弹塑性力学2应变分量与协调方程讲义

x y z
V
* V V
x
y
z
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
• 简化公式
• 解释
协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,
xz
•——圣维南 （Saint Venant）方 程
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
i' j' n n ii ' jj ' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
1 2
zx
1 2
如通过积分，计算出
u
u0
P0 P
xdx
(1
2
xy
z
)dy
(1
2
xz
y
)dz
v
v0
P0 P
(1
2
xy
z )dx
ydy
(1
2
yz
x )dz
保证单值连 w
w0
P0 P
(1
2
xz
y )dx
(1
2
yz
x )dy
xdz
x
0 x
P0 P
x dx x dy x dz
x
y
xy
v x
u y
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
微小应变的几何解释
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
11 21 31
12 22 32
13
23
33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
• 体积应变
u v w .
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证明——应变协调方程是变形连续的必要和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
求其位移。
• 解：
x
u x
3x
u 3 x2 f (y) 2
y
v y
2y
v y2 g(x)
xy
v x
u y
f '(y)பைடு நூலகம் g'(x)
xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
yz xz xy 2 2u
x y z
yz
对x求一阶偏导数，则
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y
x 2
2 x
y 2
2 xy
xy
•应变协调方程
2 z
2 y
2 y
z 2
2 yz
yz
2 x
z 2
2 z
x 2
2 xz
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2 y
x2
2 x
y 2
2 (v xy x
u ) y
2 xy
xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
y
v x dx, y v x, y u dx
x
v x, y dy v x, y v dy
y
几何意义
Ax, y A'x u, y v
Bx dx, y B' x dx u u dx, y v v dx
x
x
A' B' AB
dx uxdx2 vxdx2 dx
z
y
0 y
P0 P
y dx y dy y dz
x
y
z
续的条件是 积分与积分 路径无关
z
0 z
P0 P
z dx z dy z dz
x
y
z
是单值连续的，则问题可证。
根据格林公式
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
•利用位移和转动分量的全微分，则
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
xdx
(1 2
xy
z
)dy
(1 2
xz
y
)dz
d x
x
x
dx
x
y
dy
x
z
dz
轮换x , y, z，可得
du，dv和dy，dz
应变
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z) M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
AB
dx
x
u x
C
x,
y
dy
C
'
x
u
u y
dy,
y
dy
v
v y
dy
y 1 ux 2 vx 2 1
y
v y
正应变
tan 1
vxdx
1 ux dx
v x
tan2
u y dy 1 vy dy
u y
xy
1
2
tan 1
tan 2
v x
u y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
x
u x