 压 力——作用面上的压力。 挤压应力——挤压作用在挤压面上引起的 应力，用ζbs表示，单位面积挤压力。 如图：受挤压作用构件，一块钢板通过销 钉连接。 挤
50 103 (0.15 2 0.017) 0.01 43.1 106 43.1MP a [ ]
§3-1 剪切

d

2.铆钉的剪切强度
FS 4F 2F 2 2 A 2 πd πd 2 50103 2 π 0.017 110106 110MP a [ ]
对截面上任一点G，变形后到G`点 O2G=O2G`=ρ , O2G与O2G`夹角dθ，转角γρ 得 d

dx
结论： d dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ① 为截面转角沿轴线变化率， 为 dx dx
单位长度转角,同一截面各点θ相同。 ② ，圆心为O，外表面最大，同一圆 周上各点剪应变相同。
第三章 剪切与圆轴扭转
§3-1 剪切与挤压 受力分析 3.1.1 剪切概念、剪应力
1、剪切
销轴连接
螺栓连接
铆钉连接
剪切构件受力特点——作用在构件两侧面上 的外力合力 大小相等、方向相反， 且作用线很近。
变形特点——力作用线间截面发生相对错动。
钢板受力变形
1 F 2 1 F 2
1-1与2-2两平面相对错动，平行于作用力 方向，称为剪切面。外力达到一定时， 受剪构件沿剪切面剪断。
b
a
FS FS
3.板和铆钉的挤压强度 Fbs F 50103 j Abs 2d 2 0.017 0.01
147106 147MP a [ j ]
结论：强度足够。
四、剪应变、剪切虎克定律
构件受剪切，两剪切面发生相对错动，发生剪 切变形。变形如图：
P' P
剪切面取微段dx，放大图
τ
τ
max
τ
τ
四、利用静力学关系求剪应力
如图离轴心ρ处取一微面积dA 作用在微面积上剪力 dF=ηρ · dA dF对轴心微力矩 dMr dTr= ρ · dF= ηρ · ρ · dA 合力矩 Tr dTr dA
d G dx
dA
τ ρ
ρ
τ ρ
d 2 Tr G dA dx A