四边形证明题经典29道-----
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
山东数学中考分类汇编--有关四边形的综合证明题
四边形的综合证明题：1．（2019年滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2．（2020年滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．3．（2021年滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．4．（2022年滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：AE＝EF．5．（2017年滨州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．6.（2017德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．7.（2018德州)再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作（3）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．8.（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．9．（2018年东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．10．（2019年东营）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．11．（2020年东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．12．（2022年东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．13．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．14.（2019•菏泽）如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．15.（2018•菏泽）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．16．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．17.（2018•菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．操作发现：（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是．（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD 方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．18.（2017•菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts．①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长19．（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求证：BD'∥CD；AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•②若BD．20.（2019•菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD21.（2020济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．22.（2019济南）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．23.（2018济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：OB=OD．24.（2020济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．25.（2019济南）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．26.（2018济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：OB=OD．27．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．28.如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．(1)求证:∠AEH∠∠AGH；(2)当AB=12，BE=4时：∠求∠DGH周长的最小值；∠若点O是AC的中点，是否存在直线OH将∠ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．29．（2019年聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．30．（2020年聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．.31. （2021年聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E 在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．32. （2022年聊城）如图，ABC 中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，过点C 作CF AB ∥，交DE 的延长线于点F ．（1）求证：AD CF =；（2）连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，那么当AC 与BC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．33.（2018•临沂）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG ．（1）如图，当点E 在BD 上时．求证：FD=CD ；（2）当α为何值时，GC=GB ？画出图形，并说明理由．34.（2020年临沂）如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．=；(1)求证：AF EF+的最小值；(2)求MN NG∠的大小是否变化？为什么？(3)当点E在AB上运动时，CEF35．（2022年临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ 的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．36．（2021年临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？37..（临沂2019）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH ⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．38．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF ＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）连接AE，CF，已知①（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD＝30°；条件②：AB＝BC．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）39.（2017年青岛市）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．（1）求证：△ BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．40.（2019年青岛市）（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．41．（2021•青岛）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．42．（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD 和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．43．（2018年青岛市）（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．44．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．45．（2 021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．46.（2019年日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．47.（2017年日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．48．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF 是等腰直角三角形．49.（2018年泰安）（11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．50.（2017年泰安）（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．51.（2017年泰安）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC＝∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE：CP＝2：3，求AE的长．。
北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题
1．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形;（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形．2已知，如图，四边形ABCD是菱形,∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H,在AB边上取点E，使得AE=AH,在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1)求证：四边形EFGH是矩形；(2）当∠B为多少度时,四边形EFGH是正方形？并证明．3如图，根据图形解答下列问题(1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形？4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2)如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2）,通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立(不用证明）；（3）在图（2)中,试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形(不用证明）．5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2)若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立;（请直接回答“成立”或“不成立"）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并写出证明过程．7如图，E是矩形ABCD边BC的中点,P是AD边上一动点,PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F,H．(1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；(2）在（1)中，动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC，BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．(1)求∠AGD的度数;（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点,E，F分别是线段BM,CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM;(2）判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论；（3）当AD：AB= ：时,四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；（2）把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证:四边形OEMF 是菱形．做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．"请给予证明；（2）小芳同学说:“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论,并说明理由．12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1)如图1,当点G在BC边上时，易证:PG=PC．(不必证明）（2）如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明;(3）如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．13(1)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1,CN=3，求MN的长．14已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.14解:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中， AE＝AB ∠CAD＝∠DAE AD＝AD ，∴△ABD≌△ADE,∴BD=DE,同理△BAF≌△EAF，∴BF=EF，在△BFD和△EDF中， BD＝DE DF＝DF BF＝EF ，∴△BFD≌△EDF，∴∠BFD=∠DFE，又∵EF∥BC，∴∠DFE=∠FDC，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，∴BF=BD=EF=DE，∴四边形BDEF是菱形．13(1）证明：在正方形ABCD中，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB,在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG,∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS)，∴EF=FG(2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE,使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°,∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中,∴△MAN≌△EAN（SAS)．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理,得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1,CN=3,∴MN2=12+32，∴MN=12解答：(1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，在RT△CPG中，∠PCG=60°，∴PG=PC．（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC,∵∠ABC=60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP=∠GFP,在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG(ASA）∴PE=PG，DE=FG=BG，∵∠CDE=CBG=60°,CD=CB，在△CDE和△CBG中,∴△CDE≌△CBG（SAS)∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，∴∠ECG=∠DCB=120°,∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°∴PG=PC．11）证明：∵ME∥AC,MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠EOF=90°，∴四边形OEMF是矩形．（2）结论:OB=ME—MF．理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD,∴四边形OEMF 是平行四边形，∴OE=MF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD,∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB,∴BE=ME，∴OB=BE—OE=ME—MF．10（1)∴△PDE为等腰直角三角形证明：在正方形ABCD中,BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，在△BCP和△DCP中，BC＝DC ∠BCP＝∠DCP PC＝PC ∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP,PD=PB∵PE=PB，∴∠CBP=∠CEP，PD=PE∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）∴180°-∠PFD—∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP 即∠DPE=∠DCE=90°∴△PDE为等腰直角三角形．（2）解：∵AB∥CD∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE∴∠DPE=∠ABC∵∠ABC=56°∴∠DPE=56°．9（1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°，又∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，AB＝CD ∠A＝∠D AM＝DM ，∴△ABM≌△DCM(SAS）．(2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点,∴NE∥MF,NE=MF．∴四边形MENF 是平行四边形．由(1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形．（3）解：2：1．当AD:AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．8：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22。
平行四边形的证明题类型汇总
平行四边形的证明题类型汇总平行四边形的证明题类型很多，是期末考试的重点，也是中考的热点，为了降低学生学习这方面的难度，特把这章的证明问题总结如下，一共写了28道题目，当然还有没有总结到的，还希望学生多多思考和总结，把没有写上的证明题目也要学会1.平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形2.分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于F，连接DF，（1）试说明AC=EF；（2）求证四边形ADEF是平行四边形3.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在CD,AB 的延长线上，且AE=AD,CF=CB.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件中的“∠DAB=60°，”上述结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立，请说明理由.4如图以平行四边形ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD是矩形.5.如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点F是AB边的中点，以AD为边作等边△ADE，连接CE,CF，求证四边形AFCE是矩形.F EC6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与对角线AC 交于点O,与边AD,BC分别交于点E,F四边形AFCE 是不是菱形？为什么？7.如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC.若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？证明你的结论.8.如图，C 是线段BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R,F,G,H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形RFGH 是菱形.9.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到△GFC ，若∠B=60°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形，证明你的结论10如图，四边形ABCD ，DEFG 都是正方形，连接AE,CG, (1) 求证：AE=CG(2) 观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想.GFEDCBA11.如图1，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，∠FAE=∠BAE，求证AF=BC+FC12.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,M是BC的中点，E是BC上任意一点，EP⊥BD于点P，EQ⊥AC于Q,连接MQ,MP. 证明MP=MQ13.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，试说明四边形CEDF为正方形14.如图（1）四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F. 求证AE=EF(提示：取AB 得中点G ，连接EG.)15.如图，在平行四边形ABCD 中，AC,BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于点E ，EO 的延长线交AD 于点F.求证四边形AECF 是矩形.16.如图矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC,CE ∥BD. (1)求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠ACB=30°，菱形OCED 的面积是83，求AC 的长.ODEC B AFODECBA17.如图，△ABC 是等腰三角形，∠A=90°，点P ,Q 分别是AB,AC 上的动点，且满足BP=AQ,点D 是BC 的中点. (1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；（2）当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形？说明理由.18.如图，正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，E 为OA 上任意一点，CF ⊥BE 于F ，CF 交OB 于点G ，求证OE=OG.19.如图，在矩形ABCD 中，AF=BE ，求证：DE=CFFDCBAD20.如图，B,C,E,是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连接BG,DE,观察猜想BG 与DE 之间的关系，并证明你的结论21如图，△ABC 的面积是3，且AB=AC,现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA.(1)求四边形CEFB 的面积；（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC 的长.22.如图，在△ABC 中，中线BE,CD 相交于点F GO D E CBAEO,F,G 分别是OB,OC 的中点，试说明四边形DEGF 是平行四边形.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD,AE 分别是∠BAC 和∠BAC 外角的平分线，CE ⊥AE ，求证四边形ADCE 是矩形.24.如图，在△ABC 中，AB=AC,D 为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形，求证四边形ADCE 是矩形.25．如图四边形ABCD 中，AB ∥CD,AC 平分∠BAD ，CE ∥AD,交AB 于点E ，试说明四边形AECD 是菱形.26.如图，在平行四边形ABCD 中，BF=DE,FG ⊥AB,EH ⊥NBED ECBACD ，垂足分别是G,H,GH 交BD 于点O ，求证GH 与EF 互相平分.27. 如图在四边形ABCD 中AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=30cm ，P 自A 向点D 以1cm/s 的速度运动，到D 即停止，点Q 自点C 向点B 以2cm/s 的速度运动，到点B 即停止，直线PQ 截这个四边形为两个四边形，问：当P ,Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？28. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=35,∠C=30°，点D 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2个单位长度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D,E 运动的时间为t 秒，（t>0）.过点D 作DF ⊥BC 于F ，连接DE,EF. (1) 求证：AE=DF.(2) 四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 的值；如果不能，请说明理由.H F GODE C B A(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.28.。
八年级数学四边形证明题专项练习
八年级数学四边形证明题专项练习本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March姓名 班级1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。
_F_B_ D_ C_ G_ A_ B_ D _ C_ E_ F_ D_A_B_ C_ E_ F _ A_ B_ D_ C_ O_ D_ C_ H_ F_ G_ E6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。
7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。
_B8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ， 求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
平行四边形经典证明题例题讲解
--经纬教育平行四边形证明题 经典例题(附带详细答案)1.如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证:AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AD BC =,ACB CAD ∴∠=∠.又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠, BEC DFA ∴△≌△,∴CE AF =２．如图6，四边形AB ＣD 中,A Ｂ∥CD ，∠B=∠D ,,求四边形ABCD 的周长. 【答案】２0、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二：3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=DCABE FAD CB连接∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.(在四边形ABCD中,∠D=60°，∠Ｂ比∠Ａ大2０°,∠Ｃ是∠A的2倍,求∠A,∠B，∠C的大小.【关键词】多边形的内角和【答案】设xA=∠(度),则20+=∠xB,xC2=∠．根据四边形内角和定理得,360602)20(=++++xxx.解得，70=x．∴︒=∠70A，︒=∠90B,︒=∠140C．4.（如图,E F，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE==，，∥．ACAB CD∥DCABAC∠=∠B D AC CA∠=∠=，ABC△CDA△36AB CD BC AD====，ABCD183262=⨯+⨯=BDAB CD∥CDBABD∠=∠ABC CDA∠=∠ADBCBD∠=∠AD BC ABCD36AB CD BC AD====，ABCD183262=⨯+⨯=A DCBA DCB----求证：(1）AFD CEB △≌△. (2）四边形ABCD 是平行四边形.【关键词】平行四边形的性质,判定 【答案】证明:（1）DF BE ∥,DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS).(２)由（1)知AFD CEB △≌△,DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，,AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)5.）２5.如图1３-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥,2BE =．(1）求EC ∶CF 的值;（2)延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点(如图１3－２），试判断AE EP 与的大小关系,并说明理由；(３)在图１3-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：(1)AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ＡBCD 为正方形90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=°12∠=∠ABDEFCADCBEBCE DA F PF90DAM ABE DA AB∠=∠==°，DAM ABE∴△≌△DM AE∴=AE EP=DM PE∴=∴四边形DMEP是平行四边形.解法②:在AB边上存在一点M,使四边形DMEP是平行四边形证明:在AB边上取一点M，使AM BE=，连接ME、MD、DP.90AD BA DAM ABE=∠=∠=，°Rt RtDAM ABE∴△≌△14DM AE∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM∴⊥AE EP⊥DM EP∴⊥∴四边形DMEP为平行四边形６.（2０09年广州市）如图9，在ΔAＢC中，D、E、F分别为边ＡB、BC、CA的中点。
郑州实验中学2021年中考数学专项训练：以四边形为背景的计算题与证明题(含答案)
4,△D'PH 的面积为 1,则矩形 ABCD 的面积等于
.
图 T7-3
4.[2019 ·青岛 ] 如图 T7-4,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 CD 的中点 ,将正方形纸片折叠 ,点 B 落在线段 AE 上的点
G 处 ,折痕为 AF.若 AD= 4 cm,则 CF 的长是
cm.
图 T7-4
????
5,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
44
解得
EN=
5
3,∴ MN=ME
51
-EN= 2- = ,
33
故答案为
1
3.
6.证明 :由折叠可知 AE=ED ,AF=DF ,
∴∠ 1= ∠ 2,∠ 3= ∠ 4. 又∵ AD 平分∠ BAC, ∴∠ 1= ∠ 3. ∴∠ 1= ∠ 2= ∠ 3=∠ 4, ∴ AE∥ DF ,AF ∥ ED, ∴四边形 AEDF 为平行四边形 , 又 AE=ED ,∴四边形 AEDF 为菱形 . 7.解 :(1)由折叠得∠ B= ∠ B'= 90°,AB=AB'= 1,BC=B'C'= √3,C'E=CE ,
1
5.3
[ 解析 ]设 DH=x ,则 CH= 2-x,再根据翻折变换的性质得出
DE , EH ,然后利用勾股定理列出方程求出
相似三角形的性质 ,可得 NE 的长 ,根据线段的和、差 ,可得答案 .
x,再根据
设 DH=x ,则 CH= 2-x.由翻折的性质 ,知 DE= 1,EH=CH= 2-x,在 Rt△DEH 中 ,DE2+DH 2=EH 2,
∵直线 AD1 过点 C,∴ PD1⊥ AC.
在 Rt△ABC 中,∵ AB= 3,BC= 2,
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、 E 是圆上的两点，CD⊥ AB，EF⊥ AB， EG⊥ CO．求证： CD＝ GF．（初二）CEGA BD O F2、已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．（初二）A DPB C3、如图，已知四边形ABCD、 A1B1C1D1都是正方形， A2、 B2、 C2、 D2分别是AA1、BB1、 CC1、 DD1的中点．A DA2D2求证：四边形 A B C D 是正方形．（初二）A12222D1B1C1B22CB C4、已知：如图，在四边形ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延伸线FEN C交 MN于 E、 F．求证：∠ DEN＝∠ F．经典题（二）1、已知：△ ABC中， H 为垂心（各边高线的交点）， O为外心，且 OM⊥ BC于M．（ 1）求证： AH＝2OM；A（ 2）若∠ BAC＝ 600，求证： AH＝ AO．（初二）O·H EB M D C2、设 MN是圆 O外向来线，过 O作 OA⊥ MN于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线 EB及 CD分别交 MN于 P、 Q．GE求证： AP＝ AQ．（初二）O·CB DMP A Q N3、假如上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、 EB分别交 MN于 P、 Q．求证： AP＝AQ．（初二）CEA M Q·P N·O B D4、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形ACDE和正方形 CBFG，点 P是 EF的中点．求证：点P 到边 AB的距离等于AB的一半．（初二）DGCEPFA Q B经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥AC， AE＝AC， AE与 CD订交于 F．求证： CE＝CF．（初二）AB2、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥AC，且 CE＝ CA，直线 EC交 DA延伸线于求证： AE＝ AF．（初二）DF ECF．F A DB C3、设 P 是正方形ABCD一边 BC上的任一点，PF⊥ AP， CF均分∠ DCE．求证： PA＝ PF．（初二）AE DFBP C E4、如图， PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE、AF 与直线 PO订交于 B、D．求证： AB＝ DC， BC＝ AD．（初三）AB O DPEFC经典题（四）A1、已知：△ ABC是正三角形， P 是三角形内一点，PA＝3， PB＝ 4， PC＝ 5．P 求：∠ APB的度数．（初二）B C2、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠ PAB＝∠ PCB．（初二）A DPB C3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB· CD＋AD· BC＝AC· BD．（初三）ADB C4、平行四边形ABCD中，设 E、 F 分别是 BC、 AB上的一点， AE 与 CF订交于 P，且AE＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．（初二）A DFPB E C经典难题（五）A1、设 P 是边长为 1 的正△ ABC内任一点， L＝ PA＋ PB＋ PC，PB C求证：≤ L＜2．2、已知： P 是边长为 1 的正方形ABCD内的一点，求PA＋ PB＋ PC的最小值．A DPCB3、 P 为正方形ABCD内的一点，而且PA＝ a， PB＝ 2a， PC＝ 3a，求正方形的边长．A DPCB4、如图，△ ABC中，∠ ABC＝∠ ACB＝ 800， D、 E 分别是 AB、 AC上的点，∠ DCA＝ 300，∠ EBAAE＝ 200，求∠ BED的度数．经典题（一）1.以下列图做 GH⊥ AB,连结 EO。
四边形经典证明题
四边形证明题1．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，连接EC 交,BD DF 于 ,G H 。
则::CH GH EG =__________________2.．如图，梯形ABCD 中，2//,3AG EF BC GC =，则GFAD=_____________.３．如图，ABC ∆中，90,6,8B AB BC ∠===，将ABC ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边的'C 处。
并且'//C D BC ，则CD 的长是（ ） A ．409B ．509C ．154D ．254４．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，⊥DC BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=︒，则A BD '∠的度数为（ ） A. 15° B. 20°C. 25°D. 30°A CBP重庆中考几何证明题２６．（7分）如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，求证：∠BAE ＝∠DCF 。
第26题图FEDCBA30﹡、（8分）如图，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，DE ⊥AB 于点E ，且DE 的延长线分别交AC 、⊙O 、BC 的延长线于F 、M 、G 。
（1）求证：AE ·BE ＝EF ·EG ；（2）连结BD ，若BD ⊥BC ，且EF ＝MF ＝2，求AE 和MG 的长。
∙第30题图OMGFEDCB A２０．.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°.∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点 F.以下四个结论：①1cos 2BFE ∠=；②BC BD =；③EF FD =；④2BF DF =.其中结论一定正确的序号数是25. （10分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=1，BC=2，ta n ∠ADC=2.⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135︒时，求sin ∠BFE 的值。
四边形证明题的经典问题(优秀学生在几何证明方面应知必会的习题)
EMF DCB A 四边形证明题的经典问题1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DA 的中点，且BC=DC+AB 。
求证：BE ⊥EC 。
2．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC 的长；(2）求证AM=DF+ME 。
3.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE (1)若正方形ABCD 的边长为4,BE=3,求EF 的长？ (2)求证：AE=EC+CD ．BD F EG H F E D C B A4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G,BH ⊥DC 于H ，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且EF ∥DC 。
(1)若AD=3，CG=2，求CD;(2)若CF=AD+BF ，求证：EF=21CD.5.如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE ． （1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ 的长．6.已知，如图，//,90,AD BC ABC AB BC ∠==，点E 是AB 上的点，45ECD ∠=，连接ED ，过D 作DF BC ⊥于F .(1)若75,3BEC FC ∠==，求梯形ABCD 的周长.(2)求证：ED BE FC =+；7．如图1，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=，45D ∠=. （1）若6AB c m =，3sin 5BCA ∠=，求梯形ABCD 的面积；（2）如图2，若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF GH =，EFH FHG ∠=∠，求证：HD BE BF =+8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．（1）求证：BE=BF；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求的长．BC45,(1)求证: DE-EF=BF(2)若AD=3,∠BAF=︒15;求∆AEF的面积FAB11．在ABCD中，对角线,⊥为延长线上一点且BD BC G BD∠的平分线相交于点E，∠、CBDABG∆为等边三角形，BAD连接AE BD F交于，连接GE。
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题一．解答题（共30小题）1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．/2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．!3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．,5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．^6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．{8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．-10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A 向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，"求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．-14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．'16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．—（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．`19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．、20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质（21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．}22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC 交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：—当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明#24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；…如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．.25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律】26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q 运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．!27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少|28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．!29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积%30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．<1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．-证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，>∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD AE．】6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7、解答：证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．—又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB 是平行四边形11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：*DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．)∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15、解答：证明：如答图所示，∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，;∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）—17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中点；^（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．故答案为：2．19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BE！∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四边形；】（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．∵假若四边形EFGH为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．21、解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．|当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．证明如下：在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE,∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，由题意得PE+PF=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．#24、解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．|∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．&∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．25、解答：解：（1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．`26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图∴．②当点P在线段BC上时，即时，如图BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34﹣5t，＜6，舍去若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t﹣34，，t=．综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=．27、解答：解：当BC∥OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则C1（3，1）；若选择OB为对角线，则C2（﹣1，1）；当AB∥OC，AB=OC时，选择OA为对角线，则C3（1，﹣1）．故第四个顶点坐标是：C1（3，1），C2（﹣1，1），C3（1，﹣1）．28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，由AB•DE=BC•DFF得：，解之x=10，所以平行四边形ABCD的面积为．29、解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为，可得点D的坐标为（1，）．（2）依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A（﹣3+，0），B（﹣2+，2）C（2+，2），D（1+，0）．（3）如图，平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，平行四边形DEFG的高为2﹣=，∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．。
平行四边形经典证明题例题讲解
经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、解法一: ∵∴ 又∵∴∴∥即得是平行四边形∴ ∴四边形的周长解法二:连接∵∴又∵ ∴≌∴ ∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵ ∴∴∥即是平行四边形∴ ∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B DAC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=DCABE FADCBAD CBAD CB解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定 【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=° 12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△ DM AE ∴= AE EP = DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠， 1590∠+∠=° 4590∴∠+∠=° AE DM ∴⊥ AE EP ⊥ DM EP ∴⊥ABDEFCA DCBEBCEDA F PF∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
初二下四边形证明题含答案
一：解答题1、已知：如图7，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：∠CDF＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HC=HF.3、已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△AB外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明.4、如图10，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．答案：1、证明：(1)∵ ABCD 是平行四边形，∴DC=AB ，DC ∥AB,∴∠DCF=∠BAE ,∵ AE=CF ， ∴△ADF ≌△CBE ，∴∠CDF ＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H ．求证：HC=HF.解：证明：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形．∴90B G ∠=∠=°，AG AB =，BC=GF ，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△，HG HB =∴，∴HC=HF.3、解：猜想四边形ADCE 是矩形。
证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ． ∴ ∠BAD =∠DA C ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴ ADC CEA ∠=∠=90°，∴ 四边形ADCE 为矩形．4、证明：根据题意可知 DE C CDE 'ΔΔ≅则 '''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，∵AD//BC ∴∠C ′DE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE ∴CD=C ′D=C ′E=CE ∴四边形CDC ′E 为菱形1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A•′OB ′C ′绕正方 形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6。
在特殊四边形中的证明题(精选)
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠D=∠EAF，∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，即DF=AE，在△AEF和△DFC中，AE=DF ∠EAF=∠D AF=DC ，∴△AEF≌△DFC（SAS）．2、在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗？；（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，则四边形AECF的周长为，面积为．解：（1）AC，EF互相平分．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA．又∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD．∴∠BAE=∠DAE=1 2 ∠BAD，∠BCF=∠DCF=1 2 ∠BCD，∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF．又∵∠DAE=∠BEA，∴∠BEA=∠BCF，∴AE∥CF．又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）∵∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∠B=60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB=BE=AE=4．又BE=2CE，∴CE=2，∴平行四边形AECF周长为：（2+4）×2=12．过点A作AH⊥BE于H，则BH=1 2 BE=2，∴AH= AB2-BH2 = 42-22 = 12 =2 3 ，∴S平行四边形AECF=CE•AH=2×2 3 =4 3 ．3、已知：如图，BD为ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE=DF证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF=∠ODE∵O为BD的中点∴OB=OD在△BOF和△DOE中，∠OBF=∠ODE OB=OE ∠BOF=∠DOE ∴△BOF≌△DOE∴OF=OE∵EF⊥BD于点O∴DE=DF．4、已知：如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，求证：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠E=∠F，∠EBO=∠FDO．又∵OB=OD，∴△EBO≌△FDO．∴BE=DF．又∵AB=CD，∴BE-AB=DF-CD．即AE=CF．5、如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，OA=OC．∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．∵CE=DC，在平行四边形ABCD中，CD=AB，∴AB=CE．∴在△ABF和△ECF中，∠BAF=∠CEF AB=CE ∠ABF=∠ECF ，∴△ABF≌△ECF，∴BF=CF．∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF．。
(完整版)初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）D经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板
初中数学特别平行四边形的证明一．解答题（共30小题）1．（2015•泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满意什么条件时，四边形ACEF是菱形？请答复并证明你的结论．2．（2015•福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．3．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试推断△ABC的形态，并说明理由．4．（2015•济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．求证：EB=EC．5．（2015•临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？6．（2015春•宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．7．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．8．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．9．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．10．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．11．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．12．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值．13．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．14．（2014•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD 及四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=100cm，求菱形ABCD的边长．15．（2014•槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1，∠D=120°．求对角线AC的长．16．（2014•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．17．（2014•湖南校级模拟）如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC（1）求证：EC=FC；（2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．18．（2014•清河区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．19．（2014春•防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2014•通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．21．（2014•顺义区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．22．（2014•祁阳县校级模拟）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．23．（2014•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，求证：△AOD≌△BOC．24．（2014•东海县二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．25．（2014•玉溪模拟）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．求证：BE=DG．26．（2014•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．27．（2014•深圳模拟）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．28．（2014•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC 上一点，连接EB、ED．求证：∠BEC=∠DEC．29．（2014•温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．30．（2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC 的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．初中数学特别平行四边形的证明参考答案及试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满意什么条件时，四边形ACEF是菱形？请答复并证明你的结论．考点：菱形的断定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的断定．专题：证明题．分析：（1）ED是BC的垂直平分线，依据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的间隔相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB 中，∠2及∠4互余，∠1及∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE 和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再依据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解答：解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2及∠4互余，∠1及∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．点评：本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和断定和性质、菱形的断定求解，有利于学生思维实力的训练．涉及的学问点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．（2015•福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．考点：菱形的断定．专证明题．题：分析：由题意易得，EF及BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．解答：解：∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=2DE．（1分）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC=2DE且DE∥BC．（2分）∴EF=BC．（3分）又EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．（4分）又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．（5分）点评：此题主要考察菱形的断定，综合利用了平行四边形的性质和断定．3．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试推断△ABC的形态，并说明理由．考点：菱形的断定及性质．专题：几何图形问题．分析：（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解答：解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，又∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形．理由：∵AE=EC∴∠2=∠4，∵AE=EB，∴EB=EC，∴∠5=∠B，又因为三角形内角和为180°，∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，∴∠ACB=∠4+∠5=90°，∴△ACB为直角三角形．点评：考察菱形的断定及性质的应用；用到的学问点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等．4．（2015•济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．求证：EB=EC．考点：矩形的性质；全等三角形的断定及性质．专题：证明题．分析：利用矩形的性质结合全等三角形的断定及性质得出△ABE≌△DCE （SAS），即可得出答案．解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵点E是边AD的中点，∴AE=ED，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB=EC．点评：此题主要考察了全等三角形的断定及性质以及矩形的性质，得出△ABE≌△DCE是解题关键．5．（2015•临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？考点：矩形的性质．分析：依据等角的余角相等，得∠BAC=∠ADE=α；依据锐角三角函数定义可求AC的长．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠EAD=∠ACB，∵在△ABC及△AED中，∵DE⊥AC于E，∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α．∴cos∠BAC=cosα=，∴AC==．点评：此题综合运用了锐角三角函数的学问、勾股定理、矩形的性质．6．（2015春•宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．考点：矩形的性质；平行四边形的断定及性质．专题：证明题．分析：依据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，依据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，∴BD=BE．点评：本题考察了矩形的性质，平行四边形的断定及性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．7．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．考点：菱形的断定；全等三角形的断定及性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）利用AAS断定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形断定即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC∴∠2=∠E，在△ABC及△DCE中，，∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．点评：本题考察了菱形的断定等学问，解题的关键是娴熟驾驭菱形的断定定理，难度不大．8．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．考点：菱形的断定及性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）依据旋转可得AE=CE，DE=EF，可断定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长，再依据中点定义可得AD=5，依据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．解答：（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB边上的中点，∴AD=5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．点评：此题主要考察了菱形的断定及性质，关键是驾驭菱形四边相等，对角线相互垂直的平行四边形是菱形．9．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．考点：矩形的性质；全等三角形的断定及性质；菱形的断定．专题：证明题．分（1）依据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，依据线段中点析：的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）依据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推断出四边形ODFC是平行四边形，依据矩形的对角线相互平分且相等可得OC=OD，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答：证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．点评：本题考察了矩形的性质，全等三角形的断定及性质，菱形的断定，熟记各性质及平行四边形和菱形的断定方法是解题的关键．10．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．考点：矩形的断定．专题：证明题．分析：先推断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可推断出四边形AECD是矩形．解答：证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．点评：本题考察了梯形和矩形的断定，难度适中，解题关键是驾驭平行四边形和矩形的断定定理．11．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．考点：正方形的性质；全等三角形的断定及性质．专题：证明题．分析：依据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，依据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．点评：本题考察了正方形的性质，全等三角形的断定及性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值．考点：正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）连接CF，依据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，依据全等三角形对应边相等可得DF=EF，依据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再依据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；（2）依据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，推断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：（1）证明：如图，连接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．点评：本题考察了正方形的性质，全等三角形的断定及性质，等腰直角三角形的断定及性质，勾股定理的应用，作协助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．考点：菱形的性质；全等三角形的断定及性质；等边三角形的断定．专题：证明题．分析：（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF为等边三角形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAE=∠DAF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF；（2）解：连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．点评：此题主要考察了等边三角形的断定及性质以及全等三角形的断定及性质等学问，娴熟驾驭全等三角形的断定方法是解题关键．14．（2014•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD 及四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=100cm，求菱形ABCD的边长．考菱形的性质．点：分析：依据菱形的性质可得出∠BAE=30°，∠B=45°，过点E作EM⊥AB于点M，设EM=x，则可得出AB、AE 的长度，继而可得出的值，求出AB即可．解答：解：∵∠BAD=135°，∠EAG=75°，四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形，∴∠B=180°﹣∠BAD=45°，∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°，过点E作EM⊥AB于点M，设EM=x，在Rt△AEM中，AE=2EM=2x，AM=x，在Rt△BEM中，BM=x，则==，∵AE=100cm，∴AB=50（+1）cm，∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm．点评：本题考察了菱形的性质及解直角三角形的学问，属于根底题，关键是驾驭菱形的对角线平分一组对角．15．（2014•槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1，∠D=120°．求对角线AC的长．考点：菱形的性质．分析：连接BD及AC交于点O，依据菱形的性质可得AB=AD，AC=2AO，∠ADB=∠ADC，AC⊥BD，然后推断出△ABD是等边三角形，依据等边三角形的性质求出AO，再依据AC=2AO计算即可得解．解答：解：如图，连接BD及AC交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC=2AO ，∠ADB=∠ADC，AC⊥BD，∵∠D=120°，∴∠ADB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AO=AD×sin∠ADB=，∴AC=2AO=．点评：本题考察了菱形的性质，等边三角形的断定及性质，熟记性质并作协助线构造出等边三角形是解题的关键．16．（2014•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．考点：菱形的性质；勾股定理．分依据菱形的对角线相互垂直平分求出CO、BO，再利用勾股定理列式析：求出BC，然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC===5cm，∴S菱形ABCD==BC•AE，即×6×8=5•AE，解得AE=cm．答：AE 的长是cm．点评：本题考察了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线相互垂直平分是解题的关键，难点在于利用菱形的面积列出方程．17．（2014•湖南校级模拟）如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC（1）求证：EC=FC；（2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．考点：菱形的性质；全等三角形的断定及性质．分析：（1）连接AC，依据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等，依据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）推断出△AEF是等边三角形，然后依据等边三角形的三条边都相等解答．解答：（1）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴EC=FC；（2）解：连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△AEF的周长=3AE=3×2=6．点本题考察了菱形的性质，全等三角形的断定及性质，等边三角形的断评：定及性质，熟记各性质并作出协助线是解题的关键．18．（2014•清河区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．考点：菱形的断定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：利用三角形中位线的性质得出DE AC，EF AB，进而得出四边形ADEF为平行四边形．，再利用DE=EF即可得出答案．解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．点此题主要考察了三角形中位线的性质以及平行四边形的断定和菱形评：的断定等学问，娴熟驾驭菱形断定定理是解题关键．19．（2014春•防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的断定；全等三角形的断定及性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：首先利用已知条件和平行四边形的性质断定△ADE≌△CDF，再依据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答：证明：在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．点评：本题考察了平行四边形的性质，全等三角形的断定和性质以及菱形的断定方法，解题的关键是娴熟驾驭各种图形的断定和性质．20．（2014•通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．考点：菱形的断定及性质；正方形的断定及性质；中点四边形．分析：（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；（2）依据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．解答：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC 的中点，∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．∵AB=CD，∴FG=FH=HE=EG．∴四边形EGFH是菱形．（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．∴∠GFH=90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB=1，∴EG=AB=．∴正方形EGFH的面积=（）2=．点评：本题考察了三角形的中位线定理，菱形的断定以及正方形的断定，理解三角形的中位线定理是关键．21．（2014•顺义区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．考菱形的断定及性质．点：分析：（1）由题意易得，EF及BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又麟边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的断定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进展解答．解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE=2DE，BC=2DE，∴BE=BC．∴□BCFE是菱形；（2）解：连结BF，交CE于点O．∵四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°，∴∠BCE=∠FCE=60°，BF⊥CE，∴△BCE是等边三角形．∴BC=CE=4．∴．∴．点此题主要考察菱形的性质和断定以及面积的计算，使学生可以敏捷运评：用菱形学问解决有关问题．22．（2014•祁阳县校级模拟）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．考点：矩形的性质；菱形的断定．分析：（1）依据矩形性质求出OC=OD，依据平行四边形的断定得出四边形OCED是平行四边形，依据菱形断定推出即可；（2）依据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，∴OD=OC，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=10，即OC=AC=5，∵四边形OCED是菱形，∴OC=OD=DE=CE=5，∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．点评：本题考察了勾股定理，平行四边形的断定，菱形的断定和性质，矩形的性质的应用，主要考察学生的推理实力．23．（2014•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，求证：△AOD≌△BOC．考点：矩形的性质；全等三角形的断定及性质．专题：证明题．分析：依据矩形的对边相等可得AD=BC，依据矩形的对边平行可得AD∥BC，依据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠OBC，再求出BC=DE，然后利用“角角边”证明△AOD和△BOC全等即可．解答：证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠E=∠OBC，∵AD=DE，∴BC=DE，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（AAS）．点评：本题考察了矩形的性质，全等三角形的断定，娴熟驾驭矩形的对边平行且相等找出三角形全等的条件是解题的关键．24．（2014•东海县二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．考点：正方形的性质；菱形的断定及性质．分析：（1）依据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，依据 SAS，可得△ABF及△CBF及△CDE及△ADE的关系，依据三角形全等，可得对应边相等，再依据四条边相等的四边形，可得证明结果；（2）依据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，依据勾股定理，可得AC、EF的长，依据菱形的面积公式，可得答案．解（1）证明：正方形ABCD中，对角线BD，答：∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．∵BF=DE，∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．AF=CF=CE=AE∴四边形AECF是菱形；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=，BC=AD=2，EF=BC﹣BF﹣DE=2﹣1﹣1，四边形AECF的面积=AD•EF÷2=2=4﹣2．点评：本题考察了正方形的性质，（1）先证明四个三角形全等，再证明四边相等的四边形是菱形；（2）先求出菱形的对角线的长，再求出菱形的面积．25．（2014•玉溪模拟）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE 上，连接BE、DG．求证：BE=DG．考正方形的性质；全等三角形的断定及性质．点：专题：证明题．分析：依据正方形的性质得出CD=CB，CG=CE，∠BCE=∠DCG=90°，再利用全等三角形的断定定理“SAS”，即可得出△BCE≌△DCG，进而得出BE=DG．解答：证明：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，∴在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．点评：此题主要考察了正方形的性质以及全等三角形的断定及性质，正方形性质的考察常常及三角形的全等相结合综合考察，同学们分析问题时应多从这个角度思索．26．（2014•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．考点：正方形的性质；全等三角形的断定及性质．分析：（1）依据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，BC=CD、∠BCE=∠DCF=90°，又CE=CF，依据边角边定理即可证明△BCE和△DCF全等；（2）由（1）可知△BCE≌△DCF得∠EBC=∠FDC=30°，可得∠BEC=60°，从而可求∠BEF的度数．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°∵F为BC延长线上的点，∴∠DCF=90°，∴∠BCD=∠DCF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=30°，∴∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠FEC=45°，∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．点评：本题主要考察正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的断定和全等三角形对应边相等的性质和等腰三角形的性质，题目比拟简洁．27．（2014•深圳模拟）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．考点：正方形的性质；全等三角形的断定及性质．分析：（1）依据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；（2）先利用勾股定理可计算出AE=10，再依据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到AE=AF，∠EAF=90°，然后依据直角三角形的面积公式计算即可．解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，答：∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE==10，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=AE2=×100=50．点评：本题考察了正方形的性质，全等三角形的断定及性质，旋转的性质以及勾股定理等学问点．28．（2014•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC 上一点，连接EB、ED．求证：∠BEC=∠DEC．考点：正方形的性质；全等三角形的断定及性质．专证明题．。
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四边形证明题经典29道
1、已知：如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．
2、公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．
3、在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE=4,AF=6, 平行四边形的周长为40，
4、在ABCD 中，AB 比AD 大2，∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，∠ABC 的角平分线BF 交CD 于F ，若平行四边形ABCD 的周长为24，求CE 、FD 、EF 的长.
5.已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F
．求证：
E
C
四边形BEDF是平行四边形．
6.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA 的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
7.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
8．如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD=BF ，以AD•为边作等边△ADE ．
（1）求证：△ACD ≌△CBF ；
（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．
9、已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．
10、如图，点P 是□ABCD 的对角线BD 上任意一点，过P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于E 、F ，过P 作HG ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、H ，请问四边形AEPG 和PHCF 的面积相等吗？并说明理由.
A B
C
D E F
G
H
P
11、已知：△ABC中，AD是中线，E在AC上，BE交AD于F，且∠AFE=∠FAE，
试说明AC=BF.
12. 如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行
四边形。
13. 如图，△ABC中，∠CAB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为
E、F．求证：四边形AFDE是正方形．
14 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，EF⊥AB于F，EG⊥CD
于G，且EF=EG。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
15 .在△ABC中，P 是BC 上一动点，过点P 作PE∥AC ，交AB于E ，过P作PF ∥AB 交AC于F，当点P 运动到什么位置时，四边形AEPF是菱形？A
B
D
C
E
F
B C
F
16、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．
17、已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，MN ∥AC ，分别交AD 、CD 于点P 、Q ，试说明MP ＝QN 。
18、已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，求证：AD=CF 。
B
C
D E
F
19、已知如图，四边形ABCD 、四边形DEBF 都是矩形，AB=BF ，BE 、AD 交于点M ，BC 、DF 交于点N ，试说明四边形BMDN 是菱形。
20.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ,∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G.（1）求证：AF=GB;（2）请你再添加一个条件，使得△EFG 为等腰三角形，并说明理由。
21、在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC ⊥BD,垂足为F,过点F 作EF ∥AB,交AD 于点E,CF=4cm. ⑴证明：四边形ABFE 是等腰梯形; ⑵求AE 的长. 22、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点， E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：△ABM ≌△DCM 。
（2）四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论。
（3）若四边形MENF 是正方形，则梯形的高与底边BC 有何数量关系？并请说明 理由。
B C
D
E A
F M
N
23、已知：P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，求证：AP =EF .
24、如图，已知在梯形ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝DC 。
点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，AE ＝GF ＝GC 。
⑴ 求证：四边形AEFG 是平行四边形
⑵ 当∠FGC ＝2∠EFB 时，求证：四边形AEFG 是矩形
25、如图，点E 、F 是正方形ABCD 内两点，且BE ＝AB ，BF ＝DF ，∠EBF ＝∠CBF ；求∠BEF 的度数。
26、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合， 得到△GFC 。
⑴ 求证：BE ＝DG
⑵ 若∠B ＝60°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论。
C
F B A E C
D F A D G C B F
E
27、如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，
点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，那么EF⊥AE”。
他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四形”(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF ⊥AE”结论。
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由。
28、如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC的顶点分别是O（0，0），点A（9，0），B（6，4），C（0，4）。
点P从点C沿C—B—A运动，速度为每秒2个单位，点Q从A向O点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点
到达终点时，另一个点也停止运动。
两点同时出发，设运动的时间是t秒。
⑴点P和点Q 谁先到达终点? 到达终点时t的值是多少?
⑵当t取何值时，直线PQ∥AB? 并写出此时点Ｐ的坐标。
（写出解答过程）
⑶是否存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分? 如果存在，求出t的值；
如果不存在，请说明理由。
*⑷探究：当t取何值时，直线PQ⊥AB? （只要直接写出答案，不需写出计算过程）
A
O 2 4 6 8
A
O 2 4 6 8
A A
B B
B
B C
C
C
C
D
E
D
F
F
F
F
图①图②图③图④
29、如图所示，在直角坐标系中，正方形ABOD 的边长为a ，O 为原点，点B 在x 轴的负半轴上，点D 在y 轴的正半轴上，直线OM 的解析式为x y 2=，直线CN 过x 轴上的一点
C （a 5
3
-
，0）且与OM 平行，现正方形以每秒为10a 的速度匀速沿x 轴
正方向平行移动，设运动时间为t 秒，正方形被夹在直线CE 和OF 间的
部分为S ，
（1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）求梯形ECOD 的面积；
（3）40<≤t 时，写出S 与t 的函数关系式。
x 2。