江苏高考数学试题-数列

数 列 专 题
例 2. 给定实数0,1a a >≠,数列{}n a 定义为:
n a =….
(1)证明: {}n a 是单调数列;
(2)试确定数列{}n a 中是否有最大值,或最小值?若
有,请求出;否则,请说明理由;
(3)对任意
3,k k N ≥∈，证明：集合}L L 中有k 个数构成等比数列.
解（1）证明：当111111,1
n n a a a n n +>>>+时，∴∴， ∴数列{}n a 是单调递减.
当01a <<时,∵11111,1
n n a a n n +><+∴,∴数列{}n a 是单调递增. 综上：{}n a 单调数列.
(2)( ⅰ)当1a >时，{}n a 是单调递减.，∴2a 最大，其值为
，但无最小值，假设{}n a 有最小值α，α是{}n a 中的项，∴11,1,1n n n a a a αα≥>≥>又∴，∴n a α≥，当n 充分大，与a 为定值矛盾.
(ⅱ)当01a <<时，{}n a 是单调递增，∴2a 最小，其值为
，但无最大值，假设{}n a 有最大值β，∵1n a <，∴1,n n a a ββ≤<≤∴，当n 充分大时，0,0n a β→→∴，这与a 是给定数矛盾.
综上：当
1a >时，{}n a ，但无最小项；
当
01a <<时，{}n a .
(3)证明：取出k 个数：12123...123...123...12,,...,,k k k k k b a
b a b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=== ∵
12,,...,123...23...123...k k k k ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯成等差数列，公差为
d,
∴11123...123...m m d m k k m
b a a b +-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==，11,m k m N ≤≤-∈. ∴12,,...,k b b b 成等比数列.
例3.（1）设{}n a (1)n N ≥∈，n 是一个公差d 不为零的无穷等差数列.若{}n a 中有两项之和仍是该数列中的项.证明：存在整数m ,使1a md =.
(2)确定并证明（1）中命题的逆命题是否成立？
（3）若数列{}n a (1)n N ≥∈，n 满足（1）中的条件，则对任意的正整数3k ≥，可从该数列中取出k 个项，构成等比数列. 解：(1)数列{}n a 中有不同两项,p q a a ,其和仍是数列中第k 项,∴()p q k a a a p q +=≠
∴112(2)(1)a p q d a k d ++-=+-.∴1(1)a k p q d =+--,∵,*,p q p q ∈≠N , ∴3p q +≥.但k 可以为p 或q ,也可以从1开始取值.
∴1k p q +--是整数,记为m ,∴1a md =.
(2)(1)的逆命题是:若1a md =,则数列{}n a 中必存在两项之和仍在该数列中.这是真命题.
∵1a md =, ∴数列{}n a 为：,(1),(2),,(1),md m d m d m n d +++-L L
∴1222(21)(221)m a a m d m d a ++=+=+-=.
∴1a 与2a 的和必是数列{}n a 中的第22m +项.
⑶ 由于数列满足⑵,∴数列{}n a 可以写成：,(1),(2),,(1),md m d m d m n d +++-L L
若*m ∈N ,则取23,,,,k md m d m d m d L ,必组成公比为m 的等比数列.
若0,m m ∈Z ≤时,必存在一个整数t 使()0m t d +=,
∴取21
,2,2,,2k d d d d -L ,必组成等比数列.
例4. 我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有
空格填上1，再把一个首项为1，公比为q 的数列{a n }
依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数
是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填
123n 示b 1+b 2+…+b n 的值；
(2)设第3列的数依次为c 1,c 2,c 3,…,c n ，求证：对于
任意非零实数q ，c 1+c 3>2c 2；
(3)能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由.
解：(1)b 1=q ，b 2=1+q ，b 3=1+(1+q)=2+q ，b n =(n-1)+q ∴b 1+b 2+…+b n =1+2+…+(n-1)+nq=n(n -1)+nq 2。

(2)c 1=1，c 2=1+(1+q)=2+q ，c 3=(2+q)+(1+q+q 2)=3+2q+q 2
由c 1+c 3-2c 2=1+3+2q+q 2-2(2+q)=q 2>0得c 1+c 3>2c 2。

(3)设x 1,x 2,x 3和y 1,y 2,y 3分别为第k+1列和第m+1列的前三项
1≤k<m ≤n-1，则x 1=1，x 2=k+q ，x 3=(1+2+…+k)+kq+q 2=k(k +1)2
+kq+q 2 若第k+1列的前三项x 1,x 2,x 3是等比数列，则x 1x 3=x 22
∴22k(k +1)+kq +q =(k +q)2即2k -k +kq =02，∴1-k q =2
同理，若第m+1列的前三项y 1,y 2,y 3是等比数列，则1-m q =2
当k ≠m 时，1-k 1-m ≠22 ∴无论怎样的q ，都不能同时找出除1列外的其他两列，
使它们的前三项都成等比数列
例5. {}n a 前n 项和为n S ，首项为x(x ∈R).
满足()1,2
n n n n S na -=-n ∈N *. (1)求证：数列{}n a 是等差数列;
(2)求证：x 为有理数的充要条件是数列{}n a 中存在三项构
成等比数列.
解：(1)∵ ()12
n n n n S na -=- ① ()111(1)2
n n n n S n a +++=+- ② ②- ①，得()1111n n n n n a S S n a na n +++=-=+--
∴1n n a na n +-=，∴11n n a a +-=
∴数列{}n a 是等差数列，首项为x,公差为1.(2)证明充分
性：若三个不同的项,,x i x j x k +++成等比数列，且
i j k <<，则()()()2x i x k x j ++=+，即()22x i k j j ik +-=-.
若20i k j +-=，则20j ik -=，于是得i j k ==与i j k <<矛盾 . 故220,2j ik i k j x i k j -+-≠=+-，且i j k 、、都是非负整数，故x 是有
理数.必要性：若x 为有理数，且 0x ≤，则必存在正整数k,使0x k +>.令
y x k =+，则正项数列,1,2,...y y y ++是原数列,1,2,3,...x x x x +++的一个子数列，只要正项数列,1,2,...y y y ++中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项
组成等比数列，因此不失一般性，不妨设0x >.设n
x m
=（,m n ∈N *,且,m n 互质）.又设,k l 、∈ N *，l k >且,,x x k x l
++成等比数列，则()()2x k x x l +=+，解得22m l k k n
=+，为使l 为整数令k n =，则可知(),,2x x n x m n +++成等比数列.事实上
，()222222n n n n n x x m n mn n n n n m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭g .
所以()()22x x m n x n ++=+⎡⎤⎣⎦
，即三项(),,2x x n x m n +++成等比数列。

综上所述，实数x 为有理数的充要条件是数列
,1,2,3,...x x x x +++中有3个不同的项，它们组成等比数列.
例6. (1)试给出一个函数()f x 满足
(1)()1f x f x +=+ 对所有x R ∈成立; (*)
(2)举例说明,存在()f x 满足(*),但方程()f x x =没有实数解;
(3)设()f x 满足(*),若方程()f x x =有一个实数解,则该方程又无穷多个实数解.
(1)解()()(),11,11f x x f x x f x x =+=++=+∵，
∴()f x x =满足（*）.
（2）解()()()0,1()1,f x x c c f x x c =+≠+=++∵
()()1()10f x x c c +=++≠
满足（*），但方程()f x x =化为,0x c x c +==与已知矛盾，
∴方程无实数解.
(3)证：设方程()f x x =的一个实数解为0x ，∴()00f x x =. 又()()()()00011,111f x f x f x f x x +=++=+=+∴
∴01x +是方程()f x x =的实数解.
又()()0000211112f x f x x x +=++=++=+，
∴02x +也是方程()f x x =的一个实数解.
若()0x n n N ++∈是方程()0f x x =的一个解，则
()()000111f x n f x n x n ++=++=++，
∴01x n ++也是方程()f x x =的解，
∴这样递推下去，方程()f x x =必有无穷多个实数解.。