垂径定理(1)

·O
E
A
B
（3）平分弦（AE=BE）；
D
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
符号语言
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦；CD⊥AB于E；
∴AE=BE， AD=BD， AC=BC.
垂径定理的推论
小结反思
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）平分弦（不是直径）（AE=BE）；
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90
AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB ∴ AE=AD
ODA 90
C
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
垂径定理
小结反思
C
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）； （2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）； 则可推出：
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧： AC=BC AD=BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半 A 圆重合，点A与点B重合，AE与BE重
合， AC ， AD 分别与 BC 、BD 重合．
C
·O
E B
D
图1
一条直线若满足： 由以上活动可得：
C
（1）过圆心（CD是直径）；
24.1.2垂直于弦的直径
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
则可推出：（3）垂直于弦（ CD ⊥AB ）； A
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
C
·O
E B
D
符号语言 ∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）；AE=BE；
∴ CD ⊥ AB ， AD=BD，AC=BC.
作业： 课本87第1题，88第9、11题.
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
例1 下列图形中是轴对称图形吗？如果是，请 画出它的一条对称轴.
(1)
(2)
(3)
(4)
活动二
如图1，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）图1是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）；
则可推出：
·O
（3）平分弦（AE=BE）；
E
A
B
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）；
D
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦；CD⊥AB于E；
∴AE=BE， AD=BD，AC=BC.
活动三
如图3，AB是⊙O的弦（不是直径），直径CD平分弦AB，交AB 于E．
（1）图3是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？ CD与AB垂直吗？说一说
你的理由.
C
∠AEC=∠BEC 弧： AC=BC AD=BD
CD⊥AB （∠AEC=∠BEC=900）
思考：如果AB也是直径，上述结
练习：《名师》P55~P57.
O
CM
D
B
反馈
2. 如图，周长为10的⊙O中，弦AB的弦心距
OC等于3，那么弦AB的长为（D ） A
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
OC
B
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AB=20，CD=16，则线段OE等于（ A
B
）
A. 4
B. 6
C. 8
ห้องสมุดไป่ตู้
D.10
O
C ED B
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
A
22
在Rt AOE中，由勾股定理得：
E
B
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
反馈
1. 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，下 列结论不一定成立的是（ C ）
A. CM=DM
A
B. AC=AD C. AD=2BD D. ∠BCD=∠BDC
·O
论是否成立？
C
AC
E
A
B
不一定成立. A O B
O
D
B
图3
D
D
由以上活动可得：
C
一条直线若满足：
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）平分弦（不是直径）（AE=BE）； 则可推出：（3）垂直于弦（ CD ⊥AB ）；
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD ）； A （5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧．
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）；AE=BE；
∴ CD ⊥ AB ， AD=BD，AC=BC.
例2 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于E