第二章1分布函数

F ( ) 0
以及 p( x ) 0 得 B 正确
概率论
例2 设随机变量 X 的分布函数为
F x A Barctgx
x
试求常数A、B。
解： 由分布函数的性质，我们有
0 lim F x lim A Barctgx A B x x 2 1 lim F x lim A Barctgx A B x x 2
x 0.5(1 e x ), C） F ( x ) 0,
x0 x0
2

D） F ( x )
x

p( t )dt ，其中



p(t )dt 1
解：由F ( x )的性质
0 F ( x) 1 F ( ) 1
F ( x ) 不减 F ( x ) 右连续
概率论
x) = 0
0
a
当 x > a 时，F(x) =1 当 0 x a 时， P(0 X x) = kx
(k为常数 ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a
F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x) =x / a
概率论
故
0, x 0 x F ( x) , 0 x a a xa 1,
概率论
y
1
22 35 34 35
F ( x )的分布函数图
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
22 F(x) = P{Xx} = P{ X 0} 35 x 2 x X0 x X1
当 1 x < 2 时，
0 x < 1 时，
x } = ， 故
F(x) =0
概率论
F(x) = P(X x)
34 F(x) P{ X 0} P{ X 1} 35
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 } F ( x2 ) F ( x1 ).
] x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它 的统计特性就可以得到全面的描述. （ （ ] x1
概率论
P (a X b) F (b) F (a ) P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a )
概率论
一、分布函数的定义
设 X 是一个 r.v，称
F ( x ) P ( X x ) ( x )
为 X 的分布函数 , 记作 F (x) .
o X
x X
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 ( , x ] 内的 概率.
概率论
例1 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 解 注意到函数 F(x)在 [ / 2, ] 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F () lim F ( x ) 0
当
x 2 时，
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0
1

x X2 x Xx

概率论
故
x0 0, 22 , 0 x1 35 F ( x) 34 , 1 x 2 35 x2 1,
下面我们从图形上来看一下.
注意右连续
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.
概率论
练习 F1(x)和F2(x)都是分布函数，为使C1F1(x) –C2F2(x)是 分布函数，C1和C2应取下列哪组值（ ）。
( A) C 1 3 2 C2 1 2
√
2 ( B ) C1 3
1 C2 3
3 ( C ) C1 2
P ( X a ) lim P (a X a )
0
lim[ F (a ) F (a )] F (a ) F (a 0)
0
Байду номын сангаас请 填 空
P(a X b) F (b) F (a 0) P(a X b) F (b 0) F (a) P(a X b) F (b 0) F (a 0)
概率论
解方程组
A 2 B 0 A B 1 2
得解
1 1 A ， B ． 2
概率论
在其 例3 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品， 中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （1） 求 X 的分布函数， （2）画出分布函数的图形。
概率论
(2) F ( ) lim F x 0
x x
F ( ) lim F x 1
o X
(3) F(x) 右连续，即
x x0
x
x
F ( x 0) lim F ( x ) F ( x0 )
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.
这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的随机变量 的分布函数.
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三、布置作业
1. 《概率统计》练习册 习题6; 2.《概率统计》P59:3,5,6;
解
F(x) = P(X x)
X的所有可能取值为： X 0,1,2 3 22 C13 P{ X 0} 3 35 C15 2 1 C13 C 2 12 P{ X 1} 3 C15 35
1 2 C13 C2 1 P{ X 2} 3 C15 35
当 当
x<0 时，{ X
1 C2 2
( D ) C1
2 3
C2
1 3
x
lim [C1 F1 ( x ) C 2 F2 ( x )] C1 C 2 1
概率论
3）下列函数中，可作为某一随机变量的 B 分布函数是 1 1 1 A） F ( x ) 1 2 B） F ( x ) arctan x
概率论
F ( x ) P ( X x ), x
注 意: (1) F(x) 是r.v X 取值不大于 x 的概率，其取值是确定的.
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.
概率论
(2) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内的 概率为：
概率论
二、分布函数的性质
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x 2 , 且 x1 x 2 , 都有 F x1 F x 2 ;
F x2 F x1 P x1 X x2 0