简单的对数方程
4.7(1)(2)简单的指数、对数方程
定义：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程 定义：我们把对数里含有未知数的方程叫做对数方程
例 1．解关于 x 的方程： （1） 2 （2） 2 （3） 4
x
x 0有
x
个实数根; 个实数根; 个实数根;
1 2 （2）方程 x 2 x 0有 2
（3）方程 log 2 x
x 4有
2
对于不能用初等方法求解的指、 对数方程,可通过图象判断解的 个数及通过二分法求近似解
例 5． （1） 若 关 于 x 的 方 程 4
lg x
x
x
x
1000 x
2
简单的对数方程
一、直接型： loga f x b .
二、同底型： loga f x loga g x
三、换元型：
.
A loga f x B loga f x C 0
2
.
例 4． （1）方程 2
（1） lg （3） log3 x （4） x
lg x 2
2
2
log9 3x 2 ；
1000 ；
练习： （1） 2 logx 25 3 log25 x 1；
6 2 4 0； （3） 2 log2 x 1 log2 x 1；
（2）9 （4） x
思考： “a “x
m 2
49
a n ”是“ m n”的
条件； 条件；
3”是“ x 3 ”的
简单的指数方程
简单的指数对数方程
解方程： 2 x 3 log
解方程 log 2 ( x 2 x) 3
2
方法小结：
形如： a f ( x) ba 0, a 1 log
f x a
b
解方程： x ( x 6) 2 log
3
解方程： x 1 lg
2
10
解方程 lg x 3 lg 3x 1
6
方法小结：
2
形如：A[log a f ( x)] B log a f ( x) C 0的对数 方程先通过换元的思想解出 log a f x b，再 转化为f x a
b
解方程 log x log 9 3x 2
2 3
3;
3 9
解方程2 log x 25 3 log 25 x 1
1 2
x lg x 1
例3：解方程： 1
2
x lg x x
解：令
y1
1 2
x 1
y 2 lg x
两函数图像交点即可得解
x1 0 . 1,
x 2 2 .9
判断方程 ln x x 2的根的个数
若f x 的周期为2，当x 1 1 ， 时，f x x ，判断 y f x 与函数y log 4 x 的交点个数。
2 x 3
64 27
g x
x
形如：a
f x
a
a 0, a 1 f x g x
解方程4 6 2 16 0？
x x
解方程： 6 2 4 0 9
x x x形如： aFra bibliotekf x 2
所有的对数公式
所有的对数公式对数这玩意儿，在数学里可算是个有点特别的存在。
咱先来说说最基本的对数公式，那就是对数的定义：如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN 。
咱就拿一个例子来说吧，比如说 2 的 3 次方等于 8，那么以 2 为底8 的对数就是 3，记作 log₂8 = 3 。
这就像是个密码锁，底数是密码的规则，真数是要解开的数字，而对数就是解开密码的钥匙。
再来说说对数的运算性质。
有个特别重要的公式就是logₐ(M×N) = logₐM + logₐN 。
比如说，计算 log₂(4×8) ，那就等于 log₂4 + log₂8 ，因为 2 的 2 次方是 4 ，2 的 3 次方是 8 ，所以结果就是 2 + 3 = 5 。
还有一个常用的是logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN 。
就像咱分水果，一堆水果分成几份，对应的对数就是相减。
然后是logₐMⁿ = n logₐM 。
这个就好比把同样的东西多复制几份，对应的对数也要跟着变多。
我记得有一次给学生们讲对数公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵，我就问他：“咋啦，这对数把你难住啦？”他愁眉苦脸地说：“老师，这对数感觉就像天上的星星，看得见但抓不着。
”我一听乐了，跟他说：“别着急，咱们慢慢来，就把对数当成你喜欢的游戏，找到其中的规律就能通关啦。
”然后我就带着他一步一步地分析，从最简单的例子开始，慢慢地他好像有点开窍了，眼睛里也有了光。
对数的换底公式也很重要，logₐb = logₓb ÷ logₓa 。
这个公式能让我们在不同底数之间灵活转换，就像是给了我们一把万能钥匙，能打开各种底数的锁。
在解决数学问题的时候，灵活运用这些对数公式就像是拥有了一套超级工具，能让难题变得不再那么可怕。
比如说在求解一些指数方程或者是处理一些复杂的函数问题时，对数公式往往能发挥出巨大的作用。
对数算法公式
对数算法公式【实用版】目录1.对数算法公式的概述2.对数算法公式的分类3.对数算法公式的应用4.结论正文【1.对数算法公式的概述】对数算法公式是一种在计算机科学和数学领域中广泛应用的公式，它可以帮助我们在进行各种计算时，大幅度地提高运算速度和效率。
对数算法公式主要涉及对数的概念和运算规则，通过对数的运算，可以将复杂的问题简化为简单的问题，从而方便我们进行计算。
【2.对数算法公式的分类】对数算法公式主要可以分为以下几类：（1）自然对数算法公式：自然对数是指以自然常数 e 为底的对数，通常用 ln 表示。
自然对数在微积分、概率论等领域有广泛应用。
（2）常用对数算法公式：常用对数是指以 10 为底的对数，通常用log 表示。
常用对数在计算机科学和工程领域有广泛应用，例如，对数函数、对数运算规则等。
（3）换底公式：换底公式是指将一个以某一底数的对数转换为以另一底数的对数的公式。
换底公式在实际运算中具有重要意义，它可以帮助我们在不同底数之间进行对数运算。
【3.对数算法公式的应用】对数算法公式在实际应用中有很多，以下是一些典型的应用：（1）在计算机科学中，对数算法公式可以用于数据压缩、加密和解密等。
例如，我们可以通过对数据进行对数变换，来减小数据的存储空间和传输时间。
（2）在概率论中，对数算法公式可以用于求解概率密度函数、累积分布函数等。
例如，我们可以通过对数函数来求解复杂的概率问题。
（3）在微积分中，对数算法公式可以用于求解微分方程、积分等。
例如，我们可以通过对数函数来求解一些复杂的微积分问题。
【4.结论】总之，对数算法公式在计算机科学、数学和工程领域中具有广泛的应用，它可以帮助我们简化复杂的问题，提高运算效率。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数公式的计算方式
对数公式的计算方式一、引言对数公式是数学中常用的一种运算方式，它可以将指数运算转化为对数运算，使得复杂的计算变得简单和便捷。
本文将重点介绍对数公式的计算方式及其应用。
二、对数公式的定义对数公式是数学中用来描述指数运算与对数运算之间关系的一种公式。
对数公式的定义如下：若a^x = b，其中a为底数，x为指数，b为真数，则称x为以a 为底b的对数，记作x = loga(b)。
1. 常用对数计算方式常用对数的底数为10，常用对数的计算方式为：若10^x = b，则x = log10(b)，简写为x = log(b)。
2. 自然对数计算方式自然对数的底数为e（欧拉常数），自然对数的计算方式为：若e^x = b，则x = ln(b)。
3. 对数公式的换底公式对数公式中，当底数不为10时，可以通过换底公式将对数转化为常用对数或自然对数。
对数的换底公式如下：若a^x = b，则x = loga(b) = log10(b) / log10(a)。
四、对数公式的应用1. 对数公式在指数运算中的应用对数公式可以将复杂的指数运算转化为简单的对数运算，从而简化计算过程。
例如，若要求解方程2^x = 8，可以通过对数公式将指数运算转化为对数运算：2^x = 8 可转化为 x = log2(8)。
利用换底公式，可得 x = log10(8) / log10(2) = 3。
2. 对数公式在科学计算中的应用对数公式在科学计算中有广泛的应用。
例如，在天文学中，对数公式可以用来计算星等，即天体的亮度。
星等的计算公式为：m = -2.5 * log(I / I0)，其中m为星等，I为天体的亮度，I0为参考亮度。
3. 对数公式在经济学中的应用对数公式在经济学中也有重要的应用。
例如，在经济增长模型中，经济增长率的计算可以通过对数公式来实现。
经济增长率的计算公式为：g = (ln(Yt) - ln(Yt-1)) / (t - t-1)，其中g为经济增长率，Yt为当前期的产出，Yt-1为上期的产出，t 为时间。
必修一对数计算公式
必修一对数计算公式在数学中，对数是一种非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在高中数学中，学生们通常会学习到对数的概念和相关的计算公式。
其中，必修一对数计算公式是学生们需要掌握的重要知识之一。
本文将重点介绍必修一对数计算公式，并对其应用进行详细的解析。
首先，让我们来回顾一下对数的基本定义。
对数的定义是，如果a的x次方等于b，那么数x叫做以a为底b的对数，记作loga(b) = x。
其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为对数。
对数的定义可以帮助我们更好地理解对数的概念和运算规则。
在必修一对数计算公式中，最常用的是换底公式。
换底公式是用来将对数的底从a转换为b的公式，其表达式为，logb(x) = loga(x) / loga(b)。
换底公式的应用可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的作用。
另外，必修一对数计算公式中还包括了对数的运算法则。
对数的运算法则包括了对数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
这些运算法则在对数的计算过程中起着至关重要的作用，可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的应用价值。
接下来，让我们通过一些具体的例子来详细解析必修一对数计算公式的应用。
首先，我们来看一个简单的例子，计算log2(8)。
根据换底公式，我们可以将对数的底从2转换为10，得到，log2(8) = log10(8) / log10(2)。
然后，我们可以利用对数的运算法则，将log10(8)和log10(2)进行计算，最终得到log2(8)的值。
通过这个例子，我们可以看到必修一对数计算公式的应用是非常灵活和方便的。
除了换底公式和对数的运算法则，必修一对数计算公式还包括了对数方程的解法。
对数方程是指方程中含有对数的方程，解决对数方程可以利用对数的性质和运算规则。
例如，我们可以通过对数的定义和运算法则，解决类似于log2(x) = 3的方程，从而得到方程的解。
对数公式与对数函数的总结
对数公式与对数函数的总结对数公式是数学中常用的一类公式，对数函数则是对数公式的应用。
下面是对数公式与对数函数的总结：一、对数公式的定义和性质：1. 定义：设a>0且a≠1，b是任意正数，则称满足a^x=b的方程x=log_a(b)为以a为底的对数方程，其中x称为以a为底b的对数，记作x=log_a(b)。
其中，底数a决定对数的性质，真数b是要求的值。
2.特性：- 若a^x=b，则x=log_a(b)；- 对于任意a、b，log_a(1)=0，log_a(a)=1，log_1(a)是无定义的；- a^log_a(b)=b，log_a(a^x)=x，log_a(b^x)=xlog_a(b)；- 对于任意x，log_a(a^x)=x，a^log_a(x)=x；- 对于任意a、b、c，log_a(bc)=log_a(b)+log_a(c)，log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)，log_a(b^c)=clog_a(b)；- 对于任意a，b>0且c>0且c≠1，若log_a(b)=log_c(b)，则a=c；- 对于任意a，b、c>0，若log_a(c)=d且log_b(c)=e，则d=log_a(b)e；- 设a>1，则对数函数y=log_a(x)是单调递增函数，且图像关于y=ax对称；- 设0<a<1，则对数函数y=log_a(x)是单调递减函数，且图像关于y=ax对称。
二、常见的对数公式及其应用：1. 换底公式：设x>0，a>0且a≠1，b>0且b≠1，则有log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)，其中c为任意正数。
应用：用换底公式，可以将任意底数的对数转换为以10或以e为底的对数，方便计算。
2. 对数的乘法法则：对于任意a>0且a≠1、b>0且b≠1，以及任意正整数n，有log_a(b^n)=nlog_a(b)。
解简单的对数函数方程
解简单的对数函数方程对数函数是初中数学中的重要内容之一，掌握对数函数的性质和解题方法对学生来说非常重要。
在解对数函数方程时，需要注意一些常见的题型和解题技巧。
一、基本概念回顾在解对数函数方程之前，我们先来回顾一下对数函数的基本概念。
对数函数是指以底数为a的对数函数，记作y=logₐx。
其中，a为正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数的性质有以下几点：1. logₐa=1，即对数函数的底数和底数相等时，对数函数的值为1。
2. logₐ1=0，即对数函数的底数为a时，对数函数的值为0。
3. logₐa^b=b，即对数函数的底数为a时，对数函数的值为b的幂。
二、对数函数方程的解题步骤在解对数函数方程时，我们可以按照以下步骤进行：1. 将对数函数方程转化为指数方程。
2. 解指数方程得到解集。
3. 检验解的可行性。
下面我们通过几个例子来说明解对数函数方程的具体步骤。
例1：求解方程log₂(x-1)=3。
解：首先，将对数函数方程转化为指数方程，得到2³=x-1。
解得x=9。
然后，我们需要检验解的可行性。
将x=9代入原方程中，得到log₂(9-1)=3。
计算可得左边等于3，右边等于3，两边相等。
所以x=9是原方程的解。
例2：求解方程log₃(x+2)=2。
解：同样地，将对数函数方程转化为指数方程，得到3²=x+2。
解得x=7。
然后，我们检验解的可行性。
将x=7代入原方程中，得到log₃(7+2)=2。
计算可得左边等于2，右边等于2，两边相等。
所以x=7是原方程的解。
三、对数函数方程的注意事项在解对数函数方程时，需要注意以下几点：1. 对数函数方程的底数必须为正实数且不等于1。
2. 对数函数方程的解集可能为空集，也可能为实数集。
3. 在解对数函数方程时，要注意检验解的可行性，确保解的合理性。
四、总结通过对对数函数方程的解题步骤和注意事项的介绍，我们可以看出解对数函数方程并不是一件困难的事情。
59 简单的对数方程(学生版)
高一课程“简单的对数方程”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲内容：对数方程的概念；几类简单的对数方程及解法掌握目标：1.理解指数方程的概念，掌握几类简单的指数方程。
2.掌握简单的指数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.重点：对数方程的概念、简单的对数方程的解法.难点：感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.考试分析：一般以填空选择形式出现，有时也会以解答题的形式出题，难度一般。
知识梳理对数方程定义对数方程的概念：对数符号后含有x的方程叫做对数方程。
下面介绍常见的四种对数方程类型及其一般解法，➢知识点一：型型，此类方程的解法：“化指法”，即将其化为指数式ba)x(f=log()(0,1,)af x b a a=>≠log()(0,1,)af x b a a=>≠再求解，注意需验根．【试题来源】【题目】解方程：log 2(4x ＋4)＝x ＋log 2(2x ＋1－3).【试题来源】2014陕西模拟 【题目】设的定义域为D ，若满足条件：存在，使在上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则t的范围是（ ）➢ 知识点二：型型，此类方程的解法：“同底法”：先由不等式组()0()0f xg x >⎧⎨>⎩确定方程中的x 的取值范围， 然后在此范围内解方程()()f x g x =,求出适合方程的解.【试题来源】【题目】若方程lg(ax －2)－lg(x ＋1)＝1有实数解，求实数a 的取值范围。
【试题来源】2013陕西【题目】方程的解为【试题来源】2014湖北模拟【题目】已知且，函数，xx g a -=11log )(，记.（Ⅰ）求函数的定义域的表达式及其零点； log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠（Ⅱ）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.➢ 知识点三：()()1且00≠>=a a x log f a 型()()1且00≠>=a a x log f a 型，此类方程的解法：“换元法”，先做变量代换,令x log t a =，解方程()0=t f ，求出t 的解后，再代入x log t a =，解得这个对数方程的解.【试题来源】【题目】解关于x 的方程：1log )(-x a x ＝a ,(a >0且a ≠1).【试题来源】【题目】解方程23log log 923=+x x 。
log的运算法则及公式
log的运算法则及公式对数(logarithm)是数学中一种重要的运算方法，它常用于解决指数运算中的一些问题。
对数可以将指数运算转化为乘法或除法运算，从而简化计算。
下面是关于log运算法则及公式的详细介绍：1.对数定义:对数是指数运算的逆运算，表示为：logₐ(b) = c，其中a是底数，b 是真数，c是对数。
意思是a的c次方等于b。
2.换底公式:换底公式是用于将一个对数的底换成另一个底的公式。
设logₐ(b) = c，则换底公式可以表示为：logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)，其中x是新的底数。
3.对数运算法则:对数运算法则主要包括以下几条：a.相等关系法则:若logₐ(b) = c，则a的c次方等于b。
b.对数的乘法法则:logₐ(b * c) = logₐ(b) + logₐ(c)，即两个数相乘的对数等于它们分别的对数的和。
c.对数的除法法则:logₐ(b / c) = logₐ(b) - logₐ(c)，即一个数除以另一个数的对数等于它们分别的对数的差。
d.对数的幂运算法则:logₐ(b^k) = k * logₐ(b)，即一个数的幂的对数等于指数与底数的对数的乘积。
e.对数的倒数法则:logₐ(1 / b) = -logₐ(b)，即一个数的倒数的对数等于该数的对数的相反数。
f.对数的根运算法则:logₐ(√(b)) = 0.5 * logₐ(b)，即一个数的平方根的对数等于该数的对数的一半。
4.常见对数和自然对数:a. 常见对数(log₋)以底数为10。
从以上的对数运算法则和公式可以看出，对数运算的主要作用是简化指数运算，将复杂的乘法、除法、幂运算转化为更简单的加法、减法、乘法。
这使得对数在数学、科学、工程等领域中都有广泛的应用。
对数的运算法则和公式提供了重要的工具，可以帮助我们解决各种问题。
例如，在解决指数方程、复利计算、对数函数图像等方面，对数运算法则和公式都起到了关键的作用。
关于对数的基本公式
关于对数的基本公式
对数作为数学中的重要运算符，具有广泛的应用。
其基本公式是以常数为底数
的对数等于自然对数与底数之比。
以常数为底数的对数公式可以表示为：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)，其中a和b分别
代表底数和实数。
这个公式为我们提供了一种从一种底数到另一种底数的转换方法。
对数的基本公式令我们在求解指数和幂的问题时更加灵活。
通过将问题转化为
对数形式，我们可以更简单地解决复杂的数学运算。
例如，求解指数方程时，我们可以将其转化为对数方程，从而更容易找到变量的值。
对数的基本公式还有一个重要的应用是在对数函数的图像绘制和分析中。
基于
该公式，我们可以方便地换算不同底数的对数值，并将其用于绘制图表或进行数值分析。
这提供了一个简便的方法来比较不同底数下对数函数的特性和性质。
值得注意的是，在计算对数时，底数必须为正数且不等于1。
否则，对数无法
定义。
此外，对数的结果是一个实数，可能是正数、负数或零。
总之，对数的基本公式是我们求解指数和幂问题的有力工具，并在对数函数的
图像绘制和分析中发挥重要作用。
它使我们能够更高效地处理复杂的数学运算，并帮助我们更好地理解和应用对数的概念。
用适当的方法解对数方程(习题课)
用适当的方法解对数方程(习题课)引言对数方程是一种涉及到指数和对数函数的方程。
其中包括指数方程和对数方程。
解对数方程的方法多种多样，但是需要根据具体的方程形式采用适当的方法进行求解。
本文将介绍几种常见的解对数方程的方法，并通过题的形式来加深理解和应用。
方法一：变换对于一些简单的对数方程，我们可以通过变换来将其转化为更简单的形式，从而解得方程的解。
例如，对于方程 $log_b(x) = a$，我们可以通过变换将其转化为指数方程 $b^a = x$，从而解得方程的解。
以下是一个题示例：题一：解方程 $log_2(x-1) = 3$.解答：将方程进行变换，得到 $2^3 = x - 1$，解得 $x = 9$.方法二：性质和公式对于一些特殊的对数方程，我们可以利用对数函数的性质和公式来解方程。
例如，对于方程 $log_a(x) - log_a(y) = b$，我们可以利用对数函数的性质 $log_a(x) - log_a(y) = log_a(x/y)$，将方程转化为更简单的形式 $log_a(x/y) = b$，从而解得方程的解。
以下是另一个题示例：题二：解方程 $log(2x) - log(x) = log(5)$.解答：利用对数函数的性质 $log_a(x) - log_a(y) = log_a(x/y)$，将方程转化为 $log(2x/x) = log(5)$，化简得 $log(2) = log(5)$，即 $2 = 5$，该方程无解。
方法三：换底公式对于一些复杂的对数方程，我们可以利用换底公式将其化简为常用底数的对数方程，从而解得方程的解。
例如，对于方程 $log_a(x) = b$，其中底数 $a$ 不是常用底数，我们可以利用换底公式 $log_a(x) = \frac{log_b(x)}{log_b(a)}$，将方程转化为常用底数的对数方程 $log_b(x) = \frac{b}{log_b(a)}$，从而解得方程的解。
对数简化运算
对数简化运算对数是一个非常重要的数学概念，在数学中有非常广泛的应用。
它不仅可以用于简化复杂的计算，还可以帮助我们理解一些复杂的现象。
本文将介绍对数的概念、性质以及对数简化运算的各种方法，希望能帮助读者更好地理解和应用对数。
首先，让我们来了解一下对数的概念。
对数是指一个数与另一个数的幂相等时的指数，通常用“log”来表示。
例如，如果对于任意正数b和正整数n，当b的n次幂等于a时，我们可以说n是以b为底a的对数。
用公式表示为：logb(a) = n。
在这个公式中，b被称为底数，a被称为真数，n被称为指数。
对数有一些重要的性质。
首先，对于任意正数a和b，以b为底a的对数等于以a为底b的对数的倒数，即logb(a) = 1 / loga(b)。
其次，对于任意正数a和b，以b为底a的对数等于以a为底b的对数的相反数，即logb(a) = -loga(b)。
最后，对于任意正数a，以a为底a 的对数等于1，即loga(a) = 1。
对数的简化运算是指根据对数的性质，将一个复杂的对数表达式化简为更简单的形式。
下面介绍一些常见的对数简化运算方法。
首先是对数的乘法法则。
根据对数的定义和性质，我们可以得到logb(m * n) = logb(m) + logb(n)。
这意味着当我们计算一个数的对数时，如果可以将这个数表示为两个数的乘积，那么可以将整个对数表达式分解成两个对数的和，从而简化计算。
接下来是对数的除法法则。
根据对数的定义和性质，我们可以得到logb(m / n) = logb(m) - logb(n)。
这意味着当我们计算一个数的对数时，如果可以将这个数表示为两个数的商，那么可以将整个对数表达式分解成两个对数的差，从而简化计算。
此外，还有对数的幂法法则。
根据对数的定义和性质，我们可以得到logb(m^n) = n * logb(m)。
这意味着当我们计算一个数的对数时，如果可以将这个数表示为另一个数的幂，那么可以将整个对数表达式分解成指数与对数的乘积，从而简化计算。
数学：4.8《简单对数方程》教案(沪教版高一上)
学习教课资源店您身旁教与学资源专家！简单的对数方程一、教材内容剖析本节是在学生认识了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排的. 因为对数方程属于超越方程，在一般状况下不能够用初等方程求解，因此只介绍几种最简单的特别种类的对数方程的解法. 教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的要点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握查验对数方程的增失根，要点是理解将对数方程转变为代数方程时，有时会扩大（减小）字母的同意值范围 .二、教课目的设计1．理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法.2．理解解对数方程时可能会产生增根的原由，掌握解对数方程过程中查验增根的方法. 3．运用察看、类比、剖析的方法研究对数方程的解法，领悟化归、数形联合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提升剖析问题和解决问题的能力.三、教课要点及难点对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原由.四、教课流程设计复习引入种类方法对数方程稳固与提升讲堂小结并部署作业五、教课过程设计( 一 ) 复习引入新课1、练习：求以下函数的定义域( 请两位学生板演) ．1． y=log 2(x 2-x-2)2． y=log (x-2) 4( 学生板演后教师评讲)2、提出问题：假如以上的函数式中，y=2，那么如何求x 呢？能够获得两个等式：log 2(x 2 -x-2)=2及log(x-2)4=2．反问：这是方程吗？3、而后师生共同得出：在对数符号后边含有未知数的方程叫对数方程．( 二 ) 对数方程的解法一些简单的对数方程是能够求解的．如方程log (x-2) 4=2，但怎么解呢？能否能将其转变为已学过的一般方程解呢？( 这里表现了化归思想．)指引学生将方程转变为：(x-2) 2=4．解得 x1=4，x2=0．提出问题：它们是原方程的解吗？指引学生得出x=0 不是原方程的解，因为当x=0 时，原方程中的对数底数x-2 小于 0 了，所以它不是原方程的解．提出问题：那为何会出现这类情况呢？指引学生进行剖析：实质大将原方程log (x-2) 4=2 转变为新方程(x-2) 2 =4 后，未知数 x 的范围变大了，由 {x|x ＞2，且 x≠ 3} ，扩大为 {x|x ∈ R 且 x≠2} ，这样便可能产生增根. 由此，指出验根的必需性 .小结：形如log g(x) f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，马上其化为指数式f(x)=g(x) a 再求解，注意需验根．例 1假如不考虑空气阻力，火箭的最大速度v(km / s) 和燃料的质量M (kg ) 、火箭（除燃料M ) ，外）的质量m(kg ) 之间的关系是v 2ln(1m当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到（ 1） 8km / s （精准到 倍）（ 2） 12km / s （精准到倍）解：（ 1）依据题意，得2ln(1M ) 8,ln(1 M ) 4,1 Me 4因此Mmmme 4 11 53.6 （倍）mM（ 2）用相同方法，可得e 6 11 402.4 （倍）m综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的倍和倍时，火箭的最大速度能达到8km / s 和 12km / s .例 2：解方程 log 2 (x14) log 2 ( x 2) 3 log 2 ( x6)剖析：利用对数运算性质变形为logaf ( ) log a ( x )x g解：原方程可变形为： log 2 (x 14)(x 2) log 2 8(x6)可得： x 2 8x 20 0解得： x 1 10, x 2 2经查验： x10 是增根，原方程的根是 x2教师：我们注意到原方程同意解的范围是{ x | x2} ，而变形后方程： x 2 8x 200 同意解的范围扩大了，因为x 10 ， 10 { x | x2} ，因此方程产生增根 .小结：形如 logaf ( ) log ( ) 的对数方程可用 “同底法” 脱去对数符号， 得 f ( x) g (x) ，x a g x解出 x 后，要知足f ( x) 0g (x) .例 3解方程 (log 3 x)2log 9 3x2解：运用换底公式把原方程化为：(log 3 x)2log 3 3x 2log 3 9化简得： 2(logx)2 log x 333令 log 3 xy ，则 2 y 2y3 0解得： y 1 1, y 232由 log 3x 1 得 x13由 log 3x 33得 x229经查验：x1 3 ，x23都是原方程的解 .9小结：形如 A(log a x)2+Blog a x+C=0的方程用换元法，令log a x=y ，将原方程化简为Ay2+By+C=0，而后解之．( 三 ) 学生练习1．解以下方程1 lgx 2=4；○22 lg x＝ 4；○3 lg(x2-x-2)=lg(6-x-x2)○4 log a(x+3)=2 ． (a>0,a≠ 1)○2．解以下方程1lg(2-x)+lg(3-x)=lg12○2lg(x 2+75)-lg(x-4)=2○○3 log 3(log 4 x)=04 log x+2log x+log x=7○248例4：求方程 x+lgx=3 的近似解剖析：它不是简单的对数方程，没法用惯例方法求其解，这说明不是全部对数方程我们此刻都能解，此类特别规方程，当前只好用数形联合法求其近似解．解：原方程化为：lgx=3-x令 y=lgx ，y=3-x ，在同一坐标系内画出函数y=lgx与y=3-x的图像，求得交点的横坐标x≈2.6 ，这个 x 值近似地知足lgx=3-x ，因此它就是原方程的近似解．小结： 1．对于一些特别规对数方程可用数形联合法求近似解或研究其解的个数．2．当前我们只学习了简单对数方程的解法．1．简单对数方程的解法：①型如 log g(x) f(x)=a：化指法；②型如 log a f(x)=log a g(x)：同底法；③型如 A(log a x) 2+Blog a x+C=0：换元法；④数形联合法．2．解对数方程验根是必不行少的．3．加强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里表现的化归、数形联合等．（五）作业：习题六、教课方案说明（一）对于教课内容本课时是研究对数方程的第一课时，主假如研究几种简单的对数方程的求解. 因为对数方程的求解方法主假如将其转变为代数方程再进行求解，在转变过程中有时会将其范围扩大，因此要对方程的根进行查验 . 经过本节课的学习，不单能够让学生运用察看、类比、剖析的方法研究对数方程的解法，使学生领悟化归、数形联合的数学思想，还可以培育学生应用数学知识的意识，提升他们剖析问题和解决问题的能力.（二）对于教课方法为了充足调换学生学习的踊跃性，表现学生的自主式学习，我采用了启迪、自我研究的教课方式 . 在讲堂教课过程中，一直贯彻“教师为主导、学生为主体、研究为主线、思想为中心”的教课思想，经过指引学生察看、比较、剖析和归纳，使学生能充足的开动思想，参加教课全过程 .（三）对于教课方案为了达到教课目的，加强要点内容并打破教课中的难点，在讲堂教课过程中，着重解说方程产生增根的过程及其原由 . 为了让学生自己领会并发现产生增根的原由，精心设计例题及问题情况 .（四）对于学法指导本课时经过教师适合指引，学生主动研究，联合对数运算性质、对数函数等观点，不单使学生习过程中的主动性，培育学生优秀的学习习惯.。
小学四年级数学上册教案认识与使用简单的对数函数方程组
小学四年级数学上册教案认识与使用简单的对数函数方程组教案认识与使用简单的对数函数方程组1. 引言在小学四年级数学上册中，学生将接触到简单的对数函数方程组。
本教案将帮助学生认识和使用这些方程组，以提升他们在数学学习中的能力。
2. 认识对数函数方程组2.1 对数函数方程组的定义对数函数方程组是由一个或多个对数函数组成的方程系统。
对数函数是一种形如y = logₐ(x)的函数，其中a是底数，x是变量，y是对数值。
方程组则是由多个方程组成的系统。
2.2 对数函数方程组的特点对数函数方程组常常涉及到底数相同，变量相同的方程。
它们一般可以用代数方法求解，以得到变量的具体值。
3. 使用对数函数方程组3.1 求解对数函数方程组的步骤(1) 将方程组中的每个方程都展开成对数形式，即y = logₐ(x)。
(2) 将底数相同的方程等式两边的对数值对比，得到变量的具体值。
(3) 检验所得变量值是否符合方程组的要求。
(4) 如果方程组有多个未知数，可以继续使用代数方法求解。
3.2 示例根据书上的例题，我们来解决一个对数函数方程组的问题。
这个方程组是：y = log₄(8)y = log₄(16)(1) 将方程组展开，得到：y = 3/2y = 2(2) 将两个方程等式两边的对数值对比：3/2 = 2(3) 根据等式得到变量的值：y = 2(4) 核对结果，将y = 2代入方程组中：log₄(8) = 2log₄(16) = 2通过这个示例，我们可以看到对数函数方程组的求解步骤和方法。
4. 总结在小学四年级数学上册中，学生开始接触并学习简单的对数函数方程组。
使用对数函数方程组可以帮助学生提升他们的数学能力，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
通过本教案的学习，学生可以掌握对数函数方程组的基本知识和解题方法，进一步提升他们在数学学习中的成绩。
希望本教案能对大家在小学四年级数学学习中有所帮助，祝愿大家学业进步，取得好成绩！。
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1、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 、两边是单项的不等式可以利用对数函数的单调性解不等式； 2、含有对数式的复合不等式先利用换元法将不等式化为整式 、 不等式，再解对数不等式； 不等式，再解对数不等式；
对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。 对数不等式的解集满足原不等式中的对数值有意义。
1 方程形如： a f ( x) = c, ⇒ ac = f ( x) > 0 、方程形如： log
x=2，(x=− 舍去 = ， =− 舍去) =−10舍去
2 方程形如： a f ( x) = loga g( x) ⇒ f ( x) = g( x) > 0 、方程形如： log
根据原方程的相关对数有意义， 根据原方程的相关对数有意义，解方程要验根。
例10、已知 x1 , x 2 分别是方程 2 x + x − 3 = 0与 log 2 x + x − 3 = 0的两根， 的两根， 的值。 求 x1 + x 2的值。
3
有且只有一解， 例11、已知关于 x的方程 lg( kx ) = 2 lg( x + 1)有且只有一解， 求实数 k的取值范围。 的取值范围。
例3、解下列方程 、 x lg 2 x 1 （）、 x = ；（2 10 ）、 + x lg x = 20 100 指数、 指数、对数混合方程的常见解法
lg x 3
x1 = 10, x2 = 100
1 x1 = 10, x2 = 10
先简化，再等式两边取对数， 先简化，再等式两边取对数，化为同一个对数的一元二次 方程求解。 方程求解。
对数方程的应用
解方程： 例5、已知 f ( x ) = log 2 ( 2 x − 1), 解方程： f ( 2 x ) = f −1 ( x )
x=1 =
例6、已知关于 x的二次方程： x 2 − 2(1 + lg a ) x + 1 − (lg a ) 2 = 0 (1)、要使方程有实根，求 a的取值范围；0 < a ≤ （2）、要使方程有相同的实根，求 a的值； 1 a = , or a = 1 （3）、当 a > 1时，判别方程两根的符号。 10
作业
解方程： 例 2、解方程：log 3 x + log 9 3 x = 2 x1 = 3, x2 = 3 =
2
−
3 2
3 9
形如loga2 f ( x) + b ⋅ loga f ( x) + c = 0的方程的解法
换元法——先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 换元法 先化对数方程为整式方程，再解简单的对数方程。 先化对数方程为整式方程
1 , or a ≥ 1 10
当1<a<10时，两正根，当a>10时，一正一负， 时 两正根， 时 一正一负， 当a=10时，一正一零，即x=2,x=0． = 时 一正一零， = = ．
例 7、已知 lg x + | lg y | + 2 = 0 , | lg x | ⋅ lg y + 15 = 0 求 log
简单的对 数 方 程
教学目的 1、理解对数方程的概念； 2、掌握简单对数方程的解法。
对数方程
定义：对数符号里含有未知数的方程叫做对数方程。 定义：对数符号里含有未程
x=± =±10 （1 lg =± ）、 x 2 = 2； log （2）、 2 ( x + 14 ) + log 2 ( x + 2 ) = 3 + log 2 x + 6） （ 基本解法
11 + 13 例4、解下列不等式 若a>1，则 5 < x < ， ； 2 1 2 （）、log a ( x − 5) < log a ( x − 2)； 若0<a<1，则 x > 11 + 13 ． ， 2 （2 (log 2 x )2 − log 2 x − 6 ≤ 0 ）、 1 ≤ x≤8 4 解对数不等式的基本解法
k<0或k=4 或 =
例12、若方程 lg( ax ) ⋅ lg( ax 2 ) = 4的两个解都大于 1， 的取值范围。 求实数 a的取值范围。
0<a< 1 100
总结
1、解简单的对数方程的基本方法——利用对数函数的单调性； 、解简单的对数方程的基本方法 利用对数函数的单调性； 利用对数函数的单调性 2、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 、解方程时不能忽视原方程中对数值必须有意义，要验根； 3、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 、同解变形是解对数方程（和不等式）的关键步骤； 4、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数，化成 、既含有对数式，又含指数式的方程，一般两边取对数， 同一个对数的二次型方程求解； 同一个对数的二次型方程求解； 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。 5、遇到含参数的问题，利用分离变量，数形结合的方法解决。
y
x 的值。 的值。
5 lg x = −5, lg y = −3, log y x = 3
例8、设方程 lg 2 x − lg x 3 = − 2 在两根 α , β , 的值。 求 log α β + log β α 的值。
5 2
1 2 的解的个数。 个 例9、求方程 x − lg | x | − x = 0的解的个数。 2个 2