现代数字信号处理习题

1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。

证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为()001,w -w w 0,w -w wH w⎧<∆⎪=⎨>∆⎪⎩ 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w =输出随机过程()y n 的平均功率为()()()002011r 022w wy y w w S w dw S w dw πππ+∆-∆==⎰⎰当频率宽度w 0∆−−→时，上式可表示为()()()01r 00y S w w π=∆≥由于频率0w 是任意的，所以有()w 0S ≥3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程)()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H=νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ})]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --=请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。

解：步骤1 状态一步预测，即1*11)|1(ˆ)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ξξ步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即1*11)|(ˆ)()()|(ˆ)()(M n n C n x n C n z n zn z n ∈-=-=--ξξα步骤3 一步预测误差自相关矩阵NN H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,()1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=-步骤4 新息过程自相关矩阵MM H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益MN H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或)()()()(12n Q n C n P n K H-= 步骤6 状态估计1*1)()()|(ˆ)|(ˆN n n C n n K n x n x∈+=-αξξ步骤7 状态估计自相关矩阵 NN C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或)()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P HH +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法：直接法：又称为周期图法，它把随机序列x(n)的N 个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅里叶变换，得到X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为序列x(n)的真实功率普估计自相关法 ：1949年，Tukey 根据Wiener —Khintchine 定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从而得到谱的估计。

1958年，Blackman 和Tukey 在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫BT 法。

5、假定输入信号{x(t)}是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为0)(N f P x =，且线性系统的冲激响应为 ⎩⎨⎧>=-elset e t h t ,00,)( 求输出y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。

解：由题知，系统的传递函数为⎰⎰∞∞-∞---+===022211)()(fj dt e e dt et h f H ft j t ftj πππ有此得222411211211)()()(ff j f j f H f H f H πππ+=-+=-=由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得220241)()()(fN f P f H f P x y π+== 输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有ττπτππτ-∞∞-∞∞-=+==⎰⎰e N df e fj N df ef P C f j f j x y 241)()(022202 6、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。

答：（1）相关图法又称BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。

（2）此方法的具体步骤是：①给出观察序列)1(),...,1(),0(-N x x x ，估计出自相关函数：∑--=-≤≤+-+=mN n N m N ，m n x n x Nm R1011)()(1)(ˆ②对自相关函数在（-M ，M ）内作Fourier 变换，得到功率谱：mj MMm e m m RSωωω--=∑=)()(ˆ)(ˆ式中，一般取1-≤N m ，)(m ω为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。

答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：))(()()(τττωωτx j x x R F d e R S ==-∞∞-⎰ ωωπτωτd e S R j x x ⎰∞∞-=)(21)((2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：mj m xj x em R e S ωω-∞-∞=∑=)()(ωπωππωd e e S m R m j j x x ⎰-=)(21)(8、举例说明卡尔曼滤波的应用场景。

答：假设要研究的对象是一个房间的温度。

根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设用一分钟来做时间单位）。

假设经验不是100%的可信，可能会有上下偏差几度。

我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution ）。

另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。

我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。

下面我们用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。

首先要根据k-1时刻的温度值，来预测k 时刻的温度。

因为假定温度是恒定的，所以k 时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，预测的不确定度是4度，二者平方相加再开方，就是5）。

然后，从温度计那里得到了k 时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。

究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance 来判断。

因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k 时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。

可以看出，因为温度计的covariance 比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k 时刻的最优温度值，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。

在进入k+1时刻之前，我们还要算出k 时刻那个最优值（24.56度）的偏差。

算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。

这里的5就是上面的k 时刻预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k 时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

9、离散时间信号()s n 是一个一阶的AR 过程，其相关函数||(),01k s R k a a =<<，两观测数据为()()()x n s n v n =+，其中()s n 和()v n 不相关，且()v n 是一个均值是0，方差为2v σ的白噪声，设计维纳滤波器()H z 。

解：由题意，可写出维纳霍夫方程：(0)(1)(0)(0)(1)(0)(1)(1)x x sx x x sx R R R w R R R w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由于()s n 和()v n 不相关，故||2()()()()k x s v v R k R k R k a k σδ=+=+()E{()()}E{()[()()]}E{()()}()sx s R k s n x n k s n s n k v n k s n s n k R k =-=-+-=-=因此有||()()k sx s R k R k a ==，代入得：22(0)11(1)1v v w a w a a σσ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解方程得：2222222221(0)(1)(1)(1)v v v v a w a a w a σσσσ+-=+-=+-所以，维纳滤波器的传递函数1()(0)(1)H z w w z -=+，其中(0)w 和(1)w 由上式给出。

11、如图(a)所示系统，其中e t tt()sin =22ππ，系统中理想带通滤波器的频率响应如图(b)所求，其相频特性ϕω()=0，请分别画出y t ()和r t ()的频谱图，并注明坐标值。

答案：12、AR 谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR 谱估计的基本原理是：p 阶的AR 模型表示为：∑=+--=pi i n u i n x n x 1)()()(ϕ其自相关函数满足以下YW 方程：取p m ,...,2,1,0=，可得到如下矩阵方程：在实际计算中，已知长度为N 的序列)(n x ，可以估计其自相关函数)(ˆm R x，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p ϕϕϕ,...,,21及2σ，于是可求出)(n x 的功率谱的估计值。

13、已知信号模型为s （n ）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均值为零的白噪声，其方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。

现设计一因果IIR 维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。

求该滤波器的传输函数和差分方程。

解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。