【强烈推荐】连续小波变换
eeg信号连续小波变换
eeg信号连续小波变换1.引言1.1 概述近年来，脑电图（Electroencephalogram, EEG）信号处理成为了神经科学和临床医学领域中一个非常重要的研究方向。
EEG信号是通过电极贴附在头皮表面采集到的一种测量脑电活动的方法。
随着技术的不断进步和对大脑运行机制的深入了解，人们对EEG信号的研究也越来越深入。
在过去的几十年里，许多传统的信号处理方法被应用于EEG信号的分析和处理，如傅里叶变换、时频分析等。
然而，这些传统方法在处理EEG 信号中存在一些局限性。
EEG信号具有多尺度和非平稳的特点，而传统的方法往往无法很好地捕捉到这些特点，导致分析结果的准确性和可靠性有限。
为了克服这些问题，连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）作为一种新的信号分析方法被引入到EEG信号处理中。
连续小波变换能够对信号进行多尺度分析，并在时频域上提供更详细的信息。
它通过将信号与一组不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，得到不同尺度下的时频图谱。
这种方法在EEG信号的分析和处理中具有很大的潜力。
本文将首先介绍EEG信号的基本概念和特点，包括其生成机制、主要频率带以及常见的形态特征。
然后，我们将详细解释连续小波变换的原理和方法，并探讨其在EEG信号处理中的应用。
最后，我们将总结连续小波变换在EEG信号处理中的优势和局限性，并展望未来的发展方向和挑战。
通过本文的研究，我们希望能够进一步推动连续小波变换在EEG信号处理中的应用，并为相关领域的研究人员提供一些参考和借鉴。
同时，我们也希望引起更多关于EEG信号处理方法的探讨，以提升对大脑活动的认识和理解。
1.2 文章结构文章结构部分(content of section 1.2):文章结构是指文章从头到尾的组织结构和安排。
一个良好的文章结构能够使读者更好地理解文章的内容和主题，并能够清晰地传达作者的意图。
本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
小波分析连续小波变换
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。
例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。
例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。
连续小波变换CWT以及MATALB例程
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
（2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1， length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图所示。
注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确 的尺度－时间－小波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数 图。这是因为此时的频率间隔不为常数。 。
下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为100Hz和
200Hz的两个正弦分量所合成的信号。
clear;
图1.11
小波变换的系数用图所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换 系数的系号，纵坐标表示尺度， 灰度颜色越深，表示系数的值越 大。
绘图原理 1.需要用到的小波工具箱中的三个函数 cwt（），centfrq（），
scal2frq（）
COEFS = cwt(S,SCALES,‘wname’) 说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES为 尺度，wname为小波名称。
%尺度序列的长度，即scal的长度
wcf=centfrq(wavename);
连续小波变换核心知识
2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。
连续小波变换和梅尔倒谱系数
连续小波变换和梅尔倒谱系数连续小波变换和梅尔倒谱系数随着科技的不断发展，信号处理作为一门实用的学科越来越受到人们的关注。
在信号处理中，频谱分析是非常重要的一环，而在频谱分析中，连续小波变换和梅尔倒谱系数是两个非常常见的概念。
在本文中，我们将深入了解这两个概念和它们的应用。
一、连续小波变换1.1 原理连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种基于小波（Wavelet）理论的信号分析方法，它可以在时间和频率上同时对信号进行分析。
在CWT中，小波和原信号进行卷积，并通过平移和缩放小波，来分析原信号的局部频谱。
CWT具有多分辨率的特性，使得信号在时间和频率上的信息都可以得到准确的分析。
1.2 应用CWT广泛应用于信号处理、图像处理、生物医学工程等领域中。
其中在语音信号处理中，CWT被用于寻找语音信号的关键时刻。
二、梅尔倒谱系数2.1 原理梅尔倒谱系数（Mel-Frequency Cepstral Coefficients，MFCC）是一种将频率变换为人耳可以感知的方式，并用于语音识别的技术。
在MFCC算法中，将人类听觉感知到的声音频率划分成若干个区间，每个区间对应不同的滤波器。
在频域上，将滤波器输出结果进行离散余弦变换，得到MFCC。
2.2 应用MFCC广泛应用于语音信号处理、流派识别、音乐推荐等领域中。
在语音信号处理中，MFCC被用于将语音信号进行处理和特征提取，用于语音识别。
三、连续小波变换和梅尔倒谱系数的应用3.1 语音信号分析在语音信号的分析中，CWT可以对信号的局部频率进行分析，可用于语音信号打包、压缩，使得语音数据变得更加容易传输。
而MFCC则可对语音信号进行特征提取和降维，用于语音识别。
3.2 音乐分析在音乐分析中，CWT可以用于时间和频率上的分析，可获取音乐信号的时域信息、频域信息和相位信息。
而MFCC则可用于流派识别和音乐推荐，用于比较和匹配不同音频之间的差异性。
现代信号处理第6章连续小波变换
小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为 :
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令
6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。 小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度 由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m，当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析
谐波小波的定义及正交性
谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
谐波小波的定义及正交性
连续小波变换核心知识
2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。
第十一章连续小波变换介绍
第十一章连续小波变换介绍
一、简介
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一种处理时间序列信号的数学方法，由发明者Marcel Grossman和Jean Morlet于1986年提出。
它是理想小波变换的推广，也是时频分析的一种技术。
连续小波变换基于一种称为小波函数的正弦余弦函数，可以将一个时间信号分解为由不同频率和频带组成的一系列复合信号。
二、连续小波变换的基本原理
连续小波变换 (Continuous WaveletTransform,CWT)是一种将信号的时间序列变换为小波指数系数的一种变换。
它可以使用单点操作来将一个时间上连续的信号变换为时间上不连续的信号。
信号中的高频分量被窄带保留，而低频分量则被底带宽度突出发挥。
可以使用不同尺度的小波滤波器对信号进行分解和重建，确定信号各分量的能量分布。
三、连续小波变换的应用
(1)音频处理：连续小波变换可以用来处理声音信号，分析和处理噪声，增加音质，增强音量，去掉噪音，等等。
(2)运动控制：连续小波变换可以用来处理运动控制的信号，可以用来控制自动测量装置的稳定性，减少步进电机的抖动，改善舵机控制系统的表现等。
(3)数字图像处理：连续小波变换可以应用于数字图像处理方面，可以用来完成图像质量改善，图像去噪，以及实现视觉特征提取等任务。
连续小波变换 4个参数
连续小波变换 4个参数连续小波变换（CWT）是一种在信号处理和图像处理中常用的分析工具。
它通过将信号与一系列不同尺度的小波函数进行卷积，来获取信号在不同频率和时间尺度上的分布情况。
CWT的主要参数包括小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式。
1. 小波基函数：小波基函数是CWT中最重要的参数之一，它决定了CWT对信号的分析能力。
常用的小波基函数有Morlet小波、Mexican Hat小波、Haar小波等。
不同的小波基函数适用于不同类型的信号。
例如，Morlet小波适用于分析具有周期性成分的信号，Mexican Hat小波适用于分析具有脉冲特性的信号。
2. 尺度范围：尺度范围是指进行CWT时所选择的小波函数尺度的范围。
尺度越大，对应的频率越低，可以捕捉到信号的低频成分；尺度越小，对应的频率越高，可以捕捉到信号的高频成分。
选择合适的尺度范围可以更全面地分析信号的频率特性。
3. 尺度步长：尺度步长是指在尺度范围内选择小波函数尺度的间隔。
较小的尺度步长可以提高分析的精度，但同时也会增加计算量。
较大的尺度步长可以减少计算量，但可能会导致分析结果的精度降低。
根据具体需求，需要权衡精度和计算效率来选择合适的尺度步长。
4. 边界处理方式：CWT对信号的边界处理方式也是一个重要的参数。
边界处理方式决定了CWT在信号两端的分析结果。
常用的边界处理方式有零填充、对称填充和周期延拓等。
选择合适的边界处理方式可以避免边界效应对分析结果的影响。
CWT的应用非常广泛。
在信号处理领域，CWT可以用于信号的时频分析，可以提取出信号的瞬态特征和频率变化特征，对于识别和分类信号非常有用。
在图像处理领域，CWT可以用于图像的纹理分析、边缘检测和目标提取等。
此外，CWT还可以用于音频处理、生物医学信号分析、地震信号处理等领域。
连续小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，通过调整小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式等参数，可以实现对信号在不同频率和时间尺度上的分析。
小波变换基本方法
小波变换基本方法小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同频率的组成部分。
它有很多基本方法，以下是其中几种常用的方法。
1.离散小波变换（DWT）：离散小波变换是小波变换最常用的方法之一、它将信号分解为不同的频带。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，并下采样。
然后，重复这个过程，直到得到所需的频带数。
这样就得到了信号在不同频带上的分解系数。
这种方法的好处是可以高效地处理长时间序列信号。
2.连续小波变换（CWT）：连续小波变换是在时间和尺度两个域上进行分析的方法。
它使用小波函数和尺度来描述信号的局部变化。
CWT得到的结果是连续的，可以提供非常详细的时频信息。
然而，CWT的计算复杂度较高，不适用于处理长时间序列信号。
3.基于小波包的变换：小波包变换是一种对信号进行更细粒度分解的方法。
它通过在每个频带上进行进一步的分解，得到更详细的时频信息。
小波包变换比DWT提供更多的频带选择，因此可以更准确地描述信号的时频特征。
4.奇异谱分析（SSA）：奇异谱分析是一种基于小波变换的信号分析方法，它主要用于非平稳信号的时频分析。
它通过将信号分解成一组奇异函数，然后通过对奇异函数进行小波变换得到奇异谱。
奇异谱可以用于描述信号在频域上的变化。
5.小波包压缩：小波包压缩是一种利用小波变换进行信号压缩的方法。
它通过选择一个适当的小波基函数和分解层次来减少信号的冗余信息。
小波包压缩可以用于信号压缩、特征提取和数据降维等应用。
以上是小波变换的几种基本方法，每种方法都有其适用的领域和特点。
在实际应用中，可以根据需求选择合适的方法来进行信号分析和处理。
连续小波变换在生物医学信号处理中的应用
连续小波变换在生物医学信号处理中的应用
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种非常有用的信号处理技术，它可以用来分析和提取信号中的特征，例如频率、频谱、时间和时间-频率特征等。
在生物医学
信号处理中，连续小波变换可以用来检测和分析心电信号、脑电信号、血压信号、体温信号等生物医学信号。
例如，连续小波变换可以用来检测心电信号中的异常现象，如心律失常、心脏疾病等。
通过对心电信号的小波变换，可以提取出信号的时间-频率特征，从而更好地分析和检测心电信号
中的异常现象。
此外，连续小波变换还可以用来分析脑电信号，从而检测脑部功能的异常，例如睡眠障碍、认知障碍等。
另外，连续小波变换还可以用来检测血压信号中的异常，从而检测心血管系统的异常，例如高血压、心力衰竭等。
此外，连续小波变换还可以用来检测体温信号，从而检测体温异常，例如发热等。
总之，连续小波变换在生物医学信号处理中具有重要的应用价值，它可以用来检测和分析生物医学信号中的异常现象，从而更好地诊断和治疗生物医学疾病。
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对小波变换频域窗口的分析：
宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
Gaobor变换的缺点在于其时频“窗若口”的ˆ 的宽时度域不随中频心率在的变化而变化* ,。时域半径为
对小波变换时域窗口的分析：
ˆ , 则 ( a 0 )：
宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
由 ˆ a e 对“容许性”条件的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
2 a a a 对小波变换时频窗－ 口的 分－ 析 ：
2
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
Gaobor变换的缺点在于其 时频“ 窗口 ”的 宽度不随频率的变化而变化。
对“容许性”条件的分析：
1 (e ( t b ) d ) ( a b f ˆ ()ˆ( a)g ( t)dd at d 对小波变换频域窗口的分析：
ib
2
___ __ __ __ __ __
2 对小波变换时域窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分－ 析 ： －
a
对“容许性”条件的分析：
1 a e i tˆ(a)a 2 f ˆ()_ ˆ(a _)_ g _ ( t_ ) _ d _ __ a _ d _ _d t_ 2－ －
小波重构定理的证明：
c1 － － [W (f)b (,a) l i0(m _ _ g_,__ b,_ a_ __ )_d a __ 2_d _ a__b c1－ － [W(f)b(,a)b,ada2adb
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，了 它一 定个 义连续小波 W(变 f )换 (b,a),则：
－
[W(
－
f
)(b,a)W ___(_g__)_(b____,_a__)_da_2adbc
连续小波变换
mk t (t )dt
k
d
k
0
（重新审视）
连续小波变换
小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类
小波及连续小波变换
设函数 ，则称
ˆ (0) 0 ，即 (t )dt 0 t L1 (R) L2 (R) ，并且
(5)(奇偶性) WP [ Pf ](a, b) (W f )(a,b) 其中P是反射算子(奇偶算子) ( Pf )(t ) f (t ) (6)(反线性性)
(7)(小波平移) (8)(小波伸缩)
(W f )(a, b) (W f )(a, b) (W f )(a, b)
1
2
3
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 （7-5）小波滤波器:
4 q2 3 p 0 8 q2 2 2 4 q2 5 q2 1 p1 8 q2 2 4 q2 1 p2 16q2 4 2 4 q q2 2 p 3 2 8 q2 q0 1 2q2 1 q1 2
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 3 5 5 5 3 3 , , , , , , 2 16 4 16 2 16 4 16
h
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
pn 2 hn , qn 2hn
ˆ (0) 0 几乎是等价条件. 允许条件与
1 f (t ) c
连续小波变换程序
实验一:连续小波变换实验目的：通过编程更好地理解连续小波变换，从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力！通过连续小波变换了解信号中的频率分量。
实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。
(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-、实验结果：程序附录：（1）墨西哥小波函数function Y=mexh0(x)if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;（2）实验程序load('data.mat');n=length(dat);amax=70; % 尺度a的长度a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵mexhab=zeros(1,n); % ，某尺度下小波系数for s=1:amax %s 表示尺度for k=1:nmexhab(k)=mexh0(k/s);endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替mexhab=[mexh0(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 endendwfab_abs=abs(wfab);for index=1:amaxmax_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext;endfigure(1);plot(dat);title('原始数据图');xlabel('时间')ylabel('幅度')figure(2);image(wfab_abs);colormap(pink(255));title('连续小波变换系数图');xlabel('时间')ylabel('尺度')。
小波分析之连续小波变换
在 f (x) 的连续点处,
da db ∫R ∫R (wψ f )(a, b) ⋅ψ a,b a 2
1 x − b da db −1 2 = ⋅ a ⋅ ∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ψ ( ) 2 R R cψ a a
推论7.1的证明
da db 在∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ ( wψ g )(a, b) 2 R R a = cψ ⋅ ( f , g ) 中, 令g (t ) = δ (t − x), 有 ( f , δ (t − x)) = ∫ f (t )δ (t − x)dt
a
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
−1
1
1
= b − a.
另一方面,对满足
n, t ∈ [a, a + n ], f n (t ) = −1 0, t ∈ [a + n , b].
a+n <b
的
−1
n,
定义
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
求ห้องสมุดไป่ตู้性算子
T : L [ a, b] → L [ a, b]
1 1
的算子范数.
(Tf )( x) = ∫a
x
f (t )dt.
解
(Tf ) 1 = ∫a ∫a
b
x
f (t )dt dx
b b a a
≤∫
b
a a b
∫
x
f (t ) dtdx ≤ ∫
b a
∫
f (t ) dtdx
连续小波变换及其应用
连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理的重要方法，在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种连续域的小波变换方法，具有多尺度分析的特点。
本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。
一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度下的小波系数，从而实现对信号的频率分解和时频分析。
连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作，实现对信号在时间和频率上的分析。
连续小波变换的数学表达式如下：\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中，\[ a \in R^{+} \]为尺度参数，\[ b \in R \]为平移参数，\[ x(t) \]为原始信号，\[ \psi(t) \]为小波函数。
连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息，提供了一种更加完备的分析手段。
相较于傅里叶变换，连续小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上对信号进行分解，对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。
二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析，可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。
同时，连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。
2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。
图像是二维信号，连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析，可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。
同时，连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。
8.4连续小波变换--案例
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连续小波变换--案例
案例-2、有不同时段不同频率的信号组成了分时段信号，在t=0~1.28s时段， 频率为15Hz，t=1.28~2.56s时段，频率为30Hz，t=2.56~3.84s时段，频率为 60Hz，t=3.84~5.12s时段，频率为90Hz，振幅均为1cm，其时间的交接点分 别为1.28s，2.56s，3.84s，数学表达式为
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=500Hz，采样点数为N＝2560，则Δt=1/fs，采样 时长T=5.12s，生成的时间历程曲线如图所示：
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
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连续小波变换--案例
原时间历程曲线
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
连续小波变换--案例
局部放大图
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
0 < t < 0.25 0.25 < t < 0.5
分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析其结果有何不同。
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=4000Hz，采样点数为N＝2000，则Δt=1/fs，采样 时长T=0.5s，生成的时间历程曲线如图所示：
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
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（振荡性）
对“容许性”条件的分析：
2. 为了“基小波” 能提供一个局部的时频 窗口，
我们还得要求满足： ˆ ( ) L2 t (t ) L2 ,
对“容许性”条件的分析：
3.
t b 用 b ,a (t ) a ( ),则 a W ( f )(b, a) f , b ,a
da ) 2 db a
1 c
－ －
[W ( f )(b, a)
ˆ的时域中心在 若 * ,时域半径为ˆ , 则(a 0)： ˆ b,a a 由 a
1 2 1 2 ^
e
it
t b ( )dt a a
1 2
t b ( ) a
ˆ (a ) aeib
ˆ b ,a可知 分析 ˆ b ,a的中心在
*
__________ ______
对所有的f , g L2成立，并且对于 f L2和f的连续点x R，有 1 f ( x) c
－
da [W ( f )(b, a ) b ,a ( x) 2 db a －
小波重构定理的证明：
左端＝
－ －
可用的工具：
利用Forier变换的时间展缩性： ^ 1 ˆ( ) x(at) x a a
连续小波变换的定义：
t b W ( f )(b, a) a f (t ) ( ) dt a 其中：f L , a, b R , a 0
2 1 2 __________
1 2
对小波变换时域窗口的分析：
若的时域中心在t * , 时域半径为 , 则：
b ,a的中心在b at*,半径为a ,
W ( f )(b, a )表征了信号f (t )在 [b at * a , b at * a ]的信息。
对小波变换频域窗口的分析：
2 －
c
ˆ ( ) g (t ) ddt e f
it _____
_____
2 －
c
ˆ ( )d ) g (t ) dt ( e f
it
小波重构定理的证明：
c
－
f (t ) g (t ) dt
_____
c f , g
*
a1
a1 a2
*
a2
b1 a1t *
b2 a2t *
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，它定义 了一个连续小波变换 W ( f )(b, a ), 则：
－
da [W ( f )(b, a ) W ( g )(b, a ) 2 db c f , g a －
a a W ( f )(b, a)的频域窗口为 [
, 半径为
ˆ
,
*
a
ˆ a
,,
*
a
ˆ a
]
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1.小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a有关。
2.时频窗口形状与参数 a的关系。 当a下降时：中心频率上升 ， 频域窗口变宽，时域窗 口变窄。 当a上升时：中心频率下降 ， 频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
小波重构定理的证明：
对 da [W ( f )(b, a) W ( g )(b, a) 2 db c f , g a － －
__________ ______
取g ( x)＝g（ t x)：
0
(Gabor 窗函数），
f ( x) lim f , g a
1 lim 0 c da [W ( f )(b, a) W ( g a )(b, a) 2 db a － －
__________ ______
小波重构定im( g , [W ( f )(b, a)
0
__________ ______ b ,a
连续小波变换
——定义与特性
引入连续小波变换的基本想法：
Gaobor变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化。 在实际应用中，窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分；宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析。 所以，在对信号进行时频局部化分析中， 我们需要一个自动随频率变化的时频窗 口。
f ,
b,a
g , b,a
__________ ____
da 2 db a
__________ ____ 1 da ˆ ˆ b,a g , b,a 2 db f , 2 a － －
小波重构定理的证明：
1 2 － －
应满足的条件：
1.时频局部化。即 ，ˆ 均有限。 2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
" 容许性”条件隐含着： ˆ（0）＝0 即： (t )dt 0
ˆ () a e f
__________ __ ib
ˆ (a) d( g (t )
_____
1 t b da ( )dt) 2 db a a a
________ _____ 1 t b ib 2 ˆ ˆ (a) g (t ) daddt ( e ( )db)(a f () 2 － － a
________ _____ 1 it 2 ˆ ˆ (a)a f ( ) ˆ (a) g (t ) daddt ae 2 － －
小波重构定理的证明：
_____ ˆ (a ) |2 1 | it ˆ ( da)e f ( ) g (t ) ddt 2 － － a