江苏省仪征市第二中学2020-2021学年上学期高三12月第三次月考数学试题
2021年高三上学期第三次(12月)月考数学(理)试题 含答案
侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。
江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
4．已知数列 的前n项和为 ，则 （）
A．48B．32C．24D．8
5．若 ，则 的最小值是（）
A．2B．aC．3D．4
6．已知m,n∈R, ,则mn的最大值是
A．100B．50C．20D．10
7．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．27B．33C．36D．45
∴ ， ，∴
（3）因为
所以
要 对 恒成立，则 ， ，∵ ，
∴ 的最大值为19．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式与前 项和公式，考查等比数列的性质，裂项相消法求和．掌握等差数列等比数列的知识，裂项相消求和法是解题基础，难度不大，属于中档题．
22．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）由题设条件推导出数列 相邻两项之间的关系式，即可证明结论；
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
， .
故选：AC.
【点睛】
本题考查的等差数列的通项公式和前 项和公式，一般要求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题.
11．BD
【分析】
由 得 ，利用 可知 不正确；；根据 可知 正确；根据 可知 不正确；根据 可知 正确.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
有最大值，没有最小值， 错误；
， ， ，
则 ，
当且仅当 且 即 ， 时取等号，
故选：AD．
13．-1
【分析】
对前 项和公式进行赋值，即可求得结果.
【详解】
因为 ，故当 时，
，解得
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查对数列前 项和的认识，赋值即可.
2021年高三上学期第三次月考数学试题 含答案
2021年高三上学期第三次月考数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分）1、设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛4｝D. ｛｝2、若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）3.已知向量，，若与共线，则的值为( )A. B. C. D.4.对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.3006．已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D.7.给出下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③，；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④ D．②③8.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是（）A． B． C． D．10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A． B． C． D．11.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．12.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题513.．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．已知为三角形的边的中点，点满足，，则实数的值为16．数列的通项，其前项和为，则为．17．（本小题满分12分）设的内角所对的边为，（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长。
江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题
江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若实数,x y 满足1xy =，则22x y +的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．如果命题:p ,,a b c 成等差数列，命题:2=q b a c +，那么命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2343a a a ++=，则5S = A ．5B ．6C ．9D ．114．一个焦点为0)且与双曲线22149y x -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．221188y x -=B ．221188x y -=C ．2211610x y -=D ．2211610y x -=5．已知椭圆22110036x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离为6，点M 是1PF 的中点，O 为坐标原点，则OM 等于（ ） A ．2B ．4C ．7D ．146．若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．27．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．1608．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为A B ．12C ．14D二、多选题9．设向量(1,,2)λ=a ，(2,1,2)b =-，若8cos ,9a b =，则实数λ的值为（ ） A ．2-B ．2C ．255D ．255-10．若0a b <<，那么下列不等式中错误的是（ ）A B ．2a ab > C ．11a b< D ．22a b <11．已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是（ ）A ．2B C D ．212．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列三、填空题13．命题“存在实数,x 使2230x x -+=”的否定是____________ 14．若向量(2,3,1),(4,,)a b m n =--=，且//a b ，则m =________ 15．若()*1N 2n n nb n -=∈，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______四、双空题16．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则p ＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为______．五、解答题17．已知{}2:230p A xx x =--≤∣，:{3}q B x x m =||-|>，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，焦距为2，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若AB x ⊥轴，求2ABF 的面积．19．在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 20．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为n a 万元，已知{}n a 为等差数列，相关信息如图所示.（1）求n a ；（2）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利n n=前年总获利） 21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．22．已知点F 是拋物线C:y 2=2px(p>0)的焦点,点M(x 0,1)在C 上,且|MF|=054x . (1)求p 的值;(2)若直线l 经过点Q(3,-1)且与C 交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数.参考答案1．B 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得2222y x y x ≥=+， 当且仅当1x y ==时，等号成立， 所以22x y +的最小值是2. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．C 【分析】根据等差数列的定义可得由p 可得到q ,由q 根据等差数列的定义可判定p ，从而得解. 【详解】因为命题:p ,,a b c 成等差数列，所以2=b a c +，故p q ⇒ ；由:2=q b a c +可得b a c b -=-， 所以,,a b c 成等差数列，故q p ⇒ ，综合得：命题p 是命题q 充要条件， 故选：C. 3．A 【分析】由2343a a a ++=，得到31a =，然后根据等差数列的求和公式并结合下标和的性质可得5S 的值． 【详解】∵234333a a a a ++==， ∴31a =． ∴()153535525522a a a S a +⨯====． 故选A ． 【点睛】本题的解题关键是将等差数列性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+与前n 项和公式1()2n n n a a S +=结合在一起，采用整体思想可简化解题过程，提高解题效率． 4．B 【详解】设所求双曲线方程为2249y x -=t (t ≠0)，因为一个焦点为0)，所以|13t |＝26.又焦点在x轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为221188x y -=. 选B5．C 【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为2F ，因为O 、M 分别是F 1F 2和PF 1的中点，所以212OM PF =, 而由椭圆的方程得a =10，2a =20，所以21220614PF a PF =-=-=, 所以OM =7， 故选：C .6．B 【详解】由抛物线的方程，知其准线为1x =-，(1,0)F ，设(,)P P P x y ，则由抛物线的定义，有12p x +=，所以1p x =，所以2p y =±，所以1112122OFP P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．考点：抛物线的定义及几何性质． 7．B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】 3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题. 8．A 【分析】设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），因为A 、B 在椭圆上将两式相减可得直线AB 的斜率与直线OM 的斜率的关系，建立关于a ，b ，c 的方程，从而求出所求； 【详解】设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），又AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y +=+=，， 又因为A 、B 在椭圆上所以22221122222211x y x y a b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+ ∵12121212b 1c 2AB FP OM y y y y k k k x x x x ，-+===-==-+, ∴22b 2c b a =，，∴22a bc =，平方可得()42224a a c c =-, ∴22c a =12,c a =故选A.【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 9．AC 【分析】利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】因为向量(1,,2)λ=a ，(2,1,2)b =-， 所以12226a b λλ⋅=⨯-+⨯=-，21a λ=+(223b =+，所以68cos ,935a b a b a bλ⋅-===⨯+，整理可得：25510840λλ+-=，所以()()55220λλ-+=， 解得：255λ=或2λ=-， 故选：AC. 10．ACD 【分析】根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解. 【详解】对于A ，由0a b <<，得0a b ->->A 项错误； 对于B ，由0a b <<两边同时乘以a ，得2a ab >，故B 项正确； 对于C ，由0a b <<，得11a b>，故C 项错误； 对于D ，由0a b <<得0a b -<，0a b +<，所以()()220a b a b a b -=-+>，即22a b >，故D 项错误． 故选：ACD ． 11．AB 【分析】根据已知条件可得6m =±，再分6m =和6m =-两种情况讨论，结合,,a b c 的关系以及离心率公式即可求解. 【详解】因为m 是3与12的等比中项， 所以231236m =⨯=，可得6m =±， 当6m =时，曲线方程为22162x y +=，可得26a =，22b =， 所以222624c a b =-=-=，所以2224263c e a ===，此时e =，当6m =-时，曲线方程为22126y x -=，可得22a =，26b =，所以222268c a b =+=+=，所以222842c e a ===，此时2e =，所以圆锥曲线2212x y m +=的离心率是2故选：AB. 12．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.13．对所有的实数,x 都有2230x x -+≠ 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题：“存在实数,x 使2230x x -+=”的否定：对所有的实数,x 都有2230x x -+≠； 故答案为：对所有的实数,x 都有2230x x -+≠. 14．- 6 【分析】利用向量共线，列式，求解即可. 【详解】 由//a b 得4231m n ==--， 解得6m =- 故答案为：- 615．()()1*142N 2n n T n n -⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭【分析】利用乘公比错位相减即可求解. 【详解】因为11122n n n n b n --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，所以()0122111111123122222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111111231222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得：0122111111112222222n n nn T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()01112211111212212222212n n n n nn T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=--⋅=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以()11422nn T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()*N n ∈，故答案为：()()1*142N 2n n T n n -⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.16．6【分析】求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p ，得到焦点坐标，根据双曲线的方程得出渐近线方程，利用点到直线的距离计算． 【详解】抛物线的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，代入双曲线22133y x -=方程，解得x =因为ABF 为等边三角形，所以2||AF AB x ===，即223p x ＝， 即22334p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得6p ＝．抛物线的焦点坐标为(0,3),双曲线的渐近线方程为0x y ±=,抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d =,故答案为：6 17．(,4)(6,)-∞-⋃+∞ 【分析】先求得集合A 、B ，根据p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，根据集合的包含关系，即可求得答案. 【详解】由题意得{13}A xx =-≤≤∣，{3B x x m =<-∣或3}x m >+， 因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以33m ->或31m +<-，解得6m >或4m <-， 即实数m 的取值范围是(,4)(6,)-∞-⋃+∞．18．（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）根据椭圆的性质以及定义求出椭圆E 的方程；（2）求出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立求出,A B 两点的纵坐标，再由三角形面积公式求出2ABF 的面积． 【详解】（1）由题意知，48a =，所以2a =，由焦距为2，所以1c =，所以22213b =-=所以椭圆E 的方程为22143x y +=． （2）因为AB x ⊥轴，所以直线AB 的方程为1x =- 由22143x y +=，1x =-，得294y = 解得132y =，232y =-，所以2123ABF S c y y =⋅-=.19．（1）83n n a +=；（2）9n n +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由148,,a a a 成等比数列可得，2418a a a =⋅，化简得19a d =，再由数列{}n a 的前10项和为45，得101104545S a d =+=，从而可求出1,a d 的值，进而可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得()()1191198989n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，利用裂项相消求和法可求得n T【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由148,,a a a 成等比数列可得，2418a a a =⋅，即()()211137a d a a d +=+，2221111697a a d d a a d ∴++=+，0d ≠，19a d ∴=.由数列{}n a 的前10项和为45，得101104545S a d =+=， 即904545d d +=，故11,33d a ==， 故数列{}n a 的通项公式为83n n a +=； （2）()()1191198989n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭1111111199101011111289n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪++⎝⎭119919999n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，考查计算能力，属于基础题20．（1）48n a n =+；（2）经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为96万元. 【分析】（1）根据题意，得到每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，进而可求出结果；（2）设超市第n 年后盈利为y 万元，根据题意，得出224072y n n =-+-，利用基本不等式即可求出平均利润的最值. 【详解】（1）由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 所以14(1)48n a a n n =+-=+；（2）设超市第n 年后盈利为y 万元，则2(1)5012472240722n n y n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，则年平均盈利为72240y n nn =--+3624024016n n ⎛⎫=-++≤-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当36n n =，即6n =时，年平均盈利最大．故经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为96万元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，涉及等差数列的应用，属于常考题型.21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥； （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量， 则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．2cos ,2C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>=．所以，二面角1B B E D --（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,22AB n AB n AB n⋅<>===⋅．所以，直线AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 22．（1）12；（2）12-【分析】（1）抛物线定义知|0|2p MF x =+，则00524xp x += ，求得x 0=2p ，代入抛物线方程，0112x p ==， ； （2）由（1）得M （1，1），拋物线C ：y 2=x ，当直线l 经过点Q （3，-1）且垂直于x 轴时，直线AM的斜率AM k ，直线BM 的斜率BM k =，12AM BM k k ⋅=- ．当直线l 不垂直于x 轴时，直线l 的方程为y+1=k （x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得1212111113112AM BM k k y y y y k k 〈==--++=-+++ ，即可证明直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数12-．【详解】(1)由抛物线定义知|MF|=x 0+,则x 0+=x 0,解得x 0=2p, 又点M(x 0,1)在C 上,所以2px 0=1,解得x 0=1,p=. (2)由(1)得M(1,1),C:y 2=x.当直线l 经过点Q(3,-1)且垂直于x 轴时,不妨设A(3,),B(3,-),则直线AM 的斜率k AM =,直线BM 的斜率k BM =,所以k AM ·k BM =-×=-.当直线l 不垂直于x 轴时,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则直线AM 的斜率k AM ===,同理直线BM 的斜率k BM =,∴k AM ·k BM =·=.设直线l 的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l 的方程为y+1=k(x-3). 联立消去x,得ky 2-y-3k-1=0, 所以y 1+y 2=,y 1y 2=-=-3-,故k AM ·k BM ===-.综上,直线AM 与直线BM 的斜率之积为-. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年扬州市仪征实验中学初二数学下学期三月份月考试卷及解析
2020-2021学年扬州市仪征实验中学初二数学下学期三月份月考试卷一．选择题（共8小题）1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对全国中学生睡眠时间的调查B．对玉兔二号月球车零部件的调查C．对重庆冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查D．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查3．（3分）今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取2000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（）A．3万名学生的问卷调查结果是总体B．2000名学生的问卷调查结果是样本C．每一名学生的问卷调查结果是个体D．2000名学生是样本容量4．（3分）实验初中有A、B两个阅览室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个阅览室阅读．下列事件中，是必然事件的为（）A．甲、乙同学都在A阅览室B．甲、乙、丙同学中至少两人在A阅览室C．甲、乙同学在同一阅览室D．甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室5．（3分）已知长方形的长为20cm，宽为10cm，则图中阴影部分的面积为（）A．40cm2B．60cm2C．80cm2D．100cm26．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DF∥AB交AC于F，若AF＝6（）A．24 B．28 C．32 D．367．（3分）如图，E是▱ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，BD，BE交CD于点F，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠AEB＝∠BCD B．EF＝BF C．∠ABD＝∠DCE D．∠AEC＝∠CBD8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A．B．C．5D．二．填空题（共10小题）9．（3分）“a是实数，|a|≥0”这一事件是事件．10．（3分）有50个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10，8，7，则第6组的频数是．11．（3分）如图，紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为．12．（3分）平行四边形ABCD两邻角∠A：∠B＝1：2，则∠C＝度．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，则菱形的面积等于．14．（3分）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是．15．（3分）如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到▱AB′C′D′，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝．16．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是°．17．（3分）如图，△ABC中，AD是中线，CF⊥AE于F，AB＝5，则DF的长为．18．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，点C（4，0），B（6，2），经过秒该直线可将▱OABC的面积平分．三．解答题（共10小题）19．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为，点C2的坐标为．20．一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都相同，其中红球有22个（1）求袋中有多少个黑球；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到21．某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生3000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？22．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，获得如下数据：摸球的个200 300 400 500 1000 1600 2000数n116 192 232 298 590 968 1202 摸到白球的个数m0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605摸到白球的频率（1）填写表中的空格；（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是；（3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．23．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E、F为对角线BD上的两点，连接AE，CF．（1）求证：∠DAE＝∠BCF．（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．24．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，求证：（1）EF＝CF；（2）∠DFE＝3∠AEF．25．如图，已知△ABC中AD平分∠BAC，DE∥AC①试说明四边形AEDF的形状．②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，为什么？26．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．27．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，∠B＝60°，G是CD的中点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）28．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ 是∠MPN的“巧分线”时t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形．故本选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：A、对全国中学生睡眠时间的调查用抽样调查；B、对玉兔二号月球车零部件的调查用全面调查；C、对重庆冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查用抽样调查；D、对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查用抽样调查；故选：B．3．【解答】解：A．3万名学生的问卷调查结果是总体，故本选项不合题意；B．2000名学生的问卷调查结果是样本，故本选项不合题意；C．每一名学生的问卷调查结果是个体，故本选项不合题意；D．2000是样本容量，故本选项符合题意．故选：D．4．【解答】解：A、甲、乙同学不一定都在A阅览室；B、甲、乙、丙同学中至少两人在同一个阅览室，故本选项错误；C、甲、乙同学不一定在同一阅览室；D、甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室；故选：D．5．【解答】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积＝20×10＝200cm2，再根据中心对称的性质得：图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积＝×200＝100cm2．故选：D．6．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD＝∠FDA，∴F A＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝5×6＝24．故选：A．7．【解答】解：A、∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，在△DEF与△CBF中，，∴△DEF≌△CBF（ASA），∴DF＝CF，∵EF＝BF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：A．8．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝，∴h＝AD＝5，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，连接AE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，∴BE＝＝＝，即P A+PB的最小值为．故选：D．二．填空题（共10小题）9．【解答】解：“a是实数，|a|≥0”这一事件是必然事件．故答案是：必然．10．【解答】解：∵有50个数据，共分成6组，∴第5组的频数为50×4.16＝8；又∵第1～5组的频数分别为10，8，7，11，∴第3组的频数为50﹣（10+8+7+11+4）＝6．故答案为：6．11．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，故n的最小值为72．故答案为72．12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A+∠B＝180°而∠A：∠B＝1：2∴∠A＝∠C＝60°故答案为60．13．【解答】解：如图：设AC与BD的交点为O∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝4，BO＝DO∴DO＝＝2∵S菱形ABCD＝×AC×BD∴S菱形ABCD＝×2故答案为：1614．【解答】解：∵E、F、H分别是边AD、CD的中点，∴EF＝BD AC，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∵EF＝BD AC，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD．15．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB＝AB′，∠BAB′＝32°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∴∠C＝180°﹣74°＝106°．故答案为：106°．16．【解答】解：取DE的中点F，连AF，，又∵平行四边形ABCD，DE＝3DC，∴AD∥BC，，∠4＝∠2，又∵AF＝FD，∴∠2＝7∠3．∵AD∥BC，∴，∴∠1＝2∠DBC．∴∠ABC＝8∠DBC＝60°，∴∠DBC＝20°．故答案为：20°．17．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG＝∠AFC，在△AFG和△AFC中，，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF＝BG＝（AB﹣AC）＝．故答案为：．18．【解答】解：连接AC、BO，当y＝2x+1经过D点时；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（8，2），0），∴D（2，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝2x+7，∴k＝2，∵过D（3，8），∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝8x+1要向下平移6个单位，∵直线y＝8x+1以每秒2个单位的速度向下平移，∴时间为3秒，故答案为：3．三．解答题（共10小题）19．【解答】解：（1）△A1B1C7如图所示，△A2B2C8如图所示；（2）B1（﹣2，﹣6），C2（2，﹣2）．20．【解答】解：（1）黄球有40×0.125＝5个，黑球有40﹣22﹣4＝13个．答：袋中有13个黑球；（2）设取出x个黑球，根据题意得＝，解得x＝5．答：至少取出5个黑球．21．【解答】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%＝144，故答案为：40%，144；（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%＝50（人），∴喜欢A：篮球的人数是：50﹣15﹣5﹣10＝20（人），作图如下：（3）3000×20%＝600人，答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是600人．22．【解答】解：（1）1202÷2000＝0.601；故答案为：0.601；（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：3.600；故答案为：0.600．（3）∵摸到白球的概率的估计值是0.600，∴摸到红球的概率的估计值是7.400，∵袋中有红球2个，∴球的个数共有：2÷7.400＝5（个），∴袋中白球的个数为5﹣4＝3．23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠ADE＝∠CBF，∵DF＝BE，∴DE＝BF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠BCF．（2）证明：连接AF、CE．由（1）得，△ABE≌△CDF，∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AC、EF互相平分．24．【解答】解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵F是AD的中点，∴CF＝GF，EF＝ER，∴四边形EGRC是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠CEG＝90°，∴四边形EGRC是矩形，∴CG＝ER，∴EF＝CG＝CF＝GF，即EF＝CF；（2）∵EF＝GF，∴∠G＝∠FEG，∵AD∥BC，CF＝GF，∴AG＝AB，∴AF＝AG，∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，∵∠CFE＝∠G+∠AEF，∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝8∠AEF．25．【解答】①证明：如图，∵DE∥AC，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠2＝∠3．又∵AD平分∠BAC，∠2＝∠2∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴平行四边形AEDF为菱形；②在△ABC中，∠BAC＝90°由①知，平行四边形AEDF为菱形．若菱形AEDF是正方形时，只需∠BAC＝90°即可．所以，∠BAC＝90°．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°．∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BCD＝∠DCE＝90°．又∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′．∵CE＝CG，∴CG＝AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD．∴AB﹣AE′＝CD﹣CG．即BE′＝DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，∵AE＝3.5，∴DE＝7.5＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.4；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝5，AE＝2，∴DE＝3，∵CD＝3，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：7．28．【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）故答案为：是（2）∵∠MPN＝α，∴∠MPQ＝α或α；故答案为α或α；深入研究：（3）依题意有①10t＝60+×60，解得t＝3；②10t＝2×60，解得t＝12；③10t＝60+2×60，解得t＝18．故当t为6或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）依题意有①10t ＝（7t+60），解得t＝2.4；②10t ＝（5t+60），解得t＝4；③10t ＝（8t+60），解得t＝6．故当t为2.8或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．第21页（共21页）。
2021年高三(上)第三次月考数学试卷 含解析
2021年高三（上）第三次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜}，则A∩B=．2．若z=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数= ．3．执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为．4．某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为．5．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为．6．在某招聘口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．若某应聘者只会回答5道题中的2道，则他获得及格或优秀的概率是．7．已知函数f（x）=，若f（m）+f（1）=0，则实数m的值等于．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为．9．在平行四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2，•=6，则与夹角的余弦值为．10．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1=﹣8，a2=﹣2，b1=1，b2=2，那么满足a n=b n 的n的所有取值构成的集合是．11．已知a，b为正数且a＞b，则a2+的最小值是．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，当取得最大值时椭圆的离心率为（用数字作答）．13．已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．14．已知二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．定义card（A）：集合A中的元素个数，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．在△ABC中，已知向量=（sinA，1），=（cosA，），且∥，其中．（1）若sin（ω﹣A）=，0＜ω＜，求cosω的值；（2）若BC=2，AC+AB=4，求△ABC的面积．16．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2，M为CE的中点，N为CD中点．（1）求证：平面BMN∥平面ADEF；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．17．xx年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．18．已知圆O的方程为x2+y2=25，设点P（x1，y1），直线m：x1x+y1y=25．（1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；（2）若点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知数列{a n}中，a1，a2，…，a k是以4为首项、﹣2为公差的等差数列，a k+1，a k+2，…，a2k是以为首项、为公比的等比数列（k≥3，k∈N*），且对任意的n∈N*，都有a n+2k=a n成立，S n是数列{a n}的前n项和．（1）当k=5时，求a48的值；（2）判断是否存在k，使a64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（x﹣c）|x﹣c|，g（x）=alnx．（1）试判断函数f（x）与g（x）的单调性；（2）记F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0．①当c=+1时，若F（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；②设函数F（x）的图象在点P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））处的切线分别为l1，l2，若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．四、（附加题共40分）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC 于点E，交AB于点D，点H是线段ED的中点，连接AH并延长PC交于点F．证明：A，E，F，D四点共圆．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知=为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．【选修4-4：坐标系与参数方程】xx•沈阳二模）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】xx秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，求实数x 的取值范围．五、【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°．（1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于，求的值．26．将（1+x）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…，a n（x），a n+1（x），设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x）+…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）是否存在n∈N*，使得a1（x），a2（x），a3（x）的系数成等比数列？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．（2）求证：对任意x1，x2∈[0，3]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|＜2n﹣1（n+2）．xx学年江苏省南京九中高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜}，则A∩B={x|2＜x＜}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A={x|x＜0或x＞2}，∵B={x|1＜x＜}，∴A∩B={x|2＜x＜}，故答案为：{x|2＜x＜}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数即可得出．解答：解：z====，∴=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为﹣．考点：循环结构．专题：计算题．分析：第一次执行：由x←4，y←，|1﹣4|≥1，满足判断框的条件，应执行“是”，把y的值输给x，x←1，可继续执行循环结构；否则跳出循环结构，执行“否”．解答：解：由x←4，y←，|1﹣4|≥1，满足判断框的条件，应执行“是”，∴把y的值输给x，x←1；由x←1，y←，，满足判断条件，应执行“是”，∴x←﹣；由x←，y←，，不满足判断框的条件，应跳出循环结构，执行“否”，输出y←．故答案为．点评：理解循环结构的功能和会使用判断框的条件是解题的关键．4．某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为40．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样的性质求解．解答：解：∵某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，∴从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为：8000×=40．故答案为：40．点评：本题考查B种品牌的牛奶中抽取的样本个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．5．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为45°．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线的倾斜角．解答：解：y′=x2，当x=1时，y′=1，从而切线的倾斜角为45°，故答案为45°．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．6．在某招聘口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．若某应聘者只会回答5道题中的2道，则他获得及格或优秀的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据等可能事件的概率，先求出他不及格的概率，在利用对立事件的概率公式即可求出解答：解：从5道题中随机抽出3道题进行回答的抽法有C53=10种，他不及格的抽法有C33=1种，则他不及格的概率为，则他获得及格他获得及格或优秀的概率等于1减去他不及格的概率，即P=1﹣=，故答案为：点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件与它的对立事件概率间的关系．7．已知函数f（x）=，若f（m）+f（1）=0，则实数m的值等于﹣2．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可知f（m）+f（1）=0，从而可得f（m）=﹣3，继而可求得实数m的值．解答：解：∵f（x）=，若f（m）+f（1）=0，∴f（m）+3=0∴f（m）=﹣3，∴m﹣1=﹣3．∴m=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查函数的值，理解分段函数的意义是关键，考查理解与运算能力，属于基础题．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为②③．考点：命题的真假判断与应用．分析：根据线面垂直、面面平行的性质来求解解答：①若m⊥a，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，①错②根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故②正确③两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，③对④相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故④错点评：熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳．9．在平行四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2，•=6，则与夹角的余弦值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义求出=36，在根据向量的夹角公式，求出余弦值解答：解：∵平行四边形ABCD中，AB=9，BC=6∴=，=，∵=2，•=6，∴•=（）（）=+）（﹣）=﹣﹣=36﹣﹣×81=6，∴=36，设与夹角为θ，∴cosθ===故答案为：点评：本题考查了向量的几何意义和向量的夹角公式，属于中档题10．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1=﹣8，a2=﹣2，b1=1，b2=2，那么满足a n=b n 的n的所有取值构成的集合是{3，5}．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n=﹣8+（n﹣1）×6=6n﹣14，b n=2n﹣1，从而根据a n=b n，得6n﹣14=2n﹣1，由此能求出满足a n=b n的n的所有取值构成的集合．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣8，a2=﹣2，∴d=a2﹣a1=﹣2+8=6，∴a n=﹣8+（n﹣1）×6=6n﹣14，∵等比数列{b n}中，b1=1，b2=2，∴=2，∴b n=2n﹣1，∵a n=b n，∴6n﹣14=2n﹣1，解得n=3或n=5，∴满足a n=b n的n的所有取值构成的集合是{3，5}．故答案为：{3，5}．点评：本题考查满足a n=b n的n的所有取值构成的集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．11．已知a，b为正数且a＞b，则a2+的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形由基本不等式可得原式=a（a﹣b）++ab+≥2+2=4，验证等号成立的条件可得．解答：解：∵a，b为正数且a＞b，∴a2+=a2﹣ab+ab+=a（a﹣b）++ab+≥2+2=4当且仅当a（a﹣b）=且ab=即a=且b=时取等号故答案为：4点评：本题考查基本不等式求最值，“凑”出能用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，当取得最大值时椭圆的离心率为（用数字作答）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a﹣c，|OH|=，所以==，最后根据二次函数的性质结合∈（0，1），可求出的最大值．解答：解：∵椭圆方程为+=1（a＞b＞0），∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=，其中c2=a2﹣b2．由此可得H（，0），|FG|=a﹣c，|OH|=，∴===﹣（）2+，∵∈（0，1），∴当且仅当=时，的最大值为．故答案为：点评：本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题．13．已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数的性质可知，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离即为周期的T，从而可求T，然后根据周期公式可求ω，从而可得f（x），函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数f（x+m）是偶函数，从而可求m，得平移后的函数解析式，即可求该偶函数在[0，π]上的单调增区间．解答：解：由题意知，=，∴T=，∴ω==3，∴f（x）=sin（3x+）；又f（x+m）=sin（3x+3m+）是偶函数，∴3×0+3m+=kπ+（k∈Z），即m=+（k∈Z）所以，最小的正实数m是．∴f（x+）=sin（3x+3×+）=cos3x，∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0时，该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．14．已知二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．定义card（A）：集合A中的元素个数，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，2）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中“”是“f（x）＞0”的充要条件，可得f（x）＞0的解集中仅有4个整数，进而由二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．可得∈[﹣4，﹣3），利用线性规划可求出实数a的取值范围．解答：解：∵二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．∴函数f（x）=（1﹣a2）x2﹣2bx+b2，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则f（x）＞0的解集中仅有4个整数，故f（x）＞0的解集为（，），即1﹣a2＜0，又由0＜b＜a+1，可得：a＞﹣1，且∈（0，1），故a＞1，且∈[﹣4，﹣3），如下图所示：故a∈（﹣1，0）∪（0，2），故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）点评：本题考查的知识点是充要条件，集合元素的个数，二次函数的图象和性质，线性规划，是集合，函数，不等式的综合应用，难度较大，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．在△ABC中，已知向量=（sinA，1），=（cosA，），且∥，其中．（1）若sin（ω﹣A）=，0＜ω＜，求cosω的值；（2）若BC=2，AC+AB=4，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；三角形的面积公式．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由∥，得tanA=，由sin（ω﹣A）=，可得sinω=，由0＜ω＜，得sinω的值，从而有=，可解得cosω的值；（2）由余弦定理可得AB•AC=，即可求△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由∥，得cosA﹣sinA=0，化为tanA=，∵．∴A=∵sin（ω﹣A）=，可得sinω=，∵0＜ω＜，∴sinω=，∴=，整理可得100cos2ω+60cosω﹣39=0，解得cosω=（舍去）或；（2）∵BC=2，AC+AB=4，A=∴由余弦定理可得：12=AB2+AC2﹣2•AB•AC•sinA==16﹣（2+）AB•AC∴可解得：AB•AC=∴S△ABC===．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．16．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2，M为CE的中点，N为CD中点．（1）求证：平面BMN∥平面ADEF；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．考点：平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由MN∥ED，得MN∥平面ADEF，得平面BMN∥平面ADEF；（2）由题意得ED⊥BC，得BC⊥BD，从而得BC⊥平面BDE．进而平面BCE⊥平面BDE，（3）设点D到平面BEC的距离为h，转化为V D﹣BEC=V E﹣BCD，从而求出h的值．解答：（1）证明：在△EDC中，M，N分别为EC，DC的中点，所以MN∥ED，又DE⊂平面ADEF，且MN⊄平面ADEF，所以MN∥平面ADEF；因为N为CD中点，AB∥CD，AB=2，CD=4，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥DA，又DA⊂平面ADEF，且BN⊄平面ADEF，所以BN∥平面ADEF，∵BN∩MN=N，EN，MN⊂面BMN，∴平面BMN∥平面ADEF；（2）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2．在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．因为BC⊂面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE，（3）设点D到平面BEC的距离为h，则V D﹣BEC=V E﹣BCD，求得h=2．点评：本题考查了面面平行，面面垂直的判定，考查转化思想，是一道综合题．17．xx年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出比例系数，利用该商店的日利润L（x）等于销售量与每枚徽章的利润与比例系数乘积，列出函数关系式；（2）通过x的范围，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，然后求出L（x）的最大值．解答：解：（1）该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚，比例系数为：10e40．该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式：（35≤a≤41）；（2）当35≤x≤40时，，，4≤a≤6，35≤31+a≤37，因为35≤x≤40，令L′（x）=0得x=a+31当35≤x≤a+31时L'（x）＞0当a+31≤x≤40时L'（x）＜0故L max（x）=L（a+31）=10e9﹣a当40≤x≤50时，L（x）=（x﹣30﹣a）显然L（x）在40≤x≤50时，L′（x）==＞0所以L（x）在40≤x≤50时为增函数故40≤x≤50时，L max（x）=L（50）又L（a+31）=10e9﹣a≥10e3L（50）=（20﹣a）≤，故L（a+31）＞L（50）于是每件产品的售价x为a+31时才能使L（x）最大，L（x）的最大值为10e9﹣a综上，若2≤a≤4，当每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润L（x）最大，且；若4＜a≤5，当每枚徽章的售价为（a+31）元时，该商店的日利润L（x）最大，且．点评：本题考查函数的实际应用，对数在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．难度比较大．18．已知圆O的方程为x2+y2=25，设点P（x1，y1），直线m：x1x+y1y=25．（1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；（2）若点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由点P在圆O内，求得圆心到直线的距离d大于半径，可得直线和圆相离．（2）①由条件求得点P（3，4），若直线PA过点O，求得PA的斜率，可得PB的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠APB的值；②求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P在圆O内，∴圆心到直线l的距离d=＞5，∴直线l与圆O相离；（2）①点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，得y1=5，即P（3，4）．由题意，AP是圆的直径，所以点P的坐标为（﹣3，﹣4），且k AP=．又直线PA，PB的斜率互为相反数，所以k PB=﹣∴tan∠APB=﹣；②记直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y=kx+4﹣3k．将y=kx+4﹣3k代入圆O的方程得：x2+（kx+4﹣3k）2=25，化简得：（k2+1）x2+2k（4﹣3k）x+（4﹣3k）2﹣25=0，∵3是方程的一个根，∴3x A=，∴x A=由题意知：k PB=﹣k，同理可得，x B=∴k AB=k•=即．点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}中，a1，a2，…，a k是以4为首项、﹣2为公差的等差数列，a k+1，a k+2，…，a2k是以为首项、为公比的等比数列（k≥3，k∈N*），且对任意的n∈N*，都有a n+2k=a n成立，S n是数列{a n}的前n项和．（1）当k=5时，求a48的值；（2）判断是否存在k，使a64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意分别求出等差、等比数列对应的通项公式，由k=5和a n+2k=a n成立求出数列的周期，由周期性求出a48；（2）先假设存在，利用数列的周期性进行求解判断即可．解答：解：（1）由等差数列通项公式得，a k=4+（k﹣1）（﹣2）=﹣2k+6，由等比数列通项公式得，a k+n==，∵对一切正整数n，都有a n+2k=a n成立．∴数列为周期数列，周期为2k．当k=5时，周期为10，所以a48是等比数列中的第三项，所以；（2）假设存在k，使a64k+3≥230成立，因为数列为周期数列，且周期为2k，所以a64k+3=a3=0≥230不成立，故不存在k使a64k+3≥230成立．点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，数列表示法，数列的周期性，及数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．20．已知函数f（x）=（x﹣c）|x﹣c|，g（x）=alnx．（1）试判断函数f（x）与g（x）的单调性；（2）记F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0．①当c=+1时，若F（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；②设函数F（x）的图象在点P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））处的切线分别为l1，l2，若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；（2）①若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；②由l1⊥l2知，f′（）f′（c）=﹣1，得到f′（）=﹣，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．解答：解：（1）x≥c时，f（x）=（x﹣c）2，在（c，+∞）递增，x＜c时，f（x）=﹣（x﹣c）2，在（﹣∞，c）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增，a＞0时，g（x）=xlnx在（0，+∞）递增，a=0时，g（x）=0是常函数，a＜0时，g（x）=xlnx在（0，+∞）递减；（2）①当x＞c，c=+1时，f′（x）=，而c=+1＜1，所以当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为f（1）=，所以≥恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，又由c=+1＞0，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．②由l1⊥l2知，f′（）f′（c）=﹣1，而f′（c）=，则f′（）=﹣，若≥c，则f′（）==﹣2c，所以﹣2c=﹣，解得a=，不符合题意；故＜c，则f′（）==﹣+2c=﹣，整理得，c=，由c＞0得，a＜﹣，令=t，则a=﹣，t＞2，所以c==，设g（t）=，则g′（t）=，当2＜t＜2时，g′（t）＜0，g（t）在（2，2）上单调减；当t＞2时，g′（t）＞0，g（t）在（2，+∞）上单调增．所以，函数g（t）的最小值为g（2）=，故实数c的最小值为．点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．四、（附加题共40分）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC 于点E，交AB于点D，点H是线段ED的中点，连接AH并延长PC交于点F．证明：A，E，F，D四点共圆．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连接EF，证明EF∥AB，再证明∠AFE=∠ADE，即可证明A，E，F，D四点共圆．解答：证明：连接EF，则∵直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA∴∠AED=∠ADE，=∵点H是线段ED的中点，∴AF平分∠CAB，∴，∵∠APC的角平分线交AC于点E，∴=∴=，∴EF∥AB，∵AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴∠AEH=∠AFE，∴∠AFE=∠ADE，∴A，E，F，D四点共圆．点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知=为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．考点：二阶行列式与逆矩阵；特征值与特征向量的计算．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（Ⅰ）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法求实数a，λ的值；（Ⅱ）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵．解答：解：（Ⅰ）由=λ得：，∴a=2，λ=3；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=，∴|A|=6，∴A﹣1=…（7分）点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】xx•沈阳二模）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离，即可得到圆C上的点到直线的距离的最小值．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y﹣3=0，ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρcosθ=0，得⊙C的直角坐标方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）因为圆心为C（﹣1，0），所以点C到直线的距离为d==2，所以圆上的点到直线距离的最小值为2﹣1．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】xx秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，求实数x 的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，即为|x+1|+|x﹣1|≤（4m2+）min，运用导数判断右边函数的单调性，进而得到极小值也为最小值，再由解绝对值不等式的方法，即可解得．解答：解：关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，即为|x+1|+|x﹣1|≤（4m2+）min，由于4m2+的导数为8m﹣，当m＞时，导数大于0，函数递增，当0＜m＜时，导数小于0，函数递减，则m=，取得极小值也为最小值，且为3，即有|x+1|+|x﹣1|≤3，当x≥1时，由2x≤3，解得，x，则有1；当x≤﹣1时，由﹣x﹣1+1﹣x≤3，解得，x，则有﹣；当﹣1＜x＜1时，由﹣x﹣1+1﹣x≤3即有0≤3成立，则有﹣1＜x＜1．故实数x的取值范围是．点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，考查导数的运用，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．五、【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°．（1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于，求的值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由余弦定理得AC=，取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD，PC所成角的余弦值．（2）设=λ，0≤λ≤1，由已知得E（0，﹣λ，），由已知条件利用向量法能求出的值．解答：解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°，∴AC==，取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，1，0），D（1，﹣2，0），=（1，﹣3，0），P（0，0，），C（0，﹣1，0），=（0，﹣1，﹣），设异面直线BD，PC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴异面直线BD，PC所成角的余弦值为．（2）设=λ，0≤λ≤1，E（0，b，c），，∴b=﹣λ，c=，E（0，﹣λ，），A（1，0，0），=（﹣1，﹣λ，），。
江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题
（1）由题设条件和正弦定理，整理得 ，得到 ，即可
（2）由余弦定理化简得 ，选①：根据面积公式，得到 ，得出矛盾；选②：因为 ，结合余弦定理，求得 ，进而求得 ，即可求得三角形周长；选③：求得 ，联立 ，解得 的值，即可求解.
【详解】
（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
A．圆M上点到直线 的最小距离为
B．圆M上点到直线 的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为 的点有且仅有2个
D．圆 与圆M有公共点，则a的范围是
12．已知实数a，b，c，d满足 ，其中e是自然对数的底数，则 的值可能是（）
A．7B．8C．9D．10
三、填空题
13．方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是_____.
3．D
【分析】
复数 ，进而得出共轭复数为z.
【详解】
因为复数 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
4．C
【分析】
利用等差数列性质当 时 及前 项和公式得解
【详解】
是等差数列， ， ，
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前 项和公式，属于基础题
5．D
【分析】
根据函数的奇偶性和特值，逐个分析判断，即可得解.
【详解】
对A， ，且 ，故A错；
对B， ，故B错误；
对C，当 ， ，故C错误；
对D， ，
且 ， ， ， ，故D正确，
故选：D.
6．D
【分析】
利用已知条件得到 求出 的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
高三上学期第三次月考数学试题（含答案）考生在温习中多做题是高考数学温习中最重要的局部了，为此查字典数学网整理了2021届高三上学期第三次月考数学试题，请考生及时停止练习。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.不等式(1+x)(1-|x|)0的解集是A. B. C. D.2.等差数列中，，，那么此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.2203.向量，, 那么是与夹角为锐角的A.必要而不充沛条件B.充沛而不用要条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.对一实在数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是A.(-，-2)B.[-2，+)C.[-2,2]D.[0，+)5.命题，假定是真命题，那么实数的取值范围是A. B. C. D.6.设点是函数与的图象的一个交点，那么的值为A. 2B. 2+C. 2+D. 由于不独一，故不确定7.x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是A.RB.C.D.8.圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，那么圆C的方程为A.B.C.D.9.数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是A. B. C. = D. 与n的取值有关10.，是平面内两个相互垂直的单位向量，假定向量满足,那么的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数在区间上的一切零点之和等于A. 2B. 6C. 8D. 1012.函数的周期为4，且事先，其中.假定方程恰有5个实数解，那么的取值范围为A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每题5分。
13.直线ax+y+1=0与连结A(2,3)，B(-3,2)的线段相交，那么a的取值范围是_ _.14.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .15.、满足约束条件，假定目的函数的最大值为7，那么的最小值为。
2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷
2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题1. 若集合A={−2,−1,0,1,2}，集合B={x|y=log2(1−x)}，则A∩B=( )A.{2}B.{1,2}C.{−2,−1,0}D.{−2,−1,0,1}2. 在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60∘，塔基的俯角为45∘，那么这座塔吊的高是( )A.20(1+√33)m B.20(1+√3)m C.10(√6+√2)m D.20(√6+√2)m3. 设a=log123，b=(12)3，c=312，则（）A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c4. 已知命题p:∀x∈R，e x+1e x≥2，则¬p为( )A.∃x∈R，e x+1e x ≥2 B.∃x∈R，e x+1e x<2C.∃x∈R，e x+1e x ≤2 D.∀x∈R，e x+1e x≤25. 函数f(x)=x ln|x||x|的大致图象为( )A. B.C. D.6. 若函数f(x)=sin x⋅ln(mx+√1+4x2)的图象关于y轴对称，则实数m的值为( )A.2B.4C.±2D.±47. 已知向量a→，b→的夹角为π3，且|a→|=2，|b→|=1，则向量a→+2b→与向量a→的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 设函数f(x)=√e x+3x−a．若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)，使得f(f(y0))=y0，则实数a的取值范围是( )A.[1,e+2]B.[e−1−3,1]C.[1,e+1]D.[e−1−3,e+1]二、多选题下列选项中正确的是( )A.不等式a+b≥2√ab恒成立B.存在实数a，使得不等式a+1a≤2成立C.若a，b为正实数，则ba+ab≥2D.若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y≥8已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为2π3，且 f(π4+x)=f(π4−x)，则φ的值可以为( ) A.−π4 B.π4C.−3π4 D.3π4已知函数f (x )=cos (2x +φ)(|φ|<π2)， F (x )=f (x )+√32f ′(x )为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是( ) A.tan φ=√3B.f (x )在[−a,a ]上存在零点，则a 的最小值为π6 C.F (x )在(π4,3π4)上单调递增D.f (x )在(0,π2)有且仅有一个极大值点设函数f(x)={|ln x|,x >0,e x (x +1),x ≤0, 若方程[f(x)]2−af(x)+116=0有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是( ) A.12 B.23C.1D.2三、填空题已知f (x )={x 2,x <02x −2,x ≥0则f(f (−2))=________.已知x ∈R ，条件p:x 2<x ，条件q:1x ≥a(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．若函数f(x)=2x −120x 2(x <0)的零点为x 0，且x 0∈(a, a +1)，a ∈Z ，则a 的值为________.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，且B =π3，若△ABC 不是钝角三角形，则2ac 的取值范围是________． 四、解答题已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ， 在①√3cos C(a cos B +b cos A)=c sin C ， ②a sinA+B 2=c sin A ，③(sin B −sin A)2=sin 2C −sin B sin A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当________时，求sin A ⋅sin B 的最大值．已知二次函数f (x )满足f (x +1)−f (x )=2x +3，且f (x )的图象经过点A (1,−9). (1)求f (x )的解析式；(2)若x ∈[−2,3]，不等式f (x )≤mx 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF // DE ，DE =3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60∘． (1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求二面角F −BE −D 的余弦值．如图，在△ABC 中，∠ABC =90∘，AB =√3，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC =90∘．(1)若PC =√32．求PA ．(2)若∠APB =120∘，求△ABP 的面积S ．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分（即获得−15分）．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．(2)玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了．请你分析得分减少的原因．已知函数f(x)=23x3−2x2+43，g(x)=e x−ax(x∈R).(1)若f(x)在区间[a−5,a−1]上的最大值为43，求实数a的取值范围；(2)设ℎ(x)=32f(x)−x+1，F(x)={ℎ(x),ℎ(x)≤g(x)，g(x),ℎ(x)>g(x)，记x1,x2,⋯x n为F(x)从小到大的零点，当a≥e3时，讨论F(x)的零点个数及大小．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算【解析】由对数的真数大于0，求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.【解答】解：∵集合A={−2,−1,0,1,2}，集合B={x|y=log2(1−x)}={x|x<1}，则A∩B={−2,−1,0}.故选C.2.【答案】B【考点】解三角形【解析】由题意，AB=20米，∠DAE=60∘，∠DAC=45∘，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．【解答】解：由题意，AD=BC=20m，∠CDE=60∘，∠BDC=45∘，又∵在△BDC中，∠BCD=90∘，∴CD=BC=AD=20m，∵在△CDE中，∠ECD=90∘，∠CDE=60∘，CD=20m，∴CE=20√3m，∵BC=20m，∴塔高为BC+CE=20+20√3=20(√3+1)m.故选B．3.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】根据a=log123<0，b=18，c=√3>1，从而得出a、b、c的大小关系．【解答】解：由于a=log123<log121=0，b=18，c=√3>1，可得c>b>a，故选A．4.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】本题考查了全称命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题解得即可 . 【解答】解∶∵全称命题的否定是特称命题，∴¬p:∃x∈R，e x+1e<2，故选B .5.【答案】A【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)=x ln|x||x|的定义域为(−∞，0)∪(0+∞)，∴排除D；∵f(1)=1ln|1|1=0，f(2)=2ln|2|2>0，∴排除B；∵f(−x)=−x ln|x||x|=−f(x)，为奇函数，关于原点对称，∴排除C.故选A.6.【答案】C【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的图象关于y轴对称，∴函数f(x)为偶函数，又∵ m(x)=sin x 为奇函数，∴ g(x)=ln (mx +√1+4x 2)为奇函数， 而g(−x)=ln (−mx +√1+4x 2)，∴ g(−x)+g(x)=ln (−mx +√1+4x 2)+ln (mx +√1+4x 2)=0， 即 ln (1+4x 2−m 2x 2)=0， 解得：m =±2. 故选C . 7.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 数量积表示两个向量的夹角 向量的模 【解析】本题首先通过题目所给两个向量的夹角与模长求出a →⋅(a →+2b →)值，同时解出其模长，最后根据向量的数量积公式求出夹角即可 【解答】解：设向量a →+2b →与向量a →的夹角为θ， 因为向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|=2， |b →|=1， 所以(a →+2b →)⋅a →=(a →)2+2a →⋅b →=|a →|2+2|a →||b →|cos π3=4+2×2×1×12=6，又|a →+2b →|=√(a →+2b →)2=√(a →)2+4a →⋅b →+(2b →)2=√4+4×2×1×12+4=2√3， 所以cos θ=(a →+2b →)⋅a→|a →+2b →||a →|=2√3×2=√32. 又因为θ∈[0,π]， 所以θ=π6.故选A . 8.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】将问题转化为方程f (x )=x ，x ∈[0,1]有解，两边平方转化为x 2=e x +2x −a 在x ∈[0,1]有解，分离参数，令g (x )=e x +2x −x 2，利用导数求出g (x )的值域即可求解． 【解答】解：由题意得，y 0=sin x 0， ∴ y 0∈[−1,1].∵ f (x )=√e x +3x −a ， ∴ f (x )≥0. 令f(y 0)=t ，则f(f (y 0))=f(t)=y 0，即存在y 0∈[0,1]，使得(y 0,t)，(t,y 0)都在f(x)图象上，即f (x )图象在{0≤x ≤1，0≤y ≤1区域内，存在关于直线y =x 对称的两点或与直线y =x 有交点， 由f (x )单调递增，得图象上不可能存在关于y =x 对称的两点， 若y 0<t ，则f (y 0)<f (t )与t <y 0矛盾，∴ 一定是f (x )图象与直线y =x 有交点，且交点在[0,1]上， 则问题等价于f (x )=x 在[0,1]上有解， 即x 2=e x +3x −a 在[0,1]上有解， 且e x +3x −a ≥0在[0,1]上成立， 分离参数可得a =e x +3x −x 2. 令g (x )=e x +3x −x 2，x ∈[0,1]， 则g ′(x )=e x +3−2x >0，x ∈[0,1]， 所以函数g (x )在[0,1]上单调递增，所以1=g (0)≤g (x )≤g (1)=e +2， 所以1≤a ≤e +2. 故选A .二、多选题【答案】 B,C,D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断． 【解答】解：不等式a+b≥2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a+1a≤2成立，故B正确；a>0，b>0，故ba >0，ab>0，由基本不等式可知C正确；对于2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx +xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当4yx =xy，即x=12，y=14时取等号，故D正确.故选BCD.【答案】A,D【考点】正弦函数的周期性正弦函数的对称性【解析】【解答】解：由题意知，ω=6π2π=3，因为f(π4+x)=f(π4−x)，所以直线x=π4为函数f(x)图象的一条对称轴，所以3×π4+φ=π2+kπ，k∈Z.解得：φ=−π4+kπ，k∈Z. 因为|φ|<π，所以φ=−π4或φ=3π4．故选AD.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点奇函数正弦函数的单调性【解析】结合导数的运算法则和辅助角公式可得F(x)=2cos(2x+φ+π3)，由F(x)为奇函数，可推出φ=π6，从而判断；由可知，导函数解析式，根据正弦函数的图象与性质，可确定f(x)在(0,π2)上与0的大小关系，从而得f(x)的单调性与极值情况，由此判断；令f(x)=0，求出x的值后即可判断极大值点；根据正弦函数的单调性确定F(x)=−2sin2x在(π4,3π4)上单调情况，由此判断单调性．【解答】解：对于A，∵ f(x)=cos(2x+φ)，f′(x)=−2sin(2x+φ)，∴F(x)=f(x)+√32f′(x)=cos(2x+φ)−√3sin(2x+φ)=2cos(2x+φ+π3)，∵F(x)为奇函数，∴F(0)=0，即cos(φ+π3)=0，∴φ=π6+kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π6，tanφ=tanπ6=√33，故A错误；对于D，由A可知，f′(x)=−2sin(2x+π6),当x∈(0,5π12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(5π12,π2)时，f′(x)>0, f(x)单调递增，∴f(x)在(0,π2)上有一个极小值点，没有极大值点，故D错误；对于B，令f(x)=cos(2x+π6)=0，得x=kπ2+π6,k∈Z，若f(x)在[−a,a]上存在零点，则a>0且a的最小值为π6，故B正确；对于C，F(x)=−2sin2x，F(x)在(π4,3π4)上单调递增，故C正确.故选BC.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点与方程根的关系【解析】由已知结合导数分析函数的单调性及性质，作出函数的大致图象，结合函数图象把原问题转化为函数图象交点个数问题即可求解． 【解答】解：当x ≤0时，f(x)=(x +1)e x ， 则f′(x)=(x +2)e x .当x <−2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x >2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 故当x =−2时，函数取得极小值f(−2)=−1e 2. 其函数大致图象如图所示：由图象可知，0<f(x)≤1时，有3个不同的x 与f(x)对应，设t =f(x)， 则方程[f(x)]2−af(x)+116=0有6个不同的实数根， 所以t 2−at +116=0在t ∈(0, 1]上有2个不等的实数根， 设g(t)=t 2−at +116， 则{g(0)=116>0，g(1)=1716−a ≥0，Δ=a 2−14>0，0<12a <1，解可得12<a ≤1716，所以根据选项分析a 的可取值是23，1． 故选BC . 三、填空题 【答案】 14【考点】 函数的求值 【解析】【解答】解：因为f (x )={x 2, x <02x −2, x ≥0所以f (−2)=(−2)2=4，则f(f (−2))=f (4)=24−2=16−2=14． 故答案为：14． 【答案】 (0, 1] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 集合的包含关系判断及应用【解析】先解出集合命题所对应的集合，再根据条件分析集合包含关系，进行求解． 【解答】解：因为x ∈R ，条件p:x 2<x ， 所以p 对应的集合为A =(0, 1)； 因为条件q:1x ≥a(a >0)，所以q 对应的集合为B =(0, 1a]；因为p 是q 的充分不必要条件， 所以A 包含于B ， 所以1≤1a ，所以0<a ≤1. 故答案为：(0, 1]. 【答案】 −3【考点】函数零点的判定定理 【解析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 【解答】解：由f(−1)=12−120>0，f(0)=1>0，f(−2)=14−15>0，f(−3)=18−920<0，及零点存在定理知f(x)的零点在区间(−3, −2)上， ∴ a =−3. 故答案为：−3. 【答案】 [1, 4] 【考点】 余弦定理 【解析】先求得C 的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简2ac 为1+√3cos Csin C ，由角C 越大，2a c 越小，求得2a c的取值范围．【解答】解：三角形ABC中，因为B=π3，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=2π3，可得π6≤C≤π2．利用正弦定理可得2ac =2sin Asin C=2sin(B+C)sin C=sin C+√3cos Csin C=1+√3cos Csin C =1+√3tan C，显然，角C越大，2ac越小．当C=π2时，cos C=0，则2ac=1；当π6≤C<π2时，2ac=1+√3tan C∈(1, 4]．综上可得，2ac∈[1, 4].故答案为：[1, 4]．四、解答题【答案】解：若选①，则由正弦定理得，√3cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C sin C，即√3cos C sin(A+B)=sin C sin C，因为sin C≠0，所以√3=tan C.又C∈(0, π)，所以C=π3.若选②，则由正弦定理知，sin A sinπ−C2=sin C sin A，因为sin A≠0，所以cos C2=sin C=2sin C2cos C2.因为cos C2≠0，所以sin C2=12.又C∈(0, π)，所以C2∈(0, π2)，所以C2=π6，所以C=π3.若选③，则由正弦定理得，(b−a)2=c2−ab，化简得a2+b2−c2=ab，所以cos C=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，因为C∈(0, π)，所以C=π3.所以A+B=2π3，所以B=2π3−A，且A∈(0, 2π3)，所以sin A⋅sin B=sin A⋅sin(2π3−A)=sin A⋅(√32cos A+12sin A)=√32sin A cos A+12sin2A=√34sin2A+14(1−cos2A)=12sin(2A−π6)+14.又A∈(0, 2π3)，所以2A−π6∈(−π6, 7π6)，所以当A=π3时，sin A⋅sin B取得最大值为34．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数基本关系的运用【解析】选①或选②或选③，利用正弦定理求得C=π3，再利用三角恒等变换求得sin A sin B的最大值．【解答】解：若选①，则由正弦定理得，√3cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C sin C，即√3cos C sin(A+B)=sin C sin C，因为sin C≠0，所以√3=tan C.又C∈(0, π)，所以C=π3.若选②，则由正弦定理知，sin A sinπ−C2=sin C sin A，因为sin A≠0，所以cos C2=sin C=2sin C2cos C2.因为cos C2≠0，所以sin C2=12.又C∈(0, π)，所以C2∈(0, π2)，所以C2=π6，所以C=π3.若选③，则由正弦定理得，(b−a)2=c2−ab，化简得a2+b2−c2=ab，所以cos C=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12，因为C∈(0, π)，所以C=π3.所以A+B=2π3，所以B=2π3−A，且A∈(0, 2π3)，所以sin A⋅sin B=sin A⋅sin(2π3−A)=sin A⋅(√32cos A+12sin A)=√32sin A cos A+12sin2A=√34sin2A+14(1−cos2A)=12sin(2A−π6)+14.又A∈(0, 2π3)，所以2A−π6∈(−π6, 7π6)，所以当A=π3时，sin A⋅sin B取得最大值为34．【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c．因为f(x+1)−f(x)=2x+3，所以2ax+a+b=2x+3，得a=1，b=2．因为f(x)的图象经过点A(1,−9)，所以f(1)=1+2+c=−9，即c=−12．故f(x)=x2+2x−12.(2)设g(x)=f(x)−mx=x2+(2−m)x−12．因为当x∈[−2,3]时，不等式f(x)≤mx恒成立，所以{g(−2)≤0,g(3)≤0,即{4−2(2−m)−12≤0,9+3(2−m)−12≤0,解得1≤m≤6．故m的取值范围是[1,6]．【考点】函数恒成立问题函数解析式的求解及常用方法【解析】无无【解答】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c．因为f(x+1)−f(x)=2x+3，所以2ax+a+b=2x+3，得a=1，b=2．因为f(x)的图象经过点A(1,−9)，所以f(1)=1+2+c=−9，即c=−12．故f(x)=x2+2x−12.(2)设g(x)=f(x)−mx=x2+(2−m)x−12．因为当x∈[−2,3]时，不等式f(x)≤mx恒成立，所以{g(−2)≤0,g(3)≤0,即{4−2(2−m)−12≤0,9+3(2−m)−12≤0,解得1≤m≤6．故m的取值范围是[1,6]．【答案】(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D,从而AC⊥平面BDE．(2)解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D−xyz如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBE =60∘， 所以ED DB=√3．由AD =3，可知DE =3√6，AF =√6． 则A(3, 0, 0)，F(3, 0, √6)，E(0, 0, 3√6)， B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，所以BF →=(0, −3, √6)，EF →=(3, 0, −2√6)． 设平面BEF 的法向量为m →=(x, y, z)， 则{m →⋅BF →=0，m →⋅EF →=0，即{−3y +√6z =0，3x −2√6z =0，令z =√6，则m →=(4, 2, √6). 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →=(3, −3, 0)， 所以cos <m →，CA →>=m →⋅CA→|m →||CA →|=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313. 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定【解析】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE ； （2）建立空间直角坐标系D −xyz ，分别求出平面BEF 的法向量为m →和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ． 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 因为DE ∩BD =D , 从而AC ⊥平面BDE ．(2)解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBE =60∘， 所以EDDB =√3．由AD =3，可知DE =3√6，AF =√6． 则A(3, 0, 0)，F(3, 0, √6)，E(0, 0, 3√6)， B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，所以BF →=(0, −3, √6)，EF →=(3, 0, −2√6)． 设平面BEF 的法向量为m →=(x, y, z)， 则{m →⋅BF →=0，m →⋅EF →=0，即{−3y +√6z =0，3x −2√6z =0，令z =√6，则m →=(4, 2, √6).因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →=(3, −3, 0)， 所以cos <m →，CA →>=m →⋅CA→|m →||CA →|=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313.【答案】解：(1)在△ABC 中，∠ABC =90∘，AB =√3，BC =1， P 为△ABC 内一点，∠BPC =90∘，PC =√32， 所以BP =√BC 2−PC 2=(√32)=12，△CBP 中，BP =12CB ，所以∠CBP =60∘， ∠PBA =∠ABC −∠CBP =90∘−60∘=30∘，所以△ABP 中，由余弦定理得， AP =√AB 2+BP 2−2AB ⋅BP ⋅cos ∠PBA =42√2=√72. (2)∵ ∠APB =120∘，可设∠PBA =α，α∈(0,π3)， 可得∠PBC =90∘−α，∠PAB =180∘−∠APB −α=60∘−α. 在Rt △BPC 中，PB =BC sin α=sin α， △PBA 中，由正弦定理得ABsin 120∘=PBsin (60∘−α)， 即2=sin αsin (60∘−α)，整理可得sin α=√3cos α−sin α， 所以tan α=√32， sin α=√37，PB =sin α=√37， 所以△ABP 的面积S =12AB ⋅PB ⋅sin α =12×√3√3√7√3√7=3√314． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】（1）在Rt △BPC 中利用三角函数的定义，算出sin ∠PBC =√32，可得∠PBC =60∘，从而BP =BC cos 60∘=12．然后在△APB 中算出∠PBA =30∘，利用余弦定理即可算出PA 的大小．（2）设∠PBA =α，从而算出PB =sin α，∠PAB =30∘−α．在△APB 中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sin α的值，得到PB 长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP 的面积S ． 【解答】解：(1)在△ABC 中，∠ABC =90∘，AB =√3，BC =1， P 为△ABC 内一点，∠BPC =90∘，PC =√32， 所以BP =√BC 2−PC 2=√12−(√32)2=12，△CBP 中，BP =12CB ，所以∠CBP =60∘， ∠PBA =∠ABC −∠CBP =90∘−60∘=30∘， 所以△ABP 中，由余弦定理得， AP =√AB 2+BP 2−2AB ⋅BP ⋅cos ∠PBA =√3+14−2×√3×12×√32=√72. (2)∵ ∠APB =120∘，可设∠PBA =α，α∈(0,π3)， 可得∠PBC =90∘−α，∠PAB =180∘−∠APB −α=60∘−α. 在Rt △BPC 中，PB =BC sin α=sin α， △PBA 中，由正弦定理得ABsin 120∘=PBsin (60∘−α)， 即2=sin αsin (60∘−α)，整理可得sin α=√3cos α−sin α， 所以tan α=√32， sin α=√3√7，PB =sin α=√3√7所以△ABP 的面积S =12AB ⋅PB ⋅sin α=12×√3√37√37=3√314． 【答案】解：(1)X 可能的取值为1，2，5，−15. 根据题意，有 P(X =1)=C 31×(12)1×(1−12)2=38，P(X =2)=C 32×(12)2×(1−12)1=38， P (X =5)=C 33×(12)3×(1−12)0=18 ，P (X =−15)=C 30×(12)0×(1−12)3=18.所以X 的分布列为：”为事件A i (i =1,2,3)，则P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X =−15)=18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为： 1−P(A 1A 2A 3)=1−(18)3=1−1512=511512. ∴ 玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512．(3)由(1)知，随机变量X 的数学期望为： E(X)=1×38+2×38+5×18−15×18=−18， 这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】【解答】解：(1)X 可能的取值为1，2，5，−15. 根据题意，有 P(X =1)=C 31×(12)1×(1−12)2=38， P(X =2)=C 32×(12)2×(1−12)1=38，P (X =5)=C 33×(12)3×(1−12)0=18 ， P (X =−15)=C 30×(12)0×(1−12)3=18.所以X 的分布列为：”为事件A i (i =1,2,3)， 则P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X =−15)=18. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为： 1−P(A 1A 2A 3)=1−(18)3=1−1512=511512.∴ 玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512．(3)由(1)知，随机变量X 的数学期望为：E(X)=1×38+2×38+5×18−15×18=−18，这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．【答案】解：(1)∵ f ′(x )=2x 2−4x =2x (x −2)，∴ f (x )在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， ∴ f (x )的极大值为f (0)=43，f (x )的极小值为f (2)=−43， 又∵ f (3)=43为f (x )在区间上的最大值， ∴ {a −5≤0，0≤a −1≤3，∴ 1≤a ≤4．(2)ℎ(x )=x 3−3x 2−x +3=(x +1)(x −1)(x −3)， 当x ≤0时， g (x )=e x −ax >0， 此时F (x )=ℎ(x )，∴ F (x )在(−∞,0]有一个零点， x 1=−1； 当x >0时，g ′(x )=e x −a ，∴ g (x )在(0,ln a )上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增， 又∵ a ≥e 3， ∴ ln a ≥3，由于g (0)=1>0,g (1)=e −a <0， ∴ F (x )在(0,1)上有一个零点x 2； 又∵ g (ln a )=a (1−ln a )<0， 令k (x )=x −ln x (x ≥e 3)， 则k ′(x )=x−1x>0，∴ k (x )在[e 3,+∞)上单调递增，∴ k (x )=x −ln x ≥k (e 3)=e 3−3>0 ∴ a >ln a,g (a )=e a −a 2， 再令φ(x )=e x −x 2(x ≥2)，则φ′(x )=e x −2x,φ′′(x )=e x −2>0，∴ φ′(x )在[2,+∞)单调递增，从而φ′(x )>φ(2)=e 2−4>0， ∴ φ(x )在[2,+∞)上单调递增， φ(x )>φ(2)=e 2−4>0， 从而g (a )>0，∴ F (x )在(ln a,a )上有一个零点x 3； 综上所述：当a ≥e 3时，F (x )有三个零点：x 1=−1,0<x 2<1,ln a <x 3<a . 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：(1)∵ f ′(x )=2x 2−4x =2x (x −2)，∴ f (x )在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， ∴ f (x )的极大值为f (0)=43，f (x )的极小值为f (2)=−43， 又∵ f (3)=43为f (x )在区间上的最大值， ∴ {a −5≤0，0≤a −1≤3，∴ 1≤a ≤4．(2)ℎ(x )=x 3−3x 2−x +3=(x +1)(x −1)(x −3)， 当x ≤0时， g (x )=e x −ax >0， 此时F (x )=ℎ(x )，∴ F (x )在(−∞,0]有一个零点， x 1=−1； 当x >0时，g ′(x )=e x −a ，∴ g (x )在(0,ln a )上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增， 又∵ a ≥e 3， ∴ ln a ≥3，由于g (0)=1>0,g (1)=e −a <0， ∴ F (x )在(0,1)上有一个零点x 2； 又∵ g (ln a )=a (1−ln a )<0， 令k (x )=x −ln x (x ≥e 3)， 则k ′(x )=x−1x>0，∴ k (x )在[e 3,+∞)上单调递增，∴ k (x )=x −ln x ≥k (e 3)=e 3−3>0 ∴ a >ln a,g (a )=e a −a 2， 再令φ(x )=e x −x 2(x ≥2)，则φ′(x )=e x −2x,φ′′(x )=e x −2>0，∴ φ′(x )在[2,+∞)单调递增，从而φ′(x )>φ(2)=e 2−4>0， ∴ φ(x )在[2,+∞)上单调递增， φ(x )>φ(2)=e 2−4>0， 从而g (a )>0，∴ F (x )在(ln a,a )上有一个零点x 3； 综上所述：当a ≥e 3时，F (x )有三个零点：x 1=−1,0<x 2<1,ln a <x 3<a .。
仪征市第二中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
仪征市第二中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A ．B ．8C ．D ．2． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ）（A ） 13 （ B ） 49 （C ） 23（D ） 894． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣105．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（）A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）7．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4}C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．39．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b210．已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，，则有（）A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=φ12．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（ ）二、填空题13．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．15．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ．16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ．17．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．18．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.三、解答题19．在正方体1111D ABC A B C D -中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点.（1）求证：EG 平面11BDD B ；（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]20．若已知，求sinx 的值．21．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．（Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．22．在数列中，，，其中，． （Ⅰ）当时，求的值； （Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．23．已知：函数f （x ）=log2，g （x ）=2ax+1﹣a ，又h （x ）=f （x ）+g （x ）．（1）当a=1时，求证：h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h （x ）有两个零点；（2）若关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根，求a 的取值范围．24．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2ABC π∠=，AD =33AB DC ==．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．A BCD P。
江苏省仪征市第二中学高二数学第三次月考试卷(文科)苏教版
江苏省仪征市第二中学高二数学第三次月考试卷（文科）一、选择题（5分/题，共50分）1.抛物线y=4x2的准线方程为（A x=—1B 、y=—11x=16、y=2 •若抛物线y 2 px的焦点与椭圆2y21的右焦点重合，则p的值为（）3曲线y4x 在点1, 3处的切线方程是7x 4 7x4.方程2x2 5x 2 0的两个根可分别作为（A、一椭圆和一双曲线的离心率C、一椭圆和一抛物线的离心率若曲线yA 4xE、D、5.的一条切线I与直线x 4y3 B 、x 4y 5 0两抛物线的离心率两椭圆的离心率8 0垂直，则IC、4x y 3l的方程为（）0 D 、x 4y 3 0 6. 双曲线mx‘的虚轴长是实轴长的2倍，则14已知函数f （x）的导函数f'（x）的图像如左图所示,A、E、C、4 D、14那么函数P到定点F（1,0）的距离比7.图P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为（）&平面上的动点f （x）的图像最有可能的是右=2x y 2=2x2=4x 2 y =4x9、方程x3—6X2+9X—10=0的实根个数是A 3B 、2 Cf (x )在x =3处取得极值，求 319、(14分)设函数f x x f (x )在［—4, 4］上的最大值；2bx cx(x R)，已知 g(x)(i)求b 、c 的值。
(n)求g(x)的单调区间与极值。
迹是曲线E ，直线y kx 1与曲线E 交于代B 两点，求k 的取值范围；21、(14分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：1yx 3 x 8(0 x 120).已知甲、乙两地相距 100千米。
128000 80(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?10.已知双曲线 ◎3 二、填空题： 11.如果方程 2 2扌一y2 = 1( a > 2)的两条渐近线的夹角为 号，则双曲线的离心率为 竽 C 2 (本大题共6小题，每小题5分，共30分) x 2+ky 2=2表示椭圆，那么实数 k 的取值范围是 B 、 12.已知直线 2x y 1 0与抛物线y ax 相切，则a 13•若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的 3倍，则它的离心率 e 的范围是 14•若直线y=x 是曲线y=x 3 3x 2 ax 的切线，贝U a= ____________________ 2 15.若圆锥曲线丄一 k 2 2 1的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是 k 5 16.函数 f (x )= cosx(sinx+1)+lnx, 贝U f ' (x )= __________ 三、解答题：(本大题共6小题，共80分) 2 217、( 12分)如图，F 为双曲线c ：笃爲1 a 0,b 0 a b 的右焦点。
江苏省仪征市第二中学2020-2021学年上学期高三第一次月考数学试题
江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期第一次月考数学试卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=1,3a A ，{}a,b B =，若13A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．11,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1b,1,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．给出下列各函数值：①()sin 1000-︒；②()cos 2200-︒；③()tan 10-；④7sincos 1017tan9πππ；其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④3．设x ∈R ，则“12x +＜”是“lg 0x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x>y>0，1x y +=，若，1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<b<a5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xπ≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数）A ．1089B ．1086C ．434D ．1456．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在3x y =，3log y x =，2y x =，1y x=四个函数中，当1201x x <<<时，使()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当x>1时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ） A ．（1，2）B ．（-∞，0）C ．（0，2）D ．（-∞，0）（1，2）二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．Keep 是一款具有社交属性的健身APP ，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步里程最小值出现在2月B ．月跑步里程逐月增加C ．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 10．下列选项中正确的是（ ）A ．不等式a b +≥B ．存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立 C ．若a 、b 为正实数，则2b a a b+≥ D ．若正实数x ，y 满足x+2y=1，则218x y+≥ 11．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm ）服从正态分布，其密度曲线函数为()()2100200x f x --=，(),x ∈-∞+∞，则下列说法正确的是（ ）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm ）的概率一样大 12．已知函数()21f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（ ） A ．()f x ，()g x 在点（1，0）处有相同的切线 B ．对于任意x>0，()()f x g x ≥恒成立 C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点 D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点 三、填空题：13．命题p ：“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定p ⌝是________． 14．已知()f x 为偶函数，当x<0时，()()ln f x x x-=，则曲线()y f x =在点（1，0）处的切线方程是________．15．已知lg3a =，则lg30=________（用a 表示）；100a =________．（用整数值表示）．16．如图，A 、B 是直线l 上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知定义域为R 的函数，()()1x x a k a f x -=--（a>0且a ≠1）是奇函数． （1）求实数k 的值：（2）若f （1）<0，判断函数单调性，并求不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立时t 的取值范围； 18．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}22440B x x x m =--+≤（1）求集合A 、B ；（2）当m>0时，若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条作，求实数m 的取值范围． 19．为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是y bx a =+其中，()()()()n11n22211nii i ii i niii i xxy yx y nx yb xxxn x====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．20．在三棱锥P-ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB=2，BC =，E 、G 分别为PC 、PA 的中点．（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，12AN NC =，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值． 21．某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值 22．设函数()()22ln f x x a x a x =--- （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求正整数a 的最小值江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期第一次月考答案1C 2C 3B 4C 5B 6D 7B 8D 9ACD 10BCD 11AC 12ABC 132,0x R x x π∃∈-< 14.1y x =-+15．1,9a + (对一问给3分，对两问给5分) 16.0,22π⎛⎤-⎥⎝⎦17．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴0(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--= …… 2分 ∴2k =. …… 4分（2）()(>01)x xf x a a a a -=-≠且， ……6分 而xy a =在R 上单调递减，xy a -=在R 上单调递增， 故判断()xxf x a a-=-在R 上单调递减， (8)分不等式化为2()(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-， 2(1)40x t x ∴+-+>恒成立，2(1)160t ∴∆=--<，解得35t -<<. ……12分18.解：（1）由24120x x --≤，得26x -≤≤. 故集合{|26}A x x =-≤≤……2分 由2244=0x x m --+，得1=2+x m ，2=2x m -. 当0m时，22,m m -<+由22440x x m --+≤得22,m x m -≤≤+ 故集合{|22}B x m x m .=-≤≤+ ………4分 当0m时，22,m m ->+由22440x x m --+≤得：22,m x m +≤≤-故集合{|2+2}B x m x m .=≤≤- ………6分 当=0m 时，由2440x x -+≤得2x故集合{}2B x x .== ………8分10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a aa f 且又(2)x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，[2,6]∴-是[2,2]m m -+的真子集， ………………………10分则有222226m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥， …………………………12分又当4m =时，[2,2][2,6]m m -+=-，不合题意，……………………13分∴实数m 的取值范围为(4,)+∞. ………………………14分19，答案20. 解:（1）MN 与平面1D CE 平行. ………1分 证明如下：分别在平面AE D 1和平面BCE 内作AE MG //交E D 1于点G ，//NH BC 交CE 于点H ，连接GH .NH MG BC AE //,//∴ .设=(022)DM EN x x在1Rt MGD ∆中，145D MG ︒∠=, 则x GE x MG 222,22-=∴=， 同理可求x NH 22=，NH MG =∴， 即四边形MNHG 是平行四边形. ..............3分GH MN //∴.EC D GH EC D MN 11,⊂⊄ EC D MN 1//∴........4分（2）证明： 平面⊥AE D 1平面ABCE ，AE E D ⊥1，∴CE E D ⊥1.................5分 在1Rt D EC ∆中，x EH x GE 22222=-=， 2)2(21)222(222+-=+-=∴x x x GH ）（220<<x ..........................7分 当2=x 时，min2MN .此时N M 、分别是1AD 和BE 的中点...................8分（3）以E 为坐标原点，分别以1ED EC EA 、、所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意知，)0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(B A E ，)2,0,0(),0,2,0(1D C ，)0,1,1(),1,0,1(N M .11(1,0,1),(1,1,2),D M D N ∴=-=-),0,1,1(),1,0,1(==∴...................10分设),,(111z y x m =是平面MN D 1的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011D M D m 可得⎩⎨⎧=-+=-02011111z y x z x .取11=z ，可得)1,1,1(=................11分设),,(222z y x n =是平面EMN 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EM n 可得⎩⎨⎧=+=+002222y x z x .取12=z ，可得)1,1,1(-=.......................12分1cos ,3||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅，∴平面MN D 1与平面EMN 所成角（锐角）的余弦值31. ......................14分 21.解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分（2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x=-+≤-=-⨯= 当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米..………………………………………14分22.解:（1）22(2)(2)(1)()2(2)==(0)a x a x a x a x f x x a x x x x----+'=--->....2分 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增， 所以，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；..............4分当0a 时，由()0f x '>，得2a x；由()0f x '<，得02a x . 所以，函数()f x 的单调增区间为(,)2a +∞，单调减区间为(0)2a，. ..............6分（2）由（1）知：如果函数()f x 有两个零点，则0a ，且()02af ，即244ln 02a a a a ，即：4ln 402a a +->，...........................................8分令()4ln 4,2a h a a =+- 可知()h a 在区间(0,)+∞内为增函数，且(2)20,h =-<381(3)4ln 1ln 10,216h =-=-> .....................................................12分 所以存在00(2,3),()0,a h a ∈=当0a a 时，()0h a ；当00a a 时，()0h a . 所以，满足条件的最小正整数 3.a.....................................................14分。
江苏省扬州市仪征第二高级中学2020年高三数学理模拟试题含解析
江苏省扬州市仪征第二高级中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的展开式中的系数为，则的值等于（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，则复数z所对应的点在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（）参考答案：C略4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点.若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中平面,所以,取AC中点E, 取AE中点O,则,取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q从而平面,四边形为等腰梯形，周长为，选A.【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.5. 已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是A． B．C． D．参考答案：D6. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C略7. 已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（?R A）∩B=（）A．（0，3）B．（0，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可的结论．【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），∴（?R A）=[﹣1，3）B={x|log2x＜2}，∴，∴B=（0，4），∴（?R A）∩B=（0，3）．故选：A．8. 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3<k<－1或1<k<3C．－2<k<2D．不存在这样的实数参考答案：B 9. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为()A．B．C．D．参考答案：D10. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：C试题分析：因该函数的对称轴,结合二次函数的图象可知当,即时,单调递增,应选C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴放在的左边而得,而得的答案.这是极其容易出现的错误之一.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）参考答案：②③试题分析：①错：②对：如；③对；；④错；，因为恒成立，故.故答案为②③.考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.12. 已知实数x，y满足不等式组，则的最大值是. 参考答案：12 作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.13. 已知，则______.参考答案：10【分析】将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值. 【详解】，其通项公式为，故，所以.故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14. 已知10a=5，b=lg2，则a+b= ．参考答案：1【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化．【专题】函数的性质及应用．【分析】由10a=5，得到a=lg5，然后利用对数的运算法则进行求值．【解答】解：∵10a=5，∴a=lg5，∴a+b=lg5+lg2=lg10=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算法则，比较基础． 15. 已知直线ax+by ﹣1=0（ab ＞0）经过圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，则最小值是 ．参考答案：9【考点】直线与圆相交的性质；基本不等式．【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，可得a+2b=1（a ，b ＞0），即有=（）×1=（）（a+2b ）=5++，运用基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心为（1，2）， 由题意可得a+2b=1（a ，b ＞0）， 则=（）×1=（）（a+2b ）=5++≥5+4=9．当且仅当a=b=时，取得最小值9． 故答案为：9． 16. 已知在中,,,，且是的外心，则，.参考答案：2，17. 已知：点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则||·cos ∠AOP （Ｏ为坐标原点）的最大值是 .参考答案： 5 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年第二学期扬州市仪征市实验中学初二数学三月月考试题及解析
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
22.为了解某区初中生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示不完整的统计图．
（1）
（2）
20.正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）点B1的坐标为，点C2的坐标为．
21.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
C.神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D.了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义，概率的定义和调查的方法及使用情况解题即可．
【解答】A项概率是指事件发生的几率，并不是说10%就一定是十张中必有一张，故此项错误，
B项该事件属于随机事件，故此项错误，
C项发射飞船应该对零部件进行全面检查，故此项错误，
2.今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是( )
A.这1000名考生是总体的一个样本B.近4万名考生是总体
江苏扬州仪征市第二中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学试卷
仪征市第二中学高二第二学期月考数学试卷2021.5.25一、单项选择题1. 2243A C -的值为（ ）A. 3B. 9C. 12D. 152. 下列结论中正确的是（ ）A. 若2ln 2y x =+，则122y x '=+B. 若()221y x =+，则()2321y x '=+C. 若2x y x e =，则2x y xe '=D. 若ln x y x =，则21ln xy x -'= 3. 将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ） A. 23AB. 23CC. 23D. 324. 若复数z 满足()386z i i -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 1B. 3C. －1D. －35. 若某地区刮风的概率为215，下雨的概率为415，即刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.12B.34C.38D.82256. 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门.小明从10门课程中任选3门，则出现艺术类课程的概率为（ ） A.56B.12C.310D.157. 某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（ ） A 24种B. 30种C. 48种D. 60种8. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,4,5B =，从集合A 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a 表示，从集合B 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b 表示，记X b a =-，则随机变量X 的期望为（ ）A.134B.154C. 3D. 4二、多项选择题9. 已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数34z i =+的模5z = B. 若复数34z i =+，则z （即复数z共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C. 若复数()()2234224m m m m +-+--i纯虚数，则1m =或4m =-D. 对任意的复数z ，都有20z10. 关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中错误的是（ ） A. 展开式中二项式系数之和为32B. 展开式中各项系数之和为1C. 展开式中二项式系数最大的项为第3项D. 展开式中系数最大的项为第4项11. 已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p 在()0,1内增大时，下列选项中正确的是（ ） A. ()()E E ξη= B. ()()V V ξη=C. ()E ξ增大D. ()V η先增大后减小12. 已知函数()xf x xe =，若120x x <<，则下列选项中正确的是（ ） A. ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦B. ()()1221x f x x f x >C. ()()121f x f x e-<D. ()()1221f x f x x x -<-三、填空题13. 若随机变量()2~2,3X N ，且()0.20P X a <=，则(24)P X a <<-=______.14. 种植某种树苗，成活率为23，现种植这种树苗4种，则恰好成活3棵的概率为______. 15. 如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.16. 若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为______.四、解答题17. 已知()2*2x n N x ⎛+∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21， （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项.18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++在点()1,3P 处的切线方程为3y x =，且函数()f x 在2x =-处取得极值.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]3,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值.19. 新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表： 线上学习前成绩x1201101009080线上学习后成绩y145 130 120 105100（1）求y 关于x 的线性回归方程；参考公式：在线性回归方程y bx a =+，()()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x====---==--∑∑∑∑，a y bx =-（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？满意人数不满意人数合计 男生 女生 合计参考公式和数据：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P x k k ≥20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，AC BD O ⋂=，PAC 为正三角形，2AC =.（1）求直线PA 与平面PBD 所成角的大小；（2）若30BPO ∠=︒，求二面角A PB D --的正切值.21. 某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，己知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且2361σ=.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下： ①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时“花”掉的分数为()0.21,2,k k n =； ③每答对一题得2分，答错得0分；④答完n 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n 为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？ 参考数据：若()2~,Z N μσ，则() 6.827P Z μσμσ-<<+≈，()220.9545P Z μσμσ-<<+≈，()330.9973P Z μσμσ-<<+≈22. 已知函数()ln af x x bx x=++（其中a ，b 为参数）. （1）若0b =，求函数()f x 的单调区间； （2）若0a =，1b =，且函数()()1xg x f x m xe =+-有且只有2个零点，求实数m 的取值范围.仪征市第二中学高二第二学期月考数学答案一、单项选择题1. B ．2. D ．3. C ．4. C ．5.C ．6. A7. D ．8. A.二、多项选择题9. AB 10. ACD 11. BC ． 12. BCD三、填空题13. 0.3． 14.3281.15.． 16. ：(]0,1．四、解答题17. 【详解】解：（1）由题意得1221n n C C +=，即()()670n n -+=，解得6n =；（2）622n x x ⎛⎛+=+ ⎝⎝， ()3666216622rr rrr r r T C x C x ---+==，令3602r -=，则4r =， 所以，展开式中得常数项为2646260C -=⋅.18. 详解】解：（1）()232f x x ax b '=++，由题意得()()()131320f f f ⎧=⎪=='⎨-'⎪⎩，即133231240a b c a b a b +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2a =，4b =-，4c =.所以()32244f x x x x =+-+，检验符合要求.（2）()2344f x x x '=+-，令()0f x '=，则23x =或2x =-.又因为()212f -=，()13f =，所以()()max 212f x f =-=.【点睛】本题考查了切线方程，函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 19. 【详解】（1）100x =，120y =()()()122222212025101001510202011501.152010*********niii nii x x y y b x x ==--⨯+⨯++⨯+⨯====++++-∑∑所以120 1.151005a y bx =-=-⨯=， 所以线性回归方程 1.155y x =+ （2）列联表如下：提出假设0H ：学生线上学习满意度与学生性别无关，计算得：()22457510090.1612025351056K -==≈⨯⨯⨯，因为20.161 6.635K ≈< 所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关. 【点睛】本题考查线性回归方程及22⨯列联表，这种题目数据虽然较多，但是给出了所有复杂的计算结果，只是把给出的计算值代入公式计算，运算一定算对.20. 【详解】解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，且O 是AC ，BD 中点， 又PAC 是正三角形，且2AC =，则PO AC ⊥，PO ==1AO =， （1）因为AC BD ⊥，AC PO ⊥，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，PO BD O =，所以AC ⊥平面PBD ，所以PO 为PA 在平面PBD 内的射影，所以APO ∠即为直线PA 与平面PBD 所成的角，在正PAC 中，PO 是AC 边上的中线，所以30APO ∠=︒. （2）在BPO △中，作OH PB ⊥于H ，连AH ， 因为30BPO ∠=︒，所以122OH PO ==因为AO ⊥平面PD ，PB ⊂平面PBD ，所以AO PB ⊥，又AO OH O ⋂=，AO ⊂平面AOH ，HO ⊂平面AOH ，所以PB ⊥平面AOH ， 因为AH ⊂平面AOH ，所以PB AH ⊥，又OH PB ⊥，所以AHO ∠即为所求二面角A PB D --的平面角，在Rt AOH中，OH =1AO =，所以tan AO AHO HO ∠===【点睛】本题考查空间线面的位置关系、空间角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，理解线面角和二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21. 【详解】解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40分，其中成绩优良的人数为15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件A ，则()1125152402552C C P A C ==答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为2552（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：100.1300.2500.3700.25900.1533x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则53μ=，由2361σ=得19σ=，所以()()()()17210.158652P Z P Z P Z μσμσμσ≥=≥+=--<≤+≈， 所以，估计全市参加参赛的全体学生中，成绩不低于72分的人数为20000×0.15865=3173， 即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173.（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则()~,0.75B n ξ，且()0.75E n ξ=， 记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=，∴()()2 1.5E X E n ξ==， 依题意为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：()()20.2123...0.1n n n ⨯++++=+，设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则()()()221000.1 1.50.17104.9f n n n n n =-++=--+，由于*n N ∈，所以当7n =时，()f n 取最大值104.9. 即当他的答题数量7n =时，他的复赛成绩的期望值最大.【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题． 22. 【详解】解：（1）若0b =，则()ln a f x x x =+，()0x >，()2x af x x -'= 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （2）若0a =，1b =，则()()11ln x xg x f x m x x m xe xe =+-=++-， ()()()2222111111xx x x x xxe x x xe x e x g x x x e x e x e -+++--'=+-==令()0g x '=，则1x xe =.令()()10xh x xe x =->，则()()10xh x x e '=+>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，∵1102h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110h e =->，且()h x 在()0,∞+上连续， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00010x h x x e =-= 且当()00,x x ∈时，()10xh x xe =-<，当()0,x x ∈+∞时，()10xh x xe =->∴()()0000min 01ln x g x g x x x m x e==++- ∵001xx e =，∴()00ln 0x x e=，即00ln 0xx +=，∴()()0min 1g x g x m ==-∵函数()g x 有且只有2个零点，∴必需有()()0min 10g x g x m ==-<，即1m 下面用零点存在性定理证明：当1m 时，函数()g x 有且只有2个零点. 先证明()g x 在()0,x +∞上有且只有1个零点，过程如下：()010g x m =-<，()11ln ln 0m mg m m m m m me me =++-=+>， 又()g x 在()0,x +∞上单调递增且连续，∴()g x 在()0,x +∞上有且只有1个零点. 再证明()g x 在()00,x 上有且只有1个零点，过程如下：()11ln ln xx x g x x x m xe m xe xe=++-=+-，()00,x x ∈， 令x xe t =（其中01t <<），则()1ln H t t m t =+-，∵01m e -<<，∴()2m mH e e m -=-，令()2m m e m ϕ=-（其中1m ），则()20mm e ϕ'=->，∴()m ϕ在()1,+∞上单调递增，∴()()2120mm e m e ϕϕ=->=->.又()010g x m =-<，()g x 在()00,x 上单调递减且连续，∴()g x 在()00,x 上有且只有1m个零点，综上得：1【点睛】本题考查了导数和函数单单调性最值得关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合的能力，属于难题．。
2020-2021学年某校高三(上)第三次月考数学试卷祥细答案与解析
2021-2021学年某校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）)1. 已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩∁U B=( )A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<4}2. 设m∈R，则“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件3. 函数f(x)=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A.4B.2C.D.5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos A =3c−2bcos B，且b=√5sin B，则a＝（）A.5 3B.23C.35D.2√536. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)+xf′(x)>0，若a＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6⋅f(60.6)，则a，b，c的大小关系是（）A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c7. 设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为（）A.1 2B.23C.√32D.√228. 已知函数f(x)＝cos(2x−）+2sin(x−）sin(x+）(x∈R)．给出下面四个结论：①f(x)是最小正周期为π的奇函数；②f(x)图象的一条对称轴是；③f(x)图象的一个对称中心是；④f(x)的单调递增区间为．其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.①②③9. 已知函数f(x)={x2+4a,x>01+log a|x−1|,x≤0(a>0，且a≠1)在R上单调递增，且关于x 的方程|f(x)|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.(34, 1316] B.(0, 34]∪{1316}C.[14, 34)∪{1316} D.[14, 34]∪{1316}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）)10. 若，则z的共轭复数为________．11. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．12. 已知圆C的圆心在直线x+y＝0上，圆C与直线x−y＝0相切，且在直线x−y−3＝0上截得的弦长为√6，则圆C的方程为________．13. 已知a∈R，设函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．14. 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，＝2，＝3，则＝________．15. 已知正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，则xyx+4y 的最大值为________18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）)16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B2=√66，b sin A=√6a sin C，c=1．（1）求a的值和△ABC的面积；（2）求sin(2A+π3)的值．17. 在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB ＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．(Ⅰ)求证：DE // 平面PBC；(Ⅱ)求二面角F−PC−B的余弦值；(Ⅲ)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长是2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．20. 已知f(x)＝x2−4x−6ln x．(Ⅰ)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程以及f(x)的单调性；(Ⅱ)对∀x∈(1, +∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12恒成立，求k的最大整数解；(Ⅲ)令g(x)＝f(x)+4x−(a−6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：x1+3x2>4x0．参考答案与试题解析2021-2021学年某校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x≥4}；∴∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩∁U B={x|1≤x<2}．故选C.2.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，可得且，解出即可判断出．【解答】直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，则且，解得m＝−3，因此“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1”平行的充要条件．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．【解答】f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．4.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积棱柱的结构特征【解析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径＝，半球的体积：×π×（）3＝2π．5.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A＝2sin C，结合sin C≠0，可得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可求a的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用三角函数中的恒等变换应用【解析】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式，同时考查函数y＝A sin(ωx+φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数及辅助角公式化简f(x)，然后由正弦函数的性质，逐一分析求解即可．【解答】∵＝，∴f(x)不是奇函数，故①不正确．∵，∴直线是f(x)图象的一条对称轴，故②正确．∵，∴点是f(x)图象的一个对称中心，故③正确，令，可得，所以f(x)的单调递增区间为，故④不正确．所以正确的结论为②③．9.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0, +∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【解答】由1+loga |x−1|＝0，解得x＝1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[14, 34]∪{1316}．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.【答案】1−3i【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】＝，∴z的共轭复数为1−3i．11.【答案】43【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求外接球问题【解析】本题主要考查空间几何的体积．【解答】解：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是√2，则该正八面体的体积为1 3×(√2)2×2=43．故答案为：43．12.【答案】(x−1)2+(y+1)2＝2【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆的方程可求．【解答】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得，{a+b=0 r=√2(2)2+(√62)2=r2，解得{a=1b=−1r=√2．∴圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝2．13.[0, 2e]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】按照x≤1与x>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可．【解答】当x<1时，f(x)≥0化为恒成立，，∵x<1，∴x−1<0，∴，∴，当且仅当即x＝0时取等号．∴a≥0(1)当x>1时，f(x)≥0化为恒成立．设，，∴当∈(1, e)时，，g(x)单调递减，当∈(e, +∞)时，，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(e)＝e+e＝2e，∴a≤2e．综上，a∈[0, 2e]．故答案为[0, 2e]．14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角如图所示，设B(0, a)，利用向量的线性运算和数量积运算即可得出．【解答】建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4, 0)，C(0, 0)，设B(0, a)．又∵＝2，∴＝（，）；∵＝3，∴＝+＝+•＝(−2，），∴则＝4×−2×4＝，15.【答案】18【考点】基本不等式及其应用【解析】令x+4y＝t，则由条件可得xyx+4y =1t+6，然后根据条件出t的范围，进一步求出xyx+4y的最大值．【解答】∵正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，∴xy(x+4y+6)＝x+4y，∴xy=x+4yx+4y+6．令x+4y＝t，则xy=tt+6且t>0，∵x+4y≥2√4xy=4√xy，当且仅当x＝4y时取等号，∴t≥4√tt+6，即t2+6t−16≥0，∴t≥2或t≤−8（舍），∴xyx+4y =1t+6≤18，∴xyx+4y 的最大值为18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.【答案】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．【考点】求两角和与差的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin B、cos B的值，再利用正弦定理求得sin C的值，可得cos C的值，可得sin A=sin(B+C)的值，再利用正弦定理求得a的值．（2）求得cos A=−cos(B+C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2A+π3)的值．【解答】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．17.【答案】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB ＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE // CM，由此能证明DE // 平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE // 平面PBC．(Ⅱ)设点F(1, t, 0)，求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB ＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．18.【答案】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)根据椭圆C的离心率为，短轴长是2，结合a2＝b2+c2，即可求出a，b的值；(Ⅱ)设l1的方程为y＝kx−1，代入入+y2＝1，求出M的坐标，可得DM，用-代k得DN＝，求出△DMN的面积，＝，可得>，从而可求k的取值范围．【解答】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．19.【答案】（1）依题意，由a1+a2＝8a3，a4＝2a32，可得，解得q＝，a1＝，∴a n＝•（）n−1＝（）n，n∈N∗，对于数列{b n}：当n＝1时，b3＝S1＝1，当n≥7时，b n＝S n−S n−1＝-＝n，∵当n＝6时，b1＝1也满足上式，∴b n＝n，n∈N∗．（2）由题意及(Ⅰ)，可知当n为奇数时，c n＝•a n+7＝×（）n+3＝-，当n为偶数时，c n＝a n⋅b n＝n⋅（）n，令A＝c5+c3+...+c2n−2，B＝c2+c4+...+c8n，则A＝c1+c3+...+c4n−1＝-+-+…+-＝-＝-，B＝c6+c4+c6+...+c2n＝2⋅（）2+4⋅（）4+2⋅（）8+...+2n⋅（）2n，∴（）2B＝2⋅（）4+2⋅（）2+...+(2n−2)⋅（）2n+7n⋅（）7n+2，两式相减，可得B＝2⋅（）2+2⋅（）4+3⋅（）2+...+2⋅（）2n−2n⋅（）2n+6，＝（）3+（）7+（）5+...+（）3n−1−2n⋅（）2n+2，＝−2n⋅（）2n+7，＝−(n+）•（）2n+2+，∴B＝-•（）2n−6+，∴T8n＝c1+c2+...+c5n＝(c1+c3+...+c8n−1)+(c2+c3+c6+...+c2n)＝A+B＝--•（）2n−1+＝-（+）2n−2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得ℎ(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(Ⅲ)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．。
2020年江苏省扬州市仪征第二高级中学高三数学理测试题含解析
2020年江苏省扬州市仪征第二高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4参考答案：C试题分析：由题设,即,也即,所以,又因,故,即;因为,故,故建立如图所示直角坐标系,则,则由题设可知,直线且,所以,即,应选C.考点：三角变换向量的数量积公式直线的方程及基本不等式的综合运用.【易错点晴】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将,再运用已知得到,即.再将向量的数量积公式化为,从而求得,.最后通过构建平面直角坐标系求出直线且,然后运用基本不等式使得问题获解.2. 函数的零点所在区间为( )A．（3,+∞）B．（2,3）C．（1,2）D．（0,1）参考答案：B略3. 下列命题：①在中，若，则；②已知，则在上的投影为；③已知，，则“”为假命题；④已知函数的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．其中真命题的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：B4. 已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝________。
A. B. C. D.参考答案：B略5. 如果点在以点为焦点的抛物线上，则（）A． B． C．D．参考答案：C6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象 （ ）A ．向上平移一个单位B ．向下平移一个单位C ．向左平移一个单位D ．向右平移一个单位 参考答案：D7. 将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2xB ．y ＝－2cosxC ．y ＝－2sin4xD ．y ＝－2cos4x参考答案：D 略 8. 已知集合为实数，且，为实数，且，则M ∩N 中的元素的个数为（ ） A. 0 B.1 C. 2 D. 3参考答案：B9. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=3，S 9﹣S 6=27，则该数列的首项a 1等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=3，S 9﹣S 6=27，可得，解得a 1=．故选：D ．10. 已知点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，若圆与轴相切，则椭圆的离心率为（ ）参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 参考答案：答案：用代数的方法研究图形的几何性质12. 已知、分别是函数的最大值、最小值，则.参考答案：2 略13. 已知10a =5，b=lg2，则a+b= ．参考答案：1【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化．【专题】函数的性质及应用．【分析】由10a=5，得到a=lg5，然后利用对数的运算法则进行求值．【解答】解：∵10a=5，∴a=lg5，∴a+b=lg5+lg2=lg10=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算法则，比较基础．14. 函数的最小正周期为；单调递减区间为参考答案：；略15.参考答案：16. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是_____________．参考答案：略17. （﹣2）7展开式中所有项的系数的和为．参考答案：﹣1【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由于二项式各项的系数和与未知数无关，故令未知数全部等于1，代入二项式计算．【解答】解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查求二项式各项的系数和的方法，利用了二项式各项的系数和与未知数无关，故令未知数全部等于1，代入二项式计算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期12月第三次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A ∪B 中元素的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.cos450︒=（）A. 1B.12C. 0D. 323．已知命题p ：角α的终边在直线3y x =上，命题q ：π3α=，那么p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（）A ．14B ．0C ．4D ．0或145．函数01()22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭的定义域为（） A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,)-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．若幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m 在（0，+∞）单调递减，则f （2）＝（ ） A ．8B ．3C ．﹣1D ．7．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（）A ．4-B ．0C ．4D ．28．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（）2cmA ．2πB ．C ．2πD ．4π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，，若()12f a =，则实数a 的值可能是（）A.1-B.12C. 2D. 2-10．若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（） A ．2B ．3C ．4D ．511．给出下列命题，其中是假命题的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4；B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；D ．1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数.12．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2，则()9f =．14．若角α的终边经过点()3,P b -，且3cos 5α=-，则b =__________. 15．若直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过点(2,4)，则的最小值是．16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则m 的取值范围是；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知π02α<<，4sin 5α=． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值．18．（本小题满分12分）已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A ∩B ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）（1）已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角，求3sin 2α﹣sin αcos α+2cos 2α的值．（2）已知，且ππ2α<<，求的值20．（本小题满分12分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为()xm .（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；（2）当()x m 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.21．（本小题满分12分） 已知奇函数()22x xaf x =+，x ∈(-1, 1)． （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在（﹣1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>； （3）当1a =时，函数在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围．江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期12月第三次月考数学试卷参考答案1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7. B 8．C 9. AC 10．ABC 11．ABC 12．BC 13．3 14．4± 15．322+ 16．03m <≤3m > 17．解：（Ⅰ）由，，得，则．（Ⅱ）4．18．（1）要使函数()()2log 1f x x =-有意义，则()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞.对于函数()0(11)2x g x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝，该函数为减函数，10x -≤≤，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=； （2）C B B =，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件； 当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．解：（1）∵tan α是关于x 的方程2x 2﹣x ﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角， ∴tan α＝1，或tan α（舍去），∴3sin 2α﹣sin αcos α+2cos 2α2．（2），解得，进而可求20．（1）由矩形的长为()xm ，则矩形的宽为200()m x， 则中间区域的长为()4x m -，宽为2004()m x-，则定义域为(4,50)x ∈ 则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈ （2）2002002x x x x+≥⋅=200x x =时取等号，即102(4,50)x =所以当102x =时，总造价最低为1840080002+元21.解：（1）∵函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f （0）＝0，1+a ＝0，∴a ＝﹣1．（2）证明：由（1）可知，f （x ）．任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则 f （x 1）﹣f （x 2）∵∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，得f （x 1）＜f （x 2） 所以，f （x ）在（﹣1，1）上单调递增． （3）∵f （x ）为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）． 由已知f （x ）在（﹣1，1）上是奇函数，∴f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0可化为f （1﹣m ）＜﹣f （1﹣2m ）＝f （2m ﹣1）， 又由（2）知f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴﹣1＜1﹣m ＜2m ﹣1＜1，解得m ＜1．22．解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<，当302a <<时，解得32x a<<； 当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅； 当32a >时，解得32x a<<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a<<， 当32a =时，不等式的解集∅， 当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，在[2,2]-有解，即在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2mx =-， ①即，2x =-时，函数取得最小值即，.②222m -<-<即44m -<<时，当2mx =-取得最小值，此时，解得.③当即时，当2x =时取得最小值，此时，解得， 综上，或．。