2012年高考真题——数学理(湖北卷)解析版

解析：令 ，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为 ，围成OC为 ，作对称轴OD，则过C点。 即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积， 。在扇形OAD中 为扇形面积减去三角形OAC面积和 ， ， ，扇形OAB面积 ，选A.
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
（Ⅰ）双曲线的离心率 ；
（Ⅱ）菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 .
考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）由于以 为直径的圆内切于菱形 ，因此点 到直线 的距离为 ，又由于虚轴两端点为 ， ，因此 的长为 ，那么在 中，由三角形的面积公式知， ，又由双曲线中存在关系 联立可得出 ，根据 解出
在△ 中，易得 ，所以△ 是正三角形，
故 ，即 与平面 所成角的大小为
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误天数
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：
难易度：★
解析： ，则 或 ， ，又 ，
所以共有6个解.选C.
10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 .人们还用过一些类似的近似公式.根据 判断，下列近似公式中最精确的一个是
难易度：★★★
解析：
（Ⅰ）如图1，设 ， ，则由 ，
棱 上确定一点 ，使得 ，并求 与平面 所成角的大小．
第19题图
考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。
难易度：★★
解析：
（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ 中，设 ，则 ．
又 ，所以 面 .又 面 ，所以 .
因为 当且仅当 ，而点F是唯一的，所以点 是唯一的.
即当 （即 是 的靠近点 的一个四等分点）， ．
连接 ， ，由计算得 ，
所以△ 与△ 是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取 的中点 ，连接 ， ，
则 平面 ．在平面 中，过点 作 于 ，
则 平面 ．故 是 与平面 所成的角．
5．设 ，且 ，若 能被
13整除，则
A．0B．1
C．11D．12
考点分析：本题考察二项展开式的系数.
难易度：★
解析：由于
51=52-1， ,
又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.
6．设 是正数，且 ，
， ，
则
A． B．
C． D．
考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.
难易度：★ห้องสมุดไป่ตู้
解析：等比数列性质， ，① ；② ；③ ；④ .选C
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A． B．
C． D．
考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.
难易度：★
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有 种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
难易度：★
解析：根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为 .
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为
A． B．
C． D．
考点分析：本题考察空间几何体的三视图.
难易度：★
解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 .选B.
由 ， 知，△ 为等腰直角三角形，所以 .
由折起前 知，折起后（如图2）， ， ，且 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ．于是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 ，即 时,三棱锥 的体积最大．
解法2：
同解法1，得 ．
令 ，由 ，且 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最大值．
故当 时,三棱锥 的体积最大．
考点分析：考察余弦定理的运用.
难易度：★
解析：
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .
考点分析：本题考查程序框图.
难易度：★★
解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.
第二圈循环:当n=2时，得s=4，a=5
第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7
（Ⅱ）解法1：以 为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系 ．
由（Ⅰ）知，当三棱锥 的体积最大时， ， ．
于是可得 ， ， ， ， ， ，
且 ．
设 ，则 .因为 等价于 ，即
，故 ， .
所以当 （即 是 的靠近点 的一个四等分点）时， ．
设平面 的一个法向量为 ，由 及 ，
得 可取 ．
设 与平面 所成角的大小为 ，则由 ， ，可得
法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导 ,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此 ,则答案为 .
14．如图，双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为 ， .若以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 .则
（Ⅰ）工期延误天数 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是 的条件下，工期延误不超过6天的概率.
考点分析：本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。
难易度：★★
解析：
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
，
.
.
所以 的分布列为：
0
2
6
10
0.3
0.4
0.2
0.1
于是， ；
.
故工期延误天数 的均值为3，方差为 .
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围.
考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。
难易度：★
解析：（Ⅰ）因为
.
由直线 是 图象的一条对称轴，可得 ，
A． B． C． D．
考点分析：考察球的体积公式以及估算.
难易度：★★
解析：
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
11．设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ，则角 ．
所以 ，即 ．
又 ， ，所以 ，故 .
所以 的最小正周期是 .
（Ⅱ）由 的图象过点 ，得 ，
即 ，即 .
故 ，
由 ，有 ，
所以 ，得 ，
故函数 在 上的取值范围为 .
18．（本小题满分12分）
已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 .
（Ⅰ）求等差数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和.
难易度：★★
解析：由于
等号成立当且仅当 则a=t x b=t y c=t z，
所以由题知 又 ，答案选C.
7．定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍
是等比数列，则称 为“保等比数列函数”.现有定义在 上的如下函
数：
① ；② ；③ ；④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为
A．①②B．③ ④C．① ③D．② ④
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试卷解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．方程 的一个根是
A． B． C． D．
考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根.
难易度：★
解析：根据复数求根公式： ，所以方程的一个根为
，即 ．
故 与平面 所成角的大小为
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥 的体积最大时， ， ．
如图b，取 的中点 ，连结 ， ， ，则 ∥ .
由（Ⅰ）知 平面 ，所以 平面 .
如图c，延长 至P点使得 ，连 ， ，则四边形 为正方形，
所以 .取 的中点 ，连结 ，又 为 的中点，则 ∥ ，
所以 .因为 平面 ，又 面 ，所以 .
考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。
难易度：★★
解析：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ， ，