连续型概率分布
1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
连续型概率分布
连续型概率分布连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的可能取值范围及其对应的概率。
与离散型概率分布相比，连续型概率分布在数轴上的每一个点都有概率密度函数与之对应，而不是直接给出某个点的概率。
本文将介绍几种常见的连续型概率分布，包括均匀分布、正态分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是一种简单而常见的连续型概率分布，它假设随机变量在一定的范围内取值的概率是相同的。
在数学上，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别表示均匀分布的下界和上界。
图表上，均匀分布的概率密度函数在[a, b]区间内的取值是一个常数，且在[a, b]之外为0。
这意味着在[a, b]区间内的任意一个子区间上，概率密度的积分就是该子区间的长度除以[a, b]之间的总长度。
二、正态分布正态分布是统计学中最重要的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用使得它成为了研究的重点。
正态分布的概率密度函数可以写作：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，其峰值位于μ处，标准差决定了曲线的形状。
正态分布具有许多重要的特性，如68-95-99.7法则，即大约68%的概率密度位于一个标准差范围内，95%位于两个标准差范围内，99.7%位于三个标准差范围内。
三、指数分布指数分布是描述连续随机事件发生的时间间隔的概率分布。
例如，某个服务台上的顾客到达时间间隔、两次地震发生的间隔等，都可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数可以写作：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的概率密度函数在区间[0, +∞)上递减，且总面积等于1。
指数分布还有一个重要的特性是无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与一开始等待这段时间的概率是相等的。
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型在我们探索概率世界的旅程中，离散型概率分布和连续型概率分布是两个重要的概念。
它们就像是概率王国里的两座城堡，各自有着独特的特点和规则。
先来说说离散型概率分布。
想象一下，我们在掷骰子。
骰子的点数只能是 1、2、3、4、5 或者 6，这就是典型的离散型情况。
离散型变量的值是可以一个个明确列举出来的，而且是有限个或者可数个。
比如抛硬币，结果只有正面或者反面；一个班级学生的人数，只能是整数个。
我们以常见的二项分布为例。
假如有一个成功率为 p 的实验，我们重复进行 n 次。
在这 n 次实验中，成功的次数 X 就服从二项分布。
比如说，投篮命中的概率是 06，投 10 次，命中的次数就符合二项分布。
计算二项分布的概率时，有特定的公式可以使用。
再比如泊松分布。
它常被用来描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
比如，某网站在一分钟内收到的访问请求次数，某公路在一天内发生的交通事故次数等。
离散型概率分布有一个重要的特点，就是它的概率质量函数（PMF）。
这个函数能告诉我们每个可能取值的概率是多少。
而且，所有可能取值的概率之和一定是 1。
接下来，咱们走进连续型概率分布的世界。
与离散型不同，连续型变量可以在一个区间内取任何值。
比如说，人的身高、体重，汽车行驶的速度等。
其中，最常见的连续型概率分布就是正态分布，也叫高斯分布。
它的形状就像一个钟形，两边对称。
很多自然现象和社会现象都近似服从正态分布。
比如，学生的考试成绩、人群的身高分布等。
对于连续型变量，我们不能像离散型那样直接计算某个具体值的概率，而是要计算某个区间的概率。
这就需要用到概率密度函数（PDF）。
概率密度函数的值并不是概率，但是曲线下方在某个区间内的面积就代表了这个区间的概率。
均匀分布也是连续型概率分布的一种。
在一个给定的区间内，变量取任何值的可能性都相等。
那么，离散型和连续型概率分布有什么区别和联系呢？从取值上来说，离散型变量的取值是孤立的、可数的，而连续型变量的取值是连续的、不可数的。
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型在我们探索世界的过程中，概率分布是一个非常重要的概念。
它帮助我们理解和预测各种随机现象的发生规律。
概率分布主要分为离散型和连续型两大类，它们各自有着独特的特点和应用场景。
首先，让我们来聊聊离散型概率分布。
离散型概率分布描述的是那些只能取有限个或者可列无限个值的随机变量。
比如说掷骰子，结果只能是 1、2、3、4、5 或者 6，这就是一个典型的离散型随机变量。
再比如，某地区一天内发生交通事故的次数，可能是 0 次、1 次、2 次等等，这也是离散的。
离散型概率分布有很多常见的例子，比如二项分布和泊松分布。
二项分布常常用于描述在n 次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
比如说抛硬币 10 次，正面朝上的次数就可能符合二项分布。
泊松分布则常用于描述在一定时间或空间内，稀有事件发生的次数。
比如某公路上一天内发生重大交通事故的次数。
离散型概率分布有一个很重要的特点，就是它的概率质量函数（PMF）。
这个函数能够告诉我们每个可能取值的概率是多少。
比如说，掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是 1/6，这就是通过概率质量函数来描述的。
接下来，我们再看看连续型概率分布。
与离散型不同，连续型随机变量可以在某个区间内取任意值。
比如说，一个人的身高、体重，或者一段公路上车辆行驶的速度，这些都是连续型随机变量。
连续型概率分布中最常见的就是正态分布，也叫高斯分布。
它的形状就像一个钟形曲线，在很多自然和社会现象中都能观察到。
比如学生的考试成绩、人群的身高分布等，往往都近似于正态分布。
对于连续型随机变量，我们不能像离散型那样直接谈论某个具体值的概率，因为单个具体值的概率几乎为 0。
而是通过概率密度函数（PDF）来描述概率的分布情况。
概率密度函数反映的是随机变量在某个区间内取值的相对可能性大小。
举个例子，假设我们有一个服从正态分布的随机变量 X，其均值为μ，标准差为σ。
那么，在区间μ σ, μ ＋σ 内取值的概率大约是 68%，在区间μ 2σ, μ ＋2σ 内取值的概率大约是 95%，在区间μ 3σ, μ ＋3σ内取值的概率大约是 997%。
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型在我们探索概率这个奇妙的世界时，经常会遇到两种重要的概率分布类型：离散型概率分布和连续型概率分布。
这两种类型在许多领域，如统计学、物理学、经济学等中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下它们。
离散型概率分布是指随机变量的取值是有限个或者可列无限个。
这就好比我们在数一堆苹果，可能有 0 个、1 个、2 个……但不会出现半个苹果这样的情况。
比如说掷骰子，结果只能是 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点或者 6 点，这就是一个典型的离散型随机变量。
离散型概率分布有很多种，其中最常见的包括二项分布、泊松分布和几何分布。
二项分布是一种非常实用的离散型概率分布。
想象一下，我们进行一个独立重复的实验，比如抛硬币，每次抛硬币正面朝上的概率是固定的，假设为 p ，反面朝上的概率就是 1 p 。
我们重复抛 n 次，那么恰好出现 k 次正面朝上的概率就符合二项分布。
例如，在 10 次抛硬币中，恰好有4 次正面朝上的概率就可以通过二项分布的公式计算出来。
泊松分布则常常用于描述在一定时间或空间内，某个事件发生的次数。
比如，在一天内某家医院接到的紧急呼叫次数，或者在一段公路上发生的交通事故数量。
如果这些事件发生的平均频率是已知的，那么就可以用泊松分布来计算特定次数发生的概率。
几何分布则关注的是在一系列独立重复的试验中，首次成功所需的试验次数。
比如说，你不断地投篮，直到投进第一个球，那么投篮的次数就可能符合几何分布。
与离散型概率分布不同，连续型概率分布中的随机变量可以在某个区间内取任意值。
这就好像测量一段绳子的长度，它可以是101 厘米、1011 厘米，甚至 101111 厘米等等。
连续型概率分布中最常见的就是正态分布，也称为高斯分布。
正态分布的曲线呈现出钟形，具有对称性。
很多自然现象和社会现象都近似地服从正态分布。
比如人的身高、体重，学生的考试成绩等。
在正态分布中，大部分数据集中在平均值附近，离平均值越远，数据出现的概率就越小。
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的取值和对应的概率。
根据随机变量的类型和取值的特点，概率分布可以分为离散型和连续型。
本文将对这两种概率分布进行介绍和比较。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量的取值是有限个或可数个的情况下的概率分布。
离散型概率分布通常用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述。
概率质量函数表示随机变量取某个特定值的概率。
常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
以二项分布为例，它描述的是进行n次独立的二元试验，在每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，随机变量X表示成功的次数。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) =C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
离散型概率分布的特点是概率质量函数在取值点上有明确的非零值，而在取值点之间的概率为零。
离散型概率分布的图像通常是由一系列不连续的垂直线段组成。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量的取值是连续的情况下的概率分布。
连续型概率分布通常用概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
概率密度函数表示在某个取值范围内的概率密度。
常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。
以正态分布为例，它是自然界中最常见的概率分布之一，也称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ*√(2π))) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
连续型概率分布的特点是概率密度函数在取值范围内的某个点上的值并不表示该点的概率，而是表示在该点附近的概率密度。
连续型概率分布的图像通常是连续的曲线。
三、离散型与连续型的比较离散型概率分布和连续型概率分布在性质和应用上有一些显著的区别。
1. 性质上的区别：离散型概率分布的取值是有限个或可数个，而连续型概率分布的取值是连续的。
连续型随机变量及其概率分布
解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
连续型随机变量及其概率分布
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
连续型随机变量的概率分布
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
2.4 连续型随机变量的概率分布
p P{ X 10} 10
即： Y ~ B( 5, e 2 ).
1 e dx e 5
x 5
x 5 10
e 2
至少有一次未得到服务而离开的概率为：
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C
0 5
e 1 e
2 0 2
a F ( x ) bx ln x cx d d
求：(1) 系数a，b，c，d ;
x1 1 x e xe
(2) X落在区间(2 , 3)内的概率。 (3) X的概率密度。
(1) 利用分布函数性质 F ( ) 1和 F ( ) 0 解： 以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算
xe
xe
be e 1 1
由此得：a 0, b 1, c 1, d 1
0 F ( x ) x ln x x 1 1
x1 1 x e xe
(2)
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 (2ln 2 1) 2 2ln 2
0 x
F ( x)
x
-
f ( t )dt
x 1 x 0
x 1
x
若x 1
-1 -
F( x )
0
x
-
f ( t )dt
1
= 0 dt -1 (1 t )dt 0 (1 t )dt 1 0 dt 1
所以
x
0 2 (1 x ) 2 F(x) 2 1 x x 2 2 1
(3)
f ( x ) F ( x )
几种常用的连续型分布
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条 线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发
出警报.表明生产出现异常.
例3 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
概率与统计
几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p54)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
1
yba2
e 2a2 2
a 2
Y ~ N a b,a 2
解：FY
y
PaX
b
y
P
X
yb
a
yb
a
y
b a a
yba 2
fY
y
FY
y
y b a a
1 a
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(2)P{(-a/2)<X<(a/2)} ＝F(a/2)- F(-a/2)=
10
解答（续）
在F ( x)的连续点上，F ( x) p( x) 1 1 x 1 1 1 1 [ arcsin ] 2 a a x 2 a x2 1 ( ) a (3)X的概率密度 f(x)为 1
xd (e x )
1
[ xe
x 0
e
0
x
1 x x e dx e dx] 0
2
1
同理：DX ( x EX ) f ( x)dx ( x
0
1
) e
2
x
dx
2
17
1 x 1 1000 解： e X 的密度函数为：f ( x) 1000 0
• 例2：某电子元件的寿命X的服从参数为0.001的指数分 布，求3个这样的元件使用1000个小时至少有一个已经损 坏的概率.
x0 x0
1 P( X 1000) e 1000 1000
x 1000
dx e 1
3个都没有损坏的概率为:
[ P( X 1000)]3 e3
2
2
答案:1/2 求(1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4}.
A cos x , 7.设X~ f ( x) 0,
x x
2
2
答案:(1)1/2
0 x 2 1 (2) F ( x) (sin x 1) x 2 2 2 1 x 2
概率密度函数的性质
(1) f ( x) 0 (2)
f ( x)dx 1
2
满足这2个条件的函数可以作为某随机变量的密度函数
连续型随机变量的分布函数
对任意随机变量X , 任意实数x, 随机变量X 的分布函数F ( x)为 : F ( x) P( X x) p(t )dt
x
3
尽管P{X=a}=0, 事件{X=a}并不是不可能事件
4
1 例：均匀分布：X ~ p( x) b a 0
x [ a, b] 其它
(1)验证f(x)是否是一个概率密度函数. (2)求X的分布函数.
解:(1)
验证： (a) p( x) 0,
(b)
p( x)dx 1
(2)求X的分布函数为:
F(x) 1 a 0 b x
5
kx 1 0 x 2 例1.设X~ f ( x) 其它 0
(1) 确定k, (2) 求X的分布函数F(x). (3) 求P(3/2<X<5/2)
1 解：(1) f(x)dx= (kx+1)dx=1 k=- 0 2 0 1 x (2) F ( x) f(t)dt= x 2 x - 4 1
1 e x x 0 4. X的分布函数为 F ( x ) x0 0 求(1)P(X>3), (2)P(X≤2), (3)f(x)
答案:(1)P(X>3)=e-3 (2)P(X≤2)=1- e-2
0 (3) f ( x) x e
x0 其它
5. 设X~f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实 数a，有( )
6
离散型和连续型的比较:
离散型 1.概率分布:pn=P(X=xn) (n=1,2,...) 2.F(x)= 连续型 1.概率密度 X~f(x): P(a<X<b)=
xi x
P( X x
b
a
f ( x )dx
i
)
2. F ( x ) P{ X x }
f ( t )dt
p( x) a x 2 0
a x a 其它
1 x [0,1] 练习4 已知X服从[0,1]的均匀分布,即X~ f ( x) 1 0 其它 3 1 0 2 求: P( X X 0) 4 8 1 1 3 1 3 1 1 2 4 P( X x 0) P( X ) P( X ) dx 1 dx 0 4 8 2 4 4 2 11
解:(1)F(x)在x=-a与x=a处连续, 得:
a 1 0 A B arcsin( a ) 0 A B A 2 2 a 1 A B arcsin( ) 1 A B 1 B a 2
1 1 1 1 1 1 1 arcsin [ arcsin( )] 2 2 2 2 3
故A
2
1 (2) P(0 X ln3) 2
2
1 ln3 2 0
A e x e x
1 2 ln3 x dx [arctan( e )] 2 0
2 1 [arctan 3 arctan 1] [ ] 3 4 6
8练习2 设连续型随机变量X密度函数为 0 x 1 x p( x) 2 x 1 x 2 求X的分布函数 0 其它 解： (1)x≤0时,F(x)=0 (2)0<x 1时, F(x)=
P(X=a)=0
5.F(x)连续,且f(x)= F ( x )
7
5.F(x)有可列个间断点,且右连续
练习1 设连续型随机变量X的密度函数为
A p( x) x x , x e e
求:(1)A; (2)P(0<X<(1/2)ln3
x de A x p( x)dx e x e x dx A e2 x 1 A[arctan( e )] A 2 1
试验
抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
连续型随机变量
平均使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
可能的取值
X0 0 X 100 X0
1
一 概率密度函数
定义 设随机变量X的分布函数为F(x), 若存在非负 可积函数f(x), 使得对任意的实数x, 有： x F ( x) p(t )dt 则称X为连续型随机变量，f(x)为随机变量X的概率 密度函数。记作X~f(x)
至少有一个已经损坏的概率.
1 e 3
18
练习：某设备有4个同类型的三极管，其寿命X的密度函数 为： x
e p ( x) 0
5000
x0 x0
• 求：(1)参数λ 的值 • (2)一个三极管寿命超过1250小时的概率． • (3)该设备使用了1250小时后，需要更换三极管的概率．
A=1
即:
x 1
lim Ax f ( 1 ) 1
2
所以,
(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4 0 x<0 (3)f(x)=
F ( x)
=
2x
0
0≤x<1 即: f ( x ) 2 x 0 1≤x
0 x1
其它
12
1 课堂练习２.设X~ f ( x ) 2 x 0
第4节 连续型随机变量 (continuous random variables)
• 至少可以某个区间的所有实数。 • 所有可能的取值不可以逐个列举出来 • 一般是: the measurement on a continuous scale with no gaps or interruptions)
课堂练习１ 设连续型随机变量X的分布函数为
x0 0 F ( x ) Ax 2 0 x 1 1 1 x
求:(1)A; (2)P(0.3<X<0.7);
(3)X的概率密度f(x)
x 1
解:(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:
lim f ( x ) f ( 1 )
①F(-a)=1-
a
0
1 ② F(-a)= f ( x)dx 2
f ( x)dx
0
a
③F(-a)=F(a) 答案:(2)
④F(-a)=2F(a)-1
14
0, 6 设 X的分布函数为 F ( x) sin x , 1,
则P{|X|<π/6}=（ ）
x0 0 x x
x
3.P(a<X≤b)=F(b)-F(a); P(X>a)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0) 4.P(x∈A)=
xi A
P( X x
i
)
4.P{a<X≤b}=P{a<X<b} =P{a≤X<b}=P{a≤X≤b} b =F(b)-F(a)= f ( x )dx
a
P(X=a)不一定为0
+ 2
x0 0 x2 x2
5 5 3 5 1 2 2 (3) P( X ) 3 f (t )dt = 3 ( t 1)dt 0.0625 2 2 2 2 2 3 5 5 3 或： (3) P( X ) F ( ) F ( ) 0.0625 2 2 2 2
x
f (t )dt f (t )dt f (t )dt
0
x
０
x
1 2 0 tdt x 0 2０ x 1 x (3)1<x 2时, F(x)= f (t )dt 0dt tdt (2 t )dt
0 1