二次函数根分布经典练习题及解析

二次函数根的分布经典练习题及解析

1若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()

A(－∞,2] B [－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2)

2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为()

A 正数

B 负数

C 非负数

D 正数、负数和零都有可能

3已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________

4二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)

5已知实数t 满足关系式33log log a

y a t a a

=(a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；

(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值

6如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求

m 的取值范围

7二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足

m

r

m q m p ++++12=0,其中m >0,求证 (1)pf (

1

+m m

)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解

8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

参考答案

1解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足

⎩

⎨

⎧<∆<-00

2a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2 答案C

2解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =2

1

,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0

答案A

3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜2

3或－2

1＜p ＜1∴p ∈(－3,2

3)

答案(－3，2

3）

4解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，

∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0

答案－2＜x ＜0

5解(1）由log a 33log a

y a

t t =得log a t －3=log t y －3log t a

由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=

x

x y a 3

log -,

∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 3

32

+-x x

(x ≠0)

(2)令u =x 2－3x +3=(x －2

3

)2+4

3(x ≠0),则y =a u

①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8，

则u =(x －2

3)2+4

3在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值

②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －2

3)2+4

3,x ∈(0,2]应有最小值

∴当x =23时，u mi n =4

3

,y mi n =43

a

由

4

3

a =8得a =16∴所求a =16,x =2

3

6解∵f (0)=1>0

(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意

(2）当m >0时，则⎪⎩⎪

⎨⎧>-≥∆030m

m 解得0＜m ≤1

综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}

7证明(1)])1

()1([)1(

2r m m q m m p p m m pf ++++=+ )

2()1(12

2

++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m

)＜0 (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r

①当p ＜0时，由(1）知f (

1

+m m

)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (

1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1

+m m

)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－

m r m p -+2)+r =m

r

m p -+2>0, 又f (

1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1

+m m

,1)内有解 ②当p ＜0时同理可证

8解(1）设该厂的月获利为y ,依题意得

y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500

由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300

∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元

(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －

2

65)2

+16125 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元，