圆锥曲线的极点与极线的重要结论_罗碎海

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一点一线一世界——高考命题中圆锥曲线的极点与极线

线犾上任一点作抛物线的两条切线，则直犕，犖为切点，线犕犖恒过定点．解析：因为抛物线的准线和焦点刚好是一对极点和极线，由定理第（）条知直线犕犖恒过焦点犉（）４１，０．
，动直线犾与椭圆犫＞０）只有一个公共点犘，且犆点犘在第一象限．（ Ⅰ ）已知直线犾的斜率为犽，用犪，犫，犽表示点犘的坐标；图１
）所对应的准线．对于双曲线和抛物线结论类似．犉（犮，０焦点与准线是圆锥曲线的统一定义，我们很多人只知道它的存在，却不知道它们内在的联系，教材中潜形匿迹，但我们也不能对此视而不见，我们也可借此解题．
２例２已知抛物线狔过直＝４狓和直线犾：狓＝－１，
１１２２）即２犕犖的方程为（狋＝ ·２狋狓＋１，狋狓－狔－狋狔＋２２
２２２４狋－狋＋２－狋｜于是犱＝｜＋２＝０，＝２２１＋４狋槡２（），则犱＝＝１＋４狋狊 ≥１
槡
２２（）１＋狋令２．狊１＋４狋
— —极点与极线在高考解题中的３洗尽铅华 — 应用
在近年的各地高考模拟试题中，有关圆锥事实上，曲线的极点与极线问题也屡见不鲜．用普通方法可以
·６４·
数学教育研究
２０１５年第１期
求解，但过程相对繁杂，如果用极点和极线的视角看问题，则事半功倍．定值问题３．１可以解决圆锥曲线中的定点、例３（２０１４稽阳联谊学校高三数学联考２１题）

高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线

高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。

其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。

在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。

极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。

让我们从极点的定义和性质入手。

极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。

在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。

具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。

通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。

让我们了解极线的概念及其性质。

极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。

在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。

通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。

接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。

以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。

在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。

通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。

总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。

对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。

圆锥曲线的极点与极线问题

圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。

其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。

在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。

一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。

根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。

离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。

二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。

极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。

2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。

极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。

三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。

椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。

3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。

双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。

3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。

抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。

四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。

通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。

极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。

圆锥曲线重要结论

圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b )1．已知动点P 在椭圆22143x y +=上，12,F F 为椭圆之左右焦点，点G 为△12F PF 内心，试求点G 的轨迹方程.2．已知动点P 在双曲线22143x y -=上，12,F F 为双曲线之左右焦点，圆G 是△12F PF 的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支时11112||||AF BF ep += AB 在异支时11112||||||AF BF ep-= 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=3.已知椭圆22143x y +=，F 为椭圆之左焦点，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 4．已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5．已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==试求λμ+的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AB ，AC ，其共线向量比之和为定值．即定值=-+=+==222211112ee C F AF BF AF μλμλ6．已知方向向量为(1,3)e =的直线l 过点(0,A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=222EF F T λ=，求12λλ+的值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲中性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N （t,0）的一条弦端点与对应点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2t a 的连线所成角被对称轴平分。

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结高考数学圆锥曲线重要结论一、定义:第一定义:平面内到两定点F(-c，0)，F(c，0)的距离和为定值(大于两定点间的距离|FF|)2a的点的轨迹叫1212椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。

第二定义:平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e(0<e<1)的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线;引申定义:?若一个圆C内含于另一个圆C，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长12轴长为两圆半径之和;在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆(两点除外)。

两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。

(-1<m<0时，焦点在x轴上;当 m<-1时，焦点在y轴上)例:过点(-8，0)，(8，0)的两直线11的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。

1，2将圆的横坐标(或纵坐标)拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆;连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。

方椭圆的长半轴与圆的半径长相等;两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

对应练习:?在椭圆上任一点M与焦点FF构成?MFF，I为该三角形的内心，连MI交长轴于 N 1212点，则MI/IN的值为多少,若过点P作?FPF的平分线交过点F作其平分线的垂线于M,交PF于N点,则有PF=PN,所以有 12121 1/16页222 ?在椭圆上任一点P求: ? 的最大值(a-c),PF×PF的最大值a,点P到对应顶点 12的最短距离为a-c.若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x，以x 0+x 2替换x ，以y 0y 替换y,以y 0+y2替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆x a +y b=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0yb=1 ；(3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1；(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]:①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa +y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极线方程为: x=ac.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。

圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)-高中数学

圆锥曲线中的极点极线问题考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1.极点极线的定义如图,设P 是不在圆雉曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E ,F ,G ,H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG ,FH 交于M ,则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆雉曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理,PM 为点N 对应的极线,PN 为点M 所对应的极线.因而将△MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点,则P A ,PB 恰为圆锥曲线的两条切线.2.其他定义对于圆锥曲线C :Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0,已知点P x 0,y 0 (非中心)及直线l :Ax 0x +B ⋅x 0y +y 0x 2+Cy 0y +D ⋅x +x 02+E ⋅y 0+y 2+F =0,则称点P x 0,y 0 是直线l 关于圆锥曲线C 的极点,直线l 称为点P 关于圆锥曲线C 的极线。

配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。

3.替换原则x0x →x 2,x 0y +y 0x 2→xy ,y 0y →y 2,x +x 02→x ,y +y 02→y .4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点P x0,y0的极线l:x0xa2+y0yb2=1.(1)当点P x0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。

(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。

漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法

) ) ) 两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学
本文源于两道高考压轴题 : 题 1( 2006 年全国Ⅱ卷题 21) 已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为F , A 、 B 是抛物线上的两动点 , B 两且 AF = KFB ( K> 0 ) . 过 A 、点分别作抛物线的切线 , 设其交点为 P. ( 1) 证明 FP # AB 为定值 ; ( 2) 设 v A BP 的面积为 S , 写出 S = f ( K ) 的表达式 , 并求 S 的最小值 . 题 2( 2005 年江西卷题 22) 设抛物线 C: y = x 2 的焦点为 F, 动点 P 在直线 l: x - y - 2 = 0 上运动 , 过 P 作 C 的两条切线 PA 、 PB , 且与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . ( 1) 求 v AP B 的重心 G 的轨迹方程 . ( 2) 证明 N PFA = N PFB . 这是一类解析几何常见题 , 两题非常类似 , 笔者还发现它们含有相同的高等数学背景 . 按射影几何观点 , 题中点 P 与直线 A B 称为圆锥曲线相应的极点与极线 , 两者蕴涵了圆锥曲线的内在特征 . 本文拟以极点与极线的两个命题给出试题统一解法 , 并讨论该性质在中学数学中的现状及应用 . 1 1. 1 关于极点与极线极点与极线的定义与作图开. 虽然中学数学中没有提到极点与极线 , 但事实上 , 它的身影随处可见 , 只是没有点破而已 . 下面利用上述两个命题 , 给出两考题统一简解以及该命题在教材、竞赛等方面的应用 . 2 2. 1 中学数学中极点与极线知识的现状与应用教材内改名换姓 , / 视0 而不/ 见0 双曲线程为 :

高中数学圆锥曲线重要结论.总结

圆锥曲线重要结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线中常用结论和性质

焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02pPF x =+，焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中已知抛物线22(0)y px p =>，过焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为α，求证：22sin pAB α=。

直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。

（1）方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2）方程组有二组解⇔直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解⇔直线与抛物线相离。

直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。

设线段AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，A 、B 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M00(,)x y ，则（1）2121AB x y =-=-=（2）12121202y y p pk x x y y y -===-+直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点。

求证：212y y p =-，2214p x x =A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证： (1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程双曲线设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。

焦点三角形12PF F △的面积：122cot2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-）把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。

圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)

配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。

(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。

专题7圆锥曲线之极点与极线微点1圆锥曲线之极点与极线

专题7 圆锥曲线之极点与极线微点1 圆锥曲线之极点与极线专题7 圆锥曲线之极点与极线微点1 圆锥曲线之极点与极线【微点综述】“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．一、极点极线发展简史极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues ，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S ．G ．D ．L ．（是他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P 98，科学出版社，2003）．二、引例先看一个引例：引例．对于一已知点()00,M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r+=（*）的几何意义有如下3种情形：（1）当点()00,M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为()00,M x y ；（2）当点()00,M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦所在的直线．点()00,M x y 在切点弦的中垂线上．（3）当点()00,M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点N （即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．202200r y x y ⎫⎪+⎭若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．由图4同理可知，PM为点N对应的极线，称为自极三点形．设直线MN交圆锥曲线于点A，B两点，则【定理1】（1）当P在圆锥曲线Γ上时，则点1PB证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR RQ R '=可得2OR OP OQ =⋅．反之由此式可推出PR PR RQ R Q =''，即点【推论4】如图7，A ，B 圆锥曲线Γ的一条对称轴关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于P 【推论6】如图9①～③，已知点Q 、直线l 和圆锥曲线,M N ，在直线l 上任取一点P ，连结PQ ，分别过点Q 与直线l 是Γ的一对极点与极线，则2MPN S ∆=【定理3】（配极原则）点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点证明：点P 的坐标用0标记，点Q 的坐标用1标记，点P 的极线为，图17注意其中的,B D 两点，我们固定,,,A C E F 点，先让B 与C 重合，D 与F 重合，这样，,BC DF 直线就成了椭圆的切线．我们得到一个圆锥曲线的内接四边形，这相当于帕斯卡定理的极限情形，我们对这个边形”用帕斯卡定理，就可以知道对边交点,X Z 与,C F 对应切线的交点在L 上．值得注意的是CF 是切点弦，说明L 是切点弦CF 上某个点的极线．边形”使用帕斯卡定理，由于前后2次使用帕斯卡定理的对象其实本质上是一个六边形，因此L不会变化，那么A，E处的切线交点也在L上，同理AE是切点弦，说明L是切点弦AE上某个点的极线．两个点的极线都是L，说明这两个点必须是同一个点，也就是AE，CF的交点，也就是四边形对角线的交点．由此我们得到一个重要的结论：对于圆锥曲线内部任意一个定点P，对于任何内接四边形，只要这个四边形的对角线交点是这个定点，那么其对边所在直线的交点，对顶点处的切线的交点，都在这个定点的极线上．这是后面论述几何作图的重要基础．图18四、极点与极线的几何作图1．几何作图：求圆锥曲线内一点的极线图19利用前面的分析就非常简单了，过A任意作两条直线交圆锥曲线于四点，这就构成了一个以A为对角线交点的四边形，两组对边所在直线的交点所构成的直线就是准线．这里还有一些结论，我们让其中一组对边所在直线的交点在极线上运动起来，那么这个四边形就是变化的，但是对角线的交点始终是A．如果过A点作极线的平行线，那么就是中点弦了，这里还有一个蝴蝶定理，可以参考“微专题：蝴蝶定理”．2．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，进而求出切线设圆锥曲线外一定点是A，过任意作三条直线交圆锥曲线于六个点，将相邻的四个点交叉相连，得到B，C两点．对于B，B相当于是一个四边形的对角线交点，而A是对边所在直线的交点，根据之前的结论，B极线过A．再根据性质三，A的极线也过B．同理，A极线也过C，那么根据两点确定一条直线，直线BC就是A的极线．直线BC与圆锥曲线交于D和另外一个点（图中没有标出），连接AD，就是切线．对于另外一个点也是如此．这不失为一种画切线的好方法．3．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，也就是切线曲线上有一定点A，为了求出切线，可以想办法构造图形，方便利用前面的结论．任意做一个以A为顶点的四边形，对角线交点为C，利用前面的结论先作出C的极线．在AC上任取一点B，作出B的极线与C的极线交于Q．由于B的极线，C的极线过Q，那么Q的极线过BC，事实上BC就是Q的极线．那么A就是切点弦的一个端点了，连AQ，即为切线．B在AC上运动时，极线会绕Q点转动，这是很明显的结论，不仅仅对极线是这样．证明略．C D重合．那么这两条我们现在想象，如果让这两条直线旋转起来，使得,A B重合，,F（1）当32CD=时，求直线l的方程；（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；两点，且BP mBC = ，直线,OA OB （2019高考全国Ⅲ卷21）12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线（1）设动点P满足224PF PB-=，求点（2）设12x=，21 3x=，求点T的坐标；（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：2）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，是切点，所以P 与切点弦所在直线AB ：00220x x y y --=互为极点与极线，联立02220,,4y y x --=可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，()()()222222001212000001414164422x x x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点AB 的距离为200244x y d x -=+，∴()()()2300222200002041114442224x y AB d xx y x y x -=⋅=+-⋅=-+，()()22200000041441215621y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.由224PF PB -=，得()(222x y x ⎡-+-⎣化简得92x =，故所求点P 的轨迹为直线92x =．1又121121,QA QB y y k k k x x x '--==-=-所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、。

圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论

= | QP |+ | QB |, 代入定理 ( 1) 中的式子整理即得要证的式子. 同理可证 ( 2 ) 中的式子成立. 推论 2 设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线
2 2 2
椭圆
x 2 a
2
+
y x y 双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , 2 = 1( a > b > 0 ) 、 b a b
的极点与极线, 有下面统一的结论. 2 x 椭圆 2 定理设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线 a 2 2 2 y x y + 2 = 1 ( a > b > 0) 、双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , b a b ; 0)
2
的一个极点, 它于点
2
b > 0 )、抛物线 y = 2px ( p > 0)
的一个极点 , 它
对应的极线为 L. ( 1 ) 若为椭圆或双曲线, OP (O 为中心 ) 或 OP 的延长线交于 R, 交 L 于点 Q, 则 | OP | | OQ | = | OR | ; ( 2 ) 若为抛物线, l是在顶点 O 处的切线 ( 即 y 轴 ), 过点 P 作 l的垂线, 交 L 于 Q, 交于 R, 则 | PR | = | QR |. 证明较易 , 从略.
参考文献 1 陈光捷. 圆锥曲线的一个性质 [ J] . 数学通报, 1999 ( 6 ). (收稿日期 : 2010 06 10 )
2
2 2 2
! 的方程整理得 + a s in
2 2 0 2 2 2
)t
2 2
+
2
2 ( b x 0 cos

漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法

漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景
与解法
圆锥曲线是一类极具表现力的几何图像，其关键特征是“极点”与“极线”。

圆锥曲线的极点是一个具有特殊性质的点，它具有着自身的重要性，它在曲线几何学中叫做极点，也可以说是曲线的局部极大或者极小点。

而极线则是极点临近的曲线，它是曲线的重要结构元素，其形状由曲线的参数决定。

从曲线几何的角度看，极点与极线有着十分重要的作用，它们能够反映出曲线的特性，以及各种性质的关系。

高考中的两道曲线几何试题“点M在曲线C上，N是C的极点，则MN 恒过极线”以及“特别曲线ABCD的极点P，极线与直线AB,CD交于点Q，Q和极点P所构成的角度是”，两题都是可以在曲线几何学的基础上解答的。

从第一道试题来看，可以看出曲线C有极点N，此时MN构成的是极线，而极线就是曲线C的极点N临近的曲线。

第二道试题可以看出，曲线ABCD有极点P，其临近的极线与直线AB，CD交于点Q，这就可以得出极点P所构成的角度。

总之，极点与极线是曲线几何学中非常重要的内容，在解答高考中的曲线几何试题时，综合考虑极点与极线，可以更加准确地解答试题，从而快速掌握曲线几何的基本知识，从而获得高分。