时钟夹角公式及其应用

时钟夹角公式及其应用

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我们知道，时钟表面的时针与分针各自绕着时钟的中心匀速转动，在不同的时刻，两针之间形成不同的角度。时钟夹角问题是一种特殊的行程问题，解题难度较大。如果能推导出时钟夹角公式，那么我们就能利用该夹角公式，可以很快地、程序化地解决这类问题。 我们先来推导时钟在任意时刻两针夹角公式。

设时钟所处的时刻是m 时x 分（m 是从0到11的整数，600<≤x ）。

先分析时针所经过的角度情况：时针每小时经过 30，m 小时共经过 m 30；时针每分钟经过 5.0，x 分钟共经过

x 5.0。故知从0时0分到m 时x 分这一段时间内，时针共经过 )5.030(x m +。

再分析分针所经过的角度情况：分针每分钟经过 6，x 分钟共经过

x 6。故知从0分到x 分这一段时间内，分针共经过 x 6。

我们由行程问题有关知识可知，当时钟所处的时刻是m 时x 分两针的夹角，相当于时针从0时0分到m 时x 分这一段时间所经过的角度与分针从0分到x 分这一段时间所经过的角度之差，由于我们不能确定时针和分针谁经过的角度谁多谁少（即不能确定两针的前后位置），所以应加上绝对值符号，为 o x m x x m 5.5306)5.030(-=-+

另外，我们在实际生活中对于两针的夹角是取小于或等于平角的角，这样我们就得到了时钟在m 时x 分这一时刻两针夹角公式： 若1805.530≤-x m ，则两针夹角为 x m 5.530-………………………………① 若1805.530>-x m ，则两针夹角为 x m 5.530360--………………………② 下面举例谈谈时钟夹角公式的应用。

一、已知时刻，利用夹角公式计算两针的夹角

例1 求7时8分两针夹角。 解：

16685.5730=⨯-⨯

例2 求2时52分两针夹角。

解：∵ 180226525.5230>=⨯-⨯

∴ 两针夹角为： 134226360=-

二、 已知两针的夹角，利用夹角公式列方程求时刻

例3 时钟在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为 45？

解：设在4时x 分两针夹角为

45。由公式①，得方程 455.5430=-⨯x

∴ 455.5120±=-x

∴ 11

713

1=x (分) 302=x （分） 答：在4时11713分或4时30分，两针夹角为 45。 例4 时钟在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为

160？

解：设在4时x 分两针夹角为 160。下面分两种情况讨论：

（1）由公式①，得方程 1605.5430=-⨯x

∴ 1605.5120±=-x

∴ 11371-=x （负值，舍去） 11

10502=x （分）； （2）由公式②，得方程

1605.5430360=-⨯-x

∴ 2005.5120=-x

∴ 2005.5120±=-x

∴ 11614

1-=x （负值，舍去） 11

2582=x （分） 答：在4时111050分或4时11258分，两针夹角为 160。 例5 时针在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为

140？

解：设在4时x 分两针夹角为 140。下面分两种情况讨论：

（1）由公式①，得方程 1405.5430=-⨯x

∴ 1405.5120±=-x

∴ 11731-=x （负值，舍去） 11

3472=x （分） （2）由公式②，得方程

1405.5430360=-⨯-x

∴ 2205.5120=-x

∴ 2205.5120±=-x

∴ 11218

1-=x （负值，舍去） 119612=x （超过60，舍去） 答：在4时11

347分，两针夹角为 140。 特别指出，如果时钟在某相邻两个整点时刻（如4时与5时）之间的某时刻两时针的夹角已知，我们要求该时刻，由于这样的时刻最多有两个（以时针为准，分针有可能在前也有可能在后），若用公式①已求出满足条件的两个时刻，那么我们就不必考虑用公式②列方程；若用公式①只求出一个时刻，那么我们还要用公式②列方程，看看还有没有另外的满足条件的时刻。