五年级上册数学《等积变形》课件
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《等积变形问题》课件
应用广泛
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索 和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的 关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的 图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活 调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面 在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳 定性。
《等积变形问题》PPT课 件
欢迎来到《等积变形问题》PPT课件！通过本课件，我们将一起探索等积变 形问题的定义、分类、应用以及解决方法。让我们一起开始吧！
等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学 问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不 变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体 积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索 和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的 关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的 图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活 调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面 在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳 定性。
《等积变形问题》PPT课 件
欢迎来到《等积变形问题》PPT课件！通过本课件，我们将一起探索等积变 形问题的定义、分类、应用以及解决方法。让我们一起开始吧！
等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学 问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不 变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体 积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。
六大几何模型.等积变形(动图版)(课堂PPT)
5
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
6
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
7
例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
3 等积变形模型实际应用中，常用的3个结论：
A
D
B
C
A
D
BE
C
A
B
D
C
3
结论一的典型应用： 夹在一组平行线间的两个三角形若同底，则面积相同。
A
D
B
C
主要应用场景：正方形、长方形、平形四边行、梯形等
4
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
8
例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
10
巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 巩固2：已知正方形ABCD的边长为10，正方形BEFG的边长为6，求阴影部分面积？
11
巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 答案：6
六大几何模型详解和例题
作者：Flora和一只叫81的肥猫
六大几何模型
等积变形 一半模型
1
鸟头模型
2
蝴蝶模型
3
燕尾模型
4
相似模型
5
6
2
01 等积变形模型
1
等积变形 习题
2 等积变形模型说明： 等积变形中的“积”指的是面积，三角形作为最基本图形，任何直线型图形都 可分解成若干个三角形，等积变形里主要研究的是三角形面积变换。
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
6
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
7
例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
3 等积变形模型实际应用中，常用的3个结论：
A
D
B
C
A
D
BE
C
A
B
D
C
3
结论一的典型应用： 夹在一组平行线间的两个三角形若同底，则面积相同。
A
D
B
C
主要应用场景：正方形、长方形、平形四边行、梯形等
4
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
8
例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
10
巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 巩固2：已知正方形ABCD的边长为10，正方形BEFG的边长为6，求阴影部分面积？
11
巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 答案：6
六大几何模型详解和例题
作者：Flora和一只叫81的肥猫
六大几何模型
等积变形 一半模型
1
鸟头模型
2
蝴蝶模型
3
燕尾模型
4
相似模型
5
6
2
01 等积变形模型
1
等积变形 习题
2 等积变形模型说明： 等积变形中的“积”指的是面积，三角形作为最基本图形，任何直线型图形都 可分解成若干个三角形，等积变形里主要研究的是三角形面积变换。
等积变形PPT教学课件
加彩壶（清代）
壶盖呈扁圆形，壶身 呈扁圆柱形，口及底渐收， 有圈足，短流，把手上圆 下方。周身以深浅蓝珐琅 彩满绘花纹带。盖上绘花 卉、如意纹，壶口下部一 周是回纹，回纹外一周是 如意纹，腹中部一周绘花 卉卷草纹，近底部绘变形 莲瓣纹。花纹的颜色和紫 砂胎本色既对比又和谐， 在加彩装饰的紫砂器中堪 称佳作。
金银彩绘山水茶壶 （清代）
通体呈方形，直口，口以 下渐广，方圈足。曲形柄，流、 柄均凸起四棱，与壶体相呼应。 口上附盖与壶体相吻合。用紫 色砂泥制作，形体古朴大方。 腹部一面用金银彩绘山水、楼 阁和松柏。另一面为金彩篆书 御制诗：“御制 花港观鱼， 锦梭不籍。天孙掷练，影中堆 万。族云设兴，水仙作春。服 天边风，月傲清华。”共三十 四字。盖面用金彩彩描绘卷枝 纹作边饰，壶口边、足边刻络 绎纤细的回纹。底阳印“乾隆 年制”四字篆款。彩绘技法娴 熟，书意清逸典雅，篆书用笔 流畅，是紫砂器中的珍品。
4×3×2＝ 1.5 2πx
解得 x 3.4
经检验，符合题意。
答：圆柱的高为 3.4 厘米。
2.分析：
圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:
( 5)2 18 112.5 (立方厘米)
2
圆柱形玻璃杯的容积为:
(6)2 10 90 (立方厘米)
2 因此：水的体积大于杯的容积。
可见：圆柱形玻璃杯装不下，圆柱 形瓶内仍剩余部分的水。
注壶 （清代）
壶为梅花形， 并有梅花形盖，盖 上塑二桃形钮。壶 流朝天，为半圆形。 梅花形矮圈足。底 心有一圆形戳记， 字模糊不清。整体 造型俊秀，小巧玲 珑。
彩绘山水注壶 （清代）
壶身似杯，有短平 流，无把。盖身、圈足 均作四瓣瓜棱形。盖顶 堆塑双桃，瓜棱腹两侧 用胭脂红、蓝、青、黄、 黑等多种色料绘山水画。 器形规整，制作讲究。 盖内及壶底均刻草书 “王伦”二字，底又印 有椭圆形款记，惜字迹 模糊，难以辨认。1959 年浙江杭州半山清乾隆 年间墓葬出土。
五年级上册数学课件-等积变形-沪教版
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
中阴影部分的面积是多少？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积与△AED、 △EBC的面积和相等
阴影部分面积=40平方厘米
判断：蓝色三角形与红色三角形面积相 等吗？
互动小练习
互动规则：
以给出的指定边为底，画出同底等高三角形。 要求：至少画出两个。
底
底 底
底
底
底
底 底
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
火眼金睛：判断一半
判断一
是
是
否
否
判断二
是
是
是
是
判断三Βιβλιοθήκη 是是是是
记笔记
一、平行四边形模型
上
左
右
下
上+下=左+右=平行四边形面积的一半
例1 如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平 方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部
分面积是多少平方厘米？
A
D
E
B
C
练1 如图，E是平行四边形ABCD中任意一点，已知 △AED与△EBC的面积和是40平方厘米，那么图
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
等积变形
五年级上册数学课件-等积变形-沪教版
挑战极限
如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上一点，
已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的
三角形一共有哪几个？
A
D
答案：△ABD和△ABE
E
B
C
本课回顾
成功的道路上充满荆棘，苦战方能成功。 人生没有十全十美，如果你发现错了。重新再来，别人不原谅你，你可以自己原谅自己。千万不要用一个错误去掩盖另一个错误。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 许多人缺少的不是美，而是自信的气质。 教师的威信首先建立在责任心上。——马卡连柯 看轻别人很容易，要摆平自己却很困难。 我从来没有招惹你，你为什么要来招惹我？既然招惹了，为什么半途而废？ 所有欺骗中，自欺是最为严重的。 意志力是人的一条救生索，它可以帮助我们脱离困境，引导我们走向胜利。 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。 想哭的时候就哭出来。
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
中阴影部分的面积是多少？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积与△AED、 △EBC的面积和相等
阴影部分面积=40平方厘米
判断：蓝色三角形与红色三角形面积相 等吗？
互动小练习
互动规则：
五年级上册数学课件-等积变形-沪教版
等积变形
主讲：王老师
目录
➢课前回顾 ➢教学目标 ➢第一部分：平行四边形模型 ➢第二部分：同底等高的三角形 ➢第三部分：狗牙模型 ➢第四部分：蝴蝶模型 ➢挑战极限 ➢课堂总结
课前回顾
巧算面积的方法：分割法；割补法；网格法
例1：下图中空白部分的面积是100，那么阴影正 方形的面积是__________.
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
等积变形
二、等积变形 钉住其中两点，移动另外一点，沿平行线移动，必要时可构造平行线
二、狗牙模型
嘴巴必须是平行四边形；牙齿要无重叠的占满嘴巴的一条边；牙齿是嘴巴的一半
例2 如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高 CH为9厘米；E是底边BC上任何一点，那么两个
火眼金睛：判断一半
判断一
是
是
否
否
判断二
是
是
是
是
判断三
是
是
是
是
记笔记
一、平行四边形模型
上
左
右
下
上+下=左+右=平行四边形面积的一半
例1 如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平 方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部
主讲：王老师
目录
➢课前回顾 ➢教学目标 ➢第一部分：平行四边形模型 ➢第二部分：同底等高的三角形 ➢第三部分：狗牙模型 ➢第四部分：蝴蝶模型 ➢挑战极限 ➢课堂总结
课前回顾
巧算面积的方法：分割法；割补法；网格法
例1：下图中空白部分的面积是100，那么阴影正 方形的面积是__________.
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
等积变形
二、等积变形 钉住其中两点，移动另外一点，沿平行线移动，必要时可构造平行线
二、狗牙模型
嘴巴必须是平行四边形；牙齿要无重叠的占满嘴巴的一条边；牙齿是嘴巴的一半
例2 如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高 CH为9厘米；E是底边BC上任何一点，那么两个
火眼金睛：判断一半
判断一
是
是
否
否
判断二
是
是
是
是
判断三
是
是
是
是
记笔记
一、平行四边形模型
上
左
右
下
上+下=左+右=平行四边形面积的一半
例1 如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平 方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部
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判断一
是
是
否
否
判断二
是
是
是
是
判断三
是
是是是记笔记源自一、平行四边形模型上
左
右
下
上+下=左+右=平行四边形面积的一半
例1 如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平 方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部
分面积是多少平方厘米？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积=100÷ 2=50平方厘米
练1 如图，E是平行四边形ABCD中任意一点，已知 △AED与△EBC的面积和是40平方厘米，那么图
挑战极限
如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上一点，
已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的
三角形一共有哪几个？
A
D
答案：△ABD和△ABE
E
B
C
本课回顾
中阴影部分的面积是多少？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积与△AED、 △EBC的面积和相等
阴影部分面积=40平方厘米
判断：蓝色三角形与红色三角形面积相 等吗？
互动小练习
互动规则：
以给出的指定边为底，画出同底等高三角形。 要求：至少画出两个。
底
底 底
底
底
底
底 底
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？
A
F
HD
B
E
C
答案：阴影三角形面积之和是平行四边形面积的一半 平行四边形面积=20*9=180平方厘米 阴影三角形面积之和=180÷2=90平方厘米
练2 如图，平行四边形ABCD的面积100平方厘米， 那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
A
D
B
E
C
答案：阴影部分面积是平行四边形面积的一 半；阴影部分面积=100÷2=50平方厘米
例3 如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的 边长是8厘米。求阴影部分的面积。
答案：阴影部分面积是大正方形面积的一半 阴影部分的面积=10× 10÷ 2=50平方厘米
练3 如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边 长是8厘米。求阴影部分的面积。
答案：阴影部分面积是小正方形面积的一半 阴影部分面积=8× 8 ÷ 2=32平方厘米
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
等积变形
二、等积变形 钉住其中两点，移动另外一点，沿平行线移动，必要时可构造平行线
二、狗牙模型
嘴巴必须是平行四边形；牙齿要无重叠的占满嘴巴的一条边；牙齿是嘴巴的一半
例2 如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高 CH为9厘米；E是底边BC上任何一点，那么两个
等积变形
目录
➢课前回顾 ➢教学目标 ➢第一部分：平行四边形模型 ➢第二部分：同底等高的三角形 ➢第三部分：狗牙模型 ➢第四部分：蝴蝶模型 ➢挑战极限 ➢课堂总结
课前回顾
巧算面积的方法：分割法；割补法；网格法
例1：下图中空白部分的面积是100，那么阴影正 方形的面积是__________.
火眼金睛：判断一半
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
是
是
否
否
判断二
是
是
是
是
判断三
是
是是是记笔记源自一、平行四边形模型上
左
右
下
上+下=左+右=平行四边形面积的一半
例1 如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平 方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部
分面积是多少平方厘米？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积=100÷ 2=50平方厘米
练1 如图，E是平行四边形ABCD中任意一点，已知 △AED与△EBC的面积和是40平方厘米，那么图
挑战极限
如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上一点，
已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的
三角形一共有哪几个？
A
D
答案：△ABD和△ABE
E
B
C
本课回顾
中阴影部分的面积是多少？
A
D
E
B
C
答案：阴影部分面积与△AED、 △EBC的面积和相等
阴影部分面积=40平方厘米
判断：蓝色三角形与红色三角形面积相 等吗？
互动小练习
互动规则：
以给出的指定边为底，画出同底等高三角形。 要求：至少画出两个。
底
底 底
底
底
底
底 底
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？
A
F
HD
B
E
C
答案：阴影三角形面积之和是平行四边形面积的一半 平行四边形面积=20*9=180平方厘米 阴影三角形面积之和=180÷2=90平方厘米
练2 如图，平行四边形ABCD的面积100平方厘米， 那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
A
D
B
E
C
答案：阴影部分面积是平行四边形面积的一 半；阴影部分面积=100÷2=50平方厘米
例3 如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的 边长是8厘米。求阴影部分的面积。
答案：阴影部分面积是大正方形面积的一半 阴影部分的面积=10× 10÷ 2=50平方厘米
练3 如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边 长是8厘米。求阴影部分的面积。
答案：阴影部分面积是小正方形面积的一半 阴影部分面积=8× 8 ÷ 2=32平方厘米
阴影部分是否是平行四边形面积的一半？
等积变形
二、等积变形 钉住其中两点，移动另外一点，沿平行线移动，必要时可构造平行线
二、狗牙模型
嘴巴必须是平行四边形；牙齿要无重叠的占满嘴巴的一条边；牙齿是嘴巴的一半
例2 如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高 CH为9厘米；E是底边BC上任何一点，那么两个
等积变形
目录
➢课前回顾 ➢教学目标 ➢第一部分：平行四边形模型 ➢第二部分：同底等高的三角形 ➢第三部分：狗牙模型 ➢第四部分：蝴蝶模型 ➢挑战极限 ➢课堂总结
课前回顾
巧算面积的方法：分割法；割补法；网格法
例1：下图中空白部分的面积是100，那么阴影正 方形的面积是__________.
火眼金睛：判断一半
蝴蝶模型
四、蝴蝶模型
等积变形
梯形的两翼面积相等
例4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
10 B
D 46 31
C
答案：25，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。
练4 在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边 形ABCD的面积是多少？
A
12 B
D 26 16
C
答案：22，画出辅助线构造三个蝴蝶模型。