九年级数学下册 第二十七章 相似知识点总结 (新版)新人教版.doc

第二十七章、相似

知识点一：比例线段

1. 比例

线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

a c

b d

=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．

2.比例

的基

本性质

(1)基本性质：a c

b d

=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）

(2)合比性质：a c b d =⇔

a b b ±＝c d

d

±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：

a c

b d =＝…＝m

n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m

b d n

++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）

3.平行线分线段成比例定理

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成

比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE

BC EF

=

. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延

长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则

OA OB

OD OC

=

. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.

4.黄金分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=

5－1

2

≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与

AB 的比叫做黄金比．

例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm

知识点二 ：相似三角形的性质与判定

5.相似三

角形的

判定

(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.

(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB

DF DE

=

，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如

图，若AB AC BC

DE DF EF

==

，则△ABC ∽△DEF. F E D C

B A l 5

l 4

l 3l 2

l 1O

D

C

B

A

E

D

C

B

A

F

E D

C B

A

F

E D

C B A

F

E D

C B A

6.相似

三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.

(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.