高中必修四三角函数知识点总结

§04． 三角函数 知识要点１. ①与α（0°≤α<360°)终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =ｘ轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系:３60°=２π 18０°=π 1°=0.０１745 1=57.３０°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1r ａd=π180°≈57.３０°=５7°18ˊ． １°＝180π≈０.01７４5(ｒad ） 3、弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形 ４、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Ｐ(x,ｙ）P 与原点的距离为ｒ,则=αsin rx =αcos ；xy =αtan ; yx =αcot ； x r =αsec ；. =αcsc 5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦,三切四余弦)正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域正弦线：ＭＰ; 余弦线:OM; 正切线： A Ｔ.7. 三角函数的定义域：8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα９、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变,符号看象限” (3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:三角函数的公式：(一)基本关系公式组二 公式组三x x k x x k xx k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五 2tan 12tan2sin 2ααα+=2tan 12tan1cos 22ααα+-=2tan 12tan 2tan 2ααα-=公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-★★２.正、余弦定理:在ABC ∆中有： ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===(R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增(减）,则)(x f y -=在],[b a 上递减(增）.②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω）的周期ωπ2=T ．2tan xy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈)，对称中心(0,21ππ+k ）;)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数，而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-,奇函数：)()(x f x f -=-)奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.(定义域不关于原点对称）奇函数特有性质:若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .(x ∉0的定义域,则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）x y cos =是周期函数(如图）;x y cos =为周期函数（π=T 212cos +=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22． 1１、三角函数图象的作法： 1）、几何法:２）、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线）,三点二线作图法（正、余切曲线).３)、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y ＝As ｉn(ωx ＋φ）的振幅|Ａ|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x=０时的相位）.（当A ＞０,ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由ｙ=sin ｘ的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A ｜＞1）或缩短(当０<|A|＜1）到原来的｜A|倍，得到y=Ａｓinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.（用y/Ａ替换ｙ）由y ＝si ｎx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(０＜|ω｜<1）或缩短（|ω|>1）到原来的1||ω倍，得到y ＝ｓin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换ｘ）由y=ｓｉnx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右（当φ＜0）平行移动|φ|个单位,得到y=s ｉｎ(ｘ＋φ）的图象,叫做相位变换或叫做沿ｘ轴方向的平移．（用x+φ替换x)由y=sin ｘ的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当ｂ<０)平行移动|ｂ|个单位，得到y=sinx+ｂ的图象叫做沿ｙ轴方向的平移.（用y+(-b)替换y)由ｙ=si ｎx 的图象利用图象变换作函数y=Ａｓin （ωx ＋φ）(A ＞0,ω>0)（x ∈R)的图象,要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。