简单的对数方程
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1 , or a ≥ 1 10
当1<a<10时，两正根，当a>10时，一正一负， 时 两正根， 时 一正一负， 当a=10时，一正一零，即x=2,x=0． = 时 一正一零， = = ．
例 7、已知 lg x + | lg y | + 2 = 0 , | lg x | ⋅ lg y + 15 = 0 求 log
1、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 2、含有对数式的复合不等式先利用换元法将不等式化为整式 、 不等式，再解对数不等式； 不等式，再解对数不等式；
对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。 对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。
简单的对 数 方 程
教学目的 1、理解对数方程的概念； 2、掌握简单对数方程的解法。
对数方程
定义：对数符号里含有未知数的方程叫做对数方程。 定义：对数符号里含有未知数的方程叫做对数方程。
简单的对数方程的解法
例1、解下列方程
x=± =±10 （1 lg =± ）、 x 2 = 2； log （2）、 2 ( x + 14 ) + log 2 ( x + 2 ) = 3 + log 2 x + 6） （ 基本解法
例3、解下列方程 、 x lg 2 x 1 （）、 x = ；（2 10 ）、 + x lg x = 20 100 指数、 指数、对数混合方程的常见解法
lg x 3
x1 = 10, x2 = 100
1 x1 = 10, x2 = 10
先简化，再等式两边取对数， 先简化，再等式两边取对数，化为同一个对数的一元二次 方程求解。 方程求解。
对数方程的应用
解方程： 例5、已知 f ( x ) = log 2 ( 2 x − 1), 解方程： f ( 2 x ) = f −1 ( x )
x=1 =
例6、已知关于 x的二次方程： x 2 − 2(1 + lg a ) x + 1 − (lg a ) 2 = 0 (1)、要使方程有实根，求 a的取值范围；0 < a ≤ （2）、要使方程有相同的实根，求 a的值； 1 a = , or a = 1 （3）、当 a > 1时，判别方程两根的符号。 10
作业
y
x 的值。 的值。
5 lg x = −5, lg y = −3, log y x = 3
例8、设方程 lg 2 x − lg x 3 = − 2 在两根 α , β , 的值。 求 log α β + log β α 的值。
5 2
1 2 的解的个数。 个 例9、求方程 x − lg | x | − x = 0的解的个数。 2个 2
例10、已知 x1 , x 2 分别是方程 2 x + x − 3 = 0与 log 2 x + x − 3 = 0的两根， 的两根， 的值。 求 x1 + x 2的值。
3
有且只有一解， 例11、已知关于 x的方程 lg( kx ) = 2 lg( x + 1)有且只有一解， 求实数 k的取值范围。 的取值范围。
1 方程形如： a f Βιβλιοθήκη Baidu x) = c, ⇒ ac = f ( x) > 0 、方程形如： log
x=2，(x=− 舍去 = ， =− 舍去) =−10舍去
2 方程形如： a f ( x) = loga g( x) ⇒ f ( x) = g( x) > 0 、方程形如： log
根据原方程的相关对数有意义， 根据原方程的相关对数有意义，解方程要验根。
解方程： 例 2、解方程：log 3 x + log 9 3 x = 2 x1 = 3, x2 = 3 =
2
−
3 2
3 9
形如loga2 f ( x) + b ⋅ loga f ( x) + c = 0的方程的解法
换元法——先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 换元法 先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 先化对数方程为整式方程
11 + 13 例4、解下列不等式 若a>1，则 5 < x < ， ； 2 1 2 （）、log a ( x − 5) < log a ( x − 2)； 若0<a<1，则 x > 11 + 13 ． ， 2 （2 (log 2 x )2 − log 2 x − 6 ≤ 0 ）、 1 ≤ x≤8 4 解对数不等式的基本解法
k<0或k=4 或 =
例12、若方程 lg( ax ) ⋅ lg( ax 2 ) = 4的两个解都大于 1， 的取值范围。 求实数 a的取值范围。
0<a< 1 100
总结
1、解简单的对数方程的基本方法——利用对数函数的单调性； 、解简单的对数方程的基本方法 利用对数函数的单调性； 利用对数函数的单调性 2、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 3、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 4、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数，化成 、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数， 同一个对数的二次型方程求解； 同一个对数的二次型方程求解； 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。
当1<a<10时，两正根，当a>10时，一正一负， 时 两正根， 时 一正一负， 当a=10时，一正一零，即x=2,x=0． = 时 一正一零， = = ．
例 7、已知 lg x + | lg y | + 2 = 0 , | lg x | ⋅ lg y + 15 = 0 求 log
1、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 2、含有对数式的复合不等式先利用换元法将不等式化为整式 、 不等式，再解对数不等式； 不等式，再解对数不等式；
对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。 对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。
简单的对 数 方 程
教学目的 1、理解对数方程的概念； 2、掌握简单对数方程的解法。
对数方程
定义：对数符号里含有未知数的方程叫做对数方程。 定义：对数符号里含有未知数的方程叫做对数方程。
简单的对数方程的解法
例1、解下列方程
x=± =±10 （1 lg =± ）、 x 2 = 2； log （2）、 2 ( x + 14 ) + log 2 ( x + 2 ) = 3 + log 2 x + 6） （ 基本解法
例3、解下列方程 、 x lg 2 x 1 （）、 x = ；（2 10 ）、 + x lg x = 20 100 指数、 指数、对数混合方程的常见解法
lg x 3
x1 = 10, x2 = 100
1 x1 = 10, x2 = 10
先简化，再等式两边取对数， 先简化，再等式两边取对数，化为同一个对数的一元二次 方程求解。 方程求解。
对数方程的应用
解方程： 例5、已知 f ( x ) = log 2 ( 2 x − 1), 解方程： f ( 2 x ) = f −1 ( x )
x=1 =
例6、已知关于 x的二次方程： x 2 − 2(1 + lg a ) x + 1 − (lg a ) 2 = 0 (1)、要使方程有实根，求 a的取值范围；0 < a ≤ （2）、要使方程有相同的实根，求 a的值； 1 a = , or a = 1 （3）、当 a > 1时，判别方程两根的符号。 10
作业
y
x 的值。 的值。
5 lg x = −5, lg y = −3, log y x = 3
例8、设方程 lg 2 x − lg x 3 = − 2 在两根 α , β , 的值。 求 log α β + log β α 的值。
5 2
1 2 的解的个数。 个 例9、求方程 x − lg | x | − x = 0的解的个数。 2个 2
例10、已知 x1 , x 2 分别是方程 2 x + x − 3 = 0与 log 2 x + x − 3 = 0的两根， 的两根， 的值。 求 x1 + x 2的值。
3
有且只有一解， 例11、已知关于 x的方程 lg( kx ) = 2 lg( x + 1)有且只有一解， 求实数 k的取值范围。 的取值范围。
1 方程形如： a f Βιβλιοθήκη Baidu x) = c, ⇒ ac = f ( x) > 0 、方程形如： log
x=2，(x=− 舍去 = ， =− 舍去) =−10舍去
2 方程形如： a f ( x) = loga g( x) ⇒ f ( x) = g( x) > 0 、方程形如： log
根据原方程的相关对数有意义， 根据原方程的相关对数有意义，解方程要验根。
解方程： 例 2、解方程：log 3 x + log 9 3 x = 2 x1 = 3, x2 = 3 =
2
−
3 2
3 9
形如loga2 f ( x) + b ⋅ loga f ( x) + c = 0的方程的解法
换元法——先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 换元法 先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 先化对数方程为整式方程
11 + 13 例4、解下列不等式 若a>1，则 5 < x < ， ； 2 1 2 （）、log a ( x − 5) < log a ( x − 2)； 若0<a<1，则 x > 11 + 13 ． ， 2 （2 (log 2 x )2 − log 2 x − 6 ≤ 0 ）、 1 ≤ x≤8 4 解对数不等式的基本解法
k<0或k=4 或 =
例12、若方程 lg( ax ) ⋅ lg( ax 2 ) = 4的两个解都大于 1， 的取值范围。 求实数 a的取值范围。
0<a< 1 100
总结
1、解简单的对数方程的基本方法——利用对数函数的单调性； 、解简单的对数方程的基本方法 利用对数函数的单调性； 利用对数函数的单调性 2、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 3、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 4、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数，化成 、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数， 同一个对数的二次型方程求解； 同一个对数的二次型方程求解； 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。