概率论与数理统计复习资料

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统

§1.1 随机事件

1.随机现象：

确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；

不确定现象：

随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；

其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论：随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间

随机试验举例：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。

E3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。

E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。

举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

必然事件：一定发生的事件，记作

不可能事件：永远不能发生的事件，记作

4.随机事件的关系和运算

由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。

性质：

例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。

注：与集合包含的区别。

相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。

解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。

性质：①，；②若；则。

推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和

举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}

（3）积事件

概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。如需精美完整排版，请QQ: 1273114568

解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。

性质：①，；②若，则AB＝A。

推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3, 4}

（4）差事件

概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.

性质：① A－；②若，则A－B＝。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2}

（5）互不相容事件

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。

推广：n个事件A1，A2，…，A n两两互不相容，即A i A j＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。

（6）对立事件：

概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.

解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω

举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立

性质：①；

②，；

③A－B＝＝A－AB；如需精美完整排版，请QQ: 1273114568

注意：教材第5页的第三条性质有误。

④A与B相互对立A与B互不相容.

小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；

运算：和，积，差，对立.

（7）事件的运算性质

①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④对偶律；.

例1 习题1.1，5（1）（2）

设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：

证明：

证明：

例2.习题1.1，6

请用语言描述下列事件的对立事件：

（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；

答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。

（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。

答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。

§1.2 概率

1.频率与概率

（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生n A次，则称n A为事件A发生的频数；而比值n A/n称为事件A发生的频率，记作f n（A）.

（2）f n（A）的试验特性：随n的增大，f n（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.

（3）由频率的性质推出概率的性质

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个. 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568

2.古典概型

概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；

②每个基本事件发生的可能性相同。

计算公式：

例3.P9 例1－8。

抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P（A），P（B），P（C）。

解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总数n=8，又因为

A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，

C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}，

所以A，B，C中样本点数分别为

r A=3，r B=1，r c=7，