现代数字信号处理习题

1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。

证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为

()001,w -w w 0,

w -w w

H w

⎧<∆⎪

=⎨

>∆⎪⎩ 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w =

输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201

1r 022w w

y y w w S w dw S w dw π

π

π+∆-∆=

=⎰⎰

当频率宽度w 0∆−−→时，上式可表示为()()()01

r 00y S w w π

=∆≥

由于频率0w 是任意的，所以有()w 0

S ≥

3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程

)()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H

=νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ

}

)]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --=

请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即

1

*11)|1(ˆ)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧

ξξ

步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即

1*11)|(ˆ)()()|(ˆ)()(M n n C n x n C n z n z

n z n ∈-=-=--ξξα

步骤3 一步预测误差自相关矩阵

N

N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,()

1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=-

步骤4 新息过程自相关矩阵M

M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M

N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或

)()()()(1

2n Q n C n P n K H

-= 步骤6 状态估计

1*1)()()|(ˆ)|(ˆN n n C n n K n x n x

∈+=-αξξ

步骤7 状态估计自相关矩阵 N

N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或

)()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H

H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法：

直接法：又称为周期图法，它把随机序列x(n)的N 个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅里叶变换，得到X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为序列x(n)的真实功率普估计

自相关法 ：1949年，Tukey 根据Wiener —Khintchine 定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从而得到谱的估计。1958年，Blackman 和Tukey 在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫BT 法。

5、假定输入信号{x(t)}是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为0)(N f P x =，且线性系统

的冲激响应为 ⎩⎨

⎧>=-else

t e t h t ,00,)( 求输出y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。 解：由题知，系统的传递函数为

⎰⎰∞

∞

-∞

---+=

==0

22211

)()(f

j dt e e dt e

t h f H ft j t ft

j πππ

有此得2

22

411

211211)()()

(f

f j f j f H f H f H πππ+=

-+=

-=

由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得

2

20

2

41)()()(f

N f P f H f P x y π+=

= 输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有

ττ

πτ

ππτ-∞

∞

-∞

∞-=+=

=

⎰⎰e N df e f

j N df e

f P C f j f j x y 241)()(022202 6、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。

答：（1）相关图法又称BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是：

①给出观察序列)1(),...,1(),0(-N x x x ，估计出自相关函数：

∑--=-≤≤+-+=m

N n N m N ，m n x n x N

m R

10

1

1)()(1)(ˆ

②对自相关函数在（-M ，M ）内作Fourier 变换，得到功率谱：

m

j M

M

m e m m R

S

ωωω--=∑=)()(ˆ)(ˆ

式中，一般取

1-≤N m ，)

(m ω为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。