非线性动力学-2讲解
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
非线性动力学的理论与应用
非线性动力学的理论与应用第一章介绍非线性动力学（Nonlinear Dynamics）是指研究非线性系统运动的学科，与传统的线性动力学不同，它所研究的系统是依赖于初始条件及过程中反馈、耗散及非线性耦合等的状态变化规律。
非线性动力学模型可以是连续的，也可以是离散的，涉及到许多数学工具，包括微积分、常微分方程、偏微分方程、拓扑学、代数几何等。
第二章研究内容非线性动力学研究的主要内容是非线性动力系统在自然界、生产生活和科学技术中的应用和理论。
这里说的非线性动力系统，主要指具有非线性特性的动力系统，包括天气气候预测、生物学、生物医学、材料科学、航空航天等等各个领域的动力学系统。
1.混沌理论混沌理论是非线性动力学中的核心之一，也是最吸引人的方向之一。
混沌现象是随着时间推进，系统状态的巨大变化，这是由于微小的初始条件的微小变化而引起的。
混沌现象最早是由美国数学家李雅普诺夫（A.N.Kolmogorov）提出的，其主要特点是系统的轨迹看似毫无规律可寻，在函数中体现出一些随机的性质。
2.非周期振荡非周期振荡是非线性动力学的另一个重要方向。
它是指系统为适应外部环境和内部自身反馈机制作出的一种非线性动态的运动状态。
非周期振荡可以被看作是一种自适应的机制，可以在动态环境中寻找到对稳定性更好的点，也可以用于刻画非线性振动系统的动态特性。
3.射影演化动力学射影演化动力学是指在相空间上进行射影变换，通过将相空间上的点映射到下一时刻的点来描述系统的真实运行情况。
射影动力学模型的研究主要涉及轨道的几何特征和混沌现象的显现。
第三章应用非线性动力学在实际中有广泛的应用场景，其主要应用包括：1.天气气候预测天气气象研究是非线性动力学应用的早期领域之一。
天气系统本身包含着复杂的非线性特性，可以用非线性动力学方法来研究气象系统的稳定性和不稳定性，进而提高天气预报的精度。
2.生物学研究在生物学中，非线性动力学在神经生理学、心理学、进化生物学、群体生物学、生态学等方面都有很重要的应用，可以帮助揭示复杂的生物系统中的动态机制和交互关系。
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
THANKS
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线性动力学和非线性动力学。
该直线的截距为 ，斜率为 ，由斜率
1
和截距即可求出 V和m
Km
的数值V。m
km Vm
将（9）式两边同时乘以Cm，即得到HanesWoolf公式：
Cm C
t
1 Vm
Cm
km Vm
（10）
以
Cm C
Cm 作图，可以得到一条斜率为
t
1 Vm
截距为 km 的直线，从而可求出Vm、Km等参数。
Vm
例如：一个体重50kg的患者，静脉注射0.5g水 杨酸钠，于不同时间血样品测得血药浓度见表 1，求Vm、Km。
级动力学过程。见图 2.
图2
第三节
血药浓度与时间关系 及参数的计算
一、血药浓度与时间的关系
具非线性消除动力学特点的药物，静脉注射给药 后，血药浓度的经时过程可通过MichaelisMenten方程的积分式来表达。
将(1)式移项，可得：
dC C
(C
K
m
)
Vm
dt
（4）
上式积分后得 ：
C Km ln C Vm.t i （5）
非线性药物动力学的这些特征，主要与药物在高 浓度条件下形成体内药物代谢酶或载体的饱和过 程有关。
非线性药物动力学过程，药物 在较大剂量时的表观消除速率 常数与小剂量时不同，因此不 能根据小剂量时所估算的常数 预估血药浓度。
因为：
具有非线性药物动 力学特征的药物
一般在高浓度下达到饱和过程，则消除减慢。
注意
具有非线性消除过程的药物在体内系统中 的参数Km、Vm，在一定条件下是个常数， 但由于药物体内分布或其他因素受到影响 而变化时，这些参数亦会随之变化。
二、米氏过程的药物动力学特征
非线性动力学
即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
如宇宙形成初的混沌状态。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。
线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
非线性动力学原理及应用
非线性动力学原理及应用随着科学技术的不断发展，非线性动力学已经成为研究各种现象的一种重要方法。
这种方法不仅能够帮助人们更好地理解自然现象，还可以应用到很多领域中。
本文将介绍非线性动力学的基本原理以及它的应用。
什么是非线性动力学？非线性动力学是一种描述非线性系统特征的方法，可以用来研究类似于混沌现象的一些现象。
在非线性动力学中，系统的状态是由一组微分方程来描述的。
这些微分方程的解决方案非常复杂，可能会显示出周期性或无规律的变化。
这种不规则的变化就是混沌所表现出的特征之一。
非线性动力学的应用非线性动力学有着广泛的应用，可以用于很多领域中，以下是其中的几个例子：1、天气预测天气系统是一个典型的非线性系统，其中包含许多不同的因素，如湍流、大气压力、温度、湿度等等。
由于这些因素之间的相互作用比较复杂，根本无法通过简单的线性模型来描述气象现象，因此需要使用非线性动力学方法来进行预测。
2、经济系统经济系统也是一个具有非线性特征的系统。
由于经济活动中涉及到太多的因素，比如价格、货币供应量、利率、税务政策等等，使得经济系统具有不确定的变化和波动性。
使用非线性动力学方法可以更好地理解经济现象，并对未来情况进行预测。
3、生物学研究在生物学领域中，非线性动力学可以用于研究生物系统中的一些现象，比如心脏跳动、神经元在脑中的传递等等。
由于这些现象中涉及到很多的变量和相互作用，因此需要使用非线性动力学方法来处理这些复杂的系统。
总体来说，非线性动力学方法可以用于研究各种不规则的现象，并可以为科学家提供更深入的理解和预测，从而进一步推动科学技术的发展。
总结非线性动力学提供了一种用微分方程来描述和分析复杂系统的方法。
这种方法不仅可以为科学家提供更深入的理解和预测，还可以用于很多领域，如天气预测、经济、生物学等等。
虽然这种方法的应用范围很广，但也有一些问题需要解决，比如系统的精度、数据的质量等等。
通过不断的改进和创新，相信非线性动力学方法将会在更多领域得到应用。
非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增解析
求解m3在m1与m2所形成的引力场种的运动，假设坐 标系和m1与m2一同旋转并假设原点和质心重合。m1 距原点的距离为rμ/m1，m2距原点的距离为rμ/m2。 则m3在旋转坐标系中的拉格朗日函数为： L=(1/2)m3[(x.-ωy)2+(y.+ωx)2]-V，其中V为m3在m1 与m2引力场种的势能，V=-Gm1m3/r13-Gm2m3/r23。
他举绕太阳运行的小行星为例说，如果它们相差“平 均每天超出千分之一秒，事实上三年将超出一秒，一 万年超出一度，三四百万年将超出一个圆周！”这是 人们从一般规律上对牛顿开始的自然哲学中的确定论 的否定。目前关于混沌的研究也已成为新的各个领域 都关心的研究课题。
庞加莱与三体问题
N体问题
N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给 定N个质点，如果在它们之ji间只有万有引力的作用， 那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们 会怎样在空间中运动。 三体问题 最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运 动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记， 所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其 他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作
与整个自然科学的重要研究领域。 庞加莱最早提出了动力系统转变为混沌状态的可能性。 他在《科学与方法》中说的偶然性时对拉普拉斯的确 定论作了如下的注解：“如果我们可以正确地了解自 然定律及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正 确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。如果情况容许 我们以同样的近似程度预见后继的状态，这就是我们 要求的一切，那我们就说该现象被预言到了。它受规 律支配。但是情况并非如此，可以发生这样的情况： 初始条件的微小差别，在最后的现象中产生了极大的 差别；前者的微小误差促成了后者的极大误差。”他
非线性信号处理-2.非线性动力学初步3
不动点的稳定性
Lyapunov 稳定:对任意ε,存在δ>0，使得所有满足 ||x0-x*||<δ的x0，对于任意t≥0有||φ(t;x0)-x* ||<ε.
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，所有满足 ||x0-x*||<δ的x0有||φ(t;x0)-x* ||→0，
非线性‘时间’信号处理
陶超
2010.3.17
第二章 非线性动力学初步
2.6 吸引子
吸引子是动力学系统 演化很长时间后到达 的一种状态
不动点(Fixed point)
不动点/平衡点
若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的 解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t 都有φ(t; x*)=x*
-3
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1/pi
极限环-孤立的周期轨 (附近的轨道不是周期)
吸引的 排斥的 半稳的
120 150 180
90 4 60 3
2
1
30 0
210
330
240
300
270
实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？
L-稳定不动点？周期轨？
弱渐进稳定不动点？周期轨？
渐进稳定的不动点？周期轨？
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
50
45
40
35
30
25
非线性动力学-胡海岩
第二章 SDOF 自治系统的定性分析一、基本概念0),(=+u u p u（1）令uu u u ==21，将之化为状态方程的形式 )(),(221u f u u u p uu u=⎩⎨⎧-== 或 （2）这里f (u )为向量场。
初初始条件为20021001)()(u t u u t u ==，（3）1．相空间、广义相空间、相轨线、积分曲线、相图相空间特性应从物理意义出发，在相空间尚未选定之前，微分方程本身不能确定系统的可能运动，例如21dudu ，相图特点：（1）上半平面，021>=u u ，相轨线从左到右；（2）下半平面，021<=u u，相轨线从左到右；（3）横坐标，∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0122u du du ，轨线与横轴正交。
2．定理：若),;(00u t t u u= 是方程（2）的解，对任意常数0t ，),0;(00u t t u u -= 仍是其解。
证明：对任何时刻/t ，有()()///|)()(|)(|)(00/0t t t t t t t t t u f t t u f dtt du dt t t du =-==-=-==- （5）表明：上式在任意瞬时恒成立，故),0;(00u t t u u-= 是解。
说明：自治系统在相空间的轨线只与初始值有关，与初始时刻的选取无关。
因此，今后令00=t ，初始条件（3）成为2010)0()0(u u u u ==，（6）例1：对自治系统0=+u u，t u sin =是其解，)sin(0t t u -=还是其解。
若取t u cos -=，此时20π=t 。
推论：经过相空间中的每一点（奇点除外），自治系统有一条且仅有一条相轨线（只有唯一轨线通过）。
证明：设方程（2）有两条轨线),,(1010u t t u u =，),,(2020u t t u u =有公共点，即在时刻1T 和2T 有),,(),,(2020210101u t T u u t T u =（7）因),,(101021u t T T t u u -+=还是方程（2）的解，因此下式成立22|),,(|),,(2020101021T t T t u t t u u t T T t u ===-+（8）根据Cauchy 定理：若在),(00u t 的邻域f 对u 的偏导数存在并连续，对t 的单边偏导数存在并连续，则),(u t f u = 在相当小的区间],0[δ内存在唯一解（过同一初始值的解是唯一的）。
第六章非线性动力学
2 多重定态与化学滞后现象
长期以来在化学界有一个相当普遍的观点：在恒定并且空 间均匀的外界条件下，一个化学反应体系在经历了足够长的时 间以后，总是要到达唯一的极限状态。然而已有许多实验事实 表明，在某些持定的条件下，化学反应体系的极限状态可以是 非唯一的，即在恒定的外界条件下，决定于初始条件的不同， 反应体系可以发展到几种不同的不随时间变化的状态，通常就 把这种现象称做化学反应体系的多重定态现象。
值c(Ce4+)/c(Ce3+)和Br-离子浓度c(Br-)随着时间的变化，呈现出精确的周
期行为，如图5.2.1所示。
其后，前苏联生物学家继续并改进了Belousov的实验工作，发现另 2BrO3-+3CH2(COOH) 2+2H+
2BrCH(COOH) 2+3CO2+4H2O也能呈现出化学振荡现象。又发现，用铁离子代替 铈离子以后，Fe2+/Fe3+ 可以发挥与Ce3+/Ce4+一样的作用，在有机染料指示 剂存在的条件下，反应系统时而呈红色，时而呈蓝色。
柠檬酸：丙二酸，苹果酸， 丁酮二酸 Ce：Fe，Mn等金属离子
图 在染料指示剂存在时Fe2+/Fe3+作用下的B-Z反应的振荡现象
B-Z反应体系的振荡反应机理FKN机理
反应体系中同时存在着[ce4+]／[ce3+]和[Br-]的振荡行为，它 们相互匹配的。当反应体系达到相对稳定的振荡阶段以后，每一振荡 循环大体可分为四个阶段，如图所示:
1 化学振荡
化学振荡是化学反应系统的状态随时间周期变化的现象
非线性动力学的基本原理和应用实例
非线性动力学的基本原理和应用实例非线性动力学，又称为混沌理论，是一门研究复杂系统行为的学科。
它研究的领域包括物理学、化学、生物学、社会学等多个领域。
本文将介绍非线性动力学的基本原理和应用实例。
一、非线性动力学的基本原理非线性动力学研究的是具有非线性行为的系统。
所谓非线性行为，指的是系统对初始条件的微小变化极其敏感，这种敏感性在系统中表现为不可预测性和不规则性。
一个非线性系统可以用微分方程的形式表示。
因此，非线性动力学的基本原理是微分方程的求解。
非线性系统的微分方程通常较为复杂，无法通过解析方法求解。
因此，在非线性动力学中，常常使用数值计算方法来模拟系统的行为。
另一个非线性动力学的基本原理是混沌理论。
混沌理论表明，在一些非线性系统中，微小的扰动可以引起系统行为的剧烈变化。
这是由于在非线性系统中，不同的初值条件会引起系统的行为非常不同。
这种不确定性被称为“混沌”。
二、非线性动力学的应用实例1. 布朗运动布朗运动是指在液体中漂浮的物质在水分子的撞击下不断做无规则的运动。
这个过程可以用随机游走模型来描述，也可以用布朗粒子模型来描述。
布朗粒子模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。
布朗运动在化学动力学、生物化学、统计物理学等领域有广泛应用。
2. 汇流问题汇流问题是指在不同流域中通过河道流动的水汇合到同一个点的问题。
这个问题可以用非线性水力模型来描述。
非线性水力模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。
汇流问题在水文学和水资源管理等领域有广泛应用。
3. 神经网络神经网络是一种模拟大脑神经元之间相互作用的数学模型。
神经网络可以看作是一个非线性系统，因为神经元之间的连接是多样的、强弱不一的。
用非线性动力学的方法可以对神经网络模型进行仿真和分析。
神经网络在人工智能、模式识别等领域有广泛应用。
4. 生态系统生态系统是指生物体之间以及生物体与周围环境之间相互作用形成的系统。
生态系统通常是非线性的，因为生物体之间的相互作用和生物体与环境之间的相互作用都是非线性的。
非线性动力学的基本概念与原理
非线性动力学的基本概念与原理随着科技的不断发展，物理学等领域也在不断的深入研究。
非线性动力学作为其中一个分支，正逐渐受到人们的关注。
本文就来探讨一下非线性动力学的基本概念与原理。
一、什么是非线性动力学非线性动力学是指研究系统的运动规律与演变过程的学科，它关注的是系统在不同状态下的演化和转化，以及其中的规律性和混沌性等。
非线性动力学最初是由Poincare在竞赛中研究和发现，它和线性动力学不同，线性动力学的系统遵循着线性守恒定律，其状态随时间呈现出稳定的周期振动。
而非线性动力学的系统则会存在不稳定、混沌等问题。
二、非线性动力学的原理非线性动力学的研究涉及到的内容很广泛，包括了力学、物理、生物、化学等多个领域。
其中，非线性动力学的基本原理主要有以下几个方面：1. 非线性系统非线性系统指的是系统中存在着不同程度的非线性关系，常常会出现不可预测的现象。
非线性动力学所研究的系统大多数是非线性系统。
2. 混沌混沌是非线性系统中十分特殊的一种状态，其表现为在一定的参数条件下，系统与初始条件有很大的敏感性，从而使得系统呈现出不规则、复杂的运动状态。
混沌状态包括了自相似、自组织凝聚等自适应现象。
混沌现象的研究对于改变系统的状态具有十分重要的意义。
3. 红外、紫外发散非线性动力学研究中出现的红外、紫外发散问题，是指在计算中出现的无限大结果，其存在导致计算的结果并不精确。
红外、紫外发散问题是非线性动力学中非常常见的问题之一，也是研究非线性动力学的一个难点。
4. 动力学方程动力学方程是非线性动力学中最重要的基础之一，它是描述系统动力学过程的基本工具，也是研究系统演化的数学模型。
动力学方程可以通过数学计算来得到系统运动的轨迹和演化规律，因此其研究对于了解非线性动力学系统的运动规律是必不可少的。
5. 常微分方程常微分方程是非线性动力学中应用最为广泛的数学工具之一，它描述了一些时间变化连续的系统，可用于描述许多非线性动力学系统的演化规律。
非线性动力学(中科大课件)
2020/11/24
19
FTP Complexity
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2020/11/24
20
Thanks for Attention！
Thanks for Attention！
非线性动力系统的定义： 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
2020/11/24
12
非线性动力系统
若一个动力系统由方程
描述，其中 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者
的基本力学量不同。
若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线
非线性动力学
第一章
汪秉宏
中国科学技术大学
近代物理系
2020/11/24
1
第一章 引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象
§3 非线性动力系统模型 的建立
2020/11/24
2
§1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 （ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton
涨落项
18
宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程，
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d 2 g sin
dt2 l
令 d ，以及初始条件 ：
dt
t 0, 0, 0
2020/10/1
A O
l
m
N
12
上式两端乘 dt ，积分上式
0
d
2
2g l
0
d
cos
得
2
2g l
2 cos2
2
1
cos0
02
通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的 一些基本特征。
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方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2
2g l
2
cos2
2
1
cos0
02
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是 在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的4篇 关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。
开创了动力系统理论，1895年证明了庞加莱回归定理。
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
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二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。
非线性动力学
姚宝恒
上海交通大学
船舶海洋与建工学院
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非线性动力系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现
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庞加莱（1854～1912） Poincar ，Jules-Henri
法国数学家。又译彭加勒。1854年4月29日生于法国南 锡，1912年7月17日卒于巴黎。1873年10月以第一名考入 巴黎综合工科学校。1875～1878年在国立高等矿业学校学 习工程。后任工程师。1879年以数学论文获博士学位。旋 即去卡昂大学理学院任讲师。1881年为巴黎大学教授，直 到去世。1887年他当选为法国科学院院士，1908年当选为 法兰西学院院士。他还多次获得法国及其他国家的荣誉和奖 励。
●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：自由单摆（简谐振动） d 2
"It is so complicated that I cannot even draw the figure."
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蝴蝶效应
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为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
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●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
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克里斯蒂安·惠更斯
克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens 1629-1695）是与 牛顿同一时代的科学家，是历史上最著名的物理学家之一， 他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天 文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓 者。
创立组合拓0/1
3
• Poincaré
Poincarémap
created an original method to understand such systems, and discovered a very complicated dynamics,but:
生平简介
惠更斯于1629年4月14日诞生于海牙的一个富豪之家。他的父
亲是一个杰出的诗人和外交家。惠更斯从小就喜欢钻研学问，跟
随父亲学习了数学和力学。十六时，惠更斯进入莱顿大学，后转
到布雷达大学学习法律和数学。1650年起，惠更斯开始研究光学， 同时对天文观测产生了浓厚兴趣。1655年获得法学博士学位后，
惠更斯转入科学研究。他先后访问了伦敦和巴黎，并在巴黎获得
了普遍的尊敬。1663年，惠更斯成为英国皇家学会第一个外国会
员和并被巴黎科学院接纳为唯一的一个外国院士。在伦敦和巴黎
时，惠更斯结识了许多当时著名的科学家，包括牛顿、莱布尼兹
等。在巴黎生活的第十五年，法国和荷兰之间爆发了战争，惠更
斯不得不离开巴黎，回到故乡荷兰，过着孤独寂寞的晚年生活。
1629052年0/160月/18日，惠更斯在海牙逝世 .
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单摆 相
空 ➢不计空气阻力，在自然坐标系
间 下，摆球的切向运动方程为
与 相 图
mg sin
ma
ml
d2
dt 2
令
d
dt
d2
dt 2
d
dt
得摆球的运动微分方程
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g
sin
l
l
m
mg
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非线性动力系统及混沌的基本概念
───从单摆到Duffing 方程
一、任意摆角情况下单摆的运动
A
★自由单摆的运动方程：
d 2
dt 2
g sin
l
当 很小，
O
l
线性近似：
d 2
dt 2
g
l
(sin )
m
N
按级数展开，取第一项而得.
sin 3 5
3! 5!
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若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin1 sin2
★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
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三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。
2. 相图
c. 越过该顶点继续向前运动。
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类似地，当令0=0， 02
4g l
0
cos
2
，则解为
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
结论：
对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解 可能具有不可预测的随机性。
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周期力驱动下阻尼单摆的运动方程
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：