圆锥曲线的极点与极线的重要结论_罗碎海

次交于 R、Q（如图 6），则
|OP|·|OQ|=|OR|2。【6】
图6
3、极点与极线的应用
许多高考题是以极点与极线的背景编制的，只是未出现
极点极线的名词。有了上面的知识，对待这类高考题如掌上
观纹，一眼可看出答案，剩下的问题只需用常规书写而已。
例 1（2012 北 京 卷 19）、已 知 曲 线 C:(5 - m)x2 +(m - 2)y2 = 8(mϵR)
直线 AD 与 BC 的交点 Q 也在极线②
上，由此可知，直线 RQ 就是点 P 的
极线.
就是定理的表述，证明见【3】。
由以上结论，可得过圆锥曲线
外一点作圆锥曲线切线的方法：
图4
（7）过 P(x0, y0)作圆锥曲线①的两条割线 PAB、PCD，设交 点分别为 A、B，C、D，若直线 AC 与
BD 的交点为 Q，直线 AD 与 BC 的交
x
转化为函数 y = g(x) = e2 - m x（ x > 0）的零点个数，避免了求
二阶导数，从而化难为易，起到了事半功倍之效．解法 3、解
法 4 将两曲线的交点个数转化为直线与曲线的交点个数，解
法 5 通过分离参数将 f (x) = 0 转化为 m = g(x) ，进而将函数的
零点个数转化为直线 y = m 与曲线 y = g(x) 的交点个数，解法
40
中学数学研究
2014 年第 10 期（上）
圆锥曲线的极点与极线的重要结论
华南师范大学附属中学 （广州，510630） 罗碎海
文【1】很值得一读，原文作者的探究思想与技巧方法启
迪我们的思维，作者的严格推理与运算毅力震撼我们的心
灵。他由 2012 年北京卷解析几何题探究出 5 个优美的结论，
而且 5 个结论的证明过程使用高中解析几何的初等方法。
与 x 轴交于点（1,0），这就是 MN 所过的定点。
如果我们从更高的层次看我们所遇到的数学问题，往往
会看透其本质，有一种“原来一直在黑暗中摸索”的感觉，真
希望我们真正能感受这光明的数学世界。
参考文献：
[1]杨华.2012 年高考北京卷解析几何题的探究[J].中学数学研究.
2014.（6）(上).
[2]邹书生．圆锥曲线的极点与极线的一组性质[J]．中学数学教学．
定点（0,4），而点（0,4）关于椭圆 x2+2y2=8 的极线为 y=1，所以，
A、G、N 三点自然共线。
例 2（2010 江苏卷 18）、在平面 直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆
x2 9
+
y2 5
=
1 的左、右顶点为 A、B，右焦
点 为 F。 设 过 点 T(t,m) 的 直 线 TA、
TB 与椭圆分别交于点
2010.（4）．
[3]梅向明．高等几何（第二版）［Ｍ］．高等教育出版社．2000 年 5 月．
[4]梅向明．高等几何（第二版）［Ｍ］．高等教育出版社．2000 年 5 月．
[5]罗碎海．方程 x0x+y0y=r2与 x2+y2=r2几何背景的探讨[J]．中学数学教 学参考．2009．(3)．
[6]姜坤崇．圆锥曲线关于极点极线的一个统一性质[J]．中学数学教学
图7
M (x1,y1)、N(x2,y2) ，其中
m > 0,y1 > 0,y2 < 0.
（1）设动点 P 满足 PF2 - PB2 = 4 ,求点 P 的轨迹；
（2）设
x1
=
-2,
x2
=
-
1 3
，求点
T
的坐标；
（3）设 t = 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标
与 m 无关）。
分析（3）：因为点（9，m）关于椭圆的极线为 x+y=1,此极线
1 至解法 6 均是解决参数问题的通性、通法，其中解法 1、解法
2 需分类讨论，解法 3、解法 4 要转化为直线与曲线的位置关
系，再求出直线与曲线相切时的参数值，解法 5、解法 6 利用
分离参数思想，避免了对参数的讨论．
推广：设 x > 0 ，α > 0 ，a > 1 ，且 α,a 为常数，讨论曲线
有一点
H
满足
|HM| |HN|
=
|PM| |PN|
,则点
H
的轨迹是点
P
的极线的一
段。
（2）过点 P 作直线 l 与圆锥曲线交于 M、N，与对应极线交
转化为函数 y = f (x) = ex - mx2（ x > 0 ）的零点个数．解法 2 将
x
x
y = f (x) = ex - mx2 转 化 为 y = f (x) =(e2 + m x)(e2 - m x) ，进 而
（3）圆锥曲线①上一点 P（x0,y0） 处的切线方程为②。即若极点在圆
锥曲线上，则极线为过该点的切线
图2
[5]。（如图 2）
（4）点 P(x0, y0)为圆锥曲线①外 一点，过 P 作该圆锥曲线的两条切
线，设切点为 A、B，则过切点 A、B 的
直线方程为极线②[5]（. 如图 3）
（5）过点 P(x0 , y0)作一直线与圆
y = ax 与曲线 y = mxα (m > 0) 公共点个数．
分析：当 x > 0 时，曲线 y = ax 与 y = mxα (m > 0) 的公共点
个数等价于方程 ax = mxα 在 (0, +∞) 上的根的个数，等价于为
x
方程 aα = α m x 在 (0, +∞) 上的根的个数．
x
如图 6，在同一坐标系中作出 y = aα 与 y = α m x 的图象，
阅读再三，心潮澎拜。为了我们更系统理解和应用这类知
识，结合以前看到的涉及这类问题的研究文章【2】以及个人
的一些心得，本人不揣浅陋将此类问题归纳如下。
1、圆锥曲线的极点与极线定义及统一定理
圆锥曲线（也称为二次曲线）有许多奇妙的性质，其中极
点与极线就是最具代表性的特点之一。为了方便掌握，我们
从方程角度给出定义.
（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；
（2）设 m = 4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B（点 A 位于点
B 的上方），直线 y = kx + 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N ，直
线 y = 1 与直线 BM 交于点 G ．求证：A,G,N 三点共线．
分析（2）：m=4 时的椭圆方程为 x2+2y2=8，直线 y=kx+4 过
锥曲线①相交，过交点作圆锥曲线
①的切线，两切线交点的轨迹方程
图3
为直线②；过直线②上任一点作圆锥曲线①两切线（存在的
话），切点弦交于点 P(x0 , y0) [5]。（如图 4） （6）如图 1，过 P(x0, y0)作圆锥曲线①的两条割线，设交点
分别为 A、B，C、D，则直线 AC 与 BD 的交点 R 在极线②上，且
定义：对于圆锥曲线 C：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0
① ， 已 知 点 P （x0,y0） ( 非 中 心) 及 直 线 l:
Ax0 x
+
B
x0y + 2
y0 x
ห้องสมุดไป่ตู้
+ Cy0 y
+D
x0 + x 2
+
E
y0 + 2
y
+
F
=
0
②，我们
称点 P（x0,y0）为直线 l 关于圆锥曲线 C 的极点，称直线 l 为点 P
在 一 条 二 阶 曲 线 上 ，则 这 个 四 边 形
的 对 边 延 长 线 的 交 点（假 设 四 边 形
对 边 不 平 行）及 其 对 角 线 交 点 的 组
成的三角形的任一顶点是其对边的
极点【3】。
图1
证明见参考资料【3】。
（如图所示，点 Q 的极线是直线 PR，点 P 的极线是直线
QR。）
点为 R，连 R、Q 的直线与圆锥曲线
交于 T、S，连 PT、PS，则直线 PT、PS
为圆锥曲线的切线，T、S 为切点。（如
图 5）
图5
由定理及性质（4）立即证明。
（8）对于有心二次曲线 C，若点
P 是平面内的一点（非原点，非渐近
线上的点），点 P 的极线为 l，若 OP
（O 为坐标原点）与曲线 C 与极线依
1 α
x0
a α (ln
a) =
ln a α
1
a1na
，m
=
(
ln a α
1
aln a )α
，
，从 而
∴当
0
<
m
<(
ln a α
1
aln a )α
时，曲线
y
=
ax
与
y
=
mxα
(m
>
0)
无
公共点；当
m
=
(
ln a α
a
1 ln a
)α
时，曲线
y
= ax
与
y
=
mxα
(m
>
0)
有
一个公共点；当
m
>(
ln a α
1
aln a )α
时，曲线
y
=
ax
与
y
=
mxα
(m
>
0)
有两个公共点．
2014 年第 10 期（上）
中学数学研究
41
于点
R，则
1 |PM|
+
1 |PN|
=
2 |PR|
. 【2】
（2），过点 P 作动直线与圆锥曲线交于 M、N，在该直线上
有一点
R
满足
1 |PM|
+
1 |PN|
=
2 |PR|
,则
点 R 的轨迹是点 P 的极线的一段。
关于圆锥曲线 C 的极线【2】。
从形式上看，直线 l 的方程是在圆锥曲线方程中按照以
下 置 换 ：x2
→
x0x，y2
→
y0y，xy→
x0y + y0x 2
，x
→
x0 + x 2
，y→
y0 + y 而得到。 2
特例：以圆锥曲线焦点为极点的极线是该焦点所对应的
准线．反之亦真．
定 理 ：一 个 四 边 形 的 四 个 顶 点
［Ｊ］．2010. (4)．
2、极点与极线的具体性质
在上面的定理中，包含了许多内容，以下具体列出：
（1）过点 P 作圆锥曲线的割线，交点为 M、N，在直线 PN
上有一点
H
满足
|HM| |HN|
=
|PM| |PN|
,则点
H
在点
P
的极线上[4]。
如图 1，点 H 就是点 R。
（1），过点 P 作动直线与圆锥曲线交于 M、N，在该直线上
x
x0
当直线 y = α m x 与曲线 y = eα 相切时，设切点为 (x0,a α ) ，则
切线方程为
y
-
x0
aα
=
1 α
a
x0 α
(ln
a)(x
-
x0)
，即
y=
1 α
a
x0 α
(ln
a)x
+(1 -
x
0
ln α
a
)a
x0 α
，
∴
(1 -
x
0
ln α
a
)
x0 α
=0
，即
x0
=
α ln a
α
m
=