函数极限与连续性

x→+∞ x2 + x − x ( x→+∞ x2 + x − x)( x2 + x + x) x→+∞
x
= lim 1 + 1 + 1 = 2
x→+∞
x
lim
1
= lim
x2 + x + x
= lim x2 + x + x
x→−∞ x2 + x − x ( x→−∞ x2 + x − x)( x2 + x + x) x→−∞
⎪⎩ ∞
p<q p=q p>q
例：
2n + 3n
lim
n→∞
1
+
3n+1
=
(2)n +1 lim 3 n→∞ (1)n + 3
=
0+1 0+3
=
1 3
。出现指数的极限中应当充分使用规则
3
lim an = 0,| a |< 1 。
n→∞
例： lim(1 − n→ ∞
2 n2
)n
这种类型的极限具有下面几个特点：（1）从总体上看，极限属于1∞ 类型，1 −
+1 x
=
∞
如果不能算出数值，那么必定属于下面几种形式中的一种：0 , ∞ ,0 ⋅ ∞,∞ − ∞,1∞ ,00 ,∞0 0∞
七种未定形式和无穷小量乘有界量。
（2）约去公因式
如果被求极限函数是个分式函数，那么可以通过约去公因式化简函数。
例：
lim
x →3
x−3 x2 −9
=
lim
x→3
(x
x−3 − 3)(x +
定义方式与前面提到的距离直接相关，比如 lim f (x) = L 的定义为，对任意的 ε > 0 ， x→a
存在δ > 0 ，当 0 <| x − a |< δ 时，| f (x) − L |< ε 。
lim f (x) = ∞ 的 定 义 为 ， 对 任 意 的 M > 0 ， 存 在 δ > 0 ， 当 0 <| x − a |< δ 时 ，
lim x = lim u 2 −1 = lim(u +1) = 2 。 x→0 x + 1 −1 u→1 u −1 u→1
（5）使用两个基本极限 lim sin x
= 1， lim(1+
1
x) x
=
e ， lim(1 +
1)x
=
e。
x→0 x
x→0
x→∞
x
例： lim sin 2x = lim 2sin x cos x = 2lim sin x limcos x = 2⋅1⋅1 = 2
3
= lim
x2
+3
x
+1 =
3
x→1
x +1
2
（4）变量代换。使用变量代换的目的是将被求极限函数化简或变形为易求极限的函数。 但要注意的是变量代换将原来的自变量变成了新的变量，因此变量的变化趋势也应当作相应 的变化。
例： lim x 。 x→0 x +1 −1
该极限可以使用分母有理化求解，现在使用变量代换的方法。作变量代换 u = x + 1 ， 相应的变化趋势 x → 0 变为 u → 1，将原来关于 x 的极限问题变为关于 u 的极限问题。
x
1− x⋅ x ⋅1
) x 1− x x
x
= lim[(1+ x→0
1
1 −
x
)
1− x x
1
]1− x
=
1 lim
e x→01− x
=
e
x
一般地，对于形如 lim f (x) g(x) 的极限，如果 lim f (x) = 1,lim g(x) = ∞ ，可以用下面
x→a
x→a
x→a
的步骤完成
1
n→∞
n→∞
n→∞
例： lim( 1 + 1 + " + 1 )
n→∞ n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
注意到对任意的 k ， 1 ≤ 1 ≤ 1 ，因此
n2 + n n2 + k n2 +1
n ≤ 1 + 1 +"+ 1 ≤ n
n2 + n n2 +1 n2 + 2
n2 + n n2 +1
而 lim n→∞
x
= lim (− 1 + 1 + 1) = 0
x→−∞
x
从而 lim
1
不存在。
x→∞ x2 + x − x
其中注意的是 x → −∞ 时，应当有 x < 0 。
例：设
f
(x)
=
⎪⎨⎧sxin+
1 x
⎪⎩ x
x≥0 x<0
注意到 lim f (x) = lim sin x = 1 ， lim f (x) = lim (x +1) = 1，因此 lim f (x) = 1。
（4）求解 N 都是通过考察| f (n) − L |< ε ，求出使得该不等式成立的 n 。
几个常用的数列极限结论：
（1） lim 1 = 0 ；（2） lim an = 0,| a |< 1 ；（3） lim n a = 1, a > 0 ；
n→∞ n
n→∞
n→∞
（4） lim(1 + 1 )n = e ；（5） 1 = ∞, 1 = 0 。
数列极限和函数极限
极限的一般形式 lim f (n) 或 lim f (x) ，其中 a 可以是无穷大。
n→∞
x→a
极限定义为当自变量和极限点的距离越来越近时（自变量无限接近于极限点时），函数 值也和极限值的距离越来越近（函数值无限接近于极限值）。其中最关键的是度量“自变量 无限接近于极限点”以及“函数值无限接近于极限值”两个论断，这些都是用两个数之间的 距离或者是变数（自变量和函数值都可以理解为变数）与定数（指极限点和极限值）之间的 距离来衡量。
x)
=
lim ln[(1 +
x)
1 x
]
=
ln[lim(1 +
1
x) x
]
=
ln
e
=
1
x→0 x
x→0
x→0
ex lim
−1
：令
u
=
ex
−1
，即
x = ln(1+ u)
，同时
x→0
变为
u→0
，从而
x→0 x
lim ex −1 = lim u = [lim ln(1+ u)]−1 = 1
x→0 x
u→0 ln(1+ u) u→0 u
3)
=
lim
x→3
x
1 +
3
=
1 6
（3）分子有理化和分母有理化 例：
lim x −1 = lim ( x −1)( x +1)(3 x2 + 3 x +1) = lim (x −1)(3 x2 + 3 x +1) x→1 3 x −1 ( x→1 3 x −1)(3 x2 + 3 x + 1)( x + 1) x→1 (x −1)( x + 1)
x→a
| f (x) |> M 。
其他类型的极限可以按照同样的规则写出。 求解极限的方法：
（1）直接将 x = a 代入 f (x) ，如果能够直接算出数值，则该数就是极限，这里可以使 用 1 = ∞, 1 = 0 规则。
0∞
3
例：
lim
x→3
x x2 +
3
=
3 32 +
3
=
1 4
；
lim
x→0
x
lim
x→a
f来自百度文库
( x) g ( x)
=
lim[1+ (
x→a
f
(x) −1)]g(x)
=
lim{[1 +
x→a
(
f
(x) − 1)] f ( x)−1}[ f ( x)−1]g (x)
其中 a
可以
lim [ f ( x)−1]g ( x)
= ex→a
是有限数，也可以是无限数。 例：
lim
ln(1 +
量方法就可以得到下面的定义。但是要注意的是这两个距离的控制量应当是有关系的，一般 说是要由函数值和极限值之间的距离控制来决定自变量和极限点之间的距离控制。数列极限
的定义为：对任意的 ε > 0 ，存在 N ，当 n > N 时，| f (n) − L |< ε 。
注意的几点：
（1） ε 是预先给定的一个充分小的正数； （2）使用定理证明的关键是能够给出用 ε 表示的 N 的表达式，一般 N 是 ε 的函数； （3） ε 应当足够的小，而 N 应当足够的大；
2 n2
→ 1 ，同
时 n → ∞ ；（2）充分使用规则 lim(1 + 1 )n = e ，注意该规则的特点：（1）一个“+”，
n→∞
n
即中间必须是加号；（2）两个 1，即加号前是 1，分子上是 1，不是 1 时必须将上面地所有
项除到分母上；（3）两个 n，这并不是说两个地方必须是 n，而是说两个地方的式子必须一
n = lim n2 + 1 n→∞
1 = 1,lim
1+
1 n2
n→∞
n = lim n2 + n n→∞
1 =1 ，按照两边夹准则， 1+ 1
n
lim( 1 + 1 + " + 1 ) = 1。
n→∞ n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
（5）使用单调有界必有极限准则。这部分先跳过。
函数极限 lim f (x) x→a
达式在该点的极限（左极限中的函数已经限定 x < a ），右极限就是求分段函数在分段点右 边的表达式在该点的极限（右极限中限定 x > a ）。当左右极限都存在而且相等时，分段函
数在分段点的极限才存在。对于无穷远点的极限是指
lim f (x) 存在的充要条件为 lim f (x) = lim f (x) 。几个正无穷和负无穷点处极限不相
x→∞
x→−∞
x→+∞
等的例子。
lim ex = +∞, lim ex = 0, lim arctan x = π , lim arctan x = − π
x→+∞
x→−∞
x→+∞
2 x→−∞
2
例： lim
1
。
x→∞ x2 + x − x
5
lim
1
= lim
x2 + x + x
= lim x2 + x + x
n→∞ n
n→∞ n
n→∞ n
常见的有界量有 sin x,arcsin x,arctan x 。
（4）两边夹准则。
使 用 下 面 的 规 则 ： 如 果 三 个 数 列 f (n), g(n), h(n) 满 足 下 面 两 个 条 件 ：（ 1 ）
f (n) ≤ g(n) ≤ h(n) ，（2） lim f (n) = lim h(n) = L(或∞) ，那么 lim g(n) = L(∞) 。
（6）规则：lim f (x) 存在的充要条件为左右极限都存在且相等 lim f (x) = lim f (x) 。
x→a
x→a+
x→a−
该规则使用的场合一般有两个：一是对分段函数的极限（含有绝对值的函数也是看作分段函
数），二是求无穷远点的极限。对于分段函数在分段点处的极限，由于分段函数在分段点左
右的函数表达式不一样，因此需要考虑左右极限，左极限就是求分段函数在分段点左边的表
x→0 x
x→0
x
x x→0
x→0
也可以这样做：
lim sin 2x = 2lim sin 2x = 2lim sin u = 2⋅1 = 2(其中令u = 2x)
x→0 x
x→0 2x
u→0 u
例： lim arctan x ，令 u = arctan x ，即 x = tan u ， x → 0 变为 u → 0 。 x→0 x
lim arctan x = lim u = lim u cosu = 1。
x→0 x
u→0 tan u u→0 sin u
使用第二个基本极限的方法和前面关于数列的类似极限的方法相同。
例：
4
lim (
1
1
)x
x→0 1− x
= lim(1+
x
1
)x
x→0 1 − x
= lim(1+ x→0
1
1 −
（1）变数趋近于有限数，衡量方法为| x − a |< δ ，以及| f (x) − L |< ε 。
（2）变数趋近于无限数，衡量方法为| x |> M 或者| f (x) |> X 。
数列极限 lim f (n) = L ： n→∞
涉及到两个距离， n 和 ∞ 之间的距离以及 f (n) 和 L 之间的距离，用上面的两个距离衡
n→∞
n
0∞
求解数列极限的几种方法：
（1）使用上述几种极限结论。
例：
lim
n→∞
n +1 n2 +1
=
lim
n→∞
1 n
+
1 n2
1
+
1 n2
= 0+0 =0 1+ 0
一般地，
1
⎧0
lim
n→∞
a0n p b0 n q
+ +
a1n p−1 b1n q −1
+"+ +"+
ap bq
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
a0 b0
n
= lim( 1 + 1 + 1) = 2
n→∞
n
（3）使用无穷小量乘有界量仍为无穷小量。
如果 f (n) → 0 ，同时 g(n) 有界，那么 f (n)g(n) → 0 。
2
例： lim sin n 。因为 lim 1 = 0 ，而| sin n |≤ 1有界，所以 lim sin n = 1 。
例： lim en 。因为 lim(1)n = 0 ，所以 lim en = ∞ 。
n→∞
n→∞ e
n→∞
（2）使用分子有理化和分母有理化。
出现分子或分母形式时可以考虑采用分子有理化和分母有理化。 例：
lim
1
= lim
n2 + n + n
= lim n2 + n + n
n→∞ n2 + n − n n→∞ ( n2 + n + n)( n2 + n − n) n→∞
样。
lim(1 −
n→∞
2 n2
)
n
=
lim[(1 +
n→∞
1 − n2
−n2 − 2
) 2] n
= e0
= 1。
2
规则 5 是指如果 lim f (n) = 0 ，那么 lim 1 = ∞ ；反过来，如果 lim f (n) = ∞ ，那
n→∞
n→∞ f (n)
n→∞
么 lim 1 = 0 。在判断极限的具体形式时，通常需要使用这个规则得到一些有用的结论。 n→∞ f (n)