材料力学动荷载与循环应力

采用能量法处理冲击问题的基本假设: 1、除机械能外，所有其它的能量损失（塑性变形能、
热能）等均忽略不计； 2、冲击过程中，结构保持线弹性范围内，即力与变
形成正比； 3、假定冲击物为刚体，只考虑其机械能，不计变形
能； 4、假定被冲击物为弹性体，只考虑其变形能，不考
虑其机械能。
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
FFNn
x
FN

qd D 2

Ag D2
4g
w2
圆截面上的应力为:
d

FN A
g D2 w2
4g
g v2
g
则强度条件可以写为
:
d
gv 2
g
[ ]
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
一、构件受冲击时的应力和变形 当运动物体（冲击物）以一定的速度作用在静
§ 10.1 概述
例2： 设有等直杆，长度为L，截面积为A，比 重g，受拉力F的作用，以等加速度a运动，求构件 的应力和变形。（不计摩擦力）
a
m
F
Mechanic of Materials
例2
§ 10.1 概述
a
解：（1）构件加速度:
FF
Fg
m
F
a

m ALg / g ALg
x
（2）构件单位长度qd 上的惯性力(集度):
应力 强度条件
1st ,max

mgab / l Wz
1st,max
mgab / l Wz


1d ,max

kd 1st,max

kd
mgab / l Wz
1d ,max
kd 1st,max
kd
mgab / l Wz


挠度
1 , st
=
w1


mgba 6EIl
v2 EA g 2ml
v
st

mgl 3 3EI
kd
v2 g mgl3

3EI mg2l
3
v
3EI
l
EI
Fd kd mg mg
3EI mg2l
3
v

3EIm l3
v
M d ,max kd M j
3EI mg 2l 3
vmgl

3EIm v l
d ,max kd j
Mechanic of Materials
由能量守恒:
T V Vεd
T： 冲击物速度降为零所释放出的动能； V: 冲击物接触被冲击物时所减少的势能； Vd: 被冲击物在冲击物速度降为零所增加的变形能。
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
讨论一受冲击的弹性梁，设有重量为mg的物体自高 度为h处自由落体作用于梁的1点，梁的变形和应力。
(l 2

a2
b2)
1,d
= w1,d
kd 1,st
kd
mgba (l2 6EIl
a2
b2)
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
h
1 1' d
l
动荷因数Kd
kd 1
2h 1 1
st
1
2h mgl 3
3EI
静
荷载 弯矩 应力 强度条件
挠度
Fst mg
M max,st M固 mgl
Mechanic of Materials
h
1
1'
d
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
Mechanic of Materials
在冲击物自由下落的情况下，冲击
物的初速度和末速度为零，故动能
h
没有变化，即:
1
T= 0
1' d
T V Vεd
0
mg (h

d
)

Fd d 2
当重物落到最低点1’时，重物损失 的势能为:
钢索
a
W
例1
§ 10.1 概述
解：（1）对重物进行受力分析
钢索
Mechanic of Materials
惯性力: FI ma
a
（2）沿竖直方向建立
W
FT a W
“平衡方程”： Fy 0 FT W FI 0
FT

ma

mg

(1
a )W g
（3）求动应力若钢索截面积为A
FI
a g
)
st
§ 10.1 概述
4、动应力、动变形与动载荷因数的关系
动应力: d kd st
Mechanic of Materials
在线弹性范围内，动变形亦有: d kd st
强度条件:
d kd st [ ]
st

[ ]
kd
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
二、冲击问题的特点:
构件受到外力作用的时间很短， v 冲击物的速度在很短的时间内发生 很大的变化，甚至降为0，冲击物得 到一个很大的负加速度 a
a
冲击物
被冲击物
解决冲击问题的方法:近似但偏 于安全的方法--能量法
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
V=mg ( h + △d)
在冲击过程中，冲击载荷作功等于 梁的变形能，则:
Vd=(Fd △d)/2
而重物以静载荷的方式作用于梁上时，相应的静变形为
△st，在线弹性范围内，载荷和位移成正比，有:
Fd d mg st
d2 2dst 2hst 0
d st (1
3EI mg 2l 3
v
mgl Wz

3EIm v mg
l
Wz
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
三、求冲击问题的解题步骤
Mechanic of Materials
1、求静位移、静应力
静冲击物静置在被冲击物的冲击位置上，由拉压杆胡克定 理，梁可以查表，求冲击处发生静位移。也可以由能梁法 求解。
2、求动荷系数
2h
kd 1
1 st
kd
v2 g st
3、求动位移、静应力等
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
例题 : 图中所示的两根受重物Q冲击的钢梁，其中一根是支承于 刚性支座上，另外一根支于弹簧刚度系数k=100N/mm的弹性支 座上。已知l = 3m, h=0.05m, Q=1kN, Iz=3.4×107mm4, Wz=308.6×109mm3,E=200GPa,比较两者的冲击应力。
5、研究意义
§ 10.1 概述
二、实例 惯性载荷
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
冲击载荷
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
振动载荷（Tacoma大桥共振断裂）
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述 交变载荷（交变载荷引起疲劳破坏）
d (x)

d (x)
E

Fx EAL
d (x)

Fd (x) A

Fx AL
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述 二、构件作等速转动时的动应力
设圆环以等角速度w 绕通过圆心且垂直
于圆环平面的轴旋转，如图所示（平均直 径D>>厚度t，讨论环内的应力。
w
D
§ 10.1 概述
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
一、什么是动载荷，与静荷载的区别。
1、静荷载：
从零开始缓慢地增到终值，然后保持不变的载荷 2、动载荷：
使构件产生明显的加速度的载荷或随时间变化 的载荷。动载荷本质：是惯性力 3、动应力、动变形
构件由于动荷载所引起的应力、变形 4、分类：惯性载荷、冲击载荷、振动载荷、交变载荷

gA 1 a
g

F L
qd
Fd(x)
（3）用截面法取构件的一部分加以分析各截面的轴力:
Fx 0
Fd (x) qd x 0
Fd
(x)

F L
x
（4）动应力为:
d (x)

Fd (x) A

Fx AL

静载荷条件下的应力-静应力:
x
st L st
因此，在此条件下，动应力沿杆长 作线性分布，如图:
kd
mgl Wz


1,d
=
w1,d

kd 1,st

kd
mgl 3 3EI
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
几种常见的冲击动荷因数
1、冲击物体作为突加载荷作用在梁上，此时h=0
kd 1
1 2h 11 2 突加载荷作用是静载荷作用的两倍。
st,max
st,固（上，下）
mgl Wz
st,max

mgl Wz


1 , st
=
w1


mgl 3 3EI
冲击
Fd kdmg
M固,d kd M固,st kd mgl
d ,max

kd st,max

kd
mgl Wz
d ,max
kd st,max
(1 a )W
d

FT A

g A

(1
a g
) st
静载荷情况下的钢索中的应力： st
例1
讨论 1：
§ 10.1 概述
FT a
Mechanic of Materials
引入：动载荷因数kd
W
kd
1
a g
有:
d kd st
FI
a
(1 )W
d

FT A

g A

(1
§ 10.1 概述
3、达朗伯原理的回顾 用静力学的方法求解动力学的问题。 虚拟的“惯性力”
FI ma
惯性力与主动力、约束力共同构成“平衡力 系”，通过静力学平衡方程求解未知力。
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述 例1： 起重机以等加速度 a 起吊重量为 W的物体，求钢索中的应力。
1 2T0 mg st
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
几种常见的冲击动荷因数
4、重物以水平速度v冲击构件:
EA l
v
st

FN l EA

mgl EA
1 mv2 2

1 2
d Fd

1 2
(kd
st
)

(kd
mg
)
kd
v2 g st

例2
§ 10.1 概述
Mechanic of Materials
（5）构件轴向变形 取构件当中一微段 dx
a
m
F
Hale Waihona Puke Baidu
dx
d (L)

Fd (x)dx EA

d (x)
E
dx

d (x)dx
Fd(x)
Fd(x)+dFd
d (x)

Fd (x) A

Fx AL
L l Fx dx FL 0 EAL 2EA
st
2、自由落体，已知冲击物在冲击时的速度，那么:
kd 1
1 2h st
1
2 1 gt2
1 2 1
st
1 (gt)2 1 g st
1 v2 gst
3、自由落体，已知冲击物冲击时的初动能:
kd 1
1 2h st
1
1 2 mgh 1 mgst
1 2h ) st
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
l=a+b
mgb a
l
h
1 1' d
b
引用冲击动荷因数Kd
kd 1
1
2h st
1
1
2h
mgba (l 2 a2 b2 )
6EIl
静
冲击
荷载
Fst mg
Fd kdmg
弯矩
M1,st mgab / l
M1,d kd M1,st kd mgab / l
二、构件作等速转动时的动应力
Mechanic of Materials
环内任意一点有向心加速度an，设圆环的横截 面积为A，单位体积的重量为g。
y qd ds
惯性力:
qd

Ag
g
an

AgD w 2
2g
平衡方程
2FN
0
qd
sin
D 2
d

0
jan
2FN qd D 0
FFNn
止构件（被冲击物）上时，被冲击物体将受到很 大的作用力（冲击载荷），这种现象称为 冲击
此类问题在工程中非常常见，比如 : 打桩、锻打工件、凿孔、高速转动飞轮制动等。
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
构件受冲击时的应力和变形
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
一、构件作等速直线运动时的动应力与动变形 1、此类问题的特点:
加速度保持不变或加速度数值保持不变，即角速度w
=0 2、解决此类问题的方法:
牛顿第二定律 动静法（达朗伯原理）
Mechanic of Materials
3、掌握作加速直线运动或匀速转动时的动应力计 算、构件受冲击荷载时的动应力计算。
重点：冲击荷载时的动应力计算 难点：疲劳极限曲线 学时安排：2
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第二十八、九讲目录 第十章 动载荷
§ 10.1 概述 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形
第十一章 交变应力
§ 11.1 交变应力与疲劳失效 § 11.2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 § 11.3 持久极限 § 11.4 影响持久极限的因素
Mechanic of Materials
第二十八、九讲的内容、要求、重难点 教学内容：
构件作加速直线运动或匀速转动时的动应力计算， 构件受冲击荷载时的动应力计算；交变应力的概念， 交变应力下材料的疲劳破坏，疲劳极限。
教学要求：
1、了解材料疲劳极限曲线、提高疲劳强度措施；
2、理解动荷载和循环应力概念，循环应力的类型；