数学选修1-1课本答案
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
北师大版数学- 数学选修1-1教师用书 1.1.1命题
【课堂新坐标】数学选修1-1教师用书：1.1.1命题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第1页)课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.(对应学生用书第1页)命题的判断判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明(举反例)真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．(对应学生用书第4页)因知识欠缺，导致对命题真假判断失误判断下列命题的真假．(1)若a ＞b ，则1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． 【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． 【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． 【正解】 (1)假命题 (2)真命题1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断.(对应学生用书第4页)1．下列语句中是命题的是( ) A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( ) A ．5是15的约数 B ．对任意实数x ，有x 2＜0C ．对顶角相等D ．0不是奇数 【解析】 对任意实数x ，有x 2≥0，所以B 为假命题．A 、C 、D 均为真命题． 【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p ，则q ”的形式为________．【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行 4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假． (1)求证：2是无理数．(2)若G 2＝ab ，则a 、G 、b 成等比数列． (3)末位数字是0的整数能被5整除． (4)你是高二的学生吗？【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】 A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D 为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( ) A ．这个数能被2整除 B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( ) A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集 B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．空集是任何集合的真子集 D ．若1x ＝1y，则x ＝y【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． 【答案】 C 5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． 【答案】 B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________． 【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x ≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x ≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假： (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．(3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断下列命题的真假并说明理由．(1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0；(3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根． 【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．(2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号．又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负，故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0.(3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0； ∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0， 解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]．(教师用书独具)下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧； ④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a－a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫(－sin α)2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以④是真命题，故填③④.【答案】 ③④把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________.【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．【答案】－3－log2x(x＞0)。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， 所以－a222－5b22＝1， 若焦点在 y 轴上，
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2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，且经过点(0,2)与 ( 5，2 2)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．
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第二章 圆锥曲线与方程
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双曲线的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的_差__的__绝__对__值_ _是__常__数___的点的轨迹叫做双曲线
焦点 焦距 集合语言
_两__个__定__点__F_1，__F__2 _叫做双曲线的焦点
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1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过 程．
2．掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问 题．
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第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队 远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81～85，思考以下问题1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12的导数是什么？2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？[要点梳理]1．基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( )2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为12.( )3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一 利用导数公式求函数的导数思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ； (3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln1010x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则，减少求导法则的应用的烦索性．[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x 2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln10＋2x 3. 题型三 利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思路导引] 分析知，与曲线相切且与y ＝x 平行的直线与曲线的切点到直线y ＝x 的距离最小．[解]如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．[跟踪训练]求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．[解] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数． (3)利用导数运算研究曲线的切线问题．3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C.19D.13[解析] ∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.[答案] B2．函数y ＝3x 2的导数为( ) A ．y ′＝3x2B ．y ′＝32xC ．y ′＝23x3D ．y ′＝233x[解析][答案] D3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e[解析][答案] D4．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x x B ．e x＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′·ln x ＋e x·(ln x )′＝e x·ln x ＋e x·1x ＝e x (x ln x ＋1)x，所以选C.[答案] C5．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案[解析] y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，即3x 2＋2ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－2a 3.分别代入y ＝x 3＋ax 2－43a ，得0＝－43a ，即a ＝0；－8a 327＋4a 39－43a ＝0，即a ＝±3，∴a ＝0或a ＝±3.[答案] A6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________，切线的方程为__________________．[解析] y ′＝1x ，则k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，切线方程y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.[答案] 1e x －e y ＝0。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
人教a版数学【选修1-1】作业：3.2.1-3.2.2(含答案)
§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时目标1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y ＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；(2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________；(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；(5)若f(x)＝a x，则f′(x)＝________ (a>0)；(6)若f(x)＝e x，则f′(x)＝________；(7)若f(x)＝log a x，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝1x，则y′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________．8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________. 9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．13．求过曲线y＝e x上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x .]2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)， 即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.]7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x＝nn＋1.a n＝lg x n＝lg nn＋1＝lg n－lg(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2. 13．解∵y′＝e x，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e，∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－1e，∴所求直线方程为y－e＝－1e(x－1)，即x＋e y－e2－1＝0.。
高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案
导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案：第一章1.1命题及其关系含答案
第1课时命题[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．观察教材P2“思考”中的6个语句．(1）这6个语句都是陈述句吗？提示：是．(2)能否判断这6个语句的真假性？提示:能．2．归纳总结,核心必记命题及相关概念命题错误!［问题思考］(1)“x〉5”是命题吗？提示:不是．（2)陈述句一定是命题吗？提示：不一定．(3）命题“当x＝2时,x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么?提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0．(4)“若p则q"形式的命题一定是真命题吗？提示：不一定．(5）数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是．[课前反思]（1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是:；(3)命题的条件和结论的定义是：．［思考］一个语句是命题应具备哪两个要素？提示：(1）是陈述句；(2)可以判断真假．讲一讲1．判断下列语句中，哪些是命题？（链接教材P2－例1) (1)函数f(x)＝错误!在定义域上是减函数；（2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x2－2x〉1；(4）在平面上作一个半径为4的圆；（5)若sin α＝cos α，则α＝45°；(6）2100是一个大数；（7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？（8)若x∈R，则x2＋2>0.［尝试解答] （1）是陈述句,且能判断真假，是命题．（2）是陈述句,且能判断真假，是命题．（3）当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．（4）不是陈述句，不是命题．(5）是陈述句，且能判断真假，是命题．（6)是陈述句,但是“大数"的标准不确定,所以无法判断其真假，不是命题．(7）不是陈述句,不是命题．(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．(1）一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．（2)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能,就不是命题．(3）还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论,这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．(4）数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．练一练1．下列语句中是命题的有________．(填序号）①地球是太阳的一个行星．②甲型H1N1流感是怎样传播的？③若x,y都是无理数，则x＋y是无理数．④若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行．⑤60x＋9〉4。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)
目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
高中数学选修1-1 第三章 导数 第2节 导数的运算
第2节 导数的运算1.基本初等函数的导数公式表y ＝f (x )y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1，n 为正整数y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q) y ′＝μx μ－1，μ为有理数 y ＝a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos xy ＝－sin_x例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 12 (2)y ＝5x 3 (3)y ＝log 2x (4)y ＝2sin x 2cos x2 （5）y=2018sin60°[精解详析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2；(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2′＝(sin x )′＝cos x .（5）0练习：下列导数运算正确的是（ ） A ．（sinx ）'=﹣cosx B ．C ．（3x ）'=3xD ．解：（sinx ）′=cosx ；（log2x ）′=；（3x ）′=3x ln3；（）′=﹣，故选：B ． 例2：函数y=2x 在x=0处的导数是（ ）A．0 B．1 C．ln2 D．解：∵y′=2x ln2，∴y′|x=0=ln2，故选：C．练习：函数y=在x=1处的导数值为（）A．﹣B．2 C．1 D．解：∵，∴f′（1）=．故选：D．例3：若函数f（x）=sinx，则=（）A．B．C．1 D．0 解：根据题意，f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f（x）+f′（x）=sinx+cosx，则=sin+cos=+=；故选：B．练习：已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16 解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D．例4：若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2 解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．练习：设f（x）=lnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A ．2B ．C ．D ．ln2解：f （x ）=lnx ，则f′（x ）=， f′（x 0）=2， 可得x 0=． 故选：B ．2．导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则法则语言叙述[]f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 例5：已知函数，且f'（x 0）=4，则x 0= ． 解：函数的导数f′（x ）=2x ﹣8，∵f'（x 0）=4， ∴2x 0﹣8=4，即2x 0=12得x 0=3．故答案为：3．练习：已知函数y=ax 2+b 在点（1，3）处的导数为2，则= ． 解：函数y=ax 2+b 的导数为y′=2ax ，由函数在点（1，3）处的切线斜率为2，可得f （1）=a +b=3，f′（1）=2a=2，解得a=1，b=2．则=2．故答案为2例6：已知函数f（x）的导数为f′（x），若有f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（2）=（）A．﹣12 B．12 C．6 D．﹣6解：根据题意，f（x）=3x2+2xf′（2），则导数f′（x）=6x+2f′（2），令x=2可得：f′（2）=12+2f′（2），解可得f′（2）=﹣12，故选：A．练习：（1）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．（2）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，则f′（）=f′（）cos﹣sin=f′（）﹣，则f′（）==﹣（），则f（x）=﹣（）sinx+cosx，则f（）=﹣（）sin+cos=﹣（）×+=﹣1，故选：D．例7：设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinxC．2e x sinx D．﹣2e x（sinx+cosx）解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选：D．练习：已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=alnx+ax=alnx+a，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．例8：函数的导数是（）A．B．﹣sinxC．D．解：根据导数的运算法则可得，y′====﹣故选：C．练习：设f′（x）是函数的导函数，则f'（0）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．解：根据题意，，其导数f′（x）==﹣，则f'（0）=﹣1；故选：C．例9：已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x ）=e x lnx +•e x ； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e ． 故答案为：e ． 练习：已知函数f （θ）=，则 f′（0）= ．解：函数f （θ）=，则 f′（θ）==所以f′（0）= 故答案为例10：设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分)由①②得⎩⎨⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．(9分)令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．(10分)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)练习：设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3（1）求f（x）的解析式（2）求f（x）在点（3，f（3））处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）函数f（x）=ax+（a，b∈Z），导数f′（x）=a﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，可得f（2）=2a+=3，f′（2）=a﹣=0，解方程可得a=1，b=﹣1，（分数舍去），则f（x）=x+；（2）由f（x）的导数为f′（x）=1﹣，可得在点（3，f（3））处的切线斜率为1﹣=，切点为（3，），则在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣=（x﹣3），令x=0，可得y=﹣=；令y=0，可得x=3﹣=﹣，则切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为××=．。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大(小)值与导数
3．3.3函数的最大(小)值与导数[教材研读]，思考以下问题预习课本P96～98如图为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象1．由图找出f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的取值位置．2．根据图象找出在闭区间[a，b]上，函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系．[要点梳理]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数y＝f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值．()2．函数的最小值至多有一个，但函数的极小值可能有多个．()3．若函数在开区间只有一个极大值，则该极大值就是最大值．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 利用导数求最值 思考：最值与极值的联系与区别？提示：最值是函数在整个定义域上的最大最小值，而极值是局部最大最小值．求下列各函数的最值：(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值，再比较大小． [解] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2，令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；(2)若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．[跟踪训练]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．[解] 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x －1＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12ln e 316>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln2，最小值为f (1)＝0.题型二 含参数的函数最值问题 思考：怎样求解析式中的参数？提示：利用极值与导数的关系，即在某点有极值，则在某点的导数为0.已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．[思路导引] 因为在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0，则求出参数k .[解] (1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ，∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[跟踪训练]若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．[解]f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.①若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.②若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3， ∴a ＝－2.综上：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.题型三 与函数最值有关的恒成立问题 思考：有关恒成立问题怎样解决？提示：与恒成立有关的问题，就是转化为求最值问题．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)．(1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．[思路导引]恒成立问题，即y＝h(t)＋2t，若t∈(0,2)的最大值小于m，所以恒成立问题即求函数的最值问题．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不符合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . [跟踪训练]设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为在[a ，b ]有最大值时函数可以是单调函数，所以有最大值不一定有极大值，反之亦不成立，所以选D.[答案] D2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[解析] 因为f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，当x ＝－2时，f ′(x )＝0，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－2时，f (x )有极大值即最大值，所以选A.[答案] A3．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值[解析] 由极值与最值的定义知选D. [答案] D4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12[解析] 由f ′(x )＝1x－1x 2＝＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.[答案] B5．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3]的值域为__________．[解析] f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1346．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值__________，极小值__________．[解析] f ′(x )＝x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2，且(－∞，－1)和(2，＋∞)时f ′(x )>0，在(－1,2)，f ′(x )<0，所以f (－1)＝76是极大值，f (2)＝－103是极小值．[答案] 76 －1037．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得： f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a 3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x＝0时，函数有最大值2.。
高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件 《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交 椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆 的定义求△ABF1的周长？
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝ ＝22xy＋ ，5， 代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1， 所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
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【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
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1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆 的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．
人教A版高中数学选修1-1 教师用书
第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题目标导学1．了解命题的有关概念．2．会判断命题的真假．3．理解若p，则q形式的命题的条件和结论．能指出此类命题的条件和结论．‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．1．对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的结构形式(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．题型一命题及其真假的判断判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；(3)x2＋3x－2＝0；(4)一个数不是正数就是负数；(5)4是集合{1,2,3,4}中的元素；(6)求证y＝sin 2x的最小正周期为π.【思路探索】解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再根据条件和结论的逻辑关系判断真假．【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x，在没给定x的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题．(4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题．(5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题．(6)是祈使句，不是命题．[名师点拨]判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句“π是无理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“你是高一的学生吗？”，感叹句等都不是命题.(2019·陆良八中月考)下面命题中是真命题的是() A．函数y＝sin2x的最小正周期是2πB．等差数列一定是单调数列C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB→·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．答案：C题型二 命题的结构形式把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形；(4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．【思路探索】 本例所给的命题都不具备“若p ，则q ”的形式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．【解】 (1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题．(4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．[名 师 点 拨](1)把命题改写成“若p ，则q ”(或“如果p ，那么q ”)的形式，其中p 为命题的条件，q 为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p ，则q ”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来的命题．(2)不要认为假命题没有条件和结论，对于一个命题无论是真命题还是假命题，它必须由条件和结论两个部分组成，只是有些命题的条件或结论不十分明显．(3)判断一个命题的真假．“若p ，则q ”为真命题，则需要由p 经过严格推理得出q.“若p，则q”为假命题，只需举出一个反例说明即可.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．1．下列语句为命题的个数有()①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．(2019·莆田月考)下列命题中是假命题的是()A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．(2019·杭高期末)已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C 中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．5．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)函数y＝x3是奇函数；(2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x，y是正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)若一个函数是y＝x3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题．(4)已知x，y是正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，它是假命题．一、选择题1．下列语句中命题的个数是()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0 B．1C．2 D．3解析：①③④是命题，②不是命题．答案：D2．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB→·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形 解析：B 正确，由韦达定理知，x 1x 2＝c a >0.答案：B3．(2019·商丘联考)给出下列命题：①若直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，则l ⊥m ；②若a ，b 都是正实数，则a ＋b ≥2ab ；③若x 2>x ，则x >1；④函数y ＝x 3是指数函数．其中假命题为( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④解析：①中，l ∥m ，①错；②为真命题；③中，由x 2>x ，得x >1或x <0，③错；④中，y ＝x 3是幂函数，④错．故选C.答案：C4．(2019·海林月考)已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列命题：①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，则集合M 中有不属于P 的元素，故②④正确，故选B.答案：B5．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“相等”和“直角”B ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：D 中，当a >4时，判别式Δ＝16－4a <0，此方程无实根，故是假命题． 答案：D6．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：对于①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，故①正确；对于②，可举例1,3,5和3,3,3两组数据的平均数相等，但它们的标准差不同，故②错；对于③，圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋0＋1|2＝22，等于圆x 2＋y 2＝12的半径，所以直线与圆相切，故③正确．答案：C二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x ，y 都是无理数，则x ＋y 是无理数；④若直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行；⑤60x ＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x 的值不确定，所以无法判断其真假，所以⑤不是命题；因为⑥是祈使句，所以不是命题．①③④是命题．答案：①③④8．(2019·长春月考)下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，得T ＝2π2＝π，①为真命题；终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋k π，k ∈Z ，②为假命题；在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象只有一个公共点，③为假命题；把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x 的图象，④为真命题；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数，⑤为假命题，故真命题有①④. 答案：①④9．若命题“ax 2－2ax ＋3>2”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝ax 2－2ax ＋1，当a ＝0时，f (x )＝1>0成立；当a ≠0时，要使f (x )>0恒成立，只要Δ＝(－2a )2－4a ＝4a (a －1)<0，且a >0，即0<a <1.综上知，a 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)三、解答题10．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0；(2)等腰三角形的两个底角相等；(3)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(4)方程x 2＋x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题．(2)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，是真命题．(3)若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，是真命题．(4)若一个方程为x 2＋x ＋1＝0，则它有两个实数根，是假命题．11．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－2x －2≥1，得x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，即命题p ：x ≤－1或x ≥3.而命题q ：0<x <4，由命题p 是真命题，命题q 是假命题，得⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．12．已知命题A ：2x －1>a ；命题B ：x >3.试确定实数a 的一个值，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若A 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 2，则x >3”，由命题为真命题，得1＋a 2≥3，即a ≥5.若B 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >3，则x >1＋a 2”，由命题是真命题，得1＋a 2≤3，即a ≤5.由以上分析知，取a ＝5，符合题意．13．(2019·上海七宝月考)已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sinx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D1．1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系目 标 导 学1．了解四种命题的概念．2．认识四种命题的结构形式，会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题．3．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．4．能利用命题的等价性解决简单问题．‖知识梳理‖1．四种命题的概念名称栏目内容定义 表示形式 互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题原命题为“若p ，则q ”；逆命题为“若q ，则p ” 互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p ，则q ”；否命题为“若﹁p ，则﹁q ” 互为逆否对于两个命题，其中一个命题的条原命题为“若p ，则2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．四种命题的表示形式一般地，用p 和q 分别表示一个命题的条件和结论，用﹁p 和﹁q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式为：原命题：若p ，则q (p ⇒q )；逆命题：若q ，则p (q ⇒p )；否命题：若﹁p，则﹁q (﹁p ⇒﹁q )；逆否命题：若﹁q ，则﹁p (﹁q ⇒﹁p )．注：命题的四种形式中，哪一个为原命题是相对的，而不是绝对的．2．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．题型一四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【思路探索】首先弄清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．[名师点拨]若一个命题不是“若p，则q”的形式，则先改写为“若p，则q”的形式，然后再按定义写出其逆命题、否命题和逆否命题.(2019·江门月考)“若a≥2，则a2≥4”的否命题是() A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系下列说法中，不正确的是()A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【思路探索】题目中每个选项都给了两个命题，应从四种命题的概念入手进行判断．【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】C[名师点拨]原命题：若p，则q，逆命题：若q，则p，否命题：若﹁p，则﹁q，逆否命题：若﹁q，则﹁p，熟记四种命题的形式，是解决此类问题的关键.若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【思路探索】先正确的写出相对应的命题，再判断真假．也可以根据互为逆否命题同真同假直接进行判断．【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】B[名师点拨](1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断．(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷.(2019·铜陵一中期中)下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．【思路探索】解法一：由已知命题，写出逆否命题，再判断真假；解法二：判断原命题的真假，即得逆否命题的真假．【解】解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x 的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.若a<1，则4a－7<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：判断原命题的真假．已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，得a≥74，从而a≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．[名师点拨]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题是：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<0.∵a＋b<0，∴a<－b.又∵f(x)在R上为增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)．∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真命题．故原命题成立．1．(2019·分宜中学月考)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是() A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1解析：否命题应同时否定条件和结论．答案：C2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是() A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D正确．答案：D3．(2019·贵阳月考)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：C中，原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题．答案：C4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________．解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0.真命题．否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1.真命题．逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0.真命题．一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．若一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真解析：一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假．答案：D2．与命题“若实数a>1，则函数y＝a x是增函数”互为逆否命题的是() A．若实数a<1，则函数y＝a x不是增函数B．若实数a≤1，则函数y＝a x不是增函数C．若函数y＝a x是增函数，则实数a>1D．若函数y＝a x不是增函数，则实数a≤1解析：写逆否命题否定并交换条件和结论即可．答案：D3．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B ＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①②③显然正确；若A∩B＝B，则B⊆A，原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题．答案：D4．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：∵a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列，∴原命题与其逆命题都是真命题，所以逆否命题与否命题也是真命题，故选A.答案：A5．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x>1，则2x>1”的否命题为真命题B．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题D．命题“若x>1，则x>a”的逆命题为真命题，则a>0解析：在A中，“若x≤1，则2x≤1”，是假命题，故A不正确；在B中，“若sin β＝0，则cos β＝1”，是假命题，故B不正确；在C中，原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题，故C正确；在D中，由x>a⇒x>1，则a>1，故D不正确．答案：C6．下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C ．“已知a ，b ，m ∈R ，若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题D ．“若x ∈N *，则(x －1)2>0”是假命题解析：A 中原命题为真，故其逆否命题为真；B 中否命题为“若四边形不是矩形，则对角线不相等”为假命题；C 中逆命题为“已知a ，b ，m ∈R ，若a <b ，则am 2<bm 2”为假命题；D 中当x ＝1时，(x －1)2＝0，是假命题．答案：C二、填空题7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：当m ＝3，n ＝4时，m >－n ，但m 2<n 2，故原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题；当m ＝－4，n ＝3时，m 2>n 2，但m <－n ，故逆命题为假命题，所以其否命题为假命题，所以假命题的个数是3.答案：38．设有两个命题：p ：关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；q ：函数f (x )＝log m x 是减函数(m >0，且m ＝0，m ≥1)．若这两个命题中有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：若p 为真，则m ≥0，若q 为真，则0<m <1，若p 与q 中一真一假，则实数m 的取值范围是m ＝0或m ≥1.答案：[1，＋∞)∪{0}9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：由题意得⎩⎨⎧1＋2－m ≤0，4＋4－m >0，∴3≤m <8. 答案：[3,8)三、解答题10．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m >0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．11．设M是一个命题，它的结论是q：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是﹁p：x1＋x2≠－2，或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解：(1)设命题M表述为：若p，则q，那么由题意知，其中的结论q为：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式﹁p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故﹁p的否定形式，即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．逆否命题为：若x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.12．设p：m－2m－3≥2，q：关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集，试确定m的值，使p与q同时成立．解：由m－2m－3≥2，得m－2m－3－2≥0，即m－4m－3≤0，∴3<m≤4，∴当3<m≤4时，p成立．∵关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集．∴Δ＝(－6)2－4m2<0，即m2>9，∴m<－3或m>3.∴当m<－3或m>3时，q成立．若p与q同时成立，则3<m≤4.即当3<m≤4时，使p与q同时成立．13．设△ABC的三边分别为a，b，c，在命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”及其逆命题中()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．两个命题都真D．两个命题都假解析：原命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC不是直角三角形，则a2＋b2≠c2”是真命题．故选B.答案：B1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件目标导学1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．3．会求或证明命题的充要条件．‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p q.2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p的充要条件．1．对充分条件，必要条件的理解若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，。