非线性动力学-2讲解

惠更斯转入科学研究。他先后访问了伦敦和巴黎，并在巴黎获得
了普遍的尊敬。1663年，惠更斯成为英国皇家学会第一个外国会
员和并被巴黎科学院接纳为唯一的一个外国院士。在伦敦和巴黎
时，惠更斯结识了许多当时著名的科学家，包括牛顿、莱布尼兹
等。在巴黎生活的第十五年，法国和荷兰之间爆发了战争，惠更
斯不得不离开巴黎，回到故乡荷兰，过着孤独寂寞的晚年生活。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
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●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
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克里斯蒂安·惠更斯
克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens 1629-1695）是与 牛顿同一时代的科学家，是历史上最著名的物理学家之一， 他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天 文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓 者。
1629052年0/160月/18日，惠更斯在海牙逝世 .
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单摆 相
空 ➢不计空气阻力，在自然坐标系
间 下，摆球的切向运动方程为
与 相 图
mg sin
ma
ml
d2
dt 2
令
d
dt
d2
dt 2
d
dt
得摆球的运动微分方程
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g
sin
l
l
m
mg
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非线性动力系统及混沌的基本概念
Biblioteka Baidu
───从单摆到Duffing 方程
生平简介
惠更斯于1629年4月14日诞生于海牙的一个富豪之家。他的父
亲是一个杰出的诗人和外交家。惠更斯从小就喜欢钻研学问，跟
随父亲学习了数学和力学。十六时，惠更斯进入莱顿大学，后转
到布雷达大学学习法律和数学。1650年起，惠更斯开始研究光学， 同时对天文观测产生了浓厚兴趣。1655年获得法学博士学位后，
★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
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三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。
2. 相图
一、任意摆角情况下单摆的运动
A
★自由单摆的运动方程：
d 2
dt 2
g sin
l
当 很小，
O
l
线性近似：
d 2
dt 2
g
l
(sin )
m
N
按级数展开，取第一项而得.
sin 3 5
3! 5!
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若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin1 sin2
"It is so complicated that I cannot even draw the figure."
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蝴蝶效应
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为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。
c. 越过该顶点继续向前运动。
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类似地，当令0=0， 02
4g l
0
cos
2
，则解为
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
结论：
对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解 可能具有不可预测的随机性。
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周期力驱动下阻尼单摆的运动方程
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
故自由单摆为非线性振动系统：
d 2 g sin
dt2 l
令 d ，以及初始条件 ：
dt
t 0, 0, 0
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A O
l
m
N
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上式两端乘 dt ，积分上式
0
d
2
2g l
0
d
cos
得
2
2g l
2 cos2
2
1
cos0
02
通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的 一些基本特征。
●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：自由单摆（简谐振动） d 2
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方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2
2g l
2
cos2
2
1
cos0
02
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
创立组合拓扑学，还提出庞加莱猜想。
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• Poincaré
Poincarémap
created an original method to understand such systems, and discovered a very complicated dynamics,but:
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
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二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是 在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的4篇 关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。
开创了动力系统理论，1895年证明了庞加莱回归定理。
非线性动力学
姚宝恒
上海交通大学
船舶海洋与建工学院
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非线性动力系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现
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庞加莱（1854～1912） Poincar ，Jules-Henri
法国数学家。又译彭加勒。1854年4月29日生于法国南 锡，1912年7月17日卒于巴黎。1873年10月以第一名考入 巴黎综合工科学校。1875～1878年在国立高等矿业学校学 习工程。后任工程师。1879年以数学论文获博士学位。旋 即去卡昂大学理学院任讲师。1881年为巴黎大学教授，直 到去世。1887年他当选为法国科学院院士，1908年当选为 法兰西学院院士。他还多次获得法国及其他国家的荣誉和奖 励。