19.10两点的距离公式(课堂配套练习)

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《1910两点的距离公式》教案

《19.10 两点的距离公式》教案教学目标：1、让学生经历探求两点的距离公式的过程，掌握两点的距离公式。

2、会用两点的距离公式解决简单问题。

3、体会特殊到一般、数形结合、方程思想及分类讨论等数学思想方法，培养学生归纳总结的能力。

教学重点：两点距离公式的推导及其应用。

教学难点：两点距离公式的推导。

教学过程：1、问题提出：平面直角坐标系中两点的距离怎样求？分类：①X 轴或平行于X 轴的直线上的两点A(x 1，y)、B(x 2，y)的距离AB= ② Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点C(x ，y 1)、D(x ，y 2)的距离CD= 提问：为什么要加绝对值符号？③AB 与 X 轴、Y 轴都不平行怎么求？2、探求新知：引导学生构造直角三角形，利用勾股定理解决。

如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（归纳验证：以上三种情况是否都可以用两点距离公式计算，从而说明公式具有普遍性。

公式应用:求下列两点的距离。

（1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-4,3)和D （-3,-4）3、例题讲解：|| 21x x -|| 21y y -例：已知点A（-2，3），点P在X轴上且AP=5，求点P的坐标。

变式：若点P在Y轴上呢？4、归纳总结：①.知识点：在平面直角坐标系中，两点的距离公式及推导——构造直角三角形利用勾股定理解决问题。

②应用：A、已知两点的坐标求距离。

B、利用公式求三角形的边长并判断其形状（直角，等边，等腰，等腰直角）。

C、根据两点的距离公式求满足某些条件的点的坐标。

（在x轴上，在y轴上，距离相等，x=y）③.数学思想方法：由特殊到一般、分类、方程思想、数形结合。

5、应用拓展（1）等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别为（0，0）和（4，0）,求顶点A 的坐标。

（2）已知两点A（-1，4），B（2，3）试在Y轴上求一点C，使△ABC为直角三角形。

七年级下册两点间距离计算题

七年级下册两点间距离计算题题目：七年级下册两点间距离计算题正文：在七年级数学课上，我们学习了如何计算两点之间的距离。

这一概念将在实际生活中经常用到，比如在旅行时计算两地之间的距离、在建筑工程中计算建筑物的尺寸等等。

我将在本文中介绍两种常用的方法来计算两点之间的距离。

第一种方法是利用坐标公式。

假设有两个点A和B，其坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。

那么两点间的距离可以用以下公式来计算：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)其中，d表示两点间的距离。

我们可以通过代入具体的坐标数值来计算出距离的实际值。

举个例子，假设A(3, 4)和B(7, 8)，那么根据公式可以得到：d = √((7-3)² + (8-4)²)= √((4)² + (4)²)= √(16 + 16)= √32≈ 5.66所以，点A和点B之间的距离约为5.66个单位长度。

除了坐标公式，我们还可以利用勾股定理来计算两点之间的距离。

根据勾股定理，如果有一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么有以下关系：c² = a² + b²将直角三角形的两条直角边看作是两点之间的水平和垂直距离，斜边即为两点间的距离。

因此，我们可以将两点间的距离表示为勾股定理的形式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)这与坐标公式是相同的。

通过这两种方法，我们可以方便地计算出两点之间的距离。

在实际运用中，我们可能会遇到更复杂的情况，比如计算三维空间中的两点距离，或者计算曲线上两点之间的弧长等等。

对于这些情况，我们可以借助更高级的数学工具来解决。

总结起来，计算两点之间的距离是一项重要的数学技能。

通过坐标公式和勾股定理，我们可以轻松地求解两点之间的距离。

希望同学们能够在实际生活中运用这些知识，更好地理解和应用数学。

两点间的距离公式参考答案

2.3.2 两点间的距离公式参考答案1．若A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |等于( ) A.13 B.12C ．3D ．2 答案 D解析 |AC |＝42，|CB |＝22，故|AC ||CB |＝2. 2．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋10 答案 C解析由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32，|BC |＝(－1－2)2＋(0－0)2＝3，|CA |＝(2－2)2＋(3－0)2＝3.故△ABC 的周长为6＋3 2.3．在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是( )A ．2 5B ．3 5 C.552 D.752答案 C解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝⎛⎭⎫32，6.由两点间的距离公式得|AD |＝⎝⎛⎭⎫4－322＋(1－6)2＝552. 4．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 5．(多选)对于x 2＋2x ＋5，下列说法正确的是( )A ．可看作点(x ,0)与点(1,2)的距离B ．可看作点(x ,0)与点(－1，－2)的距离C ．可看作点(x ,0)与点(－1,2)的距离D ．可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离答案 BCD解析 x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4 ＝(x ＋1)2＋(0±2)2＝(x ＋1)2＋(－1－1)2，可看作点(x ,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x ,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A 不正确．6．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当|AB |取最小值时，实数a 的值是( )A ．－72B ．－12 C.12 D.72答案 C解析 ∵A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，∴|AB |＝[(a ＋1)－5]2＋[(a －4)－(2a －1)]2 ＝(a －4)2＋(a ＋3)2＝2a 2－2a ＋25 ＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492， ∴当a ＝12时，|AB |取得最小值． 7．已知点A (－2，－1)，B (a ,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________．答案 1或－5解析由两点间距离公式得(－2－a )2＋(－1－3)2＝52，所以(a ＋2)2＝32，所以a ＋2＝±3，即a ＝1或a ＝－5.8．在x 轴上找一点Q ，使点Q 与A (5,12)间的距离为13，则Q 点的坐标为________．答案 (10,0)或(0,0)解析设Q (x 0,0)，则有13＝(5－x 0)2＋122，得x 0＝0或x 0＝10.9．已知直线ax ＋2y －1＝0和x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且线段AB 的中点到原点的距离为24，求a 的值．解由题易知a ≠0，直线ax ＋2y －1＝0中，令y ＝0，有x ＝1a，则A ⎝⎛⎭⎫1a ，0，令x ＝0，有y＝12，则B ⎝⎛⎭⎫0，12，故AB 的中点为⎝⎛⎭⎫12a ，14， ∵线段AB 的中点到原点的距离为24， ∴⎝⎛⎭⎫12a －02＋⎝⎛⎭⎫14－02＝24，解得a ＝±2. 10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7＋k k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋kk ＋2，4k －2k ＋2.由|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋kk ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1.此时，与l 1的交点为(1,4)，也满足题意．综上所述，直线l 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.11．以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是答案 C 解析 |AB |＝(－3－3)2＋22＝36＋4＝40＝210，|BC |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＝16＋16＝32＝42，|AC |＝(－1＋3)2＋22＝8＝22，∵|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形．故选C.12．(多选)直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－1,2)D ．(0,1)答案 BC解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2. 13．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 答案 25解析设A (a ,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧ a ＋02＝2，b ＋02＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2， ∴|AB |＝(4－0)2＋(0＋2)2＝2 5.14．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝________. 答案 10解析以C 为原点，AC ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设A (4a ,0)，B (0,4b )，则D (2a ,2b )，P (a ，b )，所以|P A |2＝9a 2＋b 2，|PB |2＝a 2＋9b 2，|PC |2＝a 2＋b 2，于是|P A |2＋|PB |2＝10(a 2＋b 2)＝10|PC |2，即|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10.15．已知x，y∈R，S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，则S的最小值是()A．0 B．2 C．4 D.2答案B解析S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－12(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，所以|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.。

两点间距离公式

两点间距离公式两点间距离公式是数学中常用的一个概念，用于计算两点在空间中的距离。

它可以用于解决很多实际问题，比如测量物体的尺寸、计算两地之间的距离等。

虽然看起来有些抽象，但是通过一些具体的例子，我们可以更好地理解这个概念。

比如，假设你和你的朋友在一个很大的公园里玩耍。

公园有很多道路和花坛，你们想知道两个特定的点之间的距离是多少。

这时候，你可以使用两点间距离公式来计算。

这个公式的表示形式是：两点之间的距离等于两点在各个坐标轴上的差值的平方和的平方根。

用公式表示就是：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

在这个公式中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别代表两个点的坐标。

对于二维空间来说，只需要考虑(x1, y1)和(x2, y2)即可。

假设你和你的朋友在公园的东南角和西北角玩耍，这两个点的坐标分别是(0, 0)和(100, 100)。

那么根据两点间距离公式，你们两个人之间的距离就是√(100² + 100²) = √20000 ≈ 141.42。

在实际应用中，两点间距离公式经常被使用。

比如，在地图上测量两个城市之间的距离时，我们可以将城市的经纬度转换成三维坐标系，并使用两点间距离公式计算出它们之间的距离。

此外，两点间距离公式还可以应用于物理学中的速度和加速度计算等。

当我们知道一个物体在不同时间点的位置坐标时，可以使用这个公式计算物体在两个时间点之间的位移。

总的来说，两点间距离公式在数学和实际应用中都是非常重要的。

它帮助我们计算点之间的距离，在实际问题中具有广泛的应用。

通过这个公式，我们可以更好地了解和解决一些和距离相关的问题。

上海教育版数学八年级上册19.10《平面上两点间的距离公式》练习题

19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(,22A B C -，试判断ABC ∆的形状．3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．二、基础过关1.( )()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离()C两点(a,b)与(1,2)间的距离()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( ) ()A2x+y-5=0 ()B2x+y+6=0()C x-2y=0 ()D x-2y-8=03. 线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A-，若点P在直线70x y--=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x=-，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P,射在直线10x y++=上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为( )()A(1,4) ()B(-1,4) ()C(1,-4) ()D(-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A，(8,4)B，x R∈.。

两点间距离公式是什么如何正确的使用两点间距离公式

两点间距离公式是什么如何正确的使用两点间距离公式两点间距离公式是什么?对于数学知识有些朋友也是觉得很头疼，今天给大家分享一下关于两点间距离公式的相关知识点，感兴趣的朋友们进来文章了解一下吧。

两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。

两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

两点间距离公式两点间距离公式是∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

设两个点A、B以及坐标分别为：A(X1,Y1)、B(X2,Y2)则A和B两点之间的距离为：∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点距离公式是常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。

两点间距离公式推论：已知AB两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)。

过A做一直线与X 轴平行,过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。

则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴);则三角形ACB为直角三角形，由勾股定理得：AB^2=AC^2+BC^2;故AB=根号下AC^2+BC^2,即两点间距离公式。

点到直线的距离：直线Ax+By+C=0 坐标(x0，y0)那么这点到这直线的距离就为：d=│Ax0+By0+C│/根号(A^2+B^2)。

公式描述：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

沪教版(五四制)八年级数学上同步练习：19.3平面上两点间的距离.docx

19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)2A B C -，试判断ABC ∆的形状． 3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =．二、基础过关1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为( ) ()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，x R ∈ .初中数学试卷桑水出品。

两点间的距离公式课时训练

2.3.2 两点间的距离公式选题明细表基础巩固1.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),则△ABC的形状为( C )(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形解析:因为|AB|=√(4-2)2+(3-1)2=2√2,|AC|=√(0-2)2+(5-1)2= 2√5,|BC|=√(5-3)2+(0-4)2=2√5,所以|AC|=|BC|.又因为A,B,C三点不共线,所以△ABC为等腰三角形.故选C.2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=√13,则实数k等于( A )(A)±3 (B)3 (C)-3 (D)0解析:由题意得√(2k-k)2+(-1-1)2=√13,解得k=±3.故选A.3.(2020·贵州都匀期中)已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( D )(A)2 (B)4 (C)5 (D)√17 解析:根据中点坐标公式,得x -22=1,且5-32=y.解得x=4,y=1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P(4,1)到原点的距离d=√(4-0)2+(1-0)2=√17.故选D.4.点M(1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) (A)2 (B)1 (C)√5 (D)5解析:由题意得N(-1,2),所以|ON|=√(-1)2+22=√5.故选C.5.已知点A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b 等于( C ) (A)-3 (B)5 (C)-3或5 (D)-1或-3解析:由两点间的距离公式知|A B |=√(-1-2)2+(b -1)2= √b 2-2b +10,由5=√b 2-2b +10,得b=-3或b=5.故选C.6.已知点A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则a= .解析:由题意得√(a -1)2+(3+1)2=√(4-a )2+(5-3)2,解得a=12.答案:127.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P(2,-1),则|AB|等于 .解析:设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB|=√(0-4)2+(-2-0)2=√20=2√5.答案:2√58.(2021·上海闵行期中)已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A ′,则|AA ′|= .解析:由题意得|AA ′|=2|AM|=2√(1-0)2+(2+1)2=2√10.答案:2√10能力提升9.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( B ) (A)3x-y-8=0 (B)3x+y+4=0 (C)3x-y+6=0 (D)3x+y+2=0解析:设P(x,y),则√(x -1)2+(y -3)2=√(x +5)2+(y -1)2,即3x+y+4=0.故选B.10.(2021·广西柳州期中)已知点A(1,4),B(8,3),点P 在x 轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P 的坐标是( B ) (A)(4,0) (B)(5,0) (C)(-5,0) (D)(-4,0)解析:由题意,点A(1,4)关于x 轴的对称点为A ′(1,-4), 连接A ′B,交x 轴于点P,此时|AP|+|BP|取得最小值,如图所示.设点P(x,0),则A'P →=(x-1,4),PB →=(8-x,3),A'P →与PB →共线,则3(x-1)-4(8-x)=0,解得x=5, 所以点P 的坐标是(5,0).故选B.11.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于√10,则实数m 的取值范围是( B )(A)-45<m<2 (B)m<-45或m>2(C)m<-2或m>45(D)-2<m<45解析:根据两点间的距离公式得|P Q |=√(m -1)2+(1-2m )2= √5m 2-6m+2>√10,所以5m 2-6m-8>0,解得m<-45或m>2.故选B.12.已知△ABC 的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)如图,因为|AB|=√(-1-1)2+[3-(-1)]2=√20=2√5,|AC|=√(3-1)2+[0-(-1)]2=√5,|BC|=√[3-(-1)]2+(0-3)2=√25=5,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. (2)由于△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形, 所以S △ABC =12|AB||AC|=5.应用创新13.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问是否在BC 上存在一点M,使得两条小路AC 与DM 相互垂直?若存在,求出小路DM 的长.解:以B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AD|=5 m,|AB|=3 m, 所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0), 因为AC ⊥DM, 所以k AC ·k DM =-1, 即3-00-5·3-05-x=-1.所以x=165,即点M 的坐标为(165,0)时,两条小路AC 与DM 相互垂直.故在BC 上存在一点M(165,0)满足题意.由两点间距离公式得|DM|=√(5-165)2+(3-0)2=3√345.。

高中数学两点间距离公式

高中数学两点间距离公式高中数学中，两点间距离公式是我们学习的重要内容之一。

在解决空间中两点之间的距离问题时，我们可以利用这个公式来求解，从而得到准确的答案。

下面，我们将详细讨论这个公式及其应用。

我们来看一下两点间距离公式的表达形式。

假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

这个公式实际上就是利用勾股定理来计算两点距离的。

我们可以将这个公式应用于各种各样的问题中，比如求两个城市之间的直线距离、求两个坐标点之间的距离等等。

接下来，我们来看一些具体的例题，以帮助我们更好地理解和运用两点间距离公式。

例题1：已知平面上有两个点A(3, 4)和B(7, 8)，求它们之间的距离。

解：根据两点间距离公式，我们有：d = √((7 - 3)² + (8 - 4)²)= √(4² + 4²)= √(16 + 16)= √32≈ 5.66所以，点A和点B之间的距离约为5.66。

例题2：已知三维空间中有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，求它们之间的距离。

解：同样地，根据两点间距离公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.2所以，点A和点B之间的距离约为5.2。

通过以上两个例题，我们可以看出，无论是在平面上还是在空间中，两点间距离公式都可以很方便地帮助我们求解距离问题。

只需要将两个点的坐标代入公式中，按照一定的计算步骤，我们就能得到最终的结果。

在实际应用中，两点间距离公式也有一些特殊的情况需要注意。

例如，如果两个点的坐标相同，那么它们之间的距离就是0。

19.10 两点的距离公式

19.10 两点的距离公式课前导读如果已知两条直角边，我们就可以用勾股定理计算斜边的长．已知坐标系中的任意两个点，如果这两个点的联线不是水平的或者竖直的，我们可以构造一个直角三角形，使这条线成为斜边．课本导学一、回顾6年级学过的数轴上两点间的距离：AB＝_____，CD＝_________．二、回顾7年级学过的与坐标轴平行的两点间的距离：AB＝____________，CD＝___________；EF＝____________，GH＝___________．三、引出本节课两点间的距离公式：已知A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，怎样求A、B两点间的距离呢？分三步：（1）构造直角三角形ABC，突破关键，点C的坐标是__________；（2）表示两条直角边的长：BC＝____________，AC＝____________；（3）根据勾股定理写斜边：AB．四、两点间的距离公式很容易记错，我们这样来记：勾股定理求斜边①，横边等于横减横②，纵边等于纵减纵③．解释：①先写好勾股定理的数学式的结构：AB②横减横就是横坐标减横坐标；③纵减纵就是纵坐标减纵坐标．课堂导练四、基本功训练：求A、B两点间的距离．（1）已知A(3,1)、B(－1,－2)，那么AB＝______．（2）已知A(－2,8)、B(－8,0)，那么AB＝______．（3）已知A(－2,3)、B(－3,5)，那么AB＝______．（4）已知A(4,10)、B(－1,－2)，那么AB＝______．（5）已知A(－1,－1)、B(0,－2)，那么AB＝______．（6）已知A(3,0)、B(0,－3)，那么AB______．（7）已知A(－6,5)、B(4,－5)，那么AB＝______．（8）已知A(－4,－3)、B(4,3)，那么AB＝______．五、课本第133页例题1是一道典型题，根据两点间的距离公式列方程．【技巧】一般不要根据P A＝PB列带根号的方程，而根据P A2＝PB2直接列整式方程．改编一下：已知A(3, 3)、B(6, 1)，点P在坐标轴上，且P A＝PB，求点P的坐标．解：（1）当P在x轴上时，设P(x, 0)，根据P A2＝PB2列方程，得___________________________．←请继续完成（2）当P在y轴上时，设P(0, y)，←请继续完成六、课本第133页例题2的解答，依然有点麻烦．过程中不带根号简便一些．已知A(－1,4)、B(－4,－2)、C(2,－5)，判断△ABC的形状．七、仿照上面例题2完成课本第134页课后练习2：（1）已知A(－3,1)、B(1, 4)、C(－6,－4)，判断△ABC的形状．。

求两点间的距离公式

求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。

无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。

在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。

一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。

在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。

例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。

二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。

在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。

三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。

以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。

2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。

3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。

两点间的距离公式课时作业(含答案)

两点间的距离公式课时作业(含答案)课时提升作业(二十) 两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2013•兰州高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y=x平行，则|AB|的值为( ) A.6 B. C. D.2 【解析】选C.kAB= =b-a. 又因为过点A，B的直线与y=x平行，所以b-a=1，所以|AB|= = . 2.(2014•佛山高一检测)已知点M(-1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.3x-y-4=0 【解析】选D.由|PM|=|PN|，得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，化简得3x-y-4=0. 3.已知两直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y-1=0相交于点P，则点P到原点的距离为( ) A.B.5C.D.2 【解题指南】先求出两直线的交点，然后利用两点间距离公式求解. 【解析】选C.由得两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为 = . 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2014•南阳高一检测)已知点M(1，1)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x，y的值分别为________. 【解析】由中点坐标公式得解得答案：-1，-1 5.(2013•四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 【解题指南】分析四边形ABCD的形状，结合几何性质进行判断. 【解析】由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)构成的四边形为凸四边形，则四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为2x-y=0，直线BD的方程为x+y-6=0，所以其交点为(2，4). 答案： (2，4) 三、解答题(每小题10分，共20分) 6.(2014•蚌埠高一检测)已知矩形ABCD的两个顶点A(-1，3)，B(-2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标. 【解析】设点M的坐标为(x，0)，由|MA|=|MB|根据两点间的距离公式，得 = ，解得x=-5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得 C (-9，-3)，D(-8，-4). 7.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：AG=AD. 【证明】建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=- x+1，由得即点G . 从而|AG|= =2=|AD|，故AG=AD. 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.已知两点M(a，b)，N(c，d)，且 - =0，则 ( ) A.原点一定是线段MN的中点 B.M，N一定都与原点重合 C.原点一定在线段MN上但不一定是中点 D.点M，N到原点的距离相等【解析】选D.将等式 - =0变形为 = ，根据两点间的距离公式可知，点M(a，b)到原点的距离与点N(c，d)到原点的距离相等. 2.(2014•济宁高一检测)已知A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上，则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5， 0) D.(1，0) 【解析】选B.点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.直线A′B的方程是y+3= (x-1)，即y= x- .令y=0，得x=13. 【变式训练】已知A(3，-1)，B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C. D.(-2，2) 【解析】选C.点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连接A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3= (x-1)，即y= x- ，与x+y=0联立，解得x= ，y=- . 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2014•咸阳高一检测)已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2+ ，1- )，则AB边上的中线CM的长为________. 【解析】由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有 |CM|= = . 所以AB边上的中线CM的长为 . 答案：4.(2014•淄博高一检测)在△ABC中，A(1，1)，B(3，1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________. 【解题指南】因为三角形为等边三角形，所以三边相等，又三角形的两个顶点A，B坐标已知，故可设点C(x，y)，由两点间的距离公式可知|AC|=|BC|，|AC|=|AB|，进而得到关于x，y的方程组可解. 【解析】设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|=|BC|，即 = . ① 又|AC|=|AB|，即 = . ② 由①得x=2，代入②得y=1± . 所以所求点C的坐标为(2，1+ )或(2，1- ). 答案：(2，1+ )或(2，1- ) 三、解答题(12分) 5.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，求线段AP的长. 【解题指南】先求出点C，M的坐标，再求出直线BD，CM的方程，从而得交点P的坐标，最后由距离公式求出AP的长. 【解析】AB的中点为M(4，1)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC的中点与BD的中点重合，设C点坐标为(x，y)，则所以C(10，6). 所以直线CM的方程为y-1= (x-4)，即5x-6y-14=0. 又直线BD的方程为y-1= (x-7)，即5x+3y-38=0. 由得P . 所以由两点间距离公式得 |AP|= = . 【变式训练】(2014•泉州高一检测)点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且满足-14≤x-y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是________. 【解题指南】利用点P在4x+3y=0上，表示出y与x的关系.由-14≤x-y≤7求出x的范围，最后用距离公式求出所求范围即可. 【解析】由4x+3y=0得y=- x，所以x-y= x. 由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3，所以x2∈[0，36]，所以点P到坐标原点的距离为 = = . 因为x2∈[0，36]，所以∈[0，10]. 答案：[0，10] 【拓展延伸】与距离相关的综合问题在解决与距离相关的综合问题时，往往要与直线的有关知识进行结合，例如直线的斜率、直线的位置关系等，这些关系往往用于确定点的坐标，再根据距离公式代入求距离或相关参数的值，因此要将相关知识有机地结合起来，在解题的过程中要注意这一特点.。

两点间的距离公式

课题：19.10 两点的距离公式
一、教学目标
了解两点的距离公式的推导过程，感受坐标平面上的两点的距离公式的导出是对同一坐标轴上的两点（或平行于同一坐标轴的直线两点）的距离公式的拓展。

2、理解并初步掌握两点的距离，知道两点的距离公式是利用勾股定理进行数量化研究的体
现。

3、会用两点的距离公式解决一些坐标平面内基本的简单问题；
二、教学重点、难点
重点：正确运用两点的距离公式。

难点：运用两点的距离公式解决简单的问题。

三、教材分析
七年级第二学期平面直角坐标系内在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离，计算两点之间的距离属于比较特殊的点，本节课借助于前一节课学习的“勾股定理”可以解决在平面直角坐标系内任意两点间的距离，是对前面知识的补充，更为以后的数学学习奠定基础。

四、学情分析
学生在七年级的学习中已经能够掌握点的坐标表示，可以简单计算在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离。

学生们学习了19.9“勾股定理及逆定理”之后，在学习本节课时能运用“勾股定理”在平面直角坐标系中构造直角三角形引出“两点间的距离”公式，为本节课新知识点的生长点提供了理论基础。

在具体解题中培养“数形结合”的习惯，结合线段垂直平分线定理和勾股定理进行解题，对学生来讲有一定难度。

AB==
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方便更改
例题一、例题二、学生作业板演。

上海教育版数学八上19.10《平面上两点间的距离》同步练习

19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试判断ABC ∆的形状．3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =．二、基础过关1.( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为( ) ()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，x R ∈ .。

两点距离公式专项练习

(2) 4(一 3,5),3(3,5)(3) A(0,3)"(0, — 7) (5) 4(6,8),5(0,0) 第 13 课两点间距离公式一. 新知探究：试一试，求下列两点间的距离（1） A （—2,0 ）,3（2,0） (4) 4(一5,3),3( —5,—7)(6) 4(0,0),3(-4, — 3) 总结：若平而上的有两点 A （X],）,]）出（七，力）， 1、如果R 、乙两点在兀轴上或在平行于 X 轴的直线上，则两点距离|片用是 ___________________________ 2、如果R 、巴两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离|片用是 ____________________________ 3、点片到原点的距离是 ___________________ ,点P?到原点的距离是 ______________________探索二已知平面上的两点片（召」），乙（尤2」2”如何求人（召」），人（尤2*2）的距离£用例 1 已知两点4(一1,2), B(2,J7)。

(1〉求IABI; (2)在x轴上求一点P,使得I PAM PBI,并求IP4I已知“ BC的三个顶点是心，。

阿，。

)4,试判断△ ABC的形状。

例 3 已知Z\ABC 的顶点坐标为 A (3, 2) , B (1, 0) , C (2+A3 , 1 一), 求AB边上的中线CM的长:练习:1.(A)两点(a,b)与(1,-2)间的距离(3) A (5, 10) , B 63, 0)⑷ A ( ? 3, J 丿 , B (5, 7)式子如“产心耳产可以理解为 ( ) (B)两点(a,b)与(-1,2)间的距离 (C)两点(a,b)与(1,2)间的距离 (D)两点⑹b)与(4,-2)间的距离 2. 已知下列两点，求卜国及两点的中点坐标(1) >4 (8, 6) 9 B (2, 1) (2) A C2, 4) B ( ? 2, -2；3?已知点 A (-1, -1) , B (6,5) ，且 =10,求 b ? 4. 已知A 在y 轴上，B (4,-6),且两点间的距离|AB|=5,求点A 的坐标 5 ?已知A (a r 5)，点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10, AB 二17,求久 6 ?已知A (2, 1) ,B (J, 2) ,C (5,y)，且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度巩固提高:1. 若 A(J3) 、B (2, 5 丿贝 Ij _________________ ? AB 的中点 M 的坐标为 _____________2. 已知4 (0, 10) f B (a, -5) 两点之间的距离为17,则a的值为_______________________ >3. C 知点M (m-1), N(5, m),且\MN\ = 2A5 ,则m = ___________________ .4. 已知A(1-1),B(? ,3),C(4,5),且\AA\ = \BC\, 则一____________________________ .5. 已知△ ABC的三个顶点是A( —l,0),3(l,0),C(0,3),试判断△ ABC的形状。