第一章 命题逻辑的基本概念
Chapter1(命题逻辑篇)
1.3命题形式与翻译
例: 考虑命题“小张或小李都可以办好这件事”。
令P为“小张可以办好这件事”,Q为“小李可以办好 这件事”,则原命题F(P,Q)的真值表是：
1.3命题形式与翻译
• 为方便计，对于圆括号的使用做如下约 定：
• ①公式最外层的圆括号可省略． • ②只作用于邻接后的原子命题变元，如
可把(¬P)∨Q写成¬P∨Q． 定义1.3.2 如果A1是公式A的一部分，且A1
是一个公式，称A1是A的子公式．
1.3命题形式与翻译
2.命题的翻译 • 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题
1.1 命题
2.命题标识符 • 在科学领域中，每门科学为描述它的概念和
论证其有关定理，都拥有自己的语言符号以 及所使用的规则． • 在Ls中，采用一种形式语言，形式语言与我们 通常使用的自然语言不同，它由特定意义的 符号和规则组成，其特征是有确定的含义．
• 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的 大写字母，如P,Q,R,…,或Pi,Qi,Ri,…,等表示， 把表示原子命题的符号，称为命题标识符， 简称命题符．
假．
1.1 命题与联结词
• 因此，在数理逻辑中，不能去纠缠各种具体 命题的真假问题，而是将命题当成数学概念 来处理，看成一个抽象的形式化的概念，把 命题定义成非真必假的陈述句．
• 此时所关心的并不仅仅是这些陈述句究竟是 真还是假，更关心的是它可以被赋予真或假 的可能性，以便被规定真值后它与其他命题 发生的联系．
1.2 逻辑联词
• 联结词是逻辑联结词或命题联结词的简 称，它是自然语言中连词的逻辑抽象. 有了联结词，便可以用它和原子命题构 成复合命题．常用联结词有以下5种．
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。
命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。
一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。
命题通常用字母表示，如p、q、r等。
下面是一些例子：1. p：今天是晴天。
2. q：明天会下雨。
3. r：1+1=2。
二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。
常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。
1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。
例如，¬p表示命题p的否定。
2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。
例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。
3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。
例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。
4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。
例如，p→q表示命题p蕴含命题q。
5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。
即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。
例如，p↔q表示命题p和命题q等价。
三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。
复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。
例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。
2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。
3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。
在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。
命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。
总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。
1.1命题逻辑基本概念
(4) ┐p→┐q
例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值
以下命题中出现的a是一个给定的正整数： (5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 (6) a能被4整除，仅当a能被2整除。 (7) 除非a能被2整除， a才能被4整除。 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 (9) 只有a能被2整除， a才能被4整除。 (10)只有a能被4整除， a才能被2整除。
例1.3 将下列命题符号化
(1)吴颖既用功又聪明。 (2)吴颖不仅用功而且聪明。 (3)吴颖虽然聪明，但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。
(5)张辉与王丽是同学。
p: q: r: s: t:
吴颖用功。 吴颖聪明。 张辉是三好学生。 王丽是三好学生。 张辉与王丽是同学。
解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。
例1.2
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
0 1 1 1 0
非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。
1.1 命题符号化与联结词
称能判断真假的陈述句为命题 （proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。
真值为真的命题称为真命题。
真值为假的命题称为假命题。
说 明
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。
关于真值（逻辑）联结词的说明
命题的基本概念
当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派。
本章小结
只有陈述句才有可能是命题，但并不是所有的陈述句都能成为命题。 本小节的思维形式注记图：
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。 • 也可用数字表示此命题 例如：[12]：今天下雨 表示命题的符号称为命题标识符，P和[12]就是命题标识符。
1.1.3 命题标识符
命题常元
一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元。
命题变元
如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元。 因为命题变元可以表示任意简单命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。
命题
判断给定的句子是否为命题的基本步骤
首先应是陈述句； 其次要有唯一的真值。
68%
80%
Sed ut perspiciatis unde omnis.
Sed ut perspiciatis unde omnis.
180
175
案例
1）该吃早饭了！ 祈使句，不是命题。
2）多漂亮的花呀！ 感叹句，不是命题。
我正在说谎，二者也相矛盾。这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题。
5） x-y ＞2。
Sed ut perspiciatis
Sed ut perspiciatis
unde omnis.
unde omnis.
不是命题。因为x, y的值不确定，某些x, y使x−y＞2为真，某些x, y使x−y＞2为假，即
复合命题的基本性质是：其真值可以由其原子命题的真值以及它们复合成该复合
命题的联结方式确定。
1.1.3 命题标识符
命题标识符
• 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将命题符号化。 • 通常使用大写字母P, Q, R…或用带下标的大写字母或用数字，如Pi，[12]等表
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
命题逻辑的基本概念和符号
命题逻辑的基本概念和符号命题逻辑作为逻辑学的一个重要分支，研究的是命题及其之间的关系。
在命题逻辑中，有一些基本概念和符号是我们必须要了解的。
一、命题命题是一个陈述性的句子，它要么是真的，要么是假的，不存在中间值。
比如，“天空是蓝色的”和“2加2等于5”都是命题。
我们可以用大写字母P、Q、R等来表示命题。
二、命题变项命题变项是指用小写字母p、q、r等来表示具体的命题。
它们通常用来表示多个具体的命题，而不是单个的命题。
三、命题运算符命题运算符是用来表示命题之间关系的符号。
常见的命题运算符有如下几种：1. 否定运算符（¬）：表示取反，即命题的否定。
若P为一个命题，那么¬P表示P的否定。
2. 合取运算符（∧）：表示逻辑“与”，即两个命题同时为真时结果才为真。
若P和Q都是命题，那么P∧Q表示P与Q同时为真。
3. 析取运算符（∨）：表示逻辑“或”，即两个命题其中一个为真时结果就为真。
若P和Q都是命题，那么P∨Q表示P或Q至少一个为真。
4. 条件运算符（→）：表示逻辑“如果...那么”，即若一个命题成立，则另一个命题也成立。
若P和Q都是命题，那么P→Q表示如果P成立，则Q也成立。
5. 双条件运算符（↔）：表示逻辑“当且仅当”，即两个命题同时为真或同时为假时结果为真。
若P和Q都是命题，那么P↔Q表示当且仅当P和Q同时为真或同时为假。
四、真值表真值表是用来列出命题在不同情况下的真值的表格。
通过真值表，我们可以确定命题在各种情况下的真假情况，从而帮助我们进行逻辑推理。
五、重言式和矛盾式重言式是指在所有情况下都为真的命题，矛盾式是指在所有情况下都为假的命题。
根据命题逻辑的基本规则，我们可以通过真值表判断一个命题是重言式还是矛盾式。
六、命题公式命题公式是由命题和命题运算符组成的复合命题。
常见的命题公式可以通过命题运算符的组合得到，如(P∧Q)→R。
综上所述，命题逻辑的基本概念和符号对于我们理解和分析命题之间的逻辑关系非常重要。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
离散数学第一章知识点
命题逻辑的基本概念命题与联结词命题：非真即假的陈述句。
真值：命题的陈述句所表达的判断结果，真值只取真或假两种情况。
假命题：真值为假的命题。
真命题：真值为真的命题。
简单命题（原子命题）：无法继续拆分的命题。
复合命题：多个原子命题通过联结词联结而成的命题。
悖论：自相矛盾的陈述句。
否定联结词：符号﹁（复合命题非p称作p的否定式，记作﹁p）合取联结词：符号∧（复合命题p且q称作p与q的合取式记作p∧q）析取联结词：符号∨（复合命题p或q称作p与q的析取式记作p∨q）蕴涵联结词：符号→（复合命题如果p，则q称为p与q的蕴涵式记作p→q，p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件）蕴涵联结词的使用及判定方法：使用：1：因为p所以q这类直抒胸臆的表达时可以直接看作：p→q2：只有p才q这类具有转折性的表达时可以直接看作：q→p判定：1：同假时为真2：后件为真前件为假时为真3：后件为真前件为真时为真其他情况皆为假等价联结词：符号↔（复合命题p当且仅当q称为p与q的等价式）等价联结词的判定：1：当p与q同时为真时为真2：当p与q同时为假时为假命题公式及其赋值命题常项（命题常元）：可以直接理解为原子命题或简单命题命题变项（命题变元）：真值可以变化的陈述句，因此命题变项不是命题合式公式：命题变项使用联结词组合成的符号串（可以当作命题用联结词组合成的复合命题）合式公式层数的判定：下面p和q都是公式或者命题常项1：当个命题变项为0层公式。
2：﹁p为1层公式3：p∧q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）4：p∨q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）5：p→q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）6：p↔q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）赋值（解释）：对公式中的命题变项指定一个真值，真值为1即该命题变项为成真赋值，真值为0即该命题变项为成假赋值。
重言式（永真式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是真矛盾式（永假式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是假可满足式：即至少存在一种赋值下取值为真故重言式必是可满足式，可满足式不一定是重言式，可满足式必不是矛盾式，矛盾式必不是可满足式。
1第一章 命题逻辑基本概念
如何将语句符号化, 以及如何理解符号化了的语句。 语句符号化要注意:
1. 要善于确定简单命题, 不要把一个概念硬拆成几个 概念。 例如“我和他是同学”是一个简单命题。 2. 要善于识别自然语言中的联结词 (有时它们被省略)。 例 1.11 狗急跳墙。
解 应理解为: p: 狗急了, q: 狗才跳墙
解 令 p: odd是奇数, q: odd2是奇数，
上述语句可表示为 p q。 6. 异或(exclusive or)连结词“” 【定义】 对于“排斥或”, 在数理逻辑中用联结词 “”表示, 称作“异或”。 当且仅当命题p和q的真值相异时, p q便取值为 真。
p q的真值表如表1.1.6所示。
1. 否定(negation)词“” 【定义 1.1】 设p是一个命题, 复合命题“非P‖(P的否 定)称为命题p的否定式, 记作“P‖, (读作“非p‖)。 命题p取值为真, 当且仅当命题P取值为假。 p的真值表如表1.1.1所示。 表.1.1 P 0 1 P 1 0
例 1.3 P：地球是圆的。 P：地球不是圆的。
p
0 0 1 1
表 1.6 q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
从定义可知联结词“”有以下性质： (1) p q = q p (2) (p q) r = p (q r) (3) p∧(q r) = (p∧q) (p∧r) (4) p q (p∧q)∨(p∧q) (5) p q (p q) (6) p p 0，p F P, p T P。
但不完全等同。
p∧q的真值表如表1.1.2所示。
表 1.2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
离散数学之1—命题逻辑
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_高等教育出版社_课后最全答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q 前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
数理逻辑1
命题(proposition)
• 举例说明
– 你知道命题逻辑吗？
• 非陈述句，故非命题
– 请安静！
• 非陈述句，故非命题
– 今天我多么高兴呀!
• 非陈述句，故非命题
命题(proposition)
• 举例说明
– 3-x=5
• 陈述句 • 但真假随x 的变化而变化 • 非命题 ,命题公式
– 我正在说谎
联结词(Connectives)
• 合取式和合取联结词∧ ( conjunction)
– 与日常语言的区别:
• 允许相互无关的两个原子命题联接起来 例1： P: 我们在北112. Q: 今天是星期三. P∧Q :我们在北112且今天是星期三. • 不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ ！ 例2： 李敏和李华是姐妹。 李敏和张华是朋友。 李敏与张华都是三好生。 他打开箱子，并拿出一件衣服
• P→Q 的逻辑关系为P是Q的充分条件， Q 是P的必要条件
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当Q”、 “只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否则非P”
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当 Q”、“只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否 则非P” 例 设p：a能被4整除，q：a能被2整除 将下列命题符号化 （1）只要a能被4整除， 则a一定能被2整除. （2）因为a能被4整除，所以a一定能被2整除. （3） a能被4整除，仅当a能被2整除. （4）除非a能被2整除， a才能被4整除. （5）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （6）只有a能被2整除， a才能被4整除. （7）只有a能被4整除， a才能被2整除.
命题逻辑的概念与应用
命题逻辑的概念与应用命题逻辑是逻辑学中的一种形式逻辑，也被称为命题演算或命题推理，它主要关注的是命题之间的关系和推理规则。
在实际应用中，命题逻辑具有广泛的用途，涉及到数学、计算机科学、哲学等多个领域。
本文将介绍命题逻辑的概念与应用，并从数学和计算机科学的角度探讨其实际价值。
一、命题逻辑的概念命题逻辑是研究命题之间关系的一种形式逻辑。
命题是一个陈述性语句，可以被判断为真或假。
命题逻辑通过逻辑运算符来描述命题之间的关系，主要包括合取、析取、蕴含和否定等逻辑运算符。
1. 合取（AND）：用符号“∧”表示，在命题p和q成立时，合取命题p ∧ q也成立。
2. 析取（OR）：用符号“∨”表示，在命题p和q中至少一个成立时，析取命题p ∨ q成立。
3. 蕴含（IMPLICATION）：用符号“→”表示，在命题p成立的情况下，蕴含命题p → q成立。
4. 否定（NEGATION）：用符号“¬”表示，在命题p不成立时，否定命题¬p成立。
二、命题逻辑的应用命题逻辑作为一种形式逻辑，具有广泛的应用。
在数学和计算机科学领域，命题逻辑被广泛应用于推理、证明和问题求解等方面。
1. 数学应用命题逻辑在数学中具有重要的作用。
数学中的定理和推理可以通过命题逻辑的运算符和规则进行严密的推导和证明。
例如，在数学中我们经常使用蕴含和否定来推导和证明命题，同时也可以使用合取和析取来建立和证明复合命题。
2. 计算机科学应用命题逻辑在计算机科学中应用广泛。
计算机的逻辑电路、编程语言中的条件语句和循环语句，以及人工智能中的推理系统等都与命题逻辑密切相关。
命题逻辑为计算机科学提供了一种严密的推理和判断方法，帮助计算机进行逻辑推断和问题解决。
在计算机科学中，命题逻辑被用于描述计算机程序的正确性和程序验证。
通过使用命题逻辑的规则和推理方法，可以检验程序中的逻辑错误，并以此来验证程序是否满足需求和规范。
此外，命题逻辑还在人工智能领域中被广泛应用。
第1章 命题逻辑的基本概念
第1章
例题3
例3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就 一 定给你买本《儿童画报》。”问：什么情况 下父亲食言？ 解：可能有四种情况： (1)父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。 (2)父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。 (3)父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。 (4)父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
第1章
等价
5、等价 由p、q和等价符号↔组成的式子(p↔q)称为p和q 的等价式。 p↔q为真当且仅当p、q真值相同。 真值表描述如下： 例：p：两圆面积相等 p↔q p q
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
q：两圆半径相等 两圆的面积相等当且仅当它 们的半径相当。 (p↔q)
第1章
第1章
例题4
例4、p：天下雨 q：我骑车上班 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (2)只要天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (3)只有天不下雨，我才骑车上班。 q→┐p 或 p→┐q (4)除非天下雨，否则我就骑车上班。 ┐p→q (5)如果天下雨，我就不骑车上班。 p→┐q
第1章
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
q：小明学过法语 则小明学过英语或法语 表示为： (p∨q)
第1章
相容性或与排斥或
例、小明学过英语或法语 p：小明学过英语 q：小明学过法语 相容性或 表示为：p∨q 例、小明只能挑选计算机专业或物联网工程专业 p：小明选计算机专业 q：小明选物联网专业 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) 例、小明是安徽人或河南人 p：小明是安徽人 q：小明是河南人 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) p∨q
例5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
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真值表3
(3) C＝ (pq)q的真值表 p q 0 0 1 1 0 1 0 1 p 1 1 0 0 pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0 (pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ 假命题 (1) 2 是有理数。 真命题 (2) 2 + 5 = 7。 不是命题 (3) x + 5 > 3。 不是命题 (4) 你去教室吗？ 不是命题 (5) 这个苹果真大呀！ 不是命题 (6) 请不要讲话！ 命题，但真值现在不知 (7) 2050年元旦下大雪。 (8) 我现在所说的是谎话。 不是命题
蕴涵联结词
定义1.4 设p, q为两个命题，复合命题“如果p, 则q”称作 p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为 蕴涵式的后件，称作蕴涵联结词。 规定：pq为假当且仅当p为真q为假。
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蕴涵联结词
(1) pq 的逻辑关系：q为 p 的必要条件 (2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法： 若p，就q 只要p，就q p仅当q 只有q 才p 除非q, 才p 或 除非q，否则非p，…． (3) 当 p 为假时，pq恒为真，称为空证明 (4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
1 0 1 0 0
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小
结
本小节中p, q, r, … 均表示命题。 联结词集为{, , , , }，p, pq, pq, pq, pq为基本复合命题。 其中要特别注意理解pq 的涵义。 反复使用{, , , , }中的联结词组 成更为复杂的复合命题。 设 p: 2 是无理数，q: 3是奇数， r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转。 则复合命题 (pq) ((rs) p) 是假命题。 联结词的运算顺序：, , , , , 同级按先出现者 先运算。
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合取联结词的实例
例2 将下列命题符号化。 (1) 吴颖既用功又聪明。 (2) 吴颖不仅用功而且聪明。 (3) 吴颖虽然聪明，但不用功。 (4) 张辉与王丽都是三好生。 (5) 张辉与王丽是同学。
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合取联结词的实例
解： 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (1) pq (2) pq (3) pq (4) 设p:张辉是三好生， q:王丽是三好生 pq (5) p:张辉与王丽是同学 (1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分
学。 由于研究的对象和方法各有侧重而又分为形 式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
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第一部分 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究推理，是研究推 理中前提和结论之间的形式关系的科学。所谓推 理就是由一个或几个判断推出一个新判断的思维 形式。这里所说的数学方法就是建立一套表意符 号体系，对具体事物进行抽象的形式研究的方法。 因此，数理逻辑又称符号逻辑。这种方法的优点 是表达简洁、推理方便、概括性好、易于分析等。 一般认为，数理逻辑是由德国数学家兼哲学 家莱布尼兹(G.W. Leibnitz)在17世纪中叶创立的。 4/43
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真值表
例6 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和成 假赋值: (1) (pq) r (2) (qp) qp (3) (pq) q
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真值表1
(1) A = (pq) r p q r pq 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
命题变项与合式公式
几点说明： 1、归纳或递归定义 2、元语言与对象语言 对象语言：用来描述研究对象的语言 如p, pq, (pq)r等 元语言：用来描述对象语言的语言 如A, B, C等符号 3、外层括号可以省去
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合式公式的层次
定义1.7 (1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式。 (2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一： (a) A=B, B 是 n 层公式； (b) A=BC, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)。 (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式。 例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r, E=((pq) r) (rs) 分别为0层，1层，2层，3层，4层公式。 25/43
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命题分类
命题分类：简单命题(也称原子命题)与复合命题 简单命题：不能分解成更简单的命题 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单 命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令 p： 2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1。
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命题变项与合式公式
定义1.6 合式公式（也称命题公式，简称公式）的递 归定义： (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命 题公式。 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式。 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式。 (4) 只有有限次地应用(1)~(3) 形成的符号串是合式公 式。 设A是合式公式，B为A的一部分，若B也是合式 公式，则称B为A的子公式。 23/43
离散数学
郭长勇 Email：hit_gcy@ 计算机学院软件与理论教研室
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主要内容
第一部分 数理逻辑 命题逻辑
一阶逻辑
第二部分 代数结构
代数系统 几个典型的代数系统
群、环、域、格与布尔代数
2/43Βιβλιοθήκη 第一部分 数理逻辑引言
研究人的思维形式和规律的科学，称为逻辑
公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命 题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A 的一个赋值或解释。 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组值为A的成假赋值。
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公式赋值
几点说明： A中仅出现 p1, p2, … , pn，给A赋值=12…n是指 p1=1, p2=2, …, pn=n, i=0或1, i之间不加标点符 号。 A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1, q=2 , r=3 … 含n个命题变项的公式有2n个赋值。 如 000, 010, 101, 110是(pq)r的成真赋值 001, 011, 100, 111是成假赋值。
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等价联结词
定义1.5 设 p, q为两个命题，复合命题“p当且仅当q” 称作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词。
规定: pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
pq 的逻辑关系：p与q互为充分必要条件。
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等价联结词
例5 求下列复合命题的真值。 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6。 (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数。 (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起。 (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲。 (5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续。
30/43 成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111
真值表2
(2) B＝(qp)qp p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 qp 1 0 1 1 (qp)q 0 0 0 1 (qp)qp 1 1 1 1
成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
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真值表
定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成 表，称作A的真值表。 构造真值表的步骤: (1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, … , pn(若 无下角标则按字母顺序排列)， 列出2n个全部赋 值, 从000开始, 按二进制加法， 每次加1, 直至 111为止。 (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3) 对每个赋值依次计算各层次的真值，直到最后计 算出公式 的真值为止。
第一部分 数理逻辑
主要内容:
命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
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第一章 命题逻辑的基本概念
主要内容:
命题与联结词 命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
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1.1 命题与联结词
命题与真值 命题：判断结果惟一的陈述句 非真即假的陈述句 可判断真假的陈述句 命题的真值：判断的结果 真值的取值：真与假 真命题与假命题 注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不 是命题
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否定、合取、析取联结词
定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否 定”)称为p的否定式，记作p，符号称作否定联 结词。 规定: p 为真当且仅当p为假。 定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或 “p与 q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作 合取联结词。规定: p∧q为真当且仅当p与q同时为 真。 定义1.3 设p, q为两个命题，复合命题“p或q”称作 p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词。 规定: p∨q为假当且仅当p与q同时为假。