渐开线与摆线 课件
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渐开线与摆线ppt
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
渐开线与摆线 课件
x＝3cos
y＝3sin
ππ 2 ＋ 2 sin ππ 2 － 2 cos
ππ22 ，，即xy＝＝33.2π，
所以当参数 φ 取π2 时对应的曲线上的点的坐标是32π，3.
答案：3 3π2 ，3
例 2 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数 方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， ∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)． 由于 r 表示圆的半径，故 r>0，∴r＝2k1π(k∈N*)
又 0≤t≤2π，
∴t1＝π2 ，t2＝3π2 .当
π t1＝ 2 时，
π ππ
π
x＝ 2 －sin 2 ＝ 2 －1，y＝1－cos 2 ＝1.
∴Aπ2 －1，1.当 t2＝3π2 时， x＝3π2 －sin3π2 ＝32π＋1， y＝1－cos3π2 ＝1，∴B3π2 ＋1，1. 故 A，B 两点间的距离为 |AB|＝ 3π2 ＋1－π2－12＋（1－1）2＝ （π＋2）2＝π＋2.
答案：C
易错点：对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误 【易错点辨析】渐开线和摆线的概念虽有相似之处，但它们的本 质完全不同，渐开线的本质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹， 摆线的本质是一个圆沿着一条定直线无滑动的滚动时圆周上一个定 点的轨迹，在运用时往往因理解不透导致判断错误．
例 2 半径为 2 的圆的渐开线的参数方程是( )
【易错点解析】圆的渐开线的参数方程为
x＝a（cos θ＋θsin θ），
y＝a（sin
θ－θcos
θ）
(θ
为参数)，摆线的参数方程为
高三数学渐开线与摆线(共8张PPT)
B 所以，摆线的参数方程为：
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
返回
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返回
返回
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线
探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图 形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不 同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实 质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立 平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实 际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线 的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆 叫做渐开线的基圆.
渐开线与摆线 课件
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴 正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆 叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线 ．
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝ ＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
高三数学渐开线与摆线(PPT)3-1
1、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AºB，
融化冰层，那么探测任务将就此走向终结。香港理工大学和匈牙利格拉兹威尔特劳姆福斯特研究所设计出将钻探技术和融化方法完美融为一体的创新方法。 他们提出的“热钻”（thermaldrill）系统原型机在实验中表现不俗，实验结果刊登在8年7月出版的《行星和空间科学》杂志上[]。重大发现木卫二木卫二(张) 年9月7日，NASA宣布了一个重大发现，科学家们观测到木星的第四大卫星“木卫二欧罗巴”有水汽喷发，而有水就有可能有生命存在。哈勃望远镜观测到欧 罗巴表面的水蒸气柱沿7点钟方向向外喷出。这是木卫二冰层下有液态海洋的强有力证据，能为孕育生命创造有利条件。研究者们计算了欧罗巴的海洋中，当 海水与岩石相互作用时可能产生的氢气的含量，这个过程被称为蛇纹石化作用。在此过程中，水渗透入矿物颗粒之间的空隙并与岩石发生反应，形成新的矿 物质并释放氢气。研究者们认为：随着时间的推移，欧罗巴海底会有一些裂缝，因为从这颗星球形成数十亿年以来，它的岩石内部依旧保持着低温。
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AºB，
融化冰层，那么探测任务将就此走向终结。香港理工大学和匈牙利格拉兹威尔特劳姆福斯特研究所设计出将钻探技术和融化方法完美融为一体的创新方法。 他们提出的“热钻”（thermaldrill）系统原型机在实验中表现不俗，实验结果刊登在8年7月出版的《行星和空间科学》杂志上[]。重大发现木卫二木卫二(张) 年9月7日，NASA宣布了一个重大发现，科学家们观测到木星的第四大卫星“木卫二欧罗巴”有水汽喷发，而有水就有可能有生命存在。哈勃望远镜观测到欧 罗巴表面的水蒸气柱沿7点钟方向向外喷出。这是木卫二冰层下有液态海洋的强有力证据，能为孕育生命创造有利条件。研究者们计算了欧罗巴的海洋中，当 海水与岩石相互作用时可能产生的氢气的含量，这个过程被称为蛇纹石化作用。在此过程中，水渗透入矿物颗粒之间的空隙并与岩石发生反应，形成新的矿 物质并释放氢气。研究者们认为：随着时间的推移，欧罗巴海底会有一些裂缝，因为从这颗星球形成数十亿年以来，它的岩石内部依旧保持着低温。
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
渐开线与摆线 课件
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
参数方程
复习课
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个的变点数Mt的(x 函，数y)都xy＝＝在fgt这t，，条①并曲且线对上于，t的那每么一个方允程许组值①，就由方叫程做组这①条所曲确线定 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4(优秀经典公开课比赛课件)
(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点 和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )
思维提升
所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
3 3
((csoins������������-+������c���o���ss���in���)���,���),所以基圆半径
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
2.渐开线上任一点M的坐标由圆心角(以弧度为单位)唯一确定, 而在圆的摆线中,圆周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定.
3.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,既烦琐又 没有实际意义.
做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( )
思维提升
所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
3 3
((csoins������������-+������c���o���ss���in���)���,���),所以基圆半径
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
2.渐开线上任一点M的坐标由圆心角(以弧度为单位)唯一确定, 而在圆的摆线中,圆周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定.
3.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,既烦琐又 没有实际意义.
做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( )
高中数学课件《渐开线与摆线》28页PPT
高中数学课件《渐开线与摆 线》
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
Байду номын сангаас
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
第2讲2.4渐开线与摆线
因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆 线 . 也叫旋 轮 线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)， 【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二 渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】 要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义， 能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)， 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应 的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．
高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt
cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
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令 r(1－cosφ)＝0 可得 cosφ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1. 所以 r＝21kπ. 又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r＞0. 所以，应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N＋.
所以ห้องสมุดไป่ตู้所求摆线的参数方程是yx＝＝2211kkππφ1－－csionsφφ，
[思路点拨]
[解题过程] 令 y＝0，可得 a(1－cosφ)＝0， 由于 a＞0，所以 cosφ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝a(φ－sinφ)，得 x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，所以 a(2kπ－sin2kπ)＝2，解得 a＝k1π(k∈Z)． 又由实际可知 a＞0，所以 a＝k1π(k∈N＋)， 易知当 k＝1 时，a 取最大值π1代入，
除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的 摆线，它们已经被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减 速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及多边形 切削等方面．如果你有兴趣，可以查找相关资料，进一步了解 摆线的知识．
2．渐开线和摆线参数方程中参数的几何意义
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字 母a是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定 点P相对于圆心的张角．
x＝cosφ＋φsinφ， y＝sinφ－φcosφ
(φ 为参数)
当 φ＝π2时，yx＝＝scionsπ2π2－＋π2π2csoinsπ22π＝＝1π2，，
∴Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， ∴B－32π，－1.∴|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12＝2 π2＋1.
(φ 为
参数)(其中 k∈N＋)．
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应
的曲线上两点 A，B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间
的距离． [思路点拨]
渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标
―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(φ 是参数)
2．摆线及其参数方程 (1)当一个圆沿着一条定直线__无__滑__动__地_滚动时，圆周上的 _定__点__运__动__的轨迹叫做_半__摆__线__，简称_摆__线__，又叫做_旋__轮__线__． (2)设圆的半径为 r，圆滚动的角为 φ，那么摆线的参数方 程是xy＝ ＝rrφ1－－csionsφφ (φ 为参数)
得圆的摆线的参数方程xy＝＝π1π1φ1－－csionsφφ，
(φ 为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程xy＝ ＝rrφ1－－csionsφφ， (φ 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方程即可写 出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．
平摆线和渐开线参数方程的应用
4．已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数 方程．
解析： 根据圆的摆线的参数方程的表达式
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ 为参数)可知，只需求出其中的 r，也
就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把
点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式．
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线， 我们以基圆圆心 O 为原点，一条直径所在直线为 x 轴建立直角 坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到，圆 的渐开线的参数方程为xy＝ ＝rrcsionsφφ－＋φφcsoinsφφ， (φ 为参数)．
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的 半径最大时该摆线的参数方程．
设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴 相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线 上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
[思路点拨] (1)列出轨迹方程； (2)根据图象找出最大值点； (3)得曲线的对称轴
[解题过程]
那么其横坐标可能是( )
A．π
B．3π
C．6π
D．12π
解析： 根据条件可知圆的摆线的参数方程为
x＝3φ－3sinφ， y＝3－3cosφ
(φ 为参数)，把 y＝0 代入，得 cosφ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)．而 x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．
答案： C
3．已知圆的渐开线的参数方程是xy＝＝csionsθθ－＋θθcsoinsθθ， (θ 为 参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________；当参数 θ＝ π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．
轨
迹
曲
线
的
参
数
方
程
为
x＝8t－sint y＝81－cost
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
第一拱(0≤t≤2π)的对称轴为 x＝8π.
[规律方法] 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑 其性质与三角函数的性质有类似的地方．
1．在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力．由于渐开 线齿形的齿轮磨损少，传动平稳制造安装较为方便，因此大多 数齿轮采用这种齿形．设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开 线方程．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母a是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一 定点运动所张开的角度大小．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一 样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不 同，画出的渐开线形状就不同
解析： A．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆，正方形 也有渐开线
渐开线与摆线
1．渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离 开_圆__周__，保持线与圆相切，_线__头__的轨迹就叫做圆的渐开线， 相应的_定__圆__叫做渐开线的_基__圆__．
(2)设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程为
x＝rcosφ＋φsinφ y＝rsinφ－φcosφ
解析： 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从
方程不难看出，基圆的半径为 1，故直径为 2.欲求当 φ＝π4时对
应的坐标只需把 φ＝π4代入曲线的参数方程，得 x＝ 22＋ 82π，y
＝ 22－ 82π，由此可得对应的坐标为 22＋ 82π， 22－ 82π.
答案：
2
22＋
82π， 22－
2π 8
B两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同 的，因此得到的图形也不相同
C．同A项解析 D．对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系， 画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同 答案： C
2．圆xy＝＝33csionsθθ， (θ 为参数)的摆线上一点的纵坐标为 0，