专题03 三角形中的最值、范围(解析版)

专题03 三角形中的最值、范围

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕三角形中的最值、范围精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.

【热点难点突破】

例1.【2016年山东卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B

⎛⎫

+=+

⎪

⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=,

所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.

()∏由()I 知2

a b

c +=

, 所以 2

2

2

2222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫

+- ⎪+-⎝⎭=

=311842

b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，

当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为

12

.

例2.【2016年北京卷】在∆ABC 中，2

2

2

+=a c b . （1）求B ∠ 的大小；

（2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4

π

；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）根据余弦定理公式求出cos B 的值，进而根据B 的取值范围求B 的大小；

（2cos A C +进行化简变形，进而根据A 的取值范围求其最大值.

点睛：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．

例3.

（1

（2.

【答案】（1（2 6.

【解析】试题分析：（1）根据已知条件，由正弦定理，（2）

再求出周长的最大值。

（2

，

（当且仅当

时取等号），

（当且仅当

，

6.

例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，2

4

2cos sin 25

B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10

(0,2]{}3

；

（2【解析】

试题分析：（1）首先利用三角恒等变形求出A 的三角函数值，再利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长的表达式转化为以B 为变量的函数，利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）2

442cos

sin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1

sin cos 5

A A -=-， 又∵0A π<<，且22

sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有

sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10

(0,2]{}3

；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得

10

(sin sin )2[sin sin()]sin 3

a l a

b

c a B C B A B A =++=+

+=+++

10

2(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2)3

B A B A B B B B θ=+

++=++=++， 其中θ

为锐角，且sin 10cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，

max 2l =+

，当cos B =

，sin B =时取到，

此时sin sin a

b B A

=

=例5.

6层的写字楼，每层高均为3m

36m

（1

（2

已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果

最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？

【答案】(1)30米;(2) 时，张角

.

【解析】试题分析：（1）

（2