周期信号的傅里叶级数
第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
§3.1 周期信号的傅里叶级数展开
F0 a0
Fn
1 2
(an
jbn )
F
n
1 2
(an
jbn )
n 1, 2,3, n 1, 2,3,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
f t
A
解： 直接代入公式有
T
T
22
t
Fn
1 T
T 2
T
f (t)e-jn0tdt
1 T
2
Ae - jn0t dt
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数
f t
1
0 T/2 T
t
1
解：直接代入公式有
a0
1 T
T 0
f
(t)dt
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
直接代入公式有
T
T
an
2 T
2 T
f
(t) cosn0tdt
2 T
0
(1) cosn0tdt
T
2 T
T
an
4 T
2 0
f (t) cos(n0t)dt
n为奇数时
T
bn
4 T
2 0
f
(t) sin(n0t)dt
n为奇数时
奇半对称信号的第二个半周 波形为第一个半周波的负值。 进行傅立叶级数展开时只含 有奇次谐波项，所以奇半波 对称信号有时称为奇谐信号。
信号与系统
二、周期信号的对称性与傅立叶系数
满足狄里赫利条件的不连续函数，在所有不连续点上，级数的总和等于左
右极限和的平均值。
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
周期信号的傅里叶级数
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
周期信号傅里叶级数
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
周期信号的傅里叶级数分析
n
2 2e j0t
2e j0t
4e
j
2
e
j
30t
4e
j
2
e
j
30t
j t
j
j ( 3 t )
j ( 3 t )
2 2e 4 2e 4 4e 4 2 4e 4 2
仿真 源码
连续时间信号与系统的频域分析
三、周期信号频谱的特点
f(t) E
-T -/2
/2 T
t
Fn
E T
0 0 20
信号与系统分析
周期信号的傅里叶级数分析 一、三角函数形式的傅里叶级数
若周期信号 的周期f为(t) 角频率 T 狄里赫利条件，即
，且0 满 2足T
（1）在一周期内，若有间断点存在，则间断点的数 目应为有限个。
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目为有限个。
（3）在一周期内，信号绝对可积。即 为有限值。
指数型傅 里叶级数
n 为整数，Fn ( jn0 ) 为复傅里叶系数。其中
Fn
(
jn0
)
1 T
t0 T f (t)e jn0t dt
t0
连续时间信号与系统的频域分析
指数型傅里叶系数与三角形傅里叶系数的关系：
F0 a0 A0
Fn ( jn0 )
1 2
(an
jbn )
Fn
e jn
1
Fn
2
an2
二者共同组成信号的复频谱。（双边谱）
连续时间信号与系统的频域分析
单边谱的每条谱线代表一个分量的振幅，而双边谱是 将单边谱的每个频率分量一分为
二、对应到正、负频率处各为一半而得。即
An Fn Fn
§4.3 周期信号的傅里叶级数
例4-3-1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1
T
T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2
1 T
T 2 T 2
1 f (t ) cos( nt ) d t j T
T 2 T 2
1 f (t ) sin( nt ) d t T
2
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为 T , 基波角频率为 2F T
n =1基波分量 直流分量
在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cos nt bn sin nt
n 1
1
n >1谐波分量
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 Fn T
0
T
f (t )e j nt d t
利用欧拉公式
1 T 1 f (t ) cos nt d t j T 0 T 1 a n jbn 2
0
T
f (t ) sin nt d t
Fn
1 T
1 T
0
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
周期信号的连续时间傅里叶级数
傅里叶级数的收敛性取决于信号的形状和频率范围。对于具有快速衰减特性的信号，其傅里叶级数可 能具有良好的收敛性；而对于具有缓慢衰减特性的信号，其傅里叶级数可能具有较差的收敛性。在实 际应用中，通常需要对信号进行截断或加窗处理，以提高傅里叶级数的收敛性。
傅里叶级数的重要性和应用价值
信号分析
傅里叶级数提供了将周期信号 分解为正弦和余弦波的方法，
是信号分析中的重要工具。
通信系统
在通信系统中，傅里叶级数用 于信号调制和解调，实现信号 的传输和接收。
控制系统
在控制系统中，傅里叶级数用 于频域分析和系统稳定性分析 。
物理和工程领域
在物理、化学、生物和工程领 域，傅里叶级数用于分析各种
DTFS的主要应用包括信号分析和数字信号处理中的频谱分析。
快速傅里叶变换（FFT）
1
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散 傅里叶变换（DFT）和其逆变换的算法。
2
FFT的主要思想是将长度为$N$的DFT分解为多 个较短的DFT，然后利用旋转因子的周期性和对 称性来减少计算的复杂度。
3
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发 展，使得实时信号处理成为可能。
滤波器设计
滤波器是信号处理中的重要元件，用于提取或抑制特定频率范围的信号。通过傅 里叶级数，可以设计出各种类型的滤波器，如低通、高通、带通和带阻滤波器等 。
滤波器设计在音频处理、图像处理、雷达和通信等领域有广泛应用，例如在音频 处理中可以通过滤波器来消除噪音或增强特定音色。
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2
T1
T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
2
bn 为 n的1 奇函数
iii) bn
f (t),sin n1t sin n1t,sin n1t
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
2
T1
T1
t0 T1 t0
f
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3.1周期信号的傅立叶级数
i)
a0
f (t),1 1 t0 T1 f (t)dt
1,1
T1 t0
an为 n的1 偶函数
ii)
an
f (t), cos n1t cos n1t, cos n1t
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
i)三角函数集：
sin 0t,sin 20t,
,1, cos0t, cos 20t,
(t0 ,
t0
2 0
)
ii)复指数函数集： 1, e j0t , e j0t , e j20t , e j20t ,
f(t)=C1 sin w1t+C3 sin w3t+C6 sin w6t
viii)直流分量：c0
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5．周期信号的离散谱
i)幅度(频)谱: cn n1
cn c1 c2 谱线，包络线
c0
c3
ii)相位(频)谱: n n1
n
01 31 n1
01 31 n1
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第三章 傅立叶变换
•引言
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意 输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
rzs (t) h(t) e(t)
而本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号， 任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信 号或虚指数信号之和。
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•频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论
傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数 展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为 傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解， 即分解为三角函数或复指数函数的组合。
(t0 , t0
2 1
)上的完备正交函数集，周期 T1
特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频)谱
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二、指数形式的傅立叶级数
1．任意信号的指数傅立叶级数展开
① {1, e j1t , e j1t , e j21t , e j21t ,..., e jn1t , e jn1t ,...}
(t0 , t0
2 1
)上的一个完备正交函数集，周期 T1
2 1
②满足一定条件的任一函数 f
(t)
在区间(t0
,
t0
2 1
)
都可描述为：
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
n1
f(t)
0 t0
t哈0 尔2滨 /工业1 t大学自动化测试与控制系
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v)基波分量： f1
1 对应的
T1
c1
cos(1t
1 )
vi)奇次谐波分量： 3 f1, 5 f1, 7 f1, ... 对应的
c2k1 cos[(2k 1)1t 2k1]
vii)偶次谐波分量：2 f1, 4 f1, 6 f1, ... 对应的 c2k cos(2k1t 2k )
②一周期内f (t)极值有限个；
③一周期内f (t) 绝对可积，即 t0T1 f (t)dt t0
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4．其它三角形式
i) f (t) c0 cn cos(n1t n ), f (t) d0 dn sin(n1t n )
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
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预备知识:完备的正交函数集
信号分解： f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) cr gr (t)
常用完备正交函数集：
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2．对于周期函数 f (t) ，由于 a0 , an , bn积分值与积
分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1)，故在
t , f (t) 均可以展成傅立叶级数
f (t)
0
t
T1
T1
3．存在的充分非必要条件：狄利克雷条件
①一周期内f (t)间断点有限个；
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3.1周期信号的傅立叶级数
一、三角形式的傅立叶级数
1．任意信号的三角形式傅立叶级数展开
① {1,cos1t,sin1t,cos21t,sin 21t,..., cosn1t,sin n1t,...}是区间
n1
n1
ii) a0 c0 d0 , cn dn an2 bn2 cn 为 n的1 偶函数
iii) an cn cosn dn sinn , bn cn sinn dn cosn
iv)
tgn
bn an
,
tgn
an bn
n ,n 为 n的1 奇函数
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了 信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特 性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽 以及滤波、调制等重要概念。
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本章主要内容
• 周期信号的傅立叶级数 • 非周期信号的傅立叶变换 • 傅立叶变换的基本性质 • 周期信号和抽样信号的傅立叶变换