..弧度制学案(人教A版必修)

1.1.2 弧度制自主探究 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：|α|＝lr；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．角度与弧度的互化 (1)360°＝2πrad,180°＝π rad.(2)1°＝π180 rad ≈0.017_45rad ，1rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57°18′＝57.30°. 3．扇形的弧长及面积公式我们已经学过弧长公式和扇形面积公式，请写出这两个公式，并根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．解 半径为r ，圆心角n °的弧长公式为：l ＝nπr180，扇形面积公式为S 扇＝nπr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .名师点拨 1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．如图所示，圆O 的半径为r ，AB 的长为r ，∠AOB 就是1弧度的角，记为∠AOB ＝1 rad. 注意：可以证明，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．弧度数(1)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．注意：①使用公式|α|＝lr求角α时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α终边的旋转方向决定．②角α与所在圆的半径大小无关，是由比值lr唯一确定的．③公式中角α是弧度数，不是角度数．(2)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．3．角度与弧度之间的转化 一般地，我们只需根据180°＝π rad 1°＝π180rad ≈0.017 45 rad 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 就可以进行弧度与角度的换算了．注意：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示α是2 rad 的角，sin π3就表示π3 rad 的角的正弦，即sin π3＝sin 60°.典例剖析一、角度制与弧度制的换算例1 (1)把11°15′化成弧度；(2)把4π5rad 化成度．分析 先将11°15′化为11.25度，然后乘以π180 rad ，即可将11°15′化成弧度.4π5乘以180°π即可化为角度．解 (1)∵11°15′＝11.25°，∴11°15′＝π180 rad ×11.25＝π16rad.(2)4π5 rad ＝4π5×180°π＝144°. 点拨 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．二、利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500° (2)236π (3)－4解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角．(2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．点拨 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 三、弧长、扇形面积的有关问题 例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？分析 扇形周长等于2个半径2r ，加上弧长l ，即有：2r ＋l ＝40.而面积S ＝12lr ，这样可以由l ＝40－2r 代入S ＝12lr ，从而建立一元二次函数，进一步可以求出最大面积．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.点拨 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数最值问题．变式训练1．将下列角按要求转化： (1)85π＝________度； (2)300°＝________rad ； (3)－22°30′＝______rad.答案 (1)288 (2)5π3 (3)－π82．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是______．答案 －10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π.3．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2kπ±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．以上都不对答案 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5 答案 A解析 设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.4．已知集合A ＝{α|2kπ≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 答案 C解析 集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形内切圆半径为r ，则r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3. 二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为______． 答案 25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______.答案 73π或103π解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.答案 －11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π，π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ－π6≤α≤2kπ＋512π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ－34π≤α≤2kπ＋34π，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|kπ＋π6≤α≤kπ＋π2，k ∈Z . 10．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254cm 2，这时α＝lr ＝2 rad.。