新人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
最新人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连接PQ 交AC 于点D .(1)求证：PD ＝DQ ；(2)若△ABC 的边长为1，求DE 的长．【方法8】参考答案与解析 1．42．证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF . 3．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
等腰三角形时常用的辅助线作法
等腰三角形时常用的辅助线作法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF2⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE求证：EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数.有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2= 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC21EDCBA34∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略） （方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE =AF ， 求证：EF ⊥BC证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ， ∵AB = AC ， ∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = ECF E DC B AN F EC B A21N F ED C B A在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DE⊥BC证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o即∠FED = 90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o∠PCB = 30o求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12(180o－∠EAC)=80o∵∠ACB= 12(180o－∠BAC)=21MFEDCBANMF EDCBAPECBA550o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12(180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
最新修订人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.二、构造等腰三角形3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．64．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.7．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A ＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．B4．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .5．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .6．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .7．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =．求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△，进而可得结论．【详解】证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，EAD FAD ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，DE DF ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠于点E ，DF AC ⊥于点(1)求证：DE DF =；(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接AD （2）根据已知条件证明【详解】（1）证明：连接∵AB AC =，D 为BC 边的中点，∴AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =，=；(1)DE DF(2)BG CH=．【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解：如图，作PC PM PN = ，PC OB ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，90PCO ∠=162OC OP ∴==，5OM = ，65CM OC OM ∴=-=-1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形ABCD 中，1013125AB BC CD AD ====，，，，AD CD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ，过点的性质得出AE BE =得出结论．∵AD CD ⊥，∴90D Ð=°．在Rt ACD △中，AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =，(1)如图1，若ADC △是直角三角形，①当AD BC ⊥时，求AD 的长；②当AD AC ⊥时，求CD 的长．(2)如图2，点E 在AB 上（不与点A ，B 重合），且ADE ∠=∵10AB AC ==，16BC =，∴182CD BD BC ===，Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =，8CH =，在Rt AHD △中，2AD AH =在Rt ADC 中，22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为；(2)如图1，若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒t值，使得APC△为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把APB△沿着直线AP翻折，点B的对应点为点F，PF交边AC于点E，当的长度．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理，得()22221332AD AB BD =-=-=，∴BC 边上的高的长度为2．则2BP t =，62AP CP t ==-，由(1)知∶3BD =，2AD =，∴23DP t =-，由勾股定理，得()()22262223t t -=+-，由（1）知，2AD =，3BD =，由折叠知：F B ∠=∠，13AF AB ==，又∵90AGF ADB ∠=∠=︒，∴()AAS AGF ADB ≌，∴3GF BD ==，2AG AD ==，(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．①猜想y 与x 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，CA CE =，请直接写出DAE ∠的度数．【答案】(1)见解析（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FAE DAE ≌，∴FE DE=，∴BE FE BF CD DE =+=+．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点B 的直线l 折叠，得到图2，DAC ∠的度数．（2）如图3，90A D ∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析；（1）60︒；（2）102；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证ABP ACP ≌（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长BA 和CD 相交于点F ，利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题．90BAC ∠=︒ ，225BC AC AB ∴=+=，BD Q 平分ABC ∠，BD CF ⊥，5BF BC ∴==，541AF ∴=-=，OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠，OM OA ⊥，ON OB ⊥，由“情境建模”的结论得：AOM AOD △△≌，BON BOE △△≌，OM OD ∴=，ON OE =，在MON △和DOE 中，OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌，MN DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，50AC =米，120BC =米，130AB ∴=米设AM x =，BN y =，则50CM x =-，120CN y =-，AOM AOD ≌，BON BOE △△≌，AD AM x ∴==，BE BN y ==，130DE AD BE AB x y =+-=+-，130MN DE x y ∴==+-，()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=，CMN ∴ 的周长40=答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．。
专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12 AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE 和△FAE 中，A∠BB＝AADF＝，∠CAD， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，
AE＝AE， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB
证明：过点 E 作 EG∥AC 交 BC 于点 G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE.
又∵BE＝CF，∴GE＝CF.在△CDF 和△GDE 中，∠ ∠FC＝ DF∠＝D∠EGG， DE， CF＝GE，
∴△CDF≌△GDE(AAS)， ∴DE＝DF
方法2：截长补短构造等腰三角形 技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构 造等腰三角形来实现边角之间的转化． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D， 求证：AB＝AD＋BC.
证 明 ： 方 法 一 ： ( 截 长 法 ) ， 如 图 ① ， 在 AB 上 截 取 BE ＝ BC ， 连 接 ED ， 易 证 △BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝ ∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD.
解：如图，过点 C 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 D. ∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵AC＝2ห้องสมุดไป่ตู้CD 是 AB 边上的高，∴CD＝12 AC＝12 ×2＝1. ∴AB 边上的高是 1
4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°. 若AB＝2，CD＝8，求AD的长．
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
返回
即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
返回
∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
《专题提升---等腰三角形中辅助线的作法》教学PPT
证明：连接 CD. ∵AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点， ∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°， ∴∠ACD＝∠B＝∠BCD， ∴CD＝BD. ∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°. 又∵∠CDF＋∠BDF＝90°， ∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF
边上中点，过 D 点作 DE⊥DF 交 AB 于 E，交 BC 于 F，若四
边形 BFDE 的面积为 16，
则 AB 的长为
【巩固练习】 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 都在边 BC 上，且 AD＝AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论。
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 求证：BC＝AB＋CD.
∴∠DBC+∠C=90° ∴∠2=∠DBC
1
即∠DBC= 2 ∠BAC
证明（二）：如图 3，在 AD 上取一点 E，使 DE=CD 连接 BE
∵BD⊥AC ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC
【巩固练习】答案提示
1．如图，在△ABC 中，BP 平分∠BAC，且 AP⊥BP
于点 P，连接 CP.若△PBC 的面积为 2，则△ABC 的
面积为( B )
八年级数学下册2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 (2)(附答案)
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE ＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA ＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3．证明：过点E 作EF⊥AC 于点F.∵EA＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC.∵AC＝2AB ，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE ，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE ＝∠CBE.又∵BE＝BE ，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC ＝12MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠E DC ，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC ，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC ，∴BD＝2CE.6．证明：连接CD.∵AC＝BC ，∠C＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD ，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC ，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE ，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝12.。
初中数学等腰三角形辅助线添加方法及数学提分技巧
初中数学等腰三角形辅助线添加方法及数学提分技巧方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE 至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
初中数学学习方法与提分技巧基本学习方法1.主动预习预习的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。
因此，要注意培养自学能力，学会看书。
如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。
中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线
解等腰三角形问题时常用的辅助线等腰三角形是平面几何中的一种重要图形，等腰三角形问题大多需要添加适当的辅助线．下面谈谈等腰三角形问题中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．分析由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．证明如图1，连接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行线例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．分析猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D作DG∥AC，则可达到目的．解△ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等边三角形．三、作以底或腰为边的等边三角形例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．分析由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．于是以某一边为边作等边三角形．如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3还有以下作等边三角形的方法．①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例4如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．分析要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合．证明设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，得△ACQ，连接PQ．则。
难点探究专题：等腰三角形中辅助线的作法（选做）
第1 页共6 页难点探究专题：等腰三角形中辅助线的作法(选做)——形成精准解题思维◆类型一利用“三线合一”作辅助线【方法18】一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝________．2．(庐江县期末)如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M .求证：M 是BE 的中点．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在CA 的延长线上，∠E ＝∠AFE .求证：EF ⊥BC . 二、构造等腰三角形4．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为() A ．0.4cm 2B ．0.5cm 2C ．0.6cm 2D ．0.7cm 25．★如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 从点B 出发沿线段BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D . (1)如图①，当点P 为AB 的中点时，求证：PD ＝QD ；(2)如图②，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．◆类型二类型二 巧用等腰三角形构造全等巧用等腰三角形构造全等6．★如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，以点D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N 两点，连接MN .求证：MN ＝BM ＋NC . ◆类型三类型三 截长补短构造等腰三角形截长补短构造等腰三角形7．★如图，△ABC 中，∠C ＝2∠A ，BD 平分∠ABC 交AC 于D .求证：AB ＝BC ＋CD . 8．★如图，CE 、CB 分别是△ABC 、△ADC 的中线，且AB ＝AC .求证：CD ＝2CE . 参考答案与解析1．40° 解析：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ，∠BAD＝12∠BAC .∵BE ＝12BC ，∴BE ＝BD .在Rt △AEB 和Rt △ADB 中，∵BE ＝BD ，AB ＝AB ，∴Rt △AEB ≌Rt △ADB (HL )，∴∠BAD ＝∠EAB ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝40°40°. . 2．证明：如图，连接BD .∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°60°..∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE .又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠E ＝12∠ACB ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点．的中点．3．证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D .∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠1.∵∠BAC 是△AEF 的外角，∠E ＝∠AFE ，∴∠BAC ＝2∠E ，∴∠1＝∠E ，∴EF ∥AD ，∴EF ⊥BC . 4．B 解析：如图，延长AP 交BC 于E .∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP .∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°90°..在△ABP 和△EBP 中，îïíïì∠ABP ＝∠EBP ，BP ＝BP ， ∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝∠APB ＝∠EPB ，PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12×1cm 2＝0.5cm 2.故选B. 5．(1)证明：如图①，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .∵点P 和点Q 同时出发且速度相同，∴BP ＝CQ .∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠DQC .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝PF ，∴PF ＝QC 在△PFD 和△QCD 中，∵∠DPF ＝∠DQC ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PFD ≌△QCD (AAS )，∴PD ＝QD ；(2)解：存在，DE 的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .由(1)可知PB ＝PF .∵PE ⊥BF ，∴BE ＝EF .由(1)可知△PFD ≌△QCD ，∴FD ＝CD ，∴DE ＝EF ＋FD ＝BE ＋CD ＝12BC ，∴DE 的长为定值．的长为定值． 6．证明：如图，延长MB 到E ，使BE ＝CN ，连接DE .∵BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，∴∠1＝∠2＝30°30°..∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，∴∠DBE ＝90°，∴∠DBE ＝∠DCN .在△BDE 和△CDN 中，中，∵îïíïìBE ＝CN ，∠DBE ＝∠DCN ，BD ＝CD ，∴△BDE ≌△CDN (SAS )，∴∠3＝∠4，DE ＝DN .∵∠BDC ＝120°，∠MDN ＝60°，∴∠4＋∠BDM ＝60°，∴∠3＋∠BDM ＝60°，即∠MDE ＝60°，∴∠MDE ＝∠MDN .在△MDE 和△MDN 中，îïíïìDE ＝DN ，∠MDE ＝∠MDN ，MD ＝MD ，∴△MDE ≌△MDN (SAS )，∴ME ＝MN .∵ME ＝MB ＋BE ＝MB ＋CN ，∴MN ＝BM ＋CN . 7．证明：方法一：(截长)在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，如图①.∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.在△BDE 和△BDC 中，∵îïíïìBE ＝BC ，∠1＝∠2，BD ＝BD ，∴△BDE ≌△BDC (SAS )，∴DE ＝DC ，∠C ＝∠BED .∵∠C ＝2∠A ，∠BED ＝∠A ＋∠3，∴2∠A ＝∠A ＋∠3，∴∠A ＝∠3，∴AE＝DE ，∴AE ＝CD .∵AB ＝BE ＋AE ，BE ＝BC ，∴AB ＝BC ＋CD . 方法二：(补短)延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE ，如图②则∠3＝∠E ，∴∠ACB ＝2∠E .∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠A ＝∠E .∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.在△ABD 和△EBD 中，∵îïíïì∠A ＝∠E ，∠1＝∠2，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (AAS )，∴AB ＝BE .∵BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋CD ，∴AB ＝BC ＋CD . 8．证明：如图，延长CE 到F ，使CE ＝EF ，连接BF .则CF ＝2CE .∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE .在△AEC 和△BEF 中，中，∵îïíïìAE ＝BE ，∠AEC ＝∠BEF ，∴△AEC ≌△BEF （SAS ），CE ＝FE ，∴∠A ＝∠1，AC ＝BF .∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD .又∵AB ＝AC ，∴BF ＝BD ，∠ACB ＝∠ABC 又∵∠2＝∠ACB ＋∠A ，∠CBF ＝∠ABC ＋∠1，∴∠CBF ＝∠2.在△CBF和△CBD 中，中，∵îïíïìBF ＝BD ，∠CBF ＝∠2，BC ＝BC ，∴△CBF ≌△CBD (SAS )，∴CF ＝CD ，∴CD ＝2CE . 。
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7 种常用辅助线添加方法方法 1. 三线合一法例 1.如图，△ ABC中，AB=AC,D是BC 的中点，过 A 点的直线EF//BC, 且AE=AF.求证: DE=DF.方法 2. 作一腰的平行线构造等腰三角形法例 2. 如图，AB=AC,F 为DE 的中点，求证BD=CE例 3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点 D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法 3. 截长补短构造等腰三角形法例4. 如图，在△ ABC中，AB=AC, D是△ ABC外一点，求证:BD+DC=AB例 5.且∠ ABD=60°，∠ ACD=60°如图，在AABC中，∠ BAC=120°, AD例 6. 如图，等边△ ABC 中， D 是边 AB 延长线上一点，延长 BC 至 E 点，使 CE=AD, DG ⊥BE ⊥BC 于 D,且 AB+BD=DC 求, ∠C. 方法 4. 证与底有关的线段时，通常作底的平行线 于 G, 求证 BG=EG. 例7.如图， CE 、 CB 分别是△ ABC 与△ ADC 的中线，且∠ ACB=∠ ABC.求证 :CD=2CE. 方法 5. 加倍折半法，倍长中线法方法 6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ ABC中，∠ ABC=∠ ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠ PCA=∠PAB=20° 求∠ PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ ABC中，点P是△ ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.E, F.(1) 求证 : DE=DF; (2) 若∠ A=90°，图中与 DE 相等的有哪些线段 ? ( 不需说明理由 )课后培优练习题1. 如图，在△ ABC 中， AB=AC, ∠ A=90°，点 D 是 BC 的中点，点 E 、F 分别在 AB 、AC上，且 AE=CF.求证 : △ DEF 是等腰直角三角形2. 如图， 等边△ ABC 的边 BC 上任取一点 D,作∠ ADE=60°，DE 交∠ C 的外角平分线于点 E, 判断△ ADE 的形状，并证明你的结论3.如图，△ ABC 中， AB=AC, D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE ⊥AB, DF ⊥AC ， 垂足分别为4. 如图，△ ABC 中， AC=2AB, AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,E 是 AD 上一点，且 EA=EC, 求证 : EB ⊥ AB.5. 如图，△ ABC 的面积为 1cm 2, AP 垂直∠ ABC 的平分线 BP 于 P ，求△ PBC 的面积 .6.如图，在△ ABC 中， AC=BC,∠ C=90°， D 是 AB 的中点， DE ⊥DF,点E 、F 分别在 AC 、BC 上，求证 : DE=DF.8. 如图，在△ ABC 中， AB=AC, AE ⊥BE 于点 E,且 BC=2BE,若∠ EAB=20°，求∠ BAC 的度数 .9. 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ A=90°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D, CE ⊥BD.10. 如图，等边△ ABC 的边 AB 上一点 P,作PE ⊥AC 于E,Q 为 BC 延长线上一一点， 且PA=CQ, 连 PQ 交 AC 边于 D. (1). 求证 : PD=DQ;(2). 若△ ABC 的边长为 1，求 DE 的长.7. 如图，已知 AB=AC, ∠A=108°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D.求证: BC=AB+CD.求证 : BD=2CE.。
等腰三角形常见的辅助线的做法
等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。
等腰三角形时常用的辅助线作法
（证法三）过点 A 作 AM∥BC 交 DE 于 M，（过程略）
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P 为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数.
解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE 则∠BAE =∠ABE = 60o
∠EMB =∠B（过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
D
例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA
延长线上，且 AD = AE，连结 DE
B
求证：DE⊥BC
证明：（证法一）过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，则
1
F
2
C
M
E
∠AFE =∠B
∠AEF =∠C
∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = 1 (180o－∠ABP) = 1 (180o－40o)= 70o
2
2
B
E A
P C5Biblioteka DE 交 BC 于 F 求证：DF = EF
1
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC，F 在 AC 上，E 在 BA 延长线上，且 AE = AF，连结 DE 求证：EF⊥BC
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P 为形内一点，若∠PBC = 10o ， ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数.
等腰三角形辅助线的做法
专题：等腰三角形辅助线的作法类型一：利用三线合一作辅助线(1 ) 等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线1、如图△ABC 中，AB=AC , D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的 点且 AE= AF ，求证：DE=DF2、如图，在 A ABC 中，D 是BC 的中点，过 A 作EF ||BC 且AE= AF ，求证：DE=DF(2 )没有底边中点时作底边上的高3、如图，在△ABC 中，AB=AC , BD 丄AC 于 D ,求证：/BAC=2 /DBC(1 )作腰的平行线构造等腰三角形C类型二：做平行线构造等腰三角形4、如图，A ABC 中，AB=AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且 BD=CE ，DE 交 BC 于 F ,求证：DF=EF(2)作底边的平行线构造等腰三角形5、如图，AB=AC ，点D 是BA 的延长线上一点，E 在AC 上，且 AD=AE ，求证：类型三：用“截长补短法”构造等腰三角形7、如图，A ABC 中，/BAC=120 , AD 丄 BC 于 D ，且AB+BD=DC ，求/C 的度数。
DE 丄 BC(3)利用 “角平分线+平行线”构造等腰三角形6、如图，BD 平分/ABC 交AC 于D,点E 为CD 上一点,且 AD = DE, EFllBC 交 BD 于 F ,求证：AB=EF8、如图，△ABC 中，/BAC=108 ，AB=AC，BD 平分/ABC 交AC于D,求证：BC=CD+AB类型四：运用角平分线作垂线9、如图，四边形AOBC 中，AC=BC，/A+ /OBC=180 , CD 丄0A 于D。
(1 )求证：0C平分/AOB ;(2 )若0D=3DA =6, 求0B 的长。
10、如图，已知等腰RT A ABC 中，/ACB=90 , AC=BC=4 , D 为A ABC 的一个外角/ABF的平分线上一点，且/ ADC=45 ，CD交AB于E，(1 )求证：AD = CD(2)求AE的长。
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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
◆类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝1，则BC的长为________．
2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3
B．4
C．5
D．6
4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.
◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上．求证：DE ＝DF .
◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
6．(2017·郑州校级月考)如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连
接PQ 交AC 于点D .若△ABC 的边长为6，则
DE 的长为【方法8】( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．不能确定
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D .求证：BC ＝AB ＋CD .
参考答案与解析
1．2
2．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12
AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .
3．B
4．证明：延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE
＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12
MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .
5．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .
6．B 解析：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形．∴P A ＝PF .又∵P A ＝CQ ，∴PF ＝QC ，∴△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD .∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ，∴DE ＝EF
＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12
AC .又∵AC ＝6，∴DE ＝3. 7．证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，
∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12
×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .。