函数的奇偶性(一)资料

(3) f (x) 1 x 1
注: 1.若函数f(x)具有奇偶性其定义域必关于原点对称
(判断奇偶性的先决条件)
2.偶函数图象关于y轴对称,奇函数图象关于原点对称
3.函数f(x)是奇函数且在原点有定义，则：f(o)=o
4.f(x)=o既是奇函数又是偶函数
(既是奇函数又是偶函数 的函数有多少个?) 无数个 如:f(x)=o， x∈ (-1,1)
函数的奇偶性(一)
y
1
-1O 1
x
y
y=x2
2
0 1
x
f(x)=2x
y
-1 0 1
x
-1
观
察
y=︱x︱ 图
象
，
有
何
特
点
？
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2
f(1)=__1___ f(-1)=_1____ f(2)=__4___ f(-2)=_4____
x
f(x0)=__x_02__ f(-x0)=_x_02___
由①、②、③可知，当x∈R时，都有f(-x)=-f(x) ∴函数f(x)为奇函数．
判断奇偶性的步骤： （1） 考查定义域是否关于原点对称 （2）判断f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x)是否成立
(可通过举反例的方式否定函数具有奇偶性.)
思考
（１） f (x) x 1 1 x
y = f(x)的图象
关于y轴对称
y
A’
A(x0，f (x0))
-x0 O
x0
x
点A关于y轴的对称点A’的坐标是(－x0，f (x0)) _____________. 点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗？
点A’的坐标还可以表示为(－__x_0_，__f_(_－__x_0_))__.
你发现了什么？
函数f(x)的图 象关于原点 中心对称
y
f x0
A
x0 o x0 x
A’ f x0
点A关于原点的对称点A’的坐标是(_-x_0_，__-f_(_x_0)_)____.
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗？
点A’的坐标还可以表示为_(_-_x_0，__f _(-_x_0)_)____.
（２）f(x)=a (a∈R) （3）f(x)=x3+5x
（4）f(x)=3x5+x3+5x
思考题
1、当__b=_0_时一次函数f(x)=ax+b是奇函数
2、当__b=_0_ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0） 是偶函数
再见
根据下列函数图象，判断函数的奇偶性
图象
法
y
y
y
-1 0 1
x
-1
-1 0 1
x
-1
2
1
-1 0 1
wk.baidu.com
x
-1
奇函数
偶函数
偶函数
判断下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1) f(x)=x2-1
(2) f(x)=2x (3) f(x)=2︱x︱
(4) f(x)=(x-1)2
x2 2x 3 (x 0)
（5）证明： f (x) 0
(x 0)
x2 2x 3 (x 0)
（４）函数f(x)=(x-1)2的定义域是R，
关于原点对称，
∵f(1)=0, f(-1)=4
∴ f (1) f (1), f (1) f (1) 故根据函数的奇偶性定义知，函数 f(x)=(x-1)2既不是奇函数又不是偶函数.
y
o1
x
证明：f(x)的定义域为Ｒ，关于原点对称， ①当x>0时，-x<0 ∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x) ②当x<0时，-x>0 ∴f(-x)=(-x)2 -2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x) ③x=0时，-x=0 f(x)=f(0)=0 , f(-x)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x)
偶函数与奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=x2
定义 法
(2) f (x) 2x