圆锥曲线-基本定义-第一定义

学术正刊 圆锥曲线 基本定义

高中 1 LeO 著 第一定义

定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。

定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。

定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。

解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(−c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：

√(x +c )2+y 2+√(x −c )2+y 2=2a ⋯〈1〉

〈1〉式移项后再平方：

(x +c )2+y 2=4a 2−4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2

继续化简：

(a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2) ⋯〈2〉

〈2〉式中令b 2=a 2−c 2，化简得：

x 2a 2+y 2

b 2

=1 证毕。

图1 图2

定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。即：||PF 1|−|PF 2||=2a 。

定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。

定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。

解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(−c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：

√(x +c )2+y 2−√(x −c )2+y 2=±2a ⋯〈1〉

〈1〉式移项后再平方：

(x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2

继续化简：

(c 2−a 2)x 2−a 2y 2=a 2(c 2−a 2) ⋯〈2〉

〈2〉式中令b 2=c 2−a 2，化简得：

x 2a 2−y 2

b 2

=1 证毕。