圆锥曲线-基本定义-第一定义

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巧用圆锥曲线第一定义

（口＋１）（ａ－３）
ｚ口 — — — — ～
２（ｎ一２ａ一
，
一学．又
一
１
，
．．．ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０，且由２ｃ－２ｂ＝ｎ＋３得：ｃ＞ｂ．由６一
又因为三角形的内角和为１８Ｏ。，所以ｃ为所
问题的买质，从寻找条件与结论的目标差入手，向着减
为Ｆ，Ｆ２，过Ｆ。作直线交双曲线的左支于Ａ，Ｂ两点，且ｌＡＢｌ一，则ＡＡＢＦ２的周长为
分析：本题中ＡＦ１，ＡＦ２，ＢＦ，ＡＦ２都是焦半径，而／ＸＡＢＦ２的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定
ｃ＝ａ２２ｂ＋２
－
改进解法：从目标出发，考虑ｃ。ｓｃ一
，只
须将ｂ，ｃ表示为ａ的函数，代入即可求出．由已知可解
得：６一 ±
二
，：
，代人余弦定理有。。Ｃ
［
＝＝＝一
卜（牮）。４抖２。＿３）
求ＡＡＢＣ最大角的度数．解析：本例结论是求最大的角，而条件却是关于边的等量关系，根据三角形的边、角大小关系可知，应先由此两项条件判定出最大的边．由（１）（２）两条件的特征，可以发现共性：ｂ，Ｃ的系数的绝对值都是２，变形为
一
ＩＰＦ２ｌ ≥１０，所以，点Ｐ到焦点Ｆ的距离为１７．

由一道高考题探究圆锥曲线第一定义的应用

由一道高考题探究圆锥曲线第一定义的应用圆锥曲线是几何中的一种曲线，它的概念与椭圆的类似，但是圆锥曲线的特殊之处在于它可以由一组平行的线条组成，并且它的切线有着一定的关系。

因此，圆锥曲线的应用也是非常广泛的，也是高考数学考题中经常出现的内容。

例如，最近一次高考数学考题中就出现了一道圆锥曲线的题目：若点A、B、C三点位于椭圆x2/9+y2/16=1上，且M（2，3）、N（5，0）分别是点A、B对应的切点，那么点C对应的切点是什么？
此题考查了圆锥曲线的第一定义，根据此定义点A、B、C三点在椭圆上，M（2，3）、N（5，0）是点A、B对应的切点，因此点C对应的切点应该是在MN的相反方向上的指定点，故点C对应的切点是（-3，0）。

圆锥曲线的第一定义广泛应用于几何和数学中不同的领域，如机械结构设计、管道流体传输、磁力学、电磁学等等。

在航空航天、船舶设计方面，最重要的是能够用圆锥曲线设计出流畅、结实的设计，以节省空间和质量。

总之，圆锥曲线是一种非常有用的几何曲线，并且第一定义广泛地应用在不同的领域中。

它为几何和数学学习提供了一个新的视角，使学生们在学习中更好的理解和掌握几何知识，也更好的运用它们，做出优秀的成果。

第5.1讲圆锥曲线

1 1 设P1，2，则kOP＝， 2
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)． x 2 y2 ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1. 5 4 答案 x2 y2 ＋＝1, 5 4
椭圆的定义、标准方程及几何性质 (1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在 x 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)； a b y 2 x2 ②当焦点在 y 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)． “分母谁大在谁家” a b (3)几何性质： c ①离心率：e＝＝ a b2 1－ 2 ∈(0,1)； a
【例2】►函数y＝解析
sin x 的最大值为______，最小值为______． 2＋cos x
sin x－0 y＝表示点P(cos x，sin x)与点 cos x－－2
A(－2,0)连线的斜率，而点P在单位圆上，如右图， 3 过A作单位圆的切线AB，AC.易知kAB＝，kAC＝ 3 － 3 3 3 分别为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为，最小值为－ . 3 3 3 3 3 3 － 3
2
)．
1 C．b ＝ 2
2
D．b2＝2
解析
由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝
0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2 －a ＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝ 5×2 1 ＝ . 2 答案 C
4
a4－5a2 2 11 ＝ a，解得a2＝，b2 2 5a2－5 3
b x 2 y2 2 － x.与椭圆方程 2 ＋ 2 ＝1联立，解得x＝± a.因为PF1⊥x轴，F1为左焦 a a b 2 点，所以x＝－ 2 2 a，从而－ a＝－c，即a＝ 2 c.又|F1A|＝a＋c＝ 10 ＋ 2 2

第一轮复习自己整理绝对经典圆锥曲线--第一轮

圆锥曲线题型总结（2015）一．圆锥曲线的定义第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|Ｆ1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1Ｆ2|，则轨迹是以F 1,Ｆ2为端点的两条射线，若2a ﹥｜Ｆ1Ｆ2|,则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

定义的试用条件:例1:已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的（） A ．421=+PF PF B.621=+PF PF C.1021=+PF PF D.122221=+PF PF例2:8=表示的曲线是__＿＿__＿___利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离:例３:如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P(x ，ｙ）,则ｙ+｜PQ|的最小值是____＿_____例４：点A （３,2）为定点,点Ｆ是抛物线y x 24=的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动,若||||P A P F +取得最小值，求点P 的坐标。

利用定义求轨迹:例5:动圆M 与圆C １：(x ＋1）2+y 2＝36内切,与圆C 2：(x-１）2+ｙ2=４外切,求圆心M 的轨迹方程例6:已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1F P 到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是( ）A 、椭圆B 、圆Ｃ、直线 D 、点例７:已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.例8：已知)0,21(-A ,B 是圆4)21(:22=+-y x F (F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为定义的应用:例9：椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心，则ON 的值是真题:【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ )A ．1１B ．9C ．5 D.3 【20１3新课标Ⅰ卷文科21】已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。

圆锥曲线常用知识归类

圆锥曲线常用知识归类1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第二章圆锥曲线1 椭圆 ........................................................................................................................... - 1 -1.1 椭圆及其标准方程 ......................................................................................... - 1 - 1.2 椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 6 - 2 双曲线 ..................................................................................................................... - 11 -2.1 双曲线及其标准方程 ................................................................................... - 11 - 2.2 双曲线的简单几何性质 ............................................................................... - 15 - 3 抛物线 ..................................................................................................................... - 19 -3.1 抛物线及其标准方程 ................................................................................... - 19 - 3.2 抛物线的简单几何性质 ............................................................................... - 23 - 4 直线与圆锥曲线的位置关系 .................................................................................. - 28 -4.1 直线与圆锥曲线的交点 ............................................................................... - 28 - 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 ....................................................................... - 28 -1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．1．椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 焦点 (－c ，0)，(c ，0)(0，－c )，(0，c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 22．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上？[提示] 椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上．疑难问题类型1 椭圆定义及应用【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32(2)已知B (－5，0)、C (5，0)，且△ABC 的周长等于24，则顶点A 的轨迹方程为________．(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．(1)B (2)x 249＋y 224＝1(y ≠0) (3)4a [(1)设F ′为椭圆的另一焦点，则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10，∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点．∴|OB |＝12|AF ′|＝4．(2)由已知得，|AB |＋|AC |＝14，由椭圆的定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆，又2c ＝10，2a ＝14，即c ＝5，a ＝7，所以b 2＝a 2－c 2＝24．当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x 249＋y 224＝1(y ≠0)．(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦半径之间的相互转化；,(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题.类型2求椭圆的标准方程[探究问题]1．同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？[提示]不同．2．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b＞0?[提示]令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义．3．椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)有何异同点？[提示]因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的形状、大小相同，但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．【例2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－5，3)；(2)经过点P1(6，1)，P2(－3，－2)．[思路点拨](1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－5，3)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)的形式，再进一步确定A ，B ．[解] (1)依题意知椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得c ＝4，所以a 2－b 2＝16．①因为点(－5，3)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1．② 由①②得a 2＝20，b 2＝4．因此，所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1．(2)设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，由已知得 ⎩⎨⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1，解得A ＝19，B ＝13．∴所求的椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1．1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，其一般步骤是：①定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． ②定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数．类型3 椭圆标准方程的简单应用【例3】 (1)已知方程x 25－2m ＋y 2|m |－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．(2)已知椭圆方程为kx 2＋3y 2－6k ＝0，焦距为4，则k 的值为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 (2)1或5 [(1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴其标准方程应为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴|m |－1＞5－2m ＞0，解得2＜m ＜52，∴m 的取值范围为2＜m ＜52．(2)将方程kx 2＋3y 2－6k ＝0化为x 26＋y 22k ＝1．∵焦距为4，∴2c ＝4，即c ＝2．当焦点在x 轴上时，6－2k ＝4，解得k ＝1；当焦点在y 轴上时，2k －6＝4，解得k ＝5．综上，k ＝1或5．]1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x 2项，y 2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．2．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．归纳总结1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论．1.2椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)(1)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？(2)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示](1)在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．(2)最大距离：a＋c；最小距离：a－c．疑难问题类型1 椭圆的几何性质 [探究问题]1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，到中心O 和焦点F 1(－c ，0)的距离最近和最远的点分别在什么位置？[提示] 椭圆上，到中心O 的距离最近的点是短轴端点B 1和B 2；到中心O 的距离最远的点是长轴端点A 1和A 2．点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最远距离和最近距离．2．利用椭圆方程如何判断点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系？ [提示] 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1．3．椭圆的离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？ [提示] e 的大小决定了椭圆的扁圆程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以ba ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1，O 为坐标原点，则椭圆上的点P 到椭圆中心|OP |的范围为( )A ．[6，10]B ．[6，8]C ．[8，10]D ．[16，20](3)(一题两空)椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长为________，短轴长为________． (1)D (2)C (3)6 4 [(1)椭圆x 225＋y 29＝1中c 21＝25－9＝16，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1中c 22＝25－k －(9－k )＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P (x 0，y 0)，则|OP |＝x 20＋y 20．由椭圆的范围，知|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，又∵P 在椭圆上，∴x 20100＋y 2064＝1， ∴y 20＝64－1625x 20，∴|OP |＝925x 20＋64.∵0≤x 20≤100，∴64≤925x 20＋64≤100，∴8≤|OP |≤10．(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4．]用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质.类型2 由椭圆的简单性质求方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e ＝63．[思路点拨](1)由a＝2，e＝ca＝12，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．[解](1)由a＝2，e＝12，可得a2＝4，且c2＝12，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1．(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为x234＋y225＝1．(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝63，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1．综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1．已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.(2)然后依据关系式e＝ca，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程.类型3求椭圆的离心率【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路点拨]根据已知条件得出a、c的关系即可．[解]不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝2c2a＝3x3x＝33．求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e＝ca直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.归纳总结1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．4．椭圆的对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当使用对称性能简化求解过程．2双曲线2.1双曲线及其标准方程1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]动点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b23．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．疑难问题类型1双曲线的定义及应用双曲线中，焦点三角形的面积问题【例1】已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．利用双曲线定义求点的轨迹方程【例2】已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．[思路点拨] 考查点F 的几何性质，利用双曲线的定义求解． [解] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)．所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |．所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2，即|F A |－|FB |＝2．由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x248＝1(y ≤－1)．1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．类型2 求双曲线的标准方程【例3】 (1)已知双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程． [思路点拨] 用待定系数法求解．[解] (1)设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1()AB >0，则⎩⎪⎨⎪⎧9A －32B ＝1，8116A －25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝－116，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．(2)法一：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意易求得c ＝25．又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b 2＝1．又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．待定系数法求双曲线方程的步骤类型3曲线类型的判定【例4】已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[思路点拨]方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．[解](1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．当|t|<1时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的.归纳总结1．对双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的应用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：确定a2，b2的数值．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．2.2双曲线的简单几何性质双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b渐近线xa±yb＝0或y＝±ba xxb±ya＝0或y＝±ab x离心率e＝ca(e＞1)(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．疑难问题类型1双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13．又曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x．1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．类型2利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为5 4；(2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．[思路点拨]由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c 的值．[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1．(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1．∴双曲线的标准方程为x23－y2＝1．1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ．类型3双曲线的离心率【例3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[思路点拨]确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan 30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62．求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解.归纳总结1．由已知双曲线的方程求双曲线的几何性质时，注意首先应将方程化为标准形式，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B 时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．1．抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么动点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程图形标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px(p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 焦点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 22．抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．疑难问题类型1 抛物线的定义【例1】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74[思路点拨] 如图，过A 、B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2．C [由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C ．]1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离．2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化．类型2 求抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝40x ；(2)4x 2＝y ；(3)6y 2＋11x ＝0．[解] (1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10． (2)由4x 2＝y 得x 2＝14y ． ∵2p ＝14，∴p ＝18．∴焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116．(3)由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为(－1124，0)，准线方程为x ＝1124．求抛物线的标准方程【例3】求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)； (2)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3．[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[解] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3，2)，∴4＝－2p 1×(－3)或9＝2p 2×2．∴p 1＝23或p 2＝94．故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3， ∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y ．1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程．2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．类型3 抛物线的实际应用【例4】一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[思路点拨] 解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用抛物线的方程解决问题．[解] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a ．即抛物线方程为x 2＝－ay ．将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a ．欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3． ∵a ＞0，∴a ＞12.21．∴a 应取13．1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．归纳总结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，焦点为F ，则根据抛物线的定义，抛物线的焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化．4．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．3.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的几何性质标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 图形性质范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 对称轴 x 轴 y 轴顶点(0，0) 离心率e ＝1 2．过焦点的弦若直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则(1)抛物线的焦半径|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2；(2)过焦点的弦|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)当直线AB 垂直于抛物线的对称轴时，弦AB 叫作抛物线的通径，它的长为2p ，通径是过焦点最短的弦．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．疑难问题类型1抛物线几何性质的应用【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长．[思路点拨]正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长．[解]设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2．由|OA|＝|OB|，得x21＋y21＝x22＋y22，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1．∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2．由此可知|y1|＝|y2|，即点A、B关于x轴对称，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan 30°＝33．∵x1＝y212p，∴y1＝23p，|AB|＝2y1＝43p．∴这个正三角形的边长为43p．抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为p 2.类型2与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】 (1)过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，则AB 所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝9．则该抛物线的方程为________．[思路点拨] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．(1)4x －y －15＝0 (2)y 2＝8x [(1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2， ∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1．联立⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k ．又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0．(2)设直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝5p 4，∵|AB |＝9＝x 1＋x 2＋p ，∴5p 4＋p ＝9，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x ．]直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法类型3抛物线中的最值问题【例3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．[思路点拨]利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离来考虑．[解]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|P A|＋|PF|＝|P A|＋d．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．∵6＞2，∴点A在抛物线内部．由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2，即|P A|＋|PF|的最小值为7 2，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．∴此时点P坐标为(2，2)．1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解．2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值．归纳总结1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋p 2．3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．4．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。

人教版高中数学【选修 2-1】第三章圆锥曲线的概念及性质

人教版高中数学精品资料重点列表：重点名称重要指数重点1 椭圆 ★★★★ 重点2 双曲线 ★★★ 重点3 抛物线★★★★椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b + 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系．【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92，或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92，或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12，或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

高中数学第二章圆锥曲线1.1椭圆及其标准方程课件(4)北师大版选择性必修第一册

课堂篇探究学习
探究一
求椭圆的标准方程
例1求合适下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
3 5
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(-2 , 2);
1 1
1
(3)经过点 P( , ),Q(0,- ).
3 3
2
解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上,
所以 c= 2 - 2 =
12-3=3,从而|F1F2|=2c=6,
在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4 3,
即 48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
变式训练1求合适下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2);
14
(2)经过两点(2,- 2), -1, 2 .
解 (1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,
2 2
所以可设它的标准方程为 2 + 2=1(a>b>0).

由椭圆的定义知 2a= (4-0)2 + (3 2 + 2)2 + (4-0)2 + (3 2-2)2 =12,
B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆

专题七解析几何第二讲圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮

③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以

[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：圆锥曲线定义的应用

例6：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上任意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点Q 的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹为圆（除两点）
例7：双曲线的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上任意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的内角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹为圆（除两点）
y B A F C
x
例 1 0 ：已知圆 O 1： -5 ) y 4，圆 O 2：x 5) y 1 6， (x (
2 2迹方程。
解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r
MO 1 2 r ， MO
MO
2
2
4r
MO 1 2
圆锥曲线定义在解题中的应用
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长（不为零）的点的轨迹叫圆
2、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a M F1 M F 2 2 a （2a>|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
3、双曲线的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于 MF 1 MF 2 2 a 常数2a（2a<|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线。
∴M的轨迹是以O1（5，0）、 O2 （-5，0）为焦点的双曲线的右支
c 5， a 1, b 24
2
方程为 x
2
y
2
1 x 1
24
例1, 已知 :双曲线
x
2

y
2
1
上一点P
到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离
64
36
解:由已知可得a=8，b=6，c=10。因为|PF1|=14〈2a 所以 P为双曲线左支上一点，设双曲线左、2右焦点分别为F1、F2， P到右准线的距离为d，则由双曲线第一定义可得|PF2|-|PF1|=16，所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得 1 所以d= e |PF2|=24

第52讲圆锥曲线(一)

第52讲圆锥曲线(一)
常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．
1．各曲线的定义
(1)椭圆：{P| |PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；
(2)双曲线：{P| ||PF1|－|PF2||＝2a，2a＜|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；
证明设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得y＝2px0，y＝2px1，y＝2px2．
由于kAB＝＝＝，则直线AB方程为y－y1＝(x－x1)，即(y1＋y2)y－y1y2＝2px．⑩
因为PA⊥PB，故有·＝－1，但＝，于是就有(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4p2，即y1y2＋(y1＋y2)y0＋y02＝－4p2．
例2．设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．(1996年全国高考题)
解法一因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，c＞a，
则离心率e＝＞＞，故排除选项C、D．
因为直线l过点(a，0)、(0，b)，原点到直线l的距离为c，则c2＝ab，检验A、B分支，选A．
C类例题
例7．点P(x0，y0)是抛物线y2=2px上的任意一定点，PA、PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点．
分析由于PA⊥PB，故可考虑引入参数k(斜率)．
证明设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率为k，则PA的方程：y－y0=k(x－x0)．
则y－y0＝k(x－x0)，可得x＝＋x0，①
将⑨代入⑤，并以y02＝2px0代入得：(y1＋y2)y＋(y1＋y2)y0＋2px0＋4p2－2px＝0，就是⑧式．

高考数学(圆锥曲线)第一轮复习

高考数学（圆锥曲线）第一轮复习资料知识小结一.椭圆第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.3.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.4.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).5.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=a c,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.二.双曲线1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2三.抛物线1.抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p 值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p 值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2. 不同点:四.直线与圆锥曲线的位置关系1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.7．弦长公式1212||||AB x x y y =-=- 8．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）五.轨迹问题1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法. 4．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．5．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．六.圆锥曲线的应用 1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．试题选讲1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰1-2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是3．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点______(2,0)________4．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为 216x =5．椭圆22221(0)x y a b ab +=>>那么双曲线22221x y ab -=的离心率为6．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是圆7．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF = 7:18．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是 0,1x y ==及1y x =+9．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为______2－2π______.10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为10103101011．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值范围是 ),3(+∞ 。

《圆锥曲线》第一章基础知识篇

Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案选 D.解将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解两个交点, 故选 A.例若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标准方程.5. 椭圆的极坐标方程见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆答案选 D.解因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案选 B.朽木易折，金石可镂解焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案选.。

2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)

第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.]2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线D [由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.17 [由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．209或365[当k ＞4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.]5．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]6．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 [由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T 1，T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 切入点：|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A 的位置，求a ，b 的值．B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|， ∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF 的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定P 点坐标．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.] [教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴ y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴ d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴ b ＝3. ∵ c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴ a 2＝3， ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆方程常设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，双曲线方程常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．(椭圆的定义)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 A [易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C (图略)，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点．关键点：正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点．D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5切入点：以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2相交且|PQ |＝|OF |.关键点：正确确定以OF 为直径的圆的方程．A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式． A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.] [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.法二：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可取直线l 的方程为y ＝ba 2－b 2x ＋b ，椭圆中心到l 的距离为b a 2－b 2a ，由题意知b a 2－b 2a ＝14×2b ，即a 2－b 2a ＝12，故离心率e ＝12.] 2．(双曲线的离心率)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [连接MF 1(图略)，由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt△MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝c a，所以e ＝5，故选B.]3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .切入点：①直线l 过点A ；②l 与C 交于M ，N 两点；③l 与x 轴垂直．关键点：将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系．[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 切入点：①直线l 与椭圆C 相交；②AB 的中点M (1，m )．关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0及点P 在C 上确定m ，并进一步得出|FP →|，|FA →|，|FB →|的关系．[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 2x 2－x 12＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数． 2．弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则|PQ |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2.或|PQ |＝|y 1－y 2|1＋1k2＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(k ≠0)．3．弦的中点圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0的弦为PQ .若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，且BA 1→·BA 2→＝－1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且直线l 与x 轴不垂直，若D 为x 轴上一点，|DM →|＝|DN →|，求|MN ||DF |的值．[解] (1)A 1，A 2，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b )，BA 1→·BA 2→＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝b 2－a 2＝－1，∴c 2＝1. 又e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (－1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵直线l 与x 轴不垂直，∴可设其方程为y ＝k (x ＋1)．当k ＝0时，易得|MN |＝4，|DF |＝1，|MN ||DF |＝4.当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， ∴|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝6k3＋4k2， ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，∴MN 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2(k ≠0)，令y ＝0得，1k x ＋k 3＋4k 2＝0，解得x ＝－k23＋4k2.|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2，∴|MN ||DF |＝4.综上所述，|MN ||DF |＝4.2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线在M ，N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上； (2)设MF →＝2FN →，求△PMN 的面积．[解] (1)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝14x 2求导，得y ′＝12x ，所以直线PM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．①直线PN 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)．②联立方程①②，消去x ，得y ＝－1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上．(2)因为MF →＝(－x 1,1－y 1)，FN →＝(x 2，y 2－1)，且MF →＝2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，得x 21＝8，x 22＝2.不妨取M (22，2)，N (－2，12)，由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1.易得|MN |＝92，点P 到直线MN 的距离d ＝322，所以△PMN 的面积S ＝12×92×322＝2728.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结(含解析)1数学教案

第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ，即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ，则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )，则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )．由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。

圆锥曲线知识梳理

圆锥曲线知识梳理一、直线与方程1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

直线l 倾斜角的范围是),0[π。

(2)斜率公式：①定义式：直线l 的倾斜角为2π≠α，则斜率α=tan k 。

②两点式：),(111y x P 、),(222y x P 在直线l 上，且21x x ≠，则l 的斜率1212x x y y k −−=。

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当21x x =时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 90=α，直线与x 轴垂直；(2)k 与1P 、2P 的顺序无关，即1y 、2y 和1x 、2x 在公式中的前后次序可以同时交换，分子与分母不能交换； (3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当21y y =时，斜率0=k ，直线的倾斜角 0=α，直线与x 轴平行或重合。

(3)两条直线平行的判定①对于两条不重合的直线1l 、2l ，若其斜率分别为1k 、2k ，则有21//l l ⇔21k k =。

②当直线1l 、2l 不重合且斜率都不存在时，21//l l 。

(4)两条直线垂直的判定①如果两条直线1l 、2l 的斜率存在，设为1k 、2k ，则有21l l ⊥⇔121−=⋅k k 。

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，21l l ⊥。

2、直线方程的五种形式3、直线的交点、距离与对称问题 (1)两条直线的交点(2)三种距离二、圆的方程1、圆的定义及方程2 点),(00y x M ，圆的标准方程222)()(r b y a x =−+−。

三、直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系(1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。

(2)两种研究方法：2、圆与圆的位置关系(1)设圆1C ：212121)()(r b y a x =−+−(01>r )，圆2C ：222222)()(r b y a x =−+−(02>r )，四、曲线和方程的定义1、一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0)(=y x f ，的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结概要

高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。

第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。

两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。

（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。

方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。

题高考数学第题圆锥曲线知识点大全

高考数学第20题：圆锥曲线考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简洁几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简洁几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简洁几何性质．考试要求：（1）驾驭椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）驾驭双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质．（3）驾驭抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质．（4）理解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第肯定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a b y a x =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.留意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第肯定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的间隔）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满意a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）asin α,)α)N 的轨迹是椭圆aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线22a y x ±=-离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-y a x 假如双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的间隔为m = n ，则P 到两准线的间隔比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= =n m. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的全部弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统肯定义..4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线l 的间隔之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的间隔之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 1．到两定点F 1,F 2的间隔之差的肯定值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的间隔之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的间隔之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的间隔相等的点的轨迹. 图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) y 2=2px参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a ce )1(>=e a ce e=1准线x=ca 2±x=ca 2±2p x -= 渐近线y=±ab x焦半径ex a r ±=)(a ex r ±±= 2p x r +=附加常用结论：一、圆锥曲线的统肯定义(第二定义)：若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的间隔之比等于一个常数)0(>e e ,则动点的轨迹为圆锥曲线。