《直角三角形的性质》PPT课件
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直角三角形的性质PPT教学课件
等于斜边的一半。
A
几何语言：
30°
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°
∵∠A=30°
┐
C
B ∴BC= 1 AB
2
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《直角三角形的性质》
练
当堂检测：
1、判断
（1）直角三角形两锐角互余 .
（
√
√ （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. （
（3）有两个角互余的三角形是直角三角形 . （
√
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°.
那么它所对的直角边等于斜边的一半． （
√
） ） ）
）
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《直角三角形的性质》
当堂检测：
A
2、 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是
E
AB边上的中线，那么与CE相等的线段有
__A__E_、_B__E_，若∠A=35°，那么∠ECB=
动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好 奇心和求知欲，培养学习的自信心。
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《直角三角形的性质》
探 活动一：
合 （1）画一个直角三角形ABC, ∠C=90°； 作 （2）量一量斜边AB的长度； 探 （3）标出斜边AB的中点，用字母D表示； 究 （4）画出斜边上的中线CD；
《直角三角形的性质》
学
直角三角形的性质 3：
直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半。
A
几何语言：
在Rt△ABC中，
D
∠ACB=90°
∵ AD=BD
C
B
∴CD=
1
2 AB
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《直角三角形的性质》
直角三角形的性质课件
1/2 × a × b，其中a、b为直角 边。
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
《直角三角形的性质和判定1》ppt课件
小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
1：直角三角形两锐角互余；
直角三角形的性质：
2：在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半；
……
1：有一个角内角等于90°的三角形是直角 三角形。 2：三角形一边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形； 3：有两个角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的判定：
A 提示：延长CD，使得CD=DE, 连结BE, 先证△ACD≌ △BED， 然后证△ACB≌ △EBC，得 1 AB=CE，最后说明 CD AB
2
D
B
E
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 1 CD AB 边上的中线，且 2 求证： △ABC是直角三角形.
结论
直角三角形的判定定理：
三角形一边上的中线等于这条边的一半的 三角形是直角三角形.
例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中 点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
B
变式训练．已知，如图， BD 、 CE 分别是△ ABC 的高， M、N分别是BC、DE的中点，分别连结ME，MD。 求证：MN⊥ED
A
E
F
D
C
思考与探究：
如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上 的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB （1） 求证：∠1=∠2 （2） 过点M作AB的垂直平分线交CD延长线于 E， 求证：CM=EM （3） △AEB是什么三角形？证明你的猜想
C
21
H A M D B
E
我们的生活离不开数学， 我们要做生活的有心人。
《直角三角形》课件
《直角三角形》PPT课件
本课件将介绍直角三角形的定义、性质和判定方法，特殊直角三角形的性质 和判定方法，以及勾股定理在直角三角形中的应用和计算问题的解答方法。
什么是直角三角形？
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，也就是直角。除了 直角外，直角三角形还有其他特殊的性质和判定方法。
直角三角形的定义
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为9
直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平 方。
特殊边长关系
在直角三角形中，直角边的长度可以有特殊的关 系，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
直角三角形的判定方法
判定一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理、角度关系等方法。
3
特殊直角三角形的判定方法
可通过边长关系、角度关系等方法判定一个三角形是否为特殊直角三角形。
勾股定理与直角三角形
1
勾股定理的概念
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2
勾股定理的应用
通过勾股定理可以计算直角三角形的边长、角度等未知量。
直角三角形的计算问题
1
已知两边求第三边
通过勾股定理可以计算直角三角形中已知两个边的情况下，第三边的长度。
2
已知一边一角求其他未知量
通过三角函数可以计算直角三角形中已知一边和一个角的情况下，其他未知量的 值。
3
利用三角函数求解问题
可以使用正弦、余弦、正切等三角函数来解决直角三角形的计算问题。
特殊直角三角形
特殊直角三角形是指具有特殊边长关系的直角三角形，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
特殊直角三角形的性质
1
45°-45°-90°三角形的性质
本课件将介绍直角三角形的定义、性质和判定方法，特殊直角三角形的性质 和判定方法，以及勾股定理在直角三角形中的应用和计算问题的解答方法。
什么是直角三角形？
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，也就是直角。除了 直角外，直角三角形还有其他特殊的性质和判定方法。
直角三角形的定义
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为9
直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平 方。
特殊边长关系
在直角三角形中，直角边的长度可以有特殊的关 系，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
直角三角形的判定方法
判定一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理、角度关系等方法。
3
特殊直角三角形的判定方法
可通过边长关系、角度关系等方法判定一个三角形是否为特殊直角三角形。
勾股定理与直角三角形
1
勾股定理的概念
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2
勾股定理的应用
通过勾股定理可以计算直角三角形的边长、角度等未知量。
直角三角形的计算问题
1
已知两边求第三边
通过勾股定理可以计算直角三角形中已知两个边的情况下，第三边的长度。
2
已知一边一角求其他未知量
通过三角函数可以计算直角三角形中已知一边和一个角的情况下，其他未知量的 值。
3
利用三角函数求解问题
可以使用正弦、余弦、正切等三角函数来解决直角三角形的计算问题。
特殊直角三角形
特殊直角三角形是指具有特殊边长关系的直角三角形，如45°-45°-90°和30°-60°-90°三角形。
特殊直角三角形的性质
1
45°-45°-90°三角形的性质
命题与证明第3课时三角形内角和定理的推论——直角三角形的性质课件(14张PPT)八年级上册沪科版数学
C D
E
A
B
例2 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2， ∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
A
D
1 E
C
2B
随堂练习
1.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与
老大的度数为 90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于 90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
新知学习
如果三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理，另两个角的和应为 90°,于是得
归纳
推论1 直角角形的两锐角互余.
像这样,由基本事实,定理直接得出的真命题叫做推论.
根据三角形内角和定理,还可以得到 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
例1 如图，∠C = ∠D = 90°，AD、BC 相交于点 E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在 Rt△AEC 中， ∠CAE = 90° -∠AEC. 在 Rt△BDE 中， ∠DBE = 90° -∠BED， ∵ ∠AEC =∠BED， ∴ ∠CAE =∠DBE.
13.2.3 三角形内角和定理的推论 ——直角三角形的性质
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
1.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2;
重点
新课引入
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什 么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说，“这是不可 能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二 很纳闷.你知道其中的道理吗？
24.2直角三角形的性质ppt课件
C F
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，
∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线(三角形的中位线等于第三边的一半）
2
第9页，共12页。
2、 如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已知
∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿2，0°∠B＝____。70°
解∵CD是斜边AB上的中线 B
∵ ∠ACB=900 ∴四边形AEBC是矩形
（__有__一__个___角__是__直__角___的__平__行__四___边__形__是__矩__形___）
A E
D
B
C
∴CE=AB（_____矩___形__的__对__角__线__相___等_______），
∴CD= 1 AB。 2
第4页，共12页。
第1页，共12页。
温故知新
直角三角形的性质定理： 性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
性质定理2：直角三角形两直角边的平 方 和等于斜边的平方（勾股定理）。
第2页，共12页。
• 探索 • 如图，画Rt ABC,并画出斜边AB上的中线CD,
量一量，看看CD与AB有什么关系。
A
D
C
B
第3页，共12页。
做一做
1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别
是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果Ｃ Ｅ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０°
∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线
∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６
D （＿直＿角＿三＿角＿形＿的＿斜＿边＿的＿中＿线＿＿等＿于＿斜＿边＿的一半）
性质定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半。
几何语言： 在RtΔABC中，
直角三角形的性质PPT课件
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分 别 交 AB ， AC 于 点 D ， E ， 且 ∠ A ＝ 30° ， DE ＝ 2. 求 △ABC的面积．(结果保留根号)
解：∵DE 垂直平分 AB，∠A＝30°，DE＝2，∴AE＝4， ∴AD＝ AE2－DE2＝2 3，∴AB＝2AD＝4 3. 在 Rt△ABC 中，∠A＝30°， ∴BC＝12AB＝2 3，∴AC＝ AB2－BC2＝6， ∴S△ABC＝12AC·BC＝12×6×2 3＝6 3.
3．【2020·岳阳】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝_7_0______°.
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上 的中线，ED⊥BC于D，交BA的延长线于E，若∠E＝ 35°，求∠BDA的度数．
解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，∴∠B＝55°. ∵∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线， ∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝55°， ∴∠BDA＝180°－55°－55°＝70°.
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足
为 D ， 点 E 是 边 AB 的 中 点 ， AB ＝ 10 ， DE ＝ 4 ， 则
S△AEC＝(
)
A．8 B．7.5
C．7
D．6
【点拨】在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 是边 AB 的中点， ∴AE＝BE＝CE＝12AB＝5. ∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝ CE2－DE2＝3， ∴S△AEC＝12AE·CD＝12×5×3＝7.5.
直角三角形的性质PPT课件-2024鲜版
互余角定义
两个角的度数之和等于90度，则 这两个角互为余角。
2024/3/28
互余角性质
直角三角形中的两个锐角互为余角 ，即它们的度数之和等于90度。
互余角的应用
在解决直角三角形的问题时，可以 利用互余角的性质来求解未知角度 。
12
锐角三角函数定义域值域
2024/3/28
锐角三角函数定义
01
在直角三角形中，锐角的三角函数值可以通过三角形的边长比
直角三角形具有一些 特殊的性质和定理， 如勾股定理、射影定 理等。
2024/3/28
直角三角形的两个锐 角互余，即它们的角 度和为90度。
4
直角边、斜边及高
直角三角形的两条直角边分别 称为“邻边”和“对边”。
2024/3/28
直角三角形的斜边是除了直角 边外的第三条边，也是三角形 中最长的一条边。
勾股定理的应用
在几何、三角学、工程学 等领域有广泛应用，如计 算距离、角度、面积等。
8
射影定理与相似性质
射影定理的表述
在直角三角形中，斜边上 的垂线将斜边分为两段， 这两段与垂线和两直角边 构成的三角形相似。
2024/3/28
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形的性质
相似三角形的对应角相等 ，对应边成比例。
射影定理的应用
可用于证明相似三角形、 求解线段比例等问题。
2024/3/28
18
05
直角三角形拓展知识
2024/3/28
19
逆勾股定理及其证明
2024/3/28
逆勾股定理定义
在直角三角形中，已知两条直角 边长度，可以求得斜边长度；反 之，已知斜边和一条直角边长度 ，可以求得另一条直角边长度。
两个角的度数之和等于90度，则 这两个角互为余角。
2024/3/28
互余角性质
直角三角形中的两个锐角互为余角 ，即它们的度数之和等于90度。
互余角的应用
在解决直角三角形的问题时，可以 利用互余角的性质来求解未知角度 。
12
锐角三角函数定义域值域
2024/3/28
锐角三角函数定义
01
在直角三角形中，锐角的三角函数值可以通过三角形的边长比
直角三角形具有一些 特殊的性质和定理， 如勾股定理、射影定 理等。
2024/3/28
直角三角形的两个锐 角互余，即它们的角 度和为90度。
4
直角边、斜边及高
直角三角形的两条直角边分别 称为“邻边”和“对边”。
2024/3/28
直角三角形的斜边是除了直角 边外的第三条边，也是三角形 中最长的一条边。
勾股定理的应用
在几何、三角学、工程学 等领域有广泛应用，如计 算距离、角度、面积等。
8
射影定理与相似性质
射影定理的表述
在直角三角形中，斜边上 的垂线将斜边分为两段， 这两段与垂线和两直角边 构成的三角形相似。
2024/3/28
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形的性质
相似三角形的对应角相等 ，对应边成比例。
射影定理的应用
可用于证明相似三角形、 求解线段比例等问题。
2024/3/28
18
05
直角三角形拓展知识
2024/3/28
19
逆勾股定理及其证明
2024/3/28
逆勾股定理定义
在直角三角形中，已知两条直角 边长度，可以求得斜边长度；反 之，已知斜边和一条直角边长度 ，可以求得另一条直角边长度。
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
04
直角三角形中特殊角度计算
30°-60°-90°三角形性质
角度关系
在30°-60°-90°三角形中，一个角 为30°，另一个角为60°，还有一
个直角为90°。
边长关系
对于30°-60°-90°三角形，若设较 短的直角边长度为a，则较长的直 角边长度为√3a，斜边长度为2a。
应用场景
在解决与30°-60°-90°三角形相关的 问题时，可以利用这些性质进行角 度和边长的计算。
灵活运用三角函数公式
在解决复杂问题时，可以灵活运用三角函数的和差公式、倍角公式等，将问题转化为与特殊 角度相关的计算问题。
05
直角三角形在生活中的应用
测量问题中直角三角形应用
1 2 3
测量高度 利用直角三角形的性质，可以通过测量角度和距 离来计算高度，如测量建筑物、山峰等的高度。
测量距离 在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
测量角度 通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
24
利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
9
勾股定理逆定理及应用
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2 证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若
感谢
聆听
授课老师：xxx
知识点 2 直角三角形30°角的性质
利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与 直角三角形有关的问题.
【例2】 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，
∠A= 30 °.求证:BC =
1 AB. 2
知2－导
证明：作斜边AB上的中线CD,则
CD 1 AB AD BD(直角三 2
角形斜边上的中线等于斜边的一半)
知1－练
1 (2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路
AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为
1.2 km，则M，C两点间的距离为( )
A．0.5 km
B．0.6 km
C．0.9 km
D．1.2 km
知1－练
2 (2015·德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点 E恰好为AB的中点，则∠B的度数是( ) A．60° B．45° C．30° D．75°
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形.
∴BC=BD=
1 2
AB
知2－导
知2－讲
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特 殊性来揭示直角三角形中直角边与斜边的数量关系 的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用 (1) 在直角三角形中求角时，常用“直角三角形的两个
知1－讲
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝12 BC＝4，
又∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝
1 2
AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.
故选C.
答案：C
总结
知1－讲
本题采用了数形结合思想，考查了直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三 角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解 题的关键．
知1－讲
【例1】 〈山东枣庄〉如图24.21，△ABC中，AB＝AC ＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D， 点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长 为( ) A．20 B．12 C．14 D．13
导引：根据等腰三角形三线合一的性质可得
AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE＝CE＝12 AC，然后根据三角形的周 长公式列式计算即可得解．
第二十四章 解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
1 课堂讲解 直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形30°角的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在研究直角三角形的边角关系之前，我们先来探索和归纳 直角三角形的性质.
我们已经知道： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (勾股
知2－讲
解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m.
在△ADB中，
∵AB⊥DB，∠ADB＝30°，
AB＝1 AD＝1 13＝6.5m．
2
2
总结
知2－讲
在含30°角的直角三角形中求线段的长度，要 注意利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜 边的一半的性质．
BD＝1，则AC的长是( )
A．2 3 B．2
C．4 3 D．4
在直角三角形中，若遇到中点问题，常考虑作斜边上 的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半构造等腰三 角形，把问题转化为等腰三角形问题来解决；若遇到含 30°角或60°角问题常考虑构造含30°角的直角三角形来 解决相关问题．
必做：
1.完成教材P104练习T1-3，P105习题T3 2.补充: 请完成《XXXXX》剩余部分习题
(4) 当已知直角三角形中两边的长求第三边时，我们选 用勾股定理．
知2－讲
【例3】 如图24.25，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选 择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前 进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m， 求旗杆AB的高度．
导引：根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 求出∠CAD的度数，再根据等角对等边的性 质可得AD＝CD，然后根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若
感谢
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授课老师：xxx
知识点 2 直角三角形30°角的性质
利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与 直角三角形有关的问题.
【例2】 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，
∠A= 30 °.求证:BC =
1 AB. 2
知2－导
证明：作斜边AB上的中线CD,则
CD 1 AB AD BD(直角三 2
角形斜边上的中线等于斜边的一半)
知1－练
1 (2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路
AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为
1.2 km，则M，C两点间的距离为( )
A．0.5 km
B．0.6 km
C．0.9 km
D．1.2 km
知1－练
2 (2015·德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点 E恰好为AB的中点，则∠B的度数是( ) A．60° B．45° C．30° D．75°
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形.
∴BC=BD=
1 2
AB
知2－导
知2－讲
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特 殊性来揭示直角三角形中直角边与斜边的数量关系 的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用 (1) 在直角三角形中求角时，常用“直角三角形的两个
知1－讲
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝12 BC＝4，
又∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝
1 2
AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.
故选C.
答案：C
总结
知1－讲
本题采用了数形结合思想，考查了直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三 角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解 题的关键．
知1－讲
【例1】 〈山东枣庄〉如图24.21，△ABC中，AB＝AC ＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D， 点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长 为( ) A．20 B．12 C．14 D．13
导引：根据等腰三角形三线合一的性质可得
AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE＝CE＝12 AC，然后根据三角形的周 长公式列式计算即可得解．
第二十四章 解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
1 课堂讲解 直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形30°角的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在研究直角三角形的边角关系之前，我们先来探索和归纳 直角三角形的性质.
我们已经知道： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (勾股
知2－讲
解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m.
在△ADB中，
∵AB⊥DB，∠ADB＝30°，
AB＝1 AD＝1 13＝6.5m．
2
2
总结
知2－讲
在含30°角的直角三角形中求线段的长度，要 注意利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜 边的一半的性质．
BD＝1，则AC的长是( )
A．2 3 B．2
C．4 3 D．4
在直角三角形中，若遇到中点问题，常考虑作斜边上 的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半构造等腰三 角形，把问题转化为等腰三角形问题来解决；若遇到含 30°角或60°角问题常考虑构造含30°角的直角三角形来 解决相关问题．
必做：
1.完成教材P104练习T1-3，P105习题T3 2.补充: 请完成《XXXXX》剩余部分习题
(4) 当已知直角三角形中两边的长求第三边时，我们选 用勾股定理．
知2－讲
【例3】 如图24.25，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选 择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前 进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m， 求旗杆AB的高度．
导引：根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 求出∠CAD的度数，再根据等角对等边的性 质可得AD＝CD，然后根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．