2014版大学物理教材课后习题答案

P31 第一章 习题答案

3. 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为

a ＝2＋6 x 2 (SI)

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度． 解：设质点在x 处的速度为v ，

62d d d d d d 2x t

x

x t a +=⋅==

v v ()x x x

d 62d 0

2

⎰⎰

+=

v v v

()

2 2

1

3

x

x +=v

4.有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度；

(2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

解：(1) 5.0/-==∆∆t x v m/s (2) v = d x /d t = 9t - 6t 2 v (2) =-6 m/s

(3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m

5. 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为2

2

1ct bt S +

= 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间． 解： ct b t S +==d /d v c t a t ==d /d v

()R ct b a n /2

+=

根据题意： a t = a n 即 ()R ct b c /2

+=

解得 c

b

c R t -=

6.由楼窗口以水平初速度0v

射出一发子弹，取枪口为原点，沿0v

方向为x 轴，竖直向下为y 轴，并取发射时刻t 为0，试求：

(1) 子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度． 解：(1) 2

02

1gt y t x =

= , v

202/2

1v g x y =

(2) v x = v 0，v y = g t ，速度大小为： 2

22

02

2

t g y x +=+=v v v v

方向为：与x 轴夹角 θ = tg -1( gt /v 0)

222

02//d d t g t g t a t +==v v 与v 同向．

()

222

002

/12

2/t g g a g a t n +=-=v v 方向与t a 垂直．

7. （1）对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，

试用半径r 、角速度ω和单位矢量i 、j

表示其t 时刻的位置矢量．已

知在t = 0时，y = 0, x = r , 角速度ω如图所示；

（2） 由(1)导出速度 v 与加速度 a

的矢量表示式；

（3）试证加速度指向圆心．

解：(1) j t r i t r j y i x r

sin cos ωω+=+=

(2) j t r i t r t

r

cos sin d d ωωωω+-==v

j t r i t r t

a sin cos d d 22ωωωω--==v

(3) ()r j t r i t r a sin cos 22ωωωω-=+-= 这说明 a 与 r

方向相反，即a 指向圆心

8. 一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a ，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a 的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角θ 应为多大？

解：设抛出时刻车的速度为0v

，球的相对于车的速度为/

0v ，与竖直方向成θ角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移 2

012

1at t x +=∆v ① 球的位移 ()t x θsin /

002v v +=∆ ②

()

2/

022

1cos gt t y -=∆θv ③

小孩接住球的条件 0221=∆∆=∆y x x ,

即 ()

t at /θsin 2102v = ， ()

t gt θcos 2

1/

02v =

两式相比得 tg /θ=g a ，∴ ()g a /tg 1

-=θ

9.一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问：

(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

解：(1) 球相对地面的初速度

=+='v v v 030 m/s 抛出后上升高度

9.4522='=g

h v m/s

离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m (2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度 2

02

1)(gt t t -

+=v v v

08.420

==

g

t v s 10.一球从高h 处落向水平面，经碰撞后又上升到h 1处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比为常数，问球在n 次碰撞后还能升多高？ 解： g h /212

v = ;;/21;/2

12222

11 v v g h g h ==

g h n n /2

12

v =

由题意，各次碰撞后、与碰撞前速度之比均为k ，有

v v v v v v 2

1222

12222212/;

;/;/-===n n k k k

将这些方程连乘得出：

n

n n n n hk

h h h k 2222//=== , v

v

又

v v h h k //12

212=

= 故

()111//-==n n n

n h h h h h h

11.一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．

解： y

t y y t a d d d d d d d d v v v v ===

又 -=a ky ∴ -k =y v d v / d y

⎰⎰+=-=-C ky y ky 2

22121 , d d v v v

已知 =y y 0 ，=v v 0 则 2

0202

121ky C --=v

)(2

20202y y k -+=v v

12 有一宽为l 的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为0v

的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地

点．

解：以出发点为坐标原点，向东取为x 轴，向北取为y 轴，因流速为-y 方向，由题意可得 u x = 0

u y = a (x -l /2)2＋b 令 x = 0, x = l 处 u y = 0, x = l /2处 u y ＝－u

0 代入上式定出a 、ｂ，而得 ()x x l l

u u y --=20

4 船相对于岸的速度v

(v x ，v y )明显可知是 2/0v v =x y y u +=)2/(0v v ， 将上二式的第一式进行积分，有 t x 2

0v =

还有，