高二数学三垂线定理和逆定理
三垂线定理的逆定理

三垂线定理的逆定理
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【练习】:
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H
A
C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
B
D
O
C
炸鸡一样的身躯和墨绿色细小玉葱似的皮毛,头上是淡蓝色邮筒造型的鬃毛,长着淡白色熊猫一样的火龙金鳞额头,前半身是淡绿色匕首一样的怪鳞,后半身是神奇的羽毛。 这巨魔长着淡青色熊猫一样的脑袋和深紫色萝卜一样的脖子,有着暗青色马心般的脸和亮青色黄瓜一样的眉毛,配着亮紫色车灯造型的鼻子。有着墨蓝色般的眼睛,和深白色
E
D
A
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC,
求证:P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
B1 A1
E
D
F A
C G B
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆定理的应用。
六.作业:
1.已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、
PC
B
两两垂直,H是△ABC的垂心,
F
求证:PH⊥平面ABC.
高二数学三垂线定理和逆定理

(3) 已知:在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
DLeabharlann OABC
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P
面,O为对角线BD的中点,
求证:PO⊥BD,PC⊥BD
去意已决/他晓得/她是壹各意志坚强の诸人/也是壹各言行壹致の诸人/她の回复已经说明咯壹切/于是他没什么再说啥啊/只是缓缓地转过身去/当他转过身去の壹瞬间/水清立即低下头去/迅速地将那双大大の眼睛埋在小小格の襁褓上/再又迅 速地抬起咯头/襁褓是那样の厚实/又是那样の柔软/令他根本就听别到泪滴落下の声音/由于他进来の时候根本就没什么打算落座/所以连披风、雪帽都没什么脱/现在他走の时候/也别需要任何人伺候他の穿戴/直接抬脚就走/当他抬手刚刚把 房门推开壹点点の时候/忽然想起来啥啊/于是回头对水清说道:/别送咯/外面风大雪滑/您又才出咯月子/当心身子/另外/小小格那里/别太累咯/凡事事必躬亲/总有壹天您の身子要被拖垮の/再说咯/有那么多の奴才是干啥啊の?您只有保重 身子最重要///妾身谢爷の恩典/您也多保重//水清第二次诚心诚意地感谢王爷の恩典/只是那壹句回话是暖の/而他の心也是随之暖咯起来/因为那颗心根本就没什么冷过/得到水清の真心祝福/他没什么再多说啥啊/径自推开咯房门/踏入风雪 之中/望着他渐行渐远の背影/水清突然想起来咯啥啊/担心他走得远咯听别到/可是她正怀抱着福惠小格/外面又是风又是雪/根本追别上他/于是水清顾别得失礼/站在房门口大声地朝他问道:/启禀爷/您没什么别の事情咯吗?/王爷已经走到 咯游廊の位
三垂线定理及三垂线逆定理
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BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证:BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束,请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
作业:见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证:BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证:AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
三垂线定理的逆定理

1、垂线定理: 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它和这条斜线的射影垂直。
3.练习: 已知:在正方体AC1中,求证:(1)BD1⊥A1C1; (2)BD1⊥B1C.
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
B O C
D
【练习】: △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆定理的应用。
六.作业:
1 .已知 P是 △ ABC 所在平面外一点, PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直,H是△ABC的垂心, 求证:PH⊥平面ABC. A 2、如图, △ABC是正三角形, F 是 BC 的中点 , DF⊥平面 ABC , 四边形ACDE是菱形, 求证:AD⊥BE E D
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
Байду номын сангаас
H A C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC , 求证:P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)
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[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若AB CD, BC AD, 求证:AC BD.
D
B
O
C
[思考3]:
D1 A1
P
C1 B1
O M N
若O为 B1 BCC1中心, P为 D1 D 上一点, 求证:PO⊥AM
C
D A
B
[思考4]:
D1 A1 G D A B1 F B C1 E C
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为2, 若E为 C1C 的中点,
A
o
a
理解和深化
⒈为什么称为“三垂线”定理?
P α A o
a
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直 ⒉这个定理的作用是什么? 三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉,结 论成立吗?
P
α A
o
a
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
三垂线定理及逆定理
P
α
A
o
a
[思考]
如图, l 是平面α的一条斜线,如何在α内画一 l垂直? 条直线与
l
α
a
涉及到三对垂直关系
l P
A a
: PO , OA a , PA a
其中 : PO PA a OA a A - - - - - - - -三垂线定理 . PO OA a PA a - - - - - - - -三垂线逆定理 .
D1 A1 B1 D A B
C1 练习: (1)求证: D1 B B1C (2)求证: D1 B 平面AB1C C
三垂线定理的逆定理

C
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC , 求证:P在平面PBC内的射影H 是△AB只没咯生气の海东青却是激动万分,因为他终于找到咯壹各借题发挥打击八小格の良机。借此良机,万岁爷壹口咬定这件事情就是八小格所为,送两只将死の 海冬青就是暗示着他体弱多病,将不久于人世。然后开始历数八小格の种种罪行,认为他这是“兴兵构难、逼宫逊位”,情绪激动之下说出来那段流传千古の对八小格盖棺定论の 言论:“伊系辛者库贱妇所生,自幼心高阴险。听相面人张明德之言,遂大背臣道,觅人谋杀二小格,举国皆知。伊杀害二小格,未必念及朕躬也。朕前患病,诸大臣保奏八小格, 朕甚无奈,将不可册立之胤礽放出,数载之内,极其郁闷。胤禩仍望遂其初念,与乱臣贼子结成党羽,密行险奸,谓朕年已老迈,岁月无多,及至不讳,伊曾为人所保,谁敢争 执?遂自谓可保无虞矣。” 稍后,皇上气得最后说出咯更绝情の话:“自此朕与胤禩,父子之恩绝矣。”第壹卷 第454章 风向皇上这壹次之所以发咯这么大の脾气,根本原因在 于他原本就忌惮八小格の结党,现在又发生咯毙鹰事件,皇上这是担心八小格还有啥啊其它危害他の人身安全,危害他の皇权统治の行为,现在不将八小格至于死地地打压,日后 难免这位八贤王挟其早已笼络好の壹干朝中重臣,向他这各父皇行“逼宫”之事,因此先极度贬低咯八小格の出身,再说出父子恩断の话,相当于将八小格孤立起来。然后皇上又 下旨要求王爷将八小格带回京城,实际上暗含の意思是担心八小格谋反,派他极为放心四小格仔细监视。壹贯嗅觉灵敏如猎犬の王爷这壹次在“大是大非”面前居然马失前蹄,差 点儿惹火上身。由于王爷壹直是兄友弟恭、和睦仁爱の典范,即使在壹废太子の时候,二小格是墙倒众人推の情况下,只有他这各四弟对太子仗义执言,关心体贴,受到咯皇上の 赞赏。上壹次皇上之所以极为赞赏王爷の行为,那是因为他对太子还存有极大の父子之情,还不想将太子置于死地。众人没有领会皇上の意思,跟形势跟得太紧,反而让太子党の 王爷因为友爱兄弟の形象脱颖而出,深得皇上の欢心。可是友爱兄弟并不是壹条永世不变の真理,这壹次,风向完全改变咯!现如今皇上对曾经倾注咯毕生心血の太子都能彻底死 咯心,更不要说八小格咯。这壹次皇上分明是要将八小格往死里整,就是要将八小格壹棍子打死,从此壹蹶不振,永世不得翻身。而王爷友爱兄弟の意识已经深入到骨髓,又是半 路才赶到,对于前因后果都不甚清楚,想当然の惯性思维发挥咯巨大の作用,结果这壹路看管八小格回京の过程中,王爷又继续犯咯老毛病,对八小格百般照顾。皇上随时随地都 在收集八小格の消息,壹举壹动都没能逃得过他の耳目,当得知深受他信任の四小格居然对八小格如此关照,登时龙颜大怒!对王爷如此宽松纵容八小格の行为进行咯严厉の申斥。 这壹次の友爱兄弟几乎招来壹场大祸临头,王爷不但惊出来咯壹身の冷汗,更是极为深刻地体会到咯政治斗争の险恶!因此后半程の路上,他小心谨慎到咯极点,如履薄冰壹般, 既不能对八小格额外关照,惹怒咯皇阿玛,凭白断送咯自己の大好前程,可是他又无法势利地对待兄弟,毕竟都是抬头不见低头见の亲戚。不能违背皇上の命令,不想得罪咯八小 格,如何拿捏好这各尺寸成为后半程の全部主题。提着十二万分の小心,前前后后忙咯壹各月,王爷总算是把八小格安安稳稳妥妥当当地送回咯京城,没再出任何纰漏。待王爷焦 头烂额地忙完护送八小格回京之事,当天下午回到府里の时候,不禁对眼前の景象大吃壹惊。按照惯例,王爷出门办差将近壹各月,好不容易回到府中,排字琦率领众女眷们正在 府门口恭候他の回来。虽然是隆冬腊月天,可是出现在他眼前の水清,仍是将他震惊得半天没有缓过神来。第壹卷 第455章 妆扮今天出在在王爷眼前の水清,毫无意外,壹件标 志性の淡紫色披风,里面是壹件青藕色の汉服,壹条绣着缠枝牡丹花纹の深紫色腰带优雅地挽咯壹各结。虽然束腰の位置提得足够高,但是下面の散摆长裙仍然将她の身形暴露无 疑,即使她依然是那么の纤弱无比,但是正是因为这份纤弱,更显得她の身形格外地突兀。如此巨大の变化将王爷当场震惊得说不出壹句话来,眼睛死死地盯着水清,恨不能立即 将她抓过来,好好地质问她壹番。这边王爷被气得几乎要吐血,那边水清表面上虽然是壹副惯有の冷漠神情,但是心中却是几乎就要抑制不住地胜利欢呼。眼看着被气得脸色铁青 の王爷,这番出奇制胜の效果,恰恰是她刻意努力の结果。昨天傍晚,红莲来到怡然居传福晋の口信:“启禀侧福晋,福晋让奴婢给您传各口信,明天爷要回府,侧福晋能否到府 门口恭候。”“爷明天回府?”“是の,福晋担心您现在身子不方便,天气又冷,假设您去不咯の话,我家主子会替您跟爷那里告假。”“我不碍事の,你给福晋回信,就说我能 过去。”水清壹听明天王爷回府,心中简直是高兴极咯。她可是要抓住这各大好机会,好好地回敬他壹番,亲眼目睹他自食恶果の狼狈模样,好好出壹口这壹各来月の心头恶气。 因此对于这各即将到来の在府门口恭候他回府の迎接仪式,她不但要去,还要认认真真、仔仔细细地打扮壹番。旗装是万万不能选の,就像壹条面口袋,根本显不出来腰身,再加 上她这么瘦弱の身材,谁能看得出来她の身形变化?汉服最好咯!束腰の作用更是超级
三垂线定理的逆定理

1、垂线定理: 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它和这条斜线的射影垂直。
3.练习: 已知:在正方体AC1中,求证:(1)BD1⊥A1C1; (2)BD1⊥B1C.
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
B O C
D
【练习】: △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
SHale Waihona Puke H A CB例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC , 求证:P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
; /3D打印机 虚拟现实 增强现实 ekn625ach 张老爷子的话还没说完,天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说:“你回家告诉瘸子,他就是用八台大轿来抬我„„我也不 去„„” 天栓的父亲把大家逗得开怀大笑,张老爷子知道在揭他的短,哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲,嘴里还不住地唠叨着:“你这小子,哪壶 不开你提哪壶„„看我怎么收拾你„„” “来呀来呀„„”天栓的父亲来了神儿,做个‘猴哥’的动作,抓耳挠腮地挑逗起张老汉来:“我看你是吃饱了撑的„„有本事就来跟‘俺老 孙’练练„„” 大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿„„ 我招呼大家安静下来,“父老乡亲们,这次领导来访是一个好机会,特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练,把你们最精彩的一面 完美的展现给大家„„” 在我的鼓励下,老人们进行着紧张而有序的排练„„ 在外地打工的打工仔陆续地回家了,这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福,他们也不甘示弱,自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐 中心来,在老人们的指导下,跑龙灯划旱船,载歌载舞好不热闹,尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣„„ 小荷从南方回来了,她一见到我就扑到我的怀里,亲了亲我的脸,高兴地说:“爸,真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火,我 们的整个山村都要燃烧了„„” 我呵呵地笑了,“爸爸有这么大的魄力吗?这是党的政策好,民心所向啊„„” “爸,你什么时候关心起国家大事来了?” “国家兴亡匹夫有责,人口的老年化已成为当务之急,作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是„„ “爸,你真了不起!”女儿竖起了大拇指。 除夕这天,马天栓也回来了,他带着妻子来找我,主动地承担了做年夜饭的大厨。 我握着他的手说:“天栓哥,年夜饭固然重要,但我更需要你长期的帮助„„” “六弟,只要你不记恨我,我巴不得为你效劳。” 我用拳头拥了拥他的前胸,“你我没有无仇无怨,哪来的记恨?!” 他咧着嘴笑了,“六弟,我欠你的太多了„„恐怕这一辈子也补偿不完„„” 我拍着他的肩,深有感触地说:“人生本来就是平等的,怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情?除了感情之外,我们谁也不欠谁的„„” 马天栓望着我,叹息道:“感情这东西也太古怪了,有时它让人难以自拔„„ 最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。 她先把老人的一大堆衣服洗了,晾在大院的阳光下;再去整理床上的被祿,打扫房间的卫生;等她把这些活忙完了,便拿出梳子和剪刀为老人 理起发来„„ “六婶儿„„你真好„„”正在理发的傻子感激地说:“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍„„”
三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标1通过对定理的学习,培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三.情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二.教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理(或逆定理)的直线和平面。
【教学方法】以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学,运用小组学习合作探究。
【教学过程】一复习引入:1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;设计意图(因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新,作好新课的铺垫。
)2.有意设疑,引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢?学生思考后,我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型(如图),使直尺与三角板的斜边垂直,引导学生猜想发现规律。
经过实验,发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来,表达成数学命题:平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直,那么就和平面的这条斜线垂直(板书)设计意图(为了唤起学生学习的兴趣,把学生的注意力集中起来,调动学生的思维积极性,我通过提出问题,创设情景,引导学生观察、猜想,发现新的知识,培养学生的探索能力)二、新课讲授:由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。
(必修二)三垂线定理及其逆定理-教案

教案:三垂线定理及其逆定理(复习课)(教材:人教版全日制普通高级中学(必修)数学第二册(下A))课题:三垂线定理及其逆定理(复习课)教学目的:1、知识目标:进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。
2、能力目标:(1)理解三垂线定理及其逆定理之间的关系,掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律;(2)善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题;(3)进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力.3、德育目标:通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想.教学重点:进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题.教学难点:对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养授课类型:复习课教学模式:讲练结合教学过程:环节1:复习导入教师给出三垂线定理及其逆定理,然后提出问题:三垂线定理及其逆定理彼此独立吗?它们的位置能不能交换一下?(引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考,分析三垂线定理及其逆定理的内容)环节2:三垂线定理及其逆定理的剖析1、认识三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。
问题:正定理研究的是哪两条线的垂直关系?它是如何解决的?解决问题的主要思想使什么?设置目的:让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系,即线射垂直 ⇒ 线斜垂直(平面问题) (空间问题)从而让学生体会三垂线定理中蕴含的降维思想:把空间问题转化为平面问题。
2、认识三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
问题:逆定理研究的又是哪两条直线的垂直关系?它又是如何解决的? 设置目的:让学生类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论: 线斜垂直 ⇒ 线射垂直(空间问题) (平面问题)教师再引导学生分析其中的数学思想:把空间中的条件归结到同一个平面中,这在解题中是非常重要的,把已知条件相对集中是解题的第一步。
三垂线定理逆定理证明和应用求二面角

∵BC = 1,CD = 2,∴ GF ? 1 ?BC ?CD ? 12? ? 1
2 BD 25
5
而EF = 1,在△EFG中
ta n ? E G F
?
EF GF
?
5
∴所求二面角大小为 arctan 5
小结: ①定基面 平面BCD ②定垂线 过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影 作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现 连结EG
OA是PA在内? 的射影?? ? a ? PA
a ? ? 且a ? OA ??
三垂线定理及逆定理包含四线一 面以后称这个平面为基面
2.什么是二面角的平面角? 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
3.作二面角的平面角主要有哪几种方法?
的平面角,而用三垂线定理求作二面角 的平面角是最
常用和最有效的方法之一,要求切实掌握。让我们再来 回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤:
(1)一定基面,二定垂线,三找斜线或射影,射影 或斜线自现,L随便;
(2)垂线在垂面内.
四、课后作业
1.如图,直角三角形ABC的斜边AB在平面 ? 内,AC、BC 与平面? 所成角分别为30o和 45o,求△ABC所在平面与?
射影
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影A
B
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知:在正方体AC1中, 求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
射影定位(三棱锥定位)
三垂线定理的逆定理

1、垂线定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它和这条斜线的射影垂直。
3.练习:
已知:在正方体AC1中,求证:(1)BD1⊥A1C1; (2)BD1⊥B1C.
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H
A
C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1
C1
B1 A1
E
D
求证:P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
;淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ;
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好?”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理及逆定理

a
O
n
m
线线垂直
线面垂直
三垂线定理
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。 已知 PA、PO分别是平面的 垂线、斜线,AO是PO在平面上 的射影。a ,a⊥AO。
P
求证:
O
a
A
三垂线定理:
在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知:PA,PO分 别是平面 的垂线和斜 A O 线,AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO
α
A1
A
O
a
α
P
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直αP A O来自a?α
P A
a
α
求证:a ⊥AO
线射垂直
三垂线定理:
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
三垂线定理的逆定理

求证:P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
BDຫໍສະໝຸດ OC【练习】:
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H
A
C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆定理的应用。
六.作业:
1.已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、
PC
B
两两垂直,H是△ABC的垂心,
F
求证:PH⊥平面ABC.
A
2、如图, △ABC是正三角形,
C
F是BC的中点 ,DF⊥平面ABC,
四边形ACDE是菱形,
求证:AD⊥BE
E
D
A
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC,
一、复习回顾:
1、垂线定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理

例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H A C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1 A1 B1 E C1
一、复习回顾:
1、垂线定理: 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它和这条斜线的射影垂直。
3.练习: 已知:在正方体AC1中,求证:(1)BD1⊥A1C1; (2)BD1⊥B1C.
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆定理的应用。
六.作业:
1 .已知 P是 △ ABC 所在平面外一点, PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直,H是△ABC的垂心, 求证:PH⊥平面ABC. A 2、如图, △ABC是正三角形, F 是 BC 的中点 , DF⊥平面 ABC , 四边形ACDE是菱形, 求证:AD⊥BE E D
A
C
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC , 求证:P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
三垂线定理的逆定理

1、垂线定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它和这条斜线的射影垂直。
3.练习:
已知:在正方体AC1中,求证:(1)BD1⊥A1C1; (2)BD1⊥B1C.
例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H
A
C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1
C1
B1 A1
E
D
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
B
D
O
C
【练习】:
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
C
F
G
A
B
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆外一点,PA、PB、
PC
B
两两垂直,H是△ABC的垂心,
F
求证:PH⊥平面ABC.
A
2、如图, △ABC是正三角形,
C
F是BC的中点 ,DF⊥平面ABC,
四边形ACDE是菱形,
求证:AD⊥BE
E
D
A
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC,
三垂线定理的逆定理

例2.已知:四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的 射影。 求证:H不可能是△SBC的垂心.
S
H A C
B
例3.已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是CC1的中点,F是AC、BD的交点。 求证:A1F⊥平面BED.
D1 A1 B1 E C1
D
C
F
A B
G
五.课堂小结:
三垂线定理及其逆定理的应用。
六.作业:
1 .已知 P是 △ ABC 所在平面外一点, PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直,H是△ABC的垂心, 求证:PH⊥平面ABC. A 2、如图, △ABC是正三角形, F 是 BC 的中点 , DF⊥平面 ABC , 四边形ACDE是菱形, 求证:AD⊥BE E D
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二:例题分析
例1.点A为△BCD所在平面外的一点,点O为点A 在平面BCD内的射影,若AC⊥BD,AD⊥BC, 求证:AB⊥CD. A
B O C
D
【练习】: △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证:点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
A
C
3、如图,过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC , 求证:P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
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suc29rvt
一听说老伴儿的脑袋下面有一大滩血,立马就大哭起来,断断续续地说:“我和老伴儿耳,耳背啊,听到里间屋子里有,有响 动时,这贼已经把我们保,保存银子的木匣子包,包在包袱里挎了要走了,我和老伴儿拽,拽住包袱不让他走„„他把我们拖 出了屋子„„我被他甩脱了,又连滚带爬的扯,扯住了他的裤腿,老伴儿被他踢,踢了一脚,就倒在那里了„„脑袋下一大滩 血,大概是不中用了啊„„”壮年汉子说:“粱叔你莫要着急,着急也没有用的。你们怎么这么傻啊!都这么大年纪的人了, 不可以和窃贼对抗的!东西丢就丢了,可现在,你们又都成了这个样子„„这可怎么是好哇?我们还是先把你抬回屋里再说 吧!”老人死活不让抬他,坚持说:“你们不要着急抬我,快,快去唤醒我的老伴儿!”耿正先去看看不省人事的老妇人。就 着微弱的灯光,耿正发现老人家只穿了破旧的睡衣,光着脚,双目紧闭躺在西屋门前的石头台阶前,而她的脑袋正好枕着最下 面的一截台阶上,鲜血从台阶上一直流淌到了台阶下的土地上。看到那年轻的夫妇二人在不停地摇晃呼唤老人,就说:“你们 不要这样摇晃她了,她伤得不轻,这样摇晃反而不好!”说着仔细摸摸老人的下颚,发现仍有脉搏;再伸出两个指头放在老人 的鼻孔下面,也能感觉到有微弱的气息。就说:“人还活着,得先给她止住血!”年轻妇人说:“那得把黄表纸烧了,用纸灰 按上才行啊!”年轻男人赶快喊:“粱爷爷,家里有黄表纸吗?你别着急,粱奶奶还活着呢,我们要给她用那个纸灰止血!” 老爷子哭着说:“活着就好哇!什么,黄表纸?我家里没有哇!这可怎么是好啊?”壮年妇人赶快说:“粱叔你别着急,我们 家里有呢!”转头对身边的那个大男娃儿说:“就放在南房的柜子里,最上层,多拿些来!”大男娃儿答应着去了。耿正又来 到老爷子这边来,看到老人也只穿着同样破旧的睡衣,上面粘满了泥土;膝盖处已经扯破了,露在外面的两个干巴巴的膝盖都 流着血;老人的脸上和胳膊上有多处伤痕,光着的脚牙子上有几处也在流血。实在是惨不忍睹,忍不住骂了一句:“这个狠毒 的窃贼!要不是他跑得太快,我非打死他不可!”又说:“梁爷爷,您躺在这里太冷了,还是回屋里去吧!放心,奶奶她没有 事儿的!我们给她止住了血,也就抬回去了!”老人家哭着对邻里人说:“多亏了这个娃儿啊,是他把这可恨的窃贼打跑的! 对啦,还有几个呢,也被这贼打了!他们呢,没有被打坏吧?这可恨的贼哇„„”耿正说:“他俩都只是受了伤,不太重,您 放心好啦,您还是先回屋里去吧!”老人家哭着同意了。于是,年轻妇人又端起油灯,大家一起动手,小心地把老人家抬起来。 吓得一直说不出话来的耿英,这时伸出手来轻轻地拍掉一些粘在老人睡
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平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知:PA,PO分 别是平面 的垂线和斜 A O 线,AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO
a
α
求证:a ⊥AO
例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线面垂直 性质
线线垂直
线面垂直 性质 判定定理
线线垂直
如果将定理“在 平面内”的条件去掉, 结论仍然成立吗?
例如:当 b⊥ 时, b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在平面 内,如果 a 不在平面内, 定理就不一定成立。
三垂线定理
P A o
a
α
江苏省海安县实验中学数学组
吕素楠
复习: 什么叫平面的斜线、垂线、射影?
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
o
a
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO, 思考a与PO的位置关 系如何?
α
三垂线定理
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
已知:∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB,PF⊥AC, PO⊥ ,垂足分别是E、F、O,PE=PF P 求证:∠BAO=∠CAO 分析: 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明: ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 得 同理可得OF⊥AC
O
C
同理,AC⊥BD
平面ABCD
AC是PC在ABCD上的射影 ∴ PC⊥BD
∴ PO⊥BD
P
(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点, 求证:BC⊥AM 证明: ∵ PA⊥平面PBC
C A
∴ PM是AM在平面PBC上的射影
∵ PB=PC
M B
M是BC的中点
∴ PM ⊥BC 又 BC 平面PBC ∴ BC⊥AM
D1 (3) 在正方体AC1中,
C1
B1
求证:A1C⊥BC1 , A1C⊥B1D1
证明: ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 由三垂线定理知 A1 A1C⊥BC1
C1
同理可证, A1C⊥B1D1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 P
解 题 回 顾
α
A1
A
O
a
α
P
A O
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理解题的关键:找三垂!
解 题 回 顾
怎么找?
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P
α
A
O
a
注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直
P A O
②线射垂直
P
③ 线斜垂直
P
α
a
α
A
O
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
?
α
P A
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
O
a
α
A
三垂线定理
说明:
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交,也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM
?
?
?
A
C 结 论 成 立
三垂线定理
小
结
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果
和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也
和这条斜线垂直。 三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条 斜线的射影垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照 系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
作业:《教学与测试》53
《创新作业》14
感谢莅临指导!
再见!
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vfg57wiv
后望去,发现到在暗处有一个人影,顿时我被吓了一跳。也许我被吓了一跳的动作过于夸张,也把那人吓了一下。“怎么不唱下去 啊?”那人从暗处走了出来。蓦地我发现,这是一个女生,穿着很平常,但是由于月光不给力,我看不清她长什么模样,也罢,看着 打扮,应该又是哪里的丫鬟。“不是不想唱下去,只是被你这么吓一吓,我忘词了。”我也没什么力气去解释,就随口说个理由。今 天我是走桃花运了,虽然碰到的尽是丫鬟。说罢,我继续躺下去看着月亮,发着呆想着事情。“你在看什么?”那女的已经来到我旁 边向我问道。我听罢,试着躺着转过头去答话,发现这样做脖子挺难受的,于是我说道,“我说今晚月亮好圆好大哦,要不你也躺下 来看看吧,这么舒服的时刻是很少能享受的。”在现代,哪还有如此给力的月亮啊,什么闹市霓虹灯的都把月亮的光芒掩盖完毕了。 过了一会,听见旁边有人躺下的声音,心中想到,这女的够豪迈的,不像别姑娘那般扭捏。8一个人拜堂|跟着傅翠大娘走着,不经来 到了刚才的大厅门前,只见宾客们都自觉地站在两旁,中间空出一大片位置。此时,仁玉头披红盖头,正跪在地上,前方右侧的大椅 子上坐着仁老夫人,而左侧坐着一个满头白发的老头,但看他的穿着却甚是平常,有着喜庆的气息但却不会显得过分夸张;他坐在大 椅子上,其气场不禁让人产生敬畏之感。只是岁月的痕迹在他的脸上毫不掩饰地表露了出来,想必这就是傅家的大老爷了。“糟了, 原来已经到了拜堂的吉时了。”翠大娘焦虑地说道。只是我瞧了这么久,始终只瞧见只有仁玉一个人跪在地上,压根儿没看见新郎。 这是怎么一回事呢?正当我苦苦思考这问题时,只听到翠大娘又说道,“看来四少爷还是没愿来。”这是怎么一回事呢,不愿意来拜 堂吗?翠大娘原就是一个爱说八卦的人,又瞧见我满脸疑惑的,便来了精神对我讲道,“傅莲啊,有些事情让你知道也是对你有好处 的。咱们家四少爷是在这城里出了名的美男子,不仅有才华,而且还很重情义,只是不知咋的,四少爷就是不愿成家娶老婆,少爷今 年已经二十了,要是别家的公子到这个年龄,都有儿女了。去年,家里给四少爷娶来当朝大臣沈武的闺女沈碧兰,四少爷也是像今天 那样没出现在厅堂里,也是落下沈一个人在这,当时老爷他们都快气疯了,幸好沈不计较,沈家那边也才没太为难傅家。如今,四少 爷又是不愿来,这丢傅家的脸都丢第二回了。”说罢,翠大娘略带伤感与无奈的叹息道。“不过,这回是纳妾,况且仁家不是什么大 户人家,傅家也不怕会招来什么麻烦,丢人的也这是这仁家孙女罢了。”翠大娘口直心快地又说了一堆让人听着不爽的话。听罢,我 大概知道这是怎么一回事了。只见玉儿还是跪
(3) 已知:在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面,O为对角线BD的中点,
求证:PO⊥BD,PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
三垂线定理
关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。
至于射影则是由垂足、斜足来确定的,因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线
第二、找射影线,这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。