高中数学竞赛讲义_平面向量

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【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，BC CA AB >>.则（）. A ．OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅. B ．OA OB ⋅>OB OC ⋅>OA OC ⋅. C ．OB OC ⋅>OA OC ⋅>OA OB ⋅ D ．OA OC ⋅>OB OC ⋅>OA OB ⋅ 【答案】A 【解析】【详解】设ABC ∆的外接圆半径为R .则2cos2O R A OB C ⋅=,2cos2O R B OC A ⋅=,2cos2O R A OC B ⋅=.又由BC CA AB >>，可知sin sin sin 0A B C >>>.故22212sin 12sin 12sin A B C -<-<-，即cos2cos2cos2A B C <<.所以OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅.2．（2019·全国·高三竞赛）设P 为ABC ∆所在平面内一动点.则使得PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取得最小值的点P 是ABC ∆的（）. A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】C 【解析】【详解】注意到()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅222()32()3()33AB AC AB AC PA AB AC PA AB AC PA AB AC ++=++⋅+⋅=+-+⋅①当3AB ACPA +=，即P 为ABC ∆的重心时，式①取得最小值2()3AB AC AB AC +-+⋅.故答案为C3．（2018·全国·高三竞赛）设H 是ABC ∆所在平面上的一点，用a 、b 、c 、h 分别表示向量OA 、OB 、OC 、OH ．若⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h c a b h ，则H 是ABC ∆的．A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】【详解】由⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h ，得0⋅+⋅-⋅-⋅=a b c h b c a h ，即()()0-⋅-=a c b h ．所以0CA HB ⋅=,则HB CA ⊥．同理，HA BC ⊥．4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC ∆的边上做匀速运动的三个点P 、S 、R ，当0=t 时，分别从A 、B 、C 出发，当1t s =时，恰好同时到达B 、C 、A ．那么，这个运动过程中的定点是PQR ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】D 【解析】【详解】依题意知AP BS CR AB BC CA λ===，设G 为PSR ∆的重心，则1(),3AG AP AS AR =++ 11[1)]()33AB AB BC AC AB AC λλλ+++-=+（. 所以，G 为ABC ∆的重心. 故答案为D5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，52CD =，且90ADC ABC ∠=∠=︒.则BC AD→⋅→等于（）.A ．25334+B ．27334+C ．338+D ．29334+【答案】B 【解析】【详解】如图由勾股定理得225435222AC CD =+==⨯=，且90ADC ∠=︒，则30CAD ∠=︒. 又因90ADC ABC ∠=∠=︒，所以，A 、B 、C 、D 四点共圆. 联结BD ，则903060ABD ACD ∠=∠=︒-︒=︒. 设BAC α∠=（α为锐角），则3sin 5α=，()4cos 0605αα=︒<<︒. 作矩形CBAF ，则AF BC =，()903060FAD αα∠=︒-+︒=︒-.故()cos 3sin cos 60sin BC AD AF AD AF ADAB FAD ABD ADB α⎡⎤→⋅→=→⋅→=→⋅→∠=⋅∠︒-⎢⎥∠⎣⎦()413273sin60cos sin 33sin 90224ααα⎡⎤=⨯⋅︒+=+⎢⎥︒-⎣⎦.选B.编者注：此题用复数法解答比较简洁.6．（2018·全国·高三竞赛）已知P 为△ABC 内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆等于.A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:2D ．4:3:2【解析】【详解】如图，延长PA 至D ，使PD=2PA ；延长PB 至E ，使PE=3PB ；延长PC 至F ，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0.从而，P 为△DEF 的重心.于是，有 11113433436PBC PEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11114234224PCA PFD DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11112332318PAB PDE DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯. 故111::::2:3:4362418PBC PCA PAB S S S ∆∆∆==.7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，向量12a xe ye =+，且12x ≤≤，12y ≤≤，设向量a 与1e 的夹角为α，则cos α的最大值为（）．A 6B 6C 57D 27【答案】C 【解析】【详解】由题意有2212cos x y x xy y α+=++ 则22222221344cos 11x xy yx xy y x x y y α++==-++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为1,22x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2425cos ,728α⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以max 517cos α=8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量OA 、OB 满足OA a =，OB b =，且224a b +=，0⋅=OA OB .若向量(),OC OA OB λμλμ=+∈R ，且222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则OC 的最大值是（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C 【解析】【详解】因为OA a =，OB b =，且224a b +=，OA OB ⊥，所以，O 、A 、B 三点在以AB 的中点M 为圆心、1为半径的圆上. 又()12OM OA OB =+，OC OA OB λμ=+，则 11=22MC OC OM OA OBλμ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故21112222MC OA λλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22221111222OA OB OB a b μλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而，点C 也在以M 为圆心，1为半径的圆上. 因此，O 、A 、B 、C 四点共圆，其圆心为M .当O 、M 、C 三点共线，即OC 为M 的一条直径时，max 2OC =.9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是AD 边上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的标上恰有6个不同的点P ，使PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围是A ．()8,8-B ．()1,24-C ．()1,8-D ．()0,8【答案】C 【解析】如图建立直角坐标系，()()()()0,0,8,4,0,2,,A M N P x y .由题意得：()()228,4,2868PM PN x y x y x x y y m ⋅=--⋅--=-+-+= ()()224317x y m ⇔-+-=+.即以()4,3为圆心，17m +为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知()41751,0m m <+<⇒∈-.二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=__________.【答案】4 【解析】【详解】解法一：因为()11213333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+，所以CP CA CP CB ⋅+⋅=22218443333CA CB +=+=. 解法二：以C 为原点，CA 、CB 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A （2，0）， B （0，2），P （43，23），有()2,0CA =，()0,2CB =，42,33CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以CP CA CP CB ⋅+⋅= 84433+=. 故答案为411．（2019·全国·高三竞赛）设ABC ∆的面积为1，边AB 、AC 的中点分别为E 、F ，P 为线段EF 上的动点，则2f PB PC BC =⋅+的最小值为__________．【答案】3 【解析】【详解】作PD BC ⊥于点D.设BC a =.如下左图，当点D 位于线段BC 或CB 的延长线上时， ()()f PD DB PD DC =+⋅++2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 221234a a h a ah ≥+>=>. 如下右图，当点D 位于边BC 上时， ()()f PD DB PD DC =+⋅++ 2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 2214a h DB DC a ≥-+ 2222231334442a a a a h a h a ah +≥-+=≥= 当D 为线段BC 的中点以及23a =时，上式等号成立. 综上，min 3f =. 故答案为312．（2019·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=.若ABC S ∆1=,则PAB S ∆=______. 【答案】13【解析】【详解】设O 为原点.则()()()OA OP OB OP OC OP PA PB PC -+-+-=++ ()22AB OB OA ==-,即()3OA OP OB OC -=-. 故3PA CB =.得PA BC ,且3BC PA =. 所以,PABS=11=33ABC S ∆. 故答案为1313．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知2,3,4AB AC BC ===，设0为△ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+.则λ+μ=________．【答案】79【解析】【详解】设AO 与BC 交于点D. 由角平分线定理知23BD AB DC AC ==. 于是，3255AD AB AC =+. 又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD ===+=，则 512939AO AD AB AC ==+ ()1239AB AB BC =++ 5299AB BC =+. 因此，79λμ+=. 故答案为7914．（2021·全国·高三竞赛）已知向量(cos ,sin ),(2,7)a b αα==，则|2|a b +的最大值是___________．【答案】5【解析】【详解】|2|2||||235a b a b +≤+≤+=，当14tan 2α=时等号成立故答案为：5.15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体ABCD 中，设14AE AB =，14CF CD =，记DE 和BF 所成的角为θ．则cos θ=______．【答案】413- 【解析】【详解】设正四面体棱长为4．则()()224cos43BF DE BC CF DA AE CF DA BC AE π⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯=-．而222cos133BF DE BC CF BC CF π==+-=，则4cos 13BF DE BF DEθ⋅==-⋅．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知G 是ABO 的重心，若PQ 过点G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====，则11m n+=_____.【答案】3 【解析】【详解】由1()2OM a b =+，可知21()33OG OM a b ==+.由P 、G 、Q 三点共线有PG GQ λ=.而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+,111()(),333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-故11113333m n λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为、a b 不共线，所以，11331133m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩. 解得3mn m n =+.故113m n+=. 故答案为317．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】【分析】【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+．注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥．同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a b c x 、、、，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为________．【答案】4 【解析】【分析】【详解】单位向量a b c 、、满足0a b c ++=，则有2,,,3a b b c c a π===，不妨设四个向量如图所示，分别为OA OB OC OX 、、、，X 在单位圆O 的AB 上．设||,||AX m BX n ==，则有223m n mn ++=，故有22()()334m n m n mn ++=+≤+，即有2m n +≤，故||||||||224y x a x b x c m n x c =-+-+-=++-≤+=．故答案为：4.19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A 满足1||2OA =，B 、C 是单位圆O 上的任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是__________．【答案】1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】【详解】(221()()()2AC BC OC OA OC OB OC OA OB OC ⋅=-⋅-=++--)222211()28OA OB OCOA CB --=+-. 又150||||||222OA CB OA CB ≤+≤+≤+=，取等可以保证，故所求范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．（2020·浙江·高三竞赛）已知a ，b 为非零向量，且1a a b =+=，则2a b b ++的最大值为__________. 【答案】22【解析】解法一设()1,0a =，()cos 1,sin b θθ=-，则(cos 2cos sin222a b b θθ⎛⎫==+≤ ⎝++⎪⎭解法二设m an a b =⎧⎨=+⎩，则2a b n m a n m⎧+=+⎨=-⎩，且1n m ==，所以()()222222422a b b n m n m n m n mn m++=++-≤++-=+=故答案为：21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=，则2m n n ++的最大值是_____．【解析】【分析】【详解】设()()2,0,22cos ,2sin m m n x x =+=，则()cos 1,sin n x x =-．则：|2|||(cos m n n x ++===.当且仅当102cos 3(22cos )3x x +=-，即1cos 3x =.. 22．（2021·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面内一点，满足3PA PB PC AB ++=，若PAC △的面积为1，则PAB △的面积为__________.【答案】12【分析】【详解】因为3PA PB PC AB ++=，所以33PA AB AC AB ++=，即1322()2PA AB AC AB AC =-=-，记AC 的中点为M ，于是23PA MB =，因此1122PAB PAM PAC S S S ===.故答案为：12.23．（2021·全国·高三竞赛）已知、、A B C 为ABC 三内角，向量cos,3sin ,||222A B A B αα-+⎛⎫== ⎪⎝⎭.如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||||MA AB MB 、、∣成等差数列，则||||MC AB 最大值为________.【解析】【分析】【详解】 2213||2cos 3sin 2cos()cos()22222A B A B A B A B α-+=⇔+=+--+= 1cos()3cos()2sin sin cos cos tan tan 2A B A B A B A B A B ⇔-=+⇔=⇔=， tan tantan tan()2(tan tan )tan tan 1A BC A B A B A B +=-+==-+≤---，等号成立仅当tan tan 2A B ==. 令||2AB c =，因||||4MA MB c +=，所以M 是椭圆2222143x y c c +=上的动点.故点C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设(,)M x y ，则： 22222224||432c MC x y c y y ⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭221932c y =-+，||y ≤.当3y c =-时，22max max 72661||,||22MC c MC c ++==. 即max||2324||MC AB +=.故答案为：2324+. 24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，32,5,cos ,5CAB AB AC D ===∠是边BC 上一点，且2BD DC =．若点P 满足BP 与AD 共线，PA PC ⊥，则||||BP AD 的值为_________．【答案】34或316【解析】【分析】【详解】因为2BD DC =，所以2()AD AB AC AD -=-，即1233AD AB AC =+．因为BP 与AD 共线，所以存在实数λ，使得BP AD λ=．因为1233AD AB AC =+，所以233BP AB AC λλ=+，从而2213333PA PB BA AB AC AB AB AC λλλλ⎛⎫=+=---=-+- ⎪⎝⎭21133PC PA AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫=+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222422111133333PA PC AB AB AC AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++-⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为32,5,cos 5AB AC CAB ==∠=，所以2234,25,2565AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=，所以24221411612533333PA PC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⨯++-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2128829λλ=--．因为PA PC ⊥，所以0PC PA ⋅=，即21288209λλ--=，解得34λ=或316λ=-．因此||3||4||BP AD λ==或316．故答案为：34或316.25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量a b a b +、、的模均在区间[]2,4内，则a b ⋅的取值范围是_________．【答案】[]14,4- 【解析】【分析】【详解】222222()||||2441422a b a b a b +----⋅=≥=-．等号成立当且仅当||||4,||2a b a b ==+=时成立．取边长为4、4、2的等腰OAB ，其中2AB =．令,OA a BO b ==即可．又222()()4444a b a b a b +--⋅=≤=．取(2,0)a b ==，等号成立．故答案为：[]14,4-.26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P (－2，5)在圆22:220C x y x y F +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于A 、B 两点，则AB BC →→⋅=____________ .【答案】32- 【解析】【详解】由已知求得圆C ：(x －1)2+(y －1)2=52到直线l 的距离为3，从而4||5,||8,cos 5BC AB ABC ==∠=. 所以||||cos()32AB BC AB BC ABC π⋅=-∠=-. 故答案为：32-．27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，点O 为△ABC 的外心，已知2220b b c -+=，那么BC AO ⋅的取值范围是____________ .【答案】1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】延长AO 交△ABC 的外接圆于D ，得到 BC AO AO AC AO AB ⋅=⋅-⋅1122AD AC AD AB =⋅-⋅ ()2212b c =-21124b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为2220c b b =-+>，所以b ∈(0，2)，故1,24BC AO ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭.故答案为：1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .【答案】－3 【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系设C (1，0)，则1313,,,2222B A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1313,,,2222D E ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是13(1,0),22AB DC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3)(1,3)(0,23)AD BE +=-+--=-，于是33()()(0,23)32AB DC AD BE ⎛+⋅+=⋅-=- ⎝⎭.故答案为：3-．29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量,,a b c 满足()||:||:||1::3a b c k k +=∈Z ，且b a -=2()c b -，若α为,a c 的夹角，则cos α=_______ .【答案】112- 【解析】【详解】因为2()b a c b -=-，所以1233b a c =+，所以222144999b a c a c =++⋅.因为||||:||1::3a b c k ==，所以2144cos (2,6)93k α=++∈. 又因为k ∈Z +，所以k =2，所以1cos 12α=-.故答案为：112-．30．（2018·山东·高三竞赛）在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+．若8AB =，则AD =______．【答案】63 【解析】【详解】过点D 作DE AB 交AC 于点E ，DF AC 交AB 于点F ，由题设14AD AC t AB AE AF =+=+，所以14AE AC =，13AE EC =，AF t AB =．因此13AE BD BF AB EC CD FA AC ====，所以24AC =，334FA BF AB ==，因此34t =．所以22131313444444AD AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22196108161616AC AB AC AB =++⋅=．由此得63AD =31．（2018·河北·高三竞赛）设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式： 23=AOBBOC COAABCSS SS++_____.【答案】116【解析】【详解】将OA 2OB 3OC 32CA AB BC ++=++化为3OA OB 2OC 0++=，()()OA OB 2OA OC 0+++=.设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则OM 2ON =-. 设△ABC 的面积为S ，由几何关系知12BOCS S =，13AOHS S =，16AOCS S =，所以23116AOBBOC COAABCSS SS++=.32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC中，已知AC BC ==D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AD =DB=EF=1．若25·16DE DF ≤，则·EF BA 的取值范围是_______．【答案】423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【详解】以D 为原点、射线DB 和DC 分别为x 和y 轴正方向建立平面直角坐标系.则 A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).设点()()1122,,,E x y F x y ，其中，112222,22y x y x =-+=+.设线段EF 的中点为()00,M x y .则()121201212024,22.2y y x x x y y x x y ⎧-=-+=-⎪⎨+-==-⎪⎩ 由EF=1，得()()2200421x y -+-=. ①故()()2200041201 3.x y y -=--≥⇒≤≤ ②又()()222221125·4416DE DF DE DF DE DF DM EF DM ⎡⎤=+-+=-=-≤⎢⎥⎣⎦ 222002929.1616DM x y ⇒≤⇒+≤ ③ 将式①代入式③，消去0x ，整理得220002984154321653y y y --≤⇒-≤≤. ④ 综合式②、④得041.3y ≤≤于是，12312x x ≤-≤. 故()()()2121124·,?1,02,23EF BA x x y y x x ⎡⎤=---=-∈⎢⎥⎣⎦. 33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点()1,0A -，(B ，动点C 在圆()2234x y -+=上运动，则OA OB OC ++的最大值为_________．2 【解析】【详解】令()[)()32cos ,2sin 0,2C θθθπ+∈，则(2OA OB OC ++=()()()2222232cos 2sin 72θθ≤+++=+.当且仅当点()3,2与()2cos ,2sin θθ的连线过原点O 时，上式等号成立.这显然是可以取得的.34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，已知O 为BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且6AM =，4MB =，4AN =，3NC =，90MON ∠=︒．则cos A =______．【答案】38【解析】【详解】令AB a =，AC b =．则10a =，7b =．因为O 为BC 的中点，所以，1122AO a b =+．由题意知35AM a =，47AN b =．故31111522102OM AM AO a a b a b ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，41111722214ON AN AO b a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭．由90MON ∠=︒，知11110102214OM ON a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221910203528a a b b ⇒-+⋅-=191100107cos 490203528A ⇒-⨯+⨯⨯-⨯= 3cos 8A ⇒=．故答案为3835．（2018·全国·高三竞赛）已知D 为ABC 边AB 上的一点, P 为ABC 内一点,且满足3D 4A AB =,25AP AD BC =+.则APD ABCS S =△△ ______. 【答案】310【解析】【详解】注意到, 1sin 23232154510sin 2APD ABC AD DP ADP S DP BC DP BC ADP B S AB BC B ∠=⇒⇒∠=∠⇒==⨯= 36．（2018·全国·高三竞赛）已知O 是ABC 的外心.若AB AC =,30CAB ∠=︒,且12CO CA CB λλ=+,则12λλ=______.【答案】12【解析】【详解】不妨设2AB =.以A 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.则()())0,0,2,0,A BC . 设外心为()O 1,y .由C OA O =，得())()222111y y+=+-.解得2y =则(()()12121121CO CA CB λλλλ==+=-+-.解得13,λ= 22λ=.故1212λλ=.37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知∠A=120︒，记向量,cos cos BABCBA A BC C α=+.cos cos CACBCA A CB B β=+则α与β的夹角等于________.【答案】60︒【解析】【详解】注意到1221IG F F IG PF IG PF ⋅=⋅-⋅，即,CA BA αβ⊥⊥.从而，α与β的夹角与∠A 相等或互补.又11.cos ?cos cos cos cos cos ?cos BA CBBC CBB C ABA CB A B BC CB B C αβ⋅⋅⋅=+=--⋅⋅⋅ 显然，cos cos cos 0.B C A ⋅>->则0.αβ⋅>因此，α与β的夹角等于60.︒38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设G H 、分别为ABC ∆的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，ABC ∆外接圆的半径1R =．则222AF BF CF ++ =_______．【答案】3【解析】【详解】以ABC ∆的外心O 为原点建立平面直角坐标系.于是， O H OA OB OC =++，()1 3OG OA OB OC =++. 则()()1223OF OG OH OA OB OC =+=++. 故222AF BF CF ++()()()()()()OA OF OA OF OB OF OB OF OC OF OC OF =-⋅-+-⋅-+-⋅- ()22223OA OB OC OA OB OC OF OF OF =++-++⋅+⋅2223OA OB OC =++=39．（2019·全国·高三竞赛）如图，M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且AM CN AC CE λ==，若B 、M 、N 三点共线，则λ=______.3【解析】【详解】延长EA 、CB 交于点P ，设正六边形边长为1，易知2PB =，A 为EP 的中点，3EA AP ==，由AM AC λ=，可得(1)CM CA λ=-，又3CP CB =，CA 是PCE ∆边PE 上的中线，CN CE λ=，则有1()2CA CE CP =+，即113122λλ=+-，整理得CM ()31122λλλ--=+，因为当B 、M 、N 三点共线时，存在实数t 使得(1)CM t CN tCB =-+，故()311122λλλ--+=，解得λ=40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____.【答案】45± 【解析】【详解】由题设知，关于x y 、的二次多项式222250x y xy x y k +-+++=可以分解为两个一次因式的乘积.因()()2222522x y xy x y x y +-=-+-+，所以，()()2222522x y xy x y k x y a x y b +-+++=-++-++，其中，a b 、为待定的常数.将上式展开后比较对应项的系数得,21,21ab k a b b a =--=+= .解得1,1,1a b k ==-=-.再由210,210,x y x y -++=⎧⎨-+-=⎩得两直线斜率为121,22k k ==，交点()1,1P . 设两直线的夹角为θ（θ为锐角）.则212134tan ,cos 145k k k k θθ-===+.故PA PB ⋅cos PA PB θ=⋅ 或()4cos 180cos 5PA PB PA PB θθ⋅︒-=±⋅=±. 故答案为45± 41．（2018·全国·高三竞赛）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =.沿向量AB 的方向，点121,,,n M M M -将线段AB 分成了n 等份.设0A M =，n B M =.则()11211lim n n CA CM CM CM CM CB n -→+∞⋅+⋅++⋅=______. 【答案】23c【解析】【详解】设CB a =，CA b =.则222a b c +=.故i n i iCM CA CB n n -=+.由0CA CB ⋅=，得111lim ni in i CM CM n -→∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑()()()22221111lim n n i i i ni n i ab n n n →∞=⎡⎤---+=+⎢⎥⎣⎦∑()()222111lim n n i ii b a n n→∞=-=-∑()222223211lim lim33nn n i c n c i i c n n →∞→∞=-=-==∑.42．（2019·全国·高三竞赛）设点O 在ABC 的外部，且230OA OB OC --=.则:ABC OBC S S =______.【答案】4【解析】【详解】如图，设D ，E 分别是边AB 、BC 的中点，联结CD .则2OA OB OD += ① 2OB OC OE += ②3-⨯①②得2326OA OB OC OD OE →=--=-. 则3OD OE =.因此，OD 与OE 共线，且3OD OE =. 于是，2DE OE =.故221BCD OBC S S ==，24ABCBCD OBC OBCS S S S ==. 43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量a 、b 满足·2a b a b ===，且()()·0a c b c --=.则2b c -的最小值为______.71【解析】【详解】注意到，·1cos ,,=23a b a b a b a b π==⇒. 由此可设()(2,0,3b a == .设(),c m n = . 由()()()()())2233·01203012a c b c m m n n m n ⎛⎛⎫--=⇒--+-=⇒-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设33cos ,sin 2m n αα=+=. 又()24,b c m n -=--，则()()2252485cos 3sin 827sin arctan 3b c m n ααα⎛⎫-=-+=--=--+ ⎪⎝⎭ 82771≥-=-.因此，min 271b c -=-.44．（2018·江苏·高三竞赛）在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.【答案】658-【解析】【详解】由5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=得3cos 5A =.如图，以A 为坐标原点，AC 为x 轴建立直角坐标系，则()4,0C ，()3,4B ，设(),P x y ，则()()()22,72,422724PA PB PC x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-()2276522148x y ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.即()PA PB PC ⋅+的最小值是658-.故答案为658-45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，其[]0λ∈+∞，，则P 点的轨迹为________．【答案】∠BAC 的角平分线【解析】【详解】 AB AC AB AC OP OA AB AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=++⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，且[]0λ∈+∞，，所以AB AC AB AC λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭表示∠BAC 的角平分线上的一个向量．因此，P 点的轨迹为∠BAC 的角平分线．故答案为∠BAC 的角平分线46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a ､b ､c ，满足||2,||||5,01a b c λ===<<，若0b c ⋅=，那么2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--的最小值为___________.2##2-【解析】【分析】设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===，则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--即为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y （圆224x y +=上的动点）的距离与到点(0,3)D 的距离，利用对称可求其最小值.【详解】解析：建立直角坐标系.设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===，则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++-- 2222[(55)](5)(550)(53)x y λλλλ=--+---+-问题转化为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y 的距离与到点(0,3)D 的距离之和最小，其中点(55,5)P λλ-在直线5(05)x y x +=<<上运动，点(,)A x y 在圆224x y +=上运动，所以||||||||||||2PD PA PD PO r PD PO +≥+-=+-.点O 关于直线5x y +=对称的点为(5,5)G ，所以22|||||5229PD PO DG +≥+=∣ 所以||||292PD PA +≥292.292.【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B C A B+⋅=____________ .【答案】12【解析】【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心.又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩. 得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅ 2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量a 、b 、c ，满足||a b c a b b c c a t λ++=⋅+⋅+⋅=（其中λ为给定的正常数）．则实数t 的最小值为___________．【答案】23λ【解析】【分析】应用()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+及求和的轮换关系得到2222cyc cyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑，再分类讨论即可得解.【详解】 ()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+，所以2cyc cyc a b a ⋅≤∑∑．故2222cyc cyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑．假设0=t ，则0,()0a b c a b a b c ++=⋅++⋅=．故2222()2a b c a b a b c a b a b +=-⋅=-+⋅-⋅=-⋅，所以22||||||||||2||||a b a b a b a b ⋅≥⋅=+≥⋅，这与a 、b 为非零向量矛盾．从而0t >．又223t t λ≥，所以23t λ≥，当,,a b c 两两同向且模均为λ时等号成立．故2min 3t λ=．故答案为：23λ三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点111222333()(),,,,,(),2)1(,A x y A x y A x y C -满足1235CA CA CA ===．（1）求12CA CA -的最大值；（2）设向量(,)m a b =,(,)n c d =,定义运算m n ac bd ⊗=-．若21230A A A A ⋅=,求122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗的取值范围．(其中О为坐标原点)【答案】（1）（2）[]24,6-．【解析】【详解】（1）因为121225CA CA CA CA -≤+=等号当且仅当向量1CA 与2CA 反向共线时成立,所以12CA CA -的最大值为（2）由于1235CA CA CA ===所以点123,,A A A 在以C 为圆心又因为21230A A A A ⋅=,所以13A A 为圆的直径,则点C 为A 1A 3的中点．所以122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗121223233131x x y y x x y y x x y y =-+-+-① 因为点C 为13A A 的中点,所以132x x +=,134y y +=-,代入式①可得原式=2213132211112424(2)(4)x y x x y y x y x x y y ++-=++----222211112424x y x x y y =+-+++②因为125CA CA ==所以()()()()22112222125125x y x y ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩, 可得221111244x x y y -+=+≥-,再代入式②可化简为：22211242(2)x y x x ++-+,且21182(2)2x x -≤-+≤．设21x α=,22y α=-,则22246x y αα+=-++4[]16,∈-．故122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗22211242(2)x y x x =++-+6[]24,∈-．50．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC 【解析】【分析】【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-．因为()()1122,,,CA x y CB x y ==，所以21cos CA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCA CB C =⋅⋅12211122x y x y==-回到原题，连结OA、OB、OC，则：ABC OAB OBC OACS S S S=++112cos sin2sin cos2cos sin2sin cos22αβαββγβγ=-+-12cos sin2sin cos2αγαγ+-sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin0,2cos2cos2cos0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin,cos cos cos.αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=，所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，BC CA AB >>.则（）. A ．OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅. B ．OA OB ⋅>OB OC ⋅>OA OC ⋅. C ．OB OC ⋅>OA OC ⋅>OA OB ⋅ D ．OA OC ⋅>OB OC ⋅>OA OB ⋅2．（2019·全国·高三竞赛）设P 为ABC ∆所在平面内一动点.则使得PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取得最小值的点P 是ABC ∆的（）. A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．（2018·全国·高三竞赛）设H 是ABC ∆所在平面上的一点，用a 、b 、c 、h 分别表示向量OA 、OB 、OC 、OH ．若⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h c a b h ，则H 是ABC ∆的．A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC ∆的边上做匀速运动的三个点P 、S 、R ，当0=t 时，分别从A 、B 、C 出发，当1t s =时，恰好同时到达B 、C 、A ．那么，这个运动过程中的定点是PQR ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，52CD =，且90ADC ABC ∠=∠=︒.则BC AD→⋅→等于（）.A ．25334B ．27334C ．338D ．293346．（2018·全国·高三竞赛）已知P 为△ABC 内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆等于.A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:2D ．4:3:27．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，向量12a xe ye =+，且12x ≤≤，12y ≤≤，设向量a 与1e 的夹角为α，则cos α的最大值为（）．A 6B 6C 57D 278．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量OA 、OB 满足OA a =，OB b =，且224a b +=，0⋅=OA OB .若向量(),OC OA OB λμλμ=+∈R ，且222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则OC 的最大值是（） A ．12B ．1C ．2D ．49．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是AD 边上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的标上恰有6个不同的点P ，使PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围是A ．()8,8-B ．()1,24-C ．()1,8-D ．()0,8二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=__________.11．（2019·全国·高三竞赛）设ABC ∆的面积为1，边AB 、AC 的中点分别为E 、F ，P 为线段EF 上的动点，则2f PB PC BC =⋅+的最小值为__________．12．（2019·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=.若ABC S ∆1=,则PAB S ∆=______.13．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知2,3,4AB AC BC ===，设0为△ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+.则λ+μ=________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知向量(cos ,sin ),(2,7)a b αα==，则|2|a b +的最大值是___________．15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体ABCD 中，设14AE AB =，14CF CD =，记DE 和BF 所成的角为θ．则cos θ=______．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知G 是ABO 的重心，若PQ 过点G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====，则11m n+=_____.17．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a b c x 、、、，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为________．19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A 满足1||2OA =，B 、C 是单位圆O 上的任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是__________．20．（2020·浙江·高三竞赛）已知a ，b 为非零向量，且1a a b =+=，则2a b b ++的最大值为__________.21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=，则2m n n ++的最大值是_____．22．（2021·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面内一点，满足3PA PB PC AB ++=，若PAC △的面积为1，则PAB △的面积为__________.23．（2021·全国·高三竞赛）已知、、A B C 为ABC 三内角，向量cos,3sin ,||222A B A B αα-+⎛⎫== ⎪⎝⎭.如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||||MA AB MB 、、∣成等差数列，则||||MC AB 最大值为________.24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，32,5,cos ,5CAB AB AC D ===∠是边BC 上一点，且2BD DC =．若点P 满足BP 与AD 共线，PA PC ⊥，则||||BP AD 的值为_________．25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量a b a b +、、的模均在区间[]2,4内，则a b ⋅的取值范围是_________．26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P (－2，5)在圆22:220C x y x y F +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于A 、B 两点，则AB BC →→⋅=____________ .27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，点O 为△ABC 的外心，已知2220b b c -+=，那么BC AO ⋅的取值范围是____________ . 28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量,,a b c 满足()||:||:||1::3a b c k k +=∈Z ，且b a -=2()c b -，若α为,a c 的夹角，则cos α=_______ .30．（2018·山东·高三竞赛）在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+．若8AB =，则AD =______． 31．（2018·河北·高三竞赛）设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：23=AOBBOC COAABCSS SS++_____.32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC 中，已知5AC BC ==，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AD =DB=EF=1．若25·16DE DF ≤，则·EF BA 的取值范围是_______． 33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点()1,0A -，()0,3B ，动点C 在圆()2234x y -+=上运动，则OA OB OC ++的最大值为_________．34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，已知O 为BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且6AM =，4MB =，4AN =，3NC =，90MON ∠=︒．则cos A =______．35．（2018·全国·高三竞赛）已知D 为ABC 边AB 上的一点, P 为ABC 内一点,且满足3D 4A AB =,25AP AD BC =+.则APD ABCS S =△△ ______. 36．（2018·全国·高三竞赛）已知O 是ABC 的外心.若AB AC =,30CAB ∠=︒,且12CO CA CB λλ=+,则12λλ=______.37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知∠A=120︒，记向量,cos cos BA BC BA ABC Cα=+.cos cos CA CB CA ACB Bβ=+则α与β的夹角等于________.38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设G H 、分别为ABC ∆的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，ABC ∆外接圆的半径1R =．则222AF BF CF ++ =_______．39．（2019·全国·高三竞赛）如图，M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且AM CNAC CEλ==，若B 、M 、N 三点共线，则λ=______.40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____.41．（2018·全国·高三竞赛）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =.沿向量AB 的方向，点121,,,n M M M -将线段AB 分成了n 等份.设0A M =，n B M =.则()11211limn n CA CM CM CM CM CB n -→+∞⋅+⋅++⋅=______.42．（2019·全国·高三竞赛）设点O 在ABC 的外部，且230OA OB OC --=.则:ABCOBCSS=______.43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量a 、b 满足·2a b a b ===，且()()·0a c b c --=.则2b c -的最小值为______.44．（2018·江苏·高三竞赛）在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，其[]0λ∈+∞，，则P 点的轨迹为________．46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a ､b ､c ，满足||2,||||5,01a b c λ===<<，若0b c ⋅=，那么2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--的最小值为___________. 47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量a 、b 、c ，满足||a b c a b b c c a t λ++=⋅+⋅+⋅=（其中λ为给定的正常数）．则实数t 的最小值为___________．三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点111222333()(),,,,,(),2)1(,A x y A x y A x y C -满足1235CA CA CA ===．（1）求12CA CA -的最大值；。

高考数学总复习五《平面向量》讲义

高考数学总复习五《平面向量》讲义第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8- B ．6- C ．6 D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(,),22BC = 则ABC ∠=A ．30B ．45C ．60D ．1209．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥a b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(1(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ． 22⎛ ⎝⎦ C ． 2⎛ ⎝ D ．2⎛ ⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos 2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－127．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC D 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=a bB ．=ab b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a bD ．2222()()||||+•=a b a b a b二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是，最大值是．35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．43．(2014山东)在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC 的面积为．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅4455x y x y +⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ． 50．（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =，则AB 的长为．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-a b ||=b ．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

高中数学竞赛_直线圆锥曲线平面向量

专题五直线圆锥曲线平面向量一能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力二问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线22y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ⋅的值.问题2已知直线L 与椭圆22221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为OP k ,OQ k ,如果22OP OQb k k a⋅=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB夹角的大小;(II)设FB AF λ=,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为三习题探选择题1已知椭圆2215x y k+=的离心率e =,则实数k 的值为A,3 B,3或25332一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲线的准线方程是 A,925y =±B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)225已知点F 1(,0)4,直线l :14x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ⋅= ,32PM MQ =- .(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DFDE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.四参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2y k x =-由21(22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21(2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++=22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-.综(1),(2)所述,有34OA OB ⋅=-. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②122x x x +=,122y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得22221212222x x y y a b+++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b+=, 于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,把它代入24y x =,整理得2610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-. OA OB ===cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅<>==-, 所以OA 与OB夹角的大小为arccos41π-. (II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (,λ或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--,当[4,9]λ∈时,l 在y或,21λ=-,可知1λ-在[4,9]上是递减的,于是34413λ≤≤-,43314λ-≤-≤--, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知22e =不合题意,有220e -≠,设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--,2121222()()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-+-2120222x x m e x e ++==-,21202(1)22y y m e my e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ∆=->,得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-,212242e x x e-⋅=-由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =,选B.2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得220916y x -=,于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A. 4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=, 由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),选B.5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去c ,整理得237400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =,4b =,所以所求的椭圆方程为2212516x y +=. 7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3()y x -=-,即3y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =- ,得P (0,),(,0)23y xQ -由0HP PM ⋅= ,得3(3,)(,)0,22y y x -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2),1k x x x x k -+=-=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++=124()2k x x k k++=,有AB 的中点为2222(,)k k k -,AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k --=--,令0y =,0221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形,E 到直线AB,知2AB k =由2k k =,解得k =,所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=-- 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得P 2(,)a ab c c ,又,,OA OB OF 成等差数列,得A(2a c,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,于是222a b PA OP c ⋅=- ,222a b PA FP c⋅=- ,因此PA OP ⋅= PA FP ⋅ .(II)由1,2a b ==,得c =,l:1(2y x =--由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去x ,整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.12y y +=121615y y =,21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13. 又12y y >,得21y y =13,因此121211321DF y y y y DEy ===--. 12解:(I)1(1,0)F,12AF BF ==,设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠)(II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22(1)(2)184x y --+=①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=,得1m =±。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

高中数学竞赛_三角平面向量复数

专题四三角平面向量复数一能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力二问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα= ,(cos ,sin )b ββ=,求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =且[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1xy x x π=<<+的值域是 .问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三习题探讨选择题1在复平面内,复数12ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为OB ,那么向量AB对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x ),且cos 4x α=,则sin α=D, 3函数2sin(3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3πB,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)OB = ,向量(2,2)OC = ,向量)CA αα=,则向量 OA 与向量OB的夹角的取值范围是A,[0,]4πB,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥ C,103λ< D,103λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第象限. 9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .12若[,]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.14设5arg 4z π=,且22z R z -∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(cos ,sin )22a x x = ,(cos ,sin )22x x b =- ,且[0,]2x π∈(I)求a b ⋅ 及a b + ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+的最小值.16设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2cos 212sin(2)6f x x x x π==++由12sin(2)6x π++=1得sin(2)62x π+=-又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,max 54y =;当sin 2x =-,即4x π=-时,min 322y =-.(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22cos 1sin 2sin 2cos 22)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,min 2y =(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin()1x ψ+=≤,得y ≤≤,又0y >,于是有y的值域是.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理2216(5)8(5)60c c c cos =+---. 得72c =,32b =. 由正弦定理得0742sin sin 60A =,有sin 7A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 302B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得A π=-. 习题:1得2122ω=--,11()()2222AB OB OA i =-=----+= ,选D.2 OP =又cos x α==,得x =舍去),有cos 4α=-,sin 4α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC ='A C =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+ ,a b ⋅= 设a 与b 的夹角为θ,则0090180θ<<, 有1cos 0θ-<<,即10-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D. 7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=, 当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ== 得到cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ+=-=-, 当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(,)b c x y x ⋅=⋅=.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则cos a c a c α⋅==⋅,cos b c b c β⋅==⋅由αβ=,y -=x +①;由c ,得222x y +=.②由①,②得, 111212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,于是11()22c =或11(,)22-- 11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:cos()sin 2cos()cos(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令cos()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+ 由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1cos()242πθ≤+≤,122t ≤≤于是当2t =,即cos()42πθ+=,得12πθ=-时,min 122y =-. 13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有 22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知当0t =时,min ()1h t =-,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a iz a i a----++-==+ 由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--, 设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1OZ OA -=;最大值为1OZ OA +=.15解(I)33cos cos sin (sin )cos 22222x xa b x x x ⋅=+-= ,33(cos cos ,sin sin )2222x xa b x x +=+- ,得2cos a b x +== 2cos2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos 28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,min ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥ ,1102a b ⋅== ,得2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+ =223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即223(tan 3tan )m a b θθ=- ,得31(tan 3tan )()422m ππθθθ=--<<.(II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小值12-.。

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》空白讲义

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》1. 在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅ ，则ABC ∆是 .A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.以上均不对2. 在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量,OA OB 在OC 上的投影相同，则34a b -= .3. 设,a b 是非零向量，且2a = ，22a b += ，则a b b ++ 的最大值是 .4. 已知()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥- ，则a b 与的夹角是 .5. 在ABC ∆中，点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m n +的值为 .6. 在ABC ∆中3,5,6AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .7. 在ABC ∆中，若321AB BC BC CA CA AB ⋅⋅⋅== ，则tan A = .AB CM O N8. 已知O 是ABC ∆的外接圆，8,6AC AB ==，则AO BC ⋅= .9. 在△ABC 中，AB=BC=2，CA=3.①求AB AC ⋅ ；②设△ABC 的内心为O ，求满足AO=pAB+qAC 的实数p 、q 的值.10. 若P 是ABC ∆所在平面内的一点，满足PA PB PC BC --= ，则ABP ABCS S ∆∆= .11. 已知O 是ABC ∆内一点，且432AO AB BC CA =++ ，则ABC OBCS S ∆∆= .12. 若O 是ABC ∆内一点，且1134AO AB AC =+ ，则OAB OBC S S ∆∆= .。

高一平面向量讲义

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒有λ(μ a ±μ b )＝.考点一运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二运用向量加减法法则化简向量例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)；（6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ，使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．5．两向量共线的坐标表示设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线．当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表示，，.考点三平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ，设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ，即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

高中数学竞赛_平面向量【讲义】

第八章平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP 。

竞赛中的向量和向量方法

向量和向量方法李智伟林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1）共线向量定理：()||≠⇔a b b 0存在唯一的实数λ使得λa =b ．（2）平面向量基本定理：设向量12,e e 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数对12,λλ使得1122λλ=+a e e ．（3）若(,)OP OA OB λμλμ=+∈R ，则,,P A B 三点共线的充要条件是1λμ+=．定比分点公式：若点P 在直线AB 上，且AP PB λ= ，O 为任意一点，则1OA OB OP λλ+=+ ．（4）对于向量1122(,),(,)x y x y =a =b ，121200x x y y ⊥⇔=⇔+= a b a b ．（5）设,a b 为两个向量，则-≤±≤+a b a b a b ，≤a b a b ．（6）空间向量基本定理：设向量123,,e e e 为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数组123,,λλλ使得112233λλλ=++a e e e ．若(,,)OP OA OB OC λμυλμυ=++∈R ，则,,,P A B C 四点共面的充要条件是1λμυ++=．（7）两向量的夹角公式：cos ,<>=a b a b a b；向量模长公式：=a 点A 到平面α的距离公式：d =a nn （其中a 是以点A 为起点，以平面α内任意一点为终点的一个向量，n 是平面α的一个法向量）．（8）三角形中“四心”的向量形式：重心：若G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= ；垂心：若H 为ABC 的垂心，则(1)HA HB HB HC HC HA == ；(2) 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ；外心：若O 为ABC 的外心，则2211,22AO AB AB AO AC AC == ；结合垂心有：OH OA OB OC =++ ；内心：若I 为ABC 的内心，则0BC IA CA IB AB IC ++= ．B A OCDE 1图 B A OC2图 B 'C '二、赛题分析：§１几何中的运用例1.（2004年全国高中联赛）设O 点在ABC 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（）A ．2B ．32C ．3D ．53【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量．如图1，取BC 中点D ，AC 中点E ，则有2OB OC OD += ，2OA OC OE += ，故232()0OA OB OC OA OC OB OC ++=+++= ，即20OD OE += ，所以O D E 、、三点共线且2OD OE =， 22232112.343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S ∴==⨯=⨯⨯= 故选C ．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G 为三角形的重心的充要条件是0GA GB GC ++= ，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量．如图2，延长,OB OC 到点B '和点C '，使得2,3OB OB OC OC ''== ，故由已知有：0OA OB OC ''++= ，即O 为AB C '' 的重心，所以,AOC C OB B OA S S S ''''==3,236,2,AOC AOC C OB COB COB B OA BOA S S S S S S S ''''==⨯== 又2131.3AOC COB BOA AOC ABC S S S S S ∴=∴= ::::,故选C ．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】命题：设P 点在ABC 的内部，则1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 成立的充要条件是123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．命题证明与思路2类似，设123,, PA PA PB PB PC PC λλλ'''=== ，则0PA PB PC '''++= ，故P 为A B C ''' 的重心，,B PC C PA A PB S S S ''''''∴== 由233112,,,B PC BPC C PA CPA A PB APB S S S S S S λλλλλλ''''''===得123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．推论１：设P 点在ABC 的内部，则0BPC CPA APB S PA S PB S PC ++= （*）．对（*）可以有以下的理解：由11sin ,,2211sin ,,(,,)2211sin ,.22BPC CPA APB S b c b c b c S c a c a c a PA a PB b PC c S a b a b a b =⨯=<>=⨯=<>====⨯=<> 其中得0b c a c a b a b c ⨯+⨯+⨯=……………… （1） sin ,sin ,sin ,0a b c b c c a a b a b c<>+<>+<>= ...... （2）若设123,,,a b c e e e a b c === 即123,,e e e 为平面内不共线的三个单位向量．（2）化为231312123sin ,sin ,sin ,0e e e e e e e e e <>+<>+<>= (3)注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．推论２：设P 点在ABC 的内部，若1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= ，若(1)123::1:1:1λλλ=，则P 为ABC 的重心，反之也成立；(2)123::sin :sin :sin BPC CPA APB λλλ=∠∠∠，则P 为ABC 的外心，反之也成立； (3)123::::BC CA AB λλλ=，则P 为ABC 的内心，反之也成立；(4)123::tan :tan :tan A B C λλλ=，则P 为ABC 的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABC 内部的任意一点P ，1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 中的123::λλλ的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足3,7,11,9AB BC CD DA ==== ，则AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：=a 来处理．注意到222231113079+==+，由于0AB BC CD DA +++= ，22222()2()()则AD AB BC CD AB CD BC AB BC BC CD =++=+-+++222220AC BD AD AB CD BC ⇒=--+= 故AC BD 只有一个值0．故选A ．【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直．用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势．类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线．例3.（2006年全国高中联赛）已知ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥ ，则ABC 的形状是（）A ．必为锐角三角形B ．必为钝角三角形C ．必为直角三角形D ．不确定【分析及解答】思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于t 的任意性，故可考虑取适当的t 将原式化为与向量相关的不等式．令ABC α∠=，点A 作AD BC ⊥于D ，由BA tBC AC -≥22222BA t BA BC t BC AC ⇒-+≥ 令2BA BC t BC= 代入上式得： 2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥222sin BA AC α⇒≥ 222sin BA AC α⇒≥ 从而有AD AC ≥ ，由此得AC BC ⊥．故选C ．【说明】此处令2BA BC t BC= 的目的是化BC 为BA ，将两个向量的模长统一，由AD AC ≥ 结合距离的定义即得AC BC ⊥．思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC - （t ∈R ）的几何意义：表示以A 为终点，起点在直线BC 上的所有向量（如图3）． BA tBC AC -≥ 则说明AC 为这些向量的最小值，故由距离最小性得AC BC ⊥，故选C ．图 3思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解．由BA tBC AC -≥ 得(1)BA BC t BC AC ---≥ ，即(1)CA t BC AC --≥ ．于是22(1)CA t BC AC --≥ ，2222222(1)(1)(1)(2)(1)0CA t CA BC t BC AC BC t CA BC t ⇒--+-≥⇒---≥ ,1t t ∈∴-∈R R ．所以关于1t -的二次不等式应满足 24()0BC AC ∆=≤ ，02BC AC C π⇒=⇒∠= ．故选C ．【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同时，实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数形上的作用）．向量的模长公式=a 便是联系数形关系最常用的工具之一．例4.（2007年全国高中联赛）在AEF 中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2A BA E A C A F += ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于．【分析及解答】已知EF 与BC 的模长，求夹角，故可联系向量的夹角公式cos ,<>=a b a b a b来处理． 22()()22AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF AB AB BE AC AB AC BF +=⇒+++=⇒+++=21,11, AB AC AB BE BF ===-=- ， 1()12BF AC AB ∴+--= ．故2BF BC = ．设EF 与BC 的夹角为θ，即是BF 与BC 的夹角，则有cos 2BF BC θ= ，得2cos 3θ=．【说明】题中除了注意各边的长度外，转化条件2AB AE AC AF += 应是此题的关键，用向量拆分为与所求向量EF 与BC 相关的向量，再处理便显得得心应手了．§２代数中的运用例5.（2005年全国高中联赛）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是．【分析及解答】思路１：很容易发现此题就是要求函数y =的最大值，注意到(3)x -+ (6)3x -=为定值，故可以平方去根号（或用柯西不等式）处理．令y =36x ≤≤，则2(3)(6)2[(3)(6)]6,y x x x x =-+-+≤-+-=0y ∴<≤（ 4.5等于时取等x ）故实数k思路２：为了转化根号，可以考虑构造向量，从而将原问题化为和向量数量积相关的不等式．同思路１设定函数，设(1,1), ==p q，则 ==p q令p 和q 的夹角为θ，a b =则223a b +=，若向量p 和q 以原点为起点，则q 的终点(,)a b 应在以原点为圆心、半径为的14圆周上（第一象限内），则易判断[0,]4πθ∈（如图4），所以cosα∈，故cosy θ==∈ p q p q ，实数k ．【说明】用向量方法转化代数问题时有很强的构造性，须仔细研究代数式的结构再变形．值得一提的是，思路2只需运用重要不等式≤a b a b就能很快求出最大值（须验证取等条件），这里结合几何关系更进一步地确定了所求函数的范围，为求此类函数的值域提供了很好的思路．例6.（2009年全国高中联赛）求函数y =的最大和最小值．【分析及解答】和第5题相比，这里多了一个根号，故可以考虑将原问题转化为空间向量的数量积问题来处理．设==p q ，则 ==p q （其中013x ≤≤）则11y =≤= p q p q ，当p 和q 共线时取等，即9(13)427x x x -==+，解得9x =，故当9x =时等号成立，故最大值为11．p q()q y x O 图 4又y ==13当0x =时等号成立，故最小值为．【说明】此类代数问题，构造向量，使复杂问题简单化，事半功倍．例7.（2005年全国高中联赛）过抛物线2y x =上的一点(1,1)A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1AE EC λ=；点F 在线段BC 上，满足2BF FCλ=，且121λλ+=，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．【分析及解答】先考虑P 点的形成，、B D 两点由A 确定，C 点运动时，、E F 随之运动，故而相交形成P 点，适合用相关点法求轨迹．又由于点、线较多，故考虑用向量转化可简化计算．过抛物线上点A 的切线斜率为 122x y x ='==，∴切线AB 的方程为21y x =-， 1(0,1),(,0)2B D ∴-，且D 是线段AB 的中点． 1211112222CD CA CB CE CF λλ++∴=+=+ ．设(1)CP CE CF μμ=+- ，CD kCP = ，则(1)CD k CE k CF μμ=+- ，由平面向量基本定理知：121,21(1),2k k λμλμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩ 两式相加得32k =，即P 是ABC 的重心，设2000(,),(,)(1) P x y C x x x ≠，则0022000112(),33311,33x x x x x x y +++⎧==≠⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩消去0x 得21(31)3y x =-，故点P 的轨迹方程为212(31)(33y x x =-≠．【说明】利用向量转化线段长度关系，通常可以联系定比分点公式．本题的解法主要运用了向量基本定理，给出同一向量的两种表示方式，对应系数应该相等．此外得到三角形重心后，便利用重心性质，使计算大大简化．三、归纳小结这里仅仅是对近年来联赛一试中的试题进行了探究，而二试中的平面几何和部分不等式均可以考虑用向量方法解决．希望这里的探究能给大家带来处理向量问题及向量方法解题的一些启示．众所周知，随着高中教材改革的深入，全国高中数学联赛以及各省市高中竞赛中对向量的考查将愈发灵活多变，比重也将愈来愈大．只有在充分熟知向量相关的各种性质的基础上，多去自发地运用向量知识解决几何和代数问题，自主地探究向量方法，才能在竞赛中处于优势地位．四、针对练习1.已知正三棱锥P ABC -的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心O 满足0OA OB OC ++= ，则这个正三棱锥的体积为．（2008年湖北省预赛试题）（提示：由条件得O 为底面三角形的重心即中心，然后求出高即可求得体积112P ABC V -=） 2.已知P 为ABC 内一点，且满足3450PA PB PC ++= ，那么，,,PAB PBC PCA 的面积比为．（2006年吉林省预赛试题）（提示：由例1思路2求解即可，注意比例顺序，答案为5:3:4） 3. ,,O A B 是平面上不共线三点，向量,OA OB == a b ，设P 为线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP = p ．若5,3==a b ，则()-p a b 的值是．（2008年河北省预赛试题）（提示：结合中垂线的性质证得1()()()2-=+- p a b a b a b 即可，结果为8） 4．已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数224949u x y=+--的最小值为．（2003年全国联赛试题）（提示：构造向量==a b 其中2222,72(94)u x y ==-+a b ，利用≤a b a b 得2214414472(94)7212u x y xy≥≥-++ 125=） 5．如图6，已知抛物线2:4(0)C y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于、A B 两点．若(0)AF FB λλ=> ，求证：()EF EA EB λ⊥- ．（2006年陕西预赛试题第1问）（提示：利用抛物线定义，作出、A B 两点在准线上的投影点、A B ''，可证EA EB EA EB λλ''-=- ，又由()EF EA EB λ''⊥- 即得证）6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在右准线上，且满足111,()(0)OF OM FO PM OP OF OMλλ==+> ．（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点12(0,),(0,)N B b B b -，点、A B 在双曲线上，且22()B A B B μμ=∈R ，当110B A B B = 时，求直线AB 的方程．（2007年辽宁省预赛试题）（提示：由111,()(0)OF OM FO PM OP OF OM λλ==+> 知四边形1PFOM 为菱形，利用图形性质可求出2e =；双曲线过点N ，可确定双曲线方程，故得12,B B 的坐标，22()B A B B μμ=∈R 说明2、、A B B 三点共线，设AB 的直线方程，结合110B A B B = 即11B A B B ⊥，可确定直线AB 的方程为3y =-）。

高中数学优质课比赛平面向量基本定理PPT课件

F e2
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例2：已知 a e1 2e2,b 2e1 e2
其中不e1共，线e，2 则与 a b
c 6e的1-关2系e2为（） B
A 不平行 B 平行 C 相等 D 无法确定
复习：平行向量基本定理？
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例3：已知A,B是直线L上任意两点,O是L外一点，求证：对直线L上任一点P,存在实数
则AM= (a+b)/2
A
A
F
E
B
D
C
B
M
C
第1题图
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第2题图
（3）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角形，F为ED的中点，EA=e1,EF=e2,以e1，e2为基底表示向量
AF = e2-e1
AD = 2e2-e1
B
A
AB= e2
BD= e2-e1
e1
E
C
D
对每一个数值t，在直线L上都有唯一的一个点 P与之对应。
3.向量等式叫做直线L的向量参数方程式，t是参数。
特别地 t 1 , M是AB的中点，则 OM 1 (OA＋OB)
2
2
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小结： 1.平面向量基本定理。
（1）基底确定，能以唯一的表示平面内任意向量。（2）基底选取不同，表示向量的实数对不唯一。
且AB a ，AD b，用a、b表示MA、MB、MC、MD?
D
C
M
A
B
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解解：：因为 AC AB AD a b,
DB AB AD a b
所以 MA 1 AC 2
1a1b 22
MB

高考数学——平面向量专题讲座

平面向量的解题策略 ● 典型例题讲解
C
平面向量的解题策略 ● 典型例题讲解
平面向量的解题策略 ● 典型例题讲解
平面向量的解题策略 ● 典型例题讲解
平面向量的解题策略 ● 典型例题讲解
18
投影法： AP BD AC在AP上的投影是6 则AP AC AP 6 18
特殊法：取图形为特殊四边形菱形，则直接得出数量积为18
圆上一动点，则A→M·D→C的最大值是_8___4___5_．
平面向量的解题策略 ● 思维方法归纳
1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；出现直角图形，可以适当考虑投影法解题。二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。
x2 y2
（3）若 A （ x1， y1）， B （ x 2， y 2），则
九、向量的夹角
cos a b
| a || b |
| AB | （ x 1 x 2）2 （ y 1 y 2）2
x1 x 2 y1 y 2
x
2 1
y
2 1
x
2 2
y
2 2
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0 a b 0 cos 0 为钝角或 π
向量的相关概念及表示
向量的线性运算
平面向量的基本定理
平面向量的数量积运算
1. 向量的概念、零向量、单位向量、相等向量、平行向量（也叫共线向量）、相反向量、向量的模、两向量的夹角、向量的坐标表示等 2. 向量的表示方法：几何表示法、符号表示法、坐标表示法
1. 几何运算：向量的加法用“平行四边形法则”和“三角形法则”，向量的减法用“三角形法则”，数乘向量考虑方向、长度 2. 坐标运算 3. 向量平行(共线)：

数学竞赛中的平面向量问题

数学竞赛中的平面向量问题ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ课余揽胜平面向量具有几何形式与代数形式双重特征，能融数形于一体，它是沟通代数、平面几何、解析几何与三角函数的一种工具，是中学数学知识交汇的一条重要纽带．在高中数学竞赛中，平面向量问题所占的比重有增大的趋势，且凸现其综合性、灵活性和创新性．数学竞赛中的平面向量问题◇江西廖东明一、求两向量数量积的取值范围或最值例１（２００５年第１６届“希望杯”高二第２“!"试）平面内的向量!（１，１），Ｏ（－１，－１），点ＰＯＡ＝Ｂ＝"是抛物线ｙ＝ｘ２＋２（－３≤ｘ≤１）上任意一点，则!ＡＰ!"ＢＰ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．解由题意，可设点Ｐ（ｘ，ｘ２＋２）（－３≤ｘ≤１），三、三角形的“透视”“心”与三角形的外心、内心、垂心”有关的“重心、向量问题是一类极富思考性和挑战性的问题，备受竞赛命题者的青睐．三角形可用向量的统一形式表示，探“四心”索如下：设Ｏ为△ＡＢＣ内的任意一点，如图以ＯＡ所在的直线为ｘ轴，Ｏ为原点建立直角坐标系．并设ＯＡ＝ｍ，ＯＢ＝ｎ，ＯＣ＝ｐ，，∠ＡＯＣ＝β，０＜α，β∠ＡＯＢ＝α＜ｙＢ高一人教大纲"!""!"!"!"则!（ｘ－１，ｘ２＋１），Ｂ（ｘ＋１，ＡＰ＝ＯＰ－!ＯＡ＝Ｐ＝ＯＰ－ＯＢ＝!"（ｘ－１，ｘ２＋１）（ｘ＋１，ｘ２＋３）＝ｘ４＋Ｐ＝ｘ２＋３），所以Ｂ［－３，１］，所以ｘ２∈［０，９］，所以５ｘ２＋２．因为ｘ∈专业Ｓ精心策划!"［２，１２８］．ＢＰ∈点评!"将ＢＰ表示为关于ｘ的函数式，针对该函数式及ｘ∈［－３，１］来求函数的值域．多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令ｔ＝ｘ２，"!"则!［０，９］．ＡＰＢＰ＝ｔ２＋５ｔ＋２，ｔ∈二、判断三角形的形状注意从函数ｔ＝ｘ角２度来确定ｔ∈［０，９］，不要得出错误结论ｔ∈［１，９］．，则Ａ（ｍ，０），Ｂ（ｎｃｏｓα，ｎｓｉｎα），Ｃ（ｐｃｏｓβ，－ｐｓｉｎβ）π（点Ｃ在ｘ轴的下方）．由平面向量基本定理，设例２（２００５年第３届高二初赛）Ｏ“创新杯”为△ＡＢＣ所在平面内一点，且满足（!"""ＯＢ－!ＯＣ）（!ＯＢ!"!"!" ＯＡ＝ｘＯＢ＋ｙＯＣ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则!"!"Ｃ－２ＯＡ）＝０，则三角形形状为＿＿＿＿＿＿＿三角形．＋Ｏ解即（!"""!"!"由条件，得ＣＢ（!ＯＢ－!ＯＡ＋ＯＣ－ＯＡ）＝０，!"!"!"!"ＡＢ－ＡＣ）（ＡＢ＋ＡＣ）＝０，’，ｍ＝ｘｎｃｏｓα＋ｙｐｃｏｓβ，０＝ｘｎｓｉｎα－ｙｐｓｉｎβ解得(__)__+ｘ＝ｙ＝ｍｓｉｎβ，ｍｓｉｎα．（）"!""!"所以!ＡＢ２＝ＡＣ２，即!ＡＢ＝ＡＣ．所以△ＡＢＣ是等腰三角形．点评!""所以ｐｎｓｉｎ（α）Ｏ! Ａ＝ｍｐｓｉｎβＯＢ＋ｍｎｓｉｎα＋β!"，∠ＡＯＣ＝β，∠ＢＯＣ＝２π），ＯＣ．因为∠ＡＯＢ＝α－（α＋β!"!"!"所以Ｓ△ＯＢＣＯＡ＋Ｓ△ＯＣＡＯＢ＋Ｓ△ＯＡＢＯＣ＝０．（１）若Ｏ是△ＡＢＣ的内心，设ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，!"!"!"!""灵活运用ＯＢ－ＯＣ＝ＣＢ＝ＡＢ－!ＡＣ等将条件式中的字母Ｏ去除，转化为用三角形的边所对应的向量来表示，这是解决问题的思路．ＡＢ＝ｃ，则利用面积公式Ｓ＝１ａｂｓｉｎＣ和角平分线知数学爱好者"$#课余揽胜ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ"#"$识易得Ｓ△ＯＢＣ∶Ａ－ｂＯＢ＋Ｓ△ＯＣＡ∶Ｓ△ＯＡＤ＝ａ∶ｂ∶ｃ，所以ａＯ"$（Ｃ＝０ｃＯ"$"$"$或ｓｉｎＡＯＡ＋ｓｉｎＢＯＢ＋ｓｉｎＣＯＣ＝０）；（２）若Ｏ是△ＡＢＣ的重心，则Ｓ△ＯＢＣ＝Ｓ△ＯＣＡ＝"$"$ＡＡＢＣ"$$＋ＢＣ＝－"ＣＢｃｏｓ∠ＡＢＣｃｏｓ∠ＢＣＡＡＢＡＣ-$"$"$ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＝０；Ｓ△ＯＡＢ＝１Ｓ△ＡＢＣ，故"（３）若Ｏ是△ＡＢＣ的外心，则Ｓ△ＯＢＣ∶Ｓ△ＯＣＡ∶"$"$ＡＡＢＣ"$所以＋ＣＢ＝０，λＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ"$表示垂直于ＢＣ的向量，即Ｐ点在过点Ａ且垂直于-ＢＣ的直线上，所以动点Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的垂心．故选Ｄ．点评正确理解向量的夹角公式ｃｏｓＡＢＣ＝Ｓ△ＯＡＢ＝ｓｉｎ∠ＢＯＣ∶ｓｉｎ∠ＣＯＢ∶ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝ｓｉｎ２Ａ∶ｓｉｎ２Ｂ∶"$"$"$ ＯＡ＋ｓｉｎ２ＢＯＢ＋ｓｉｎ２ＣＯＣ＝０．ｓｉｎ２Ｃ，故ｓｉｎ２Ａ另外，从几何角度看，Ｏ为△ＡＢＣ的外心’"$$"$ＯＡ＝"ＯＢ＝ＯＣ；（４）若Ｏ是△ＡＢＣ（非直角三角形）的垂心，则ＯＣｓｉｎ（πＳ△ＯＢＣ＝ＯＢ－Ａ）＝ＯＢＯＴｓｉｎＡ＝（△ＯＣＡ）"$$$$ＡＢＡ"ＢＣ＝－"Ｂ"ＢＣ和审察所给式子的ＢＣＢＣＢＡＡＢ结构特征进行联想并活用公式整体处理是正确而快捷地解决本题的关键．还可推知：“Ｏ是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足ｔａｎＡ．其中ＣＯ的延长线交ＡＢ于Ｔ，∠ＡＯＴ＝∠Ｂ，人教大纲"$Ｏ"$Ｃ"$ＯＯＢ＋λＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣ"$ＡＢＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ"$ＡＣ-，∠ＢＯＴ＝∠Ａ，利用四点共圆知识得到．同理可得，Ｓ△ＯＢＣ∶Ｓ△ＯＣＡ∶Ｓ△ＯＡＢ＝ｔａｎＡ∶ｔａｎＢ∶ｔａｎＣ．（０，＋∞），则Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的外心．”λ∈例４已知Ｏ为△ＡＢＣ所在平面上的一点，"$"$"$因此，ｔａｎＡＯＡ＋ｔａｎＢＯＢ＋ｔａｎＣＯＣ＝０．当∠Ｃ＝９０°时，Ｏ与Ｃ重合，即Ｃ为垂心，此时"$"$"$角Ａ、Ａ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣＢ、Ｃ所对的边为ａ、ｂ、ｃ，若ａＯ＝０，则Ｏ为△ＡＢＣ的Ａ．重心Ｃ．外心解（）专业Ｓ精心策划"$"$ＣＡＣＢ＝０．另外，着眼于图形中的垂直关系，还可得到：ＨＢ．内心Ｄ．垂心高一"$$"$$"$$为△ＡＢＣ的垂心’ＨＡ"ＨＢ＝ＨＢ"ＨＣ＝ＨＣ"ＨＡ"$"$"$"$"$$（如ＨＡＨＢ＝ＨＣＨＡ’ＨＡ"ＢＣ＝０）；Ｈ为△ＡＢＣ２２２２$$"$$"$的垂心’"ＨＣ２＋ＨＨＡ＋ＢＣ＝"Ｂ＋ＣＡ＝""$"$"$$"$"$因为ａＯＡ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣ＝０，"ＯＢ＝ＯＡ＋ＡＢ，"$ＡＢ２"$"$$$$（如ＨＢＨＡＡ２＋"Ｃ２＝"Ｃ２＋"Ｂ２’ＡＣ"$"$"$$"$"$（ａ＋ｂ＋ｃ）"ＯＣ＝ＯＡ＋ＡＣ，ＡＯＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，所以"$$Ｂ＋"ＣＡＡｂｃ"$"$"$即ＡＯ＝＋ｂＡＢ＋ｃＡＣ＝０，．ＡＢＡＣ-"$ＨＢ＝０’ＨＢ⊥ＡＣ）．例３（２００７年宁波高一二试）Ｏ是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满"$"$Ａ"$"$"$"$$设"ＡＤ＝ＡＢ，ＡＥ＝Ｃ，ＡＰ＝ＡＢ＋ＡＣ＝ＢＡＣＡＢＡＣＡ"$"$ＡＤ＋ＡＥ，则四边形ＡＤＰＥ为平行四边形，因为"$"$足ＯＰ＝ＯＡ＋λ＋Ａ*Ｂｃｏｓ∠ＡＢＣＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ，）"$ＡＢ"$ＡＣ"$"$"$"$ＡＤ、ＡＥ分别为ＡＢ、ＡＣ方向上的单位向量，即"$"$ＡＤ＝ＡＥ＝１，所以四边形ＡＤＰＥ为菱形，所以$ＡＯ＝ＡＰ平分∠ＢＡＣ．又"ｂｃ"$ＡＰ，所以ＡＯ平分（０，＋∞），则Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的（λ∈Ａ．外心Ｃ．重心解Ｂ．内心Ｄ．垂心将所给的条件式化为∠ＢＡＣ．同理，可得ＢＯ平分∠ＡＢＣ，ＣＯ平分∠ＡＣＢ．"$ＡＰ＝λ由于故Ｏ为△ＡＢＣ的内心．点评探求ＡＯ在△ＡＢＣ中的特征时应将"$ＡＢ＋ＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣＣｃｏｓ∠ＢＣＡＡ"$ＡＣ-，"$"$ＯＢ、ＯＣ转化掉，用跟△ＡＢＣ的边有关的向量表示，"$在建构出的新的向量关系等式中寻觅ＯＡ在△ＡＢＣ$数学爱好者#"ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ课余揽胜中的特征．四、平面几何中的求值问题例５（２００６年第（２）证明：ｉ＝１)+ｎｉ＜３．证明（１）因为ａ（ｘ≠ｂ＝－１，所以ｙ＝ｘ３－ｘ＋１（ｘ≠０）．又因为)（０），即ｙ－１＝ｘ－ｘｆａｉ）－ｎ＝)ａｉ３－３ｉ＝１ｉ＝１ｎｎ高二第２“希望杯”１７届试）如图，在△ＡＢＣ中，Ｐ"#"$"$已知ＢＤ＝２ＤＣ，ＡＭ＝３"$Ｄ，过点Ｍ作直线交Ｍ（ｎ∈Ｎ＊），所以)ａ－ｎａｎ２３ｉｉ＝１ｎ)ａ＝)ａｉｉ＝１ｉ＝１ｎｎ３ｉ－ｎ２ａｎ，所以①ＡＢ、ＡＣ于Ｐ、Ｑ两点，则ＡＢ＋２ＡＣ＝＿＿＿＿＿＿＿．解ｉ＝１)ａ＝ｎａ，ｉ２ｎｎ"$$"$"$$构造基底ＡＢ＝ａ，"ＡＣ＝ｂ，则ＢＣ＝ＡＣ－"ＡＢ＝又因为ｉ＝１（)ａ＝ｉｎ－１ｎ－１）２ａｎ－１，②$"$$$ＢＤ＝２ＢＣ＝２ｂ－ａ），"ＤＣ＝１"ＢＣ＝１ｂ－ａ），ｂ－ａ，""$"$"$"$$ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝１ａ＋２ｂ，ＡＭ＝３"ＡＤ＝１ａ＋１ｂ．"$"$"$"$设ＡＰ＝λＡＢ＝λＱ＝μＡＣ＝μａ，Ａｂ，因为点Ｐ，Ｑ，"$"$（１－ｍ）ＡＡ$Ｍ＝Ｐ＋ｍＡＱ（ｍ∈Ｒ），Ｍ三点共线，所以"于是１ａ＋１ｂ＝（１－ｍ）λａ＋ｍμｂ．又ａ、ｂ不共线，所两式相减得：ａｎ＝ｎ２ａｎ－（ｎ－１）２ａｎ－１，所以ａｎ＝ｎ－１ｎ－１，则ａ＝ａｎａｎ－１ａｎ－２ａ２ａ＝ｎ－１×ｎ１ｎ－１ｎ－２ｎ－３１ｎ－２ｎ－３×２－１１＝１ｎ∈Ｎ＊）；。

高考数学竞赛平面向量教案讲义

高考数学竞赛平面向量教案讲义一、平面向量的概念1. 向量的定义：在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对(a, b)表示，其中a和b分别是向量在x轴和y轴上的分量。

2. 向量的表示方法：用箭头“→”表示向量，例如→v = (3, 2)。

3. 向量的长度（模）：向量→v的长度等于√(a²+ b²)，表示为|→v|。

4. 向量的方向：向量的方向由其分量的符号确定，正方向为右上方向，负方向为左下方向。

二、向量的加法和减法1. 向量的加法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的和表示为→v1 + →v2 = (a1 + a2, b1 + b2)。

2. 向量的减法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的差表示为→v1 →v2 = (a1 a2, b1 b2)。

3. 三角形法则：对于任意三个向量→v1, →v2, →v3，有→v1 + →v2 + →v3 = (a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3)。

三、向量的数乘1. 数乘向量：给定向量→v = (a, b)，数k乘以该向量得到k→v = (ka, kb)。

2. 数乘的性质：k(→v1 + →v2) = k→v1 + k→v2，(k1 + k2)→v = k1→v + k2→v。

3. 数乘与向量长度的关系：|k→v| = |k||→v|。

四、向量的数量积（点积）1. 数量积的定义：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的数量积表示为→v1 ·→v2 = a1a2 + b1b2。

2. 数量积的性质：→v1 ·→v2 = →v2 ·→v1，(k→v1) ·→v2 = k(→v1 ·→v2)，→v1 ·(→v2 + →v3) = →v1 ·→v2 + →v1 ·→v3。

高中数学讲义(人教A版必修二)：第07讲平面向量基本定理(学生版)

第07课平面向量基本定理课程标准课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ，实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（）A ．已知向量(,2),(3,1)a b，且a 与b 的夹角为锐角，则23B ．ABC 中，π3,3b c C，则ABC 有两解C ．向量(1,2),(5,7)a b能作为所在平面内的一组基底D ．已知平面内任意四点O ，A ，B ，P 满足1233OP OA OB，则A ，B ，P 三点共线反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G 是ABC 的重心，点D 满足BD DC，若GD xAB y AC ，则x y 为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b ，则AE（）A ．1292525a bB ．16122525a bC ．4355a bD ．3455a b考法02用基底表示向量【典例2】如图，在ABC 中，4BD DC ，则AD（）A ．1455AB ACB ．4155AB ACC ．1566AB ACD ．5166AB AC 【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（）A ．OA ED DO B ．AB EF C ．OB OD D ．AH 和CE能构成一组基底考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ，60BAD ，点E 是BC 的中点，2CF FD ，则AE BF（）A ．6B ．2C ．2D ．6【变式训练】锐角三角形ABC 中，D 为边BC 上一动点（不含端点），点O 满足3AO OD，且满足AO AB AC ，则11的最小值为（）A ．43B ．34C ．3D ．163分层提分题组A 基础过关练1．在ABC 中，点D 在边AB 上，3AD DB .记,CA a CD b ，则CB（）A ．4133a bB ．1433a bC ．4133a bD ．1343a b2．在四边形ABCD 中，//AB CD ，若(,R)AC AB AD ，且3 ，则||||CD AB（）A ．13B ．3C ．12D ．23．如图，已知,,,2OA a OB b OC c AB BC ，则c（）A ．3122b aB ．2b aC ．2a bD ．3122a b4．若向量a 与b是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）A ．a 与a bB ．a b 与2a bC ．25a b 与410a bD ．2a b 与2a b5．如果21,e e表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．212,e e eB ．12212,2e e e eC ．21212,42e e e e D ．1212,e e e e 6．（多选）已知12,e e是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A ．若实数m ，n 使120me ne，则0m n B ．平面内任意一个向量a 都可以表示成12a me ne，其中m ，n 为实数C．对于m ，n R ，12me ne不一定在该平面内D ．对平面内的某一个向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使12a me ne7．（多选）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a表示出来的是（）A ．1(0,0)e ，2(1,2)eB ．1(1,2)e ，2(5,2)eC ．1(3,5)e ，2(6,10)eD ．1(2,3)e ，2(2,3)e8．（多选）已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量3ma b 与 2a m b共线，则实数m 的可能取值为（）A ．1BC ．4D ．39．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．12(1,0),(0,1)e eB ．12(1,2),(2,1)e eC ．1234(3,4),,55e eD ．12(2,6),(1,3)e e10．在平行四边形ABCD 中，2AE AD ，AF AB，若E ，C ，F 三点共线，则实数 ________.11．如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝________.我们把12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.12．已知下列四个命题：①若//a b ，//b c，则// a c ；②设a 是已知的平面向量，则给定向量b 和c，总存在实数和，使a b c ；③第一象限角小于第二象限角；④函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x 的最小正周期为2π.正确的有________.题组B 能力提升练1．已知1e ，2e是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e ，17b e ；②121123a e e ，1232b e e；③12a e e ，1233b e e．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．若12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e ，21e eB ．12e e ，12e eC ．212e e ，212e e D ．122e e ，124e 2e3．若1e ，2e是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）．A ．12e e 和12e eB ．1232e e 和2146e e C ．123e e 和213e e D ．2e 和12e e4．如果12 e e ，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e 与12 e eB ．12 2e e 与12 2e eC ．12 e e 与12e e D ．12 2e e 与122e e 5．在给出的下列命题中，错误的是（）A ．设,,,O ABC 是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R，则点,,A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面上的两个向量，则平面上的任一向量c 都可以表示为(,) c a b R，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量,,OA OB OC 满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC，则ABC 为等腰三角形D ．已知平面向量,,OA OB OC 满足||||(0)OA OB OC r r |=|，且0OA OB OC，则ABC 是等边三角形6．（多选）设a是已知的平面向量，向量,,a b c 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；B ．给定向量b 和c，总存在实数和，使a b c ；C ．给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c和实数，使a b c ；D ．若2a ，存在单位向量,b c 和正实数, ，使a b c，则2 .7．（多选）下列说法中正确的为（）A ．已知 1,2a r ， 1,1b r 且a 与b 的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3B ．向量 12,3e，213,24e不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b 且a 与b 同向，则a bD ．非零向量a ，b ，满足a b a b ，则a 与a b 的夹角为30°8．（多选）下列命题正确的是（）A ．AB MB BC OM CO ABB ．已知向量(6,2)a 与(3,)b k的夹角是钝角，则k 的取值范围是0k C ．若向量 12,3e，213,24e 能作为平面内所有向量的一组基底D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且1AB u u u r ，则（）A ．AH 与CF 能构成一组基底B ．0OD OFC ．OA OCD ．AC CD 10．设12,e e 是两个不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e ．（1）证明：,a b 可以作为一个基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e 的分解式．题组C 培优拔尖练1．在ABC 中，2360AB AC BAC ，，，N 为线段BC 的中点，M 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，两条直线AN 与BM 相交于点P ，则AP BC =（）A ．54B ．74C ．94D ．1142．如图，ABC 中，3BD DC ，AE mAB ，AF nAC ，0m ，0n ，则13m n （）A ．3B ．4C ．43D ．343．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED ，,DF FC AF 与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ，则 AG （）A ．341111a b B ．631111a b C ．451111a b D ．361111a b 4．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD ，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC 的平分线，则BC BA （）A ．4B ．3C ．2D ．125．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b ，则AF （）A ．1344a b B ．2133a b +r r C ．3144a b D ．1233a b 6．在三角形ABC 中，已知D ，E 分别为CA ，CB 上的点，且15AD AC ，13BE BC ，AE 与BD 交于O 点，若CO mCA nCB ，则mn 的值为___________.7．如图，在ABC 中，已知182,,,,49AD DC BE BC AF AE AB a AC b .(1)用向量,a b 分别表示AF 与BD ；(2)证明：,,B F D 三点共线.8．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，且2AB CD ，设,AD a BC b .(1)试用a 和b 表示AC ；(2)若点P 满足34AP a b ，且,,B D P 三点共线，求实数的值.。

高中数学平面向量PPT课件

a
CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
2021/3/8
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关20结21/3论/8 仍适用于它们。
向量减法的三角形法则 2021/3/8
b a
向量加法的平行四边形法则
a k a (k>0) k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
2021/3/8
点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等；（4）两个相等向量的模相等。
2021/3/8
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 C
D.共起点的向量
A2021/3/8
F
若不相等，则之间有什么关系？
D C
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
2021/3/8
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

第6讲平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第06讲平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。

由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

1.模长的范围及最值与向量的模有关的问题,一般都会用到22||a a，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2.夹角的范围及最值类别几何表示坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

考点一、模长的范围及最值问题1．（浙江·高考真题）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c的最大值是A ．1B ．2C ．D ．2．（湖南·高考真题）已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --= 则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，3．（四川·高考真题）已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2BM 的最大值是A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c为单位向量，且357a b -= ，则22a c b c -+- 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．62．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b 满足112a b a b ==⋅= ，22||c b c =⋅ ，则22c c a b-+- 的最小值是.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c + 的最小值为.4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c 满足：10,2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为．5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知3a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d - 的最大值为（）A ．2113+B ．4C ．42123+D ．3136．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===，12a b ⋅= ，,,3a c b c π〈〉+〈〉= ．若,R m n ∈，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-的最小值为（）A ．0B ．32C ．1D ．3考点二、夹角的范围及最值问题1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x == ，则cos ,OA OB 〈〉的最小值为.2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y满足关系(),2a y x b mx y m =-=-≥ ，又设a 与b 的模均为1且互相垂直，则x 与y的夹角取值范围为.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π61．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a 与b的夹角为锐角，c 为b 在a 方向上的投影向量，且||||2c a == ，则a b c ++r r r 与b的夹角的最大值是．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b 满足1a a b =+= ，12a b ⋅=- ，向量p 满足()2p a b λλ=-+ ，当p 与p a -的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为.3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b ru r 是空间单位向量，0a b ⋅= ，若空间向量c满足：1,2,10c a c b c ⋅=⋅==r r r r r 则a b c ++=，对于任意,x y R ∈，向量c与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m 、n为单位向量，则向量2m n + 与n 夹角的最大值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2023·北京·模拟预测）平面向量a ，b 满足3a b =r r ，且4a b -= ，则a 与a b -夹角的正弦值的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．233．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足1a = ，b = ，32a b ⋅=- ，,30a c b c --︒= ，则c的最大值等于（）A ．B C ．D ．5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，若||a tb + 则22r t +的值为（）．A ．52B ．94C ．4D ．1746．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足3a b += ，0a b ⋅= ，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c r的最大值为（）A ．3B ．2C ．12D ．327．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c - 的最小值为（）A1BC 1D 8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a →，||b →=a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b 满足22a b == ，对任意的0,a b λλ>-则a 与b的夹角为．10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b 满足1a b -= 且a b ⊥ ，当向量a b - 与向量3a b -的夹角最大时，向量b的模为．11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b ，若对任意实数x ，xa b -恒成立，则向量,a b 的夹角的最小值为.12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a ，向量b 与a不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b 的最大值为．13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅=== a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅a eb e 的最大值15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，()()0a b a c -⋅-= ，3b c -= ，则a b c ++的最大值是.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a ，b 满足6a b += ，若a 在b方向上的投影与b在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则a ，b 夹角的余弦值的最小值为．17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a ，b ，c满足4a b -= ，且()()1a c b c -⋅-=- ，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是.18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，2AF FE =，若设,BA a BC b == ，则BF可用a ，b 表示为；若ADE V 的面积为2，则BF 的最小值为．19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a ，b满足||3a = ，1b ||=，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+ ，且()()0(1,2),i i i c a c b -⋅-==则12c c - 的取值范围是20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c 满足74a b ⋅= ，3a b -=,()()2a c b c -⋅-=- ,则c 的取值范围是；已知向量,a b 是单位向量，若0a b =，且2c a c b -+-=r r r r 2c a +r r 的取值范围是.。

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(8)平面向量

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2 λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx 1y 2=x 2y 1, abx1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分所成的比，若O 为平面内任意一点，则。

(完整版)平面向量全部讲义

高中数学高考专题讲义12平面向量(二)

年级：辅导科目：数学课时数：课题平面向量〔二〕教学目的教学内容第三节平面向量的数量积〔一〕高考目标考纲解读1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．考向预测1．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题．2．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．〔二〕课前自主预习知识梳理1．两个向量的夹角定义两个向量a和b，作OA＝a， OB＝b，那么∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.向量垂直如果向量a与b 的夹角是，那么a与b垂直，记作⊥.ab2．平面向量的数量积(1)两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，那么数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.向量的投影定义：设θ为a与b的夹角，那么(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a | 与b 在a 方向上的射影的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1) e ·a ＝a ·e ＝；(2) 非零向量a ，b ，a ⊥b ? ；(3) 当 a 与 b 同向时， a· ＝，当a 与b 反向时，a· ＝,· ＝，| a |＝bb aa(4)cos θ＝(5)| a ·b | |a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1) a ·b ＝(交换律)；(2)( λ)· b =＝(λ为实数)；a(3)( a ＋b )·c ＝.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x 1,y 1)，b(x 2,y 2)，那么ab =2或a =〔1〕假设a =,那么a =〔x 1,y 1)〔2〕设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点间的距离AB =AB =〔3〕设a(x 1,y 1)，b(x 2,y 2)，那么ab〔4〕向量a 与b 的夹角为，那么cos=〔三〕根底自测1 11．(2021·安徽)设向量a ＝(1,0) ，b ＝(2，2)，那么以下结论中正确的选项是()A ．|a |＝||B ． ·＝2 C ．－与 b 垂直D ． ∥bbab2aba[答案]C[解析]1 1a －b ＝(，－)221 1 1 1(a －b )·b ＝(2，－2)·(2，2)＝0.即a －b 与b 垂直，应选C.2．(2021·新课标)a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，那么a ，b 夹角的余弦值等于()8816 16A.65 B ．－ 65C.65D ．－65[答案] C[解析]此题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单．由题可知，设＝(， )，那么2 ＋＝(8＋x, 6＋)＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，＝12，故＝(－5,12)，bx y a byy ba ·b16所以cos 〈a ，b 〉＝|a||b| ＝65，应选C.3．以下各式：22a ·bb222222①a ＝|a | ②a 2＝a ③(a ·b )＝a·b④(a －b )＝a －2a ·b ＋b其中正确的有________个．( )A ．1B ．2C．3D ．4[答案]B[解析]a ·b |a ||b |cos θ|b |cos θ B.①正确．②错，∵a 2 ＝|a |2＝|a |，∴②错．③错．④正确，∴选4．两单位向量a ，b 的夹角为60°，那么两向量 p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为()A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°[答案] B[分析]此题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．[解析]p ·q ＝(2a ＋b )·(－3a ＋2b )＝－6a 2＋ab ＋2b 2227＝－6a ＋|a |·|b |·cos60°＋2b ＝－，| p|＝|2＋|＝ a＋b 2＝42＋4＋2ab aab b＝4a 2＋4|a ||b |·cos60°＋b 2＝7，|q |＝|－3a ＋2b |＝－3a ＋2b2＝9a 2－12ab ＋4b 2＝ 9a 2－12|a || b |·cos60°＋4b 2＝7，· q1而cos 〈p ，q 〉＝|p |·|q |＝－2.即p 与q 的夹角为120°.5．(2021·江西文)向量 a ， b 满足||＝2， a 与 b 的夹角为60°，那么 b 在 a 上的投影是____________．b[答案]1b ·a[解析]此题考查了向量的投影问题，l ＝|a|＝|b|·cos60°＝1，属概念性考查．6．(08·天津)如图，在平行四边形中，→ ＝(1,2) ，→＝(－3,2)，那么 → · →＝________.ABCD ACBDADAC[答案] 3[解析]→1→→＝(－1,2) ，AD ＝(AC ＋BD )2∴ →·→ ＝－1＋4＝3.ADAC7．i ，j为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．[解析]∵设a与b的夹角为θ，那么θ∈0，π，2∴·>0且a ，b不同向．ab221由a·b>0，得|i|－2λ|j|>0得λ<2.当a，b同向时，由a＝kb(k>0)，得λ＝－2.11.∴λ的取值范围为λ<2且λ≠－2.〔四〕典型例题命题方向：数量积的运算[例1](1)等边三角形的边长为1，求：①→·→＋→·→＋→·→；②|→－2→|；ABC AB ACAB BC ACBC ABAC →→→→．③(2AB－AC)·(3AB＋2BC)(2)假设a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.[分析]利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义．[解析]→→→→→→(1)①AB·AC＋AB·BC＋AC·BC→→·cos A＋|→→→→·cos C＝|AB||AC|AB||BC|·cos(180°－B)＋|AC||BC|1 1 11cos60°＋cos120°＋cos60°＝2－2＋2＝2.②→→＝|AB―→－2 |AB－2AC|2AC―→|＝―→2－4―→·―→＋4―→2＝1－4×1×1×cos60°＋4＝1－2＋4＝3.AB AB AC AC③→→→→→2→→→→→→(2AB－AC)·(3AB＋2BC)＝6AB＋4AB·BC－3AB·AC－2AC·BC33＝6＋4×cos120°－3×cos60°－2×cos60°＝6－2－2－1＝2.(2)∵－2＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)ab2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)(a－2b)(2a＋3b)＝(－1，－6)·(12，－5)＝－1×12＋(－6)×(－5)＝18.|a＋2b|＝a＋2b2＝3＋2×22＋－4＋2×12＝49＋4＝53. [点评]向量的数量积是向量与向量之间的一种运算，但运算结果却是一个数量．→2．两个向量的夹角必须是起点相同时，所得几何图形的角，对于首尾相接时，应是几何图形内角的补角，如本例中AB→与BC夹角是∠B的补角，而不是∠B，这点应特别注意，否那么会出现错误．3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由条件的特征来选择．4．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)假设a＝(x，y)，那么|a|＝22 x＋y.跟踪练习1：33x xππ向量a＝cos2x，sin2x，b＝cos2，－sin2，且x∈－3，4.求a·b及|a＋b|；假设f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．[分析]利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a＋b|时注意x的取值范围．3x3x[解析](1)a·b＝cos2x cos2－sin2x sin2＝cos2x，|a ＋b|＝cos3x＋cosx2＋sin3x－sinx2＝＋2cos2x＝2|cosx|，22222ππx∈－3，4，∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x.2123(2)f(x)＝cos2x－2cos x＝2cos x－2cos x－1＝2cos x－2－2.∵x∈－π，π134，∴2≤cos x≤1，13∴当cos x＝2时，f(x)取得最小值－2；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.[点评]与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.命题方向：模与垂直问题[例2]|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|a＋b|，|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?[分析](1)利用公式|a|＝a2和|a＋b|＝a＋b 2求解；(2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.1[解析]由，a ·b ＝4×8×－2 ＝－16.(1)∵| a ＋|2＝2＋2 ·＋ 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，baa b b|a ＋b |＝43.|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a －2b |＝16 3.假设(a ＋2b )⊥(ka －b )，那么(a ＋2b )·(ka －b )＝0，∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7.[点评] 1.当a 与b 是坐标形式给出时，假设证明 a ⊥b ，那么只需证明 a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明 a ·b ＝0.跟踪练习 23π向量 m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为 4，且m ·n ＝－1.求向量n ；2π x(2)设向量a ＝(1,0) ，向量b ＝cos x ，2cos 3－2，假设n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围． [解析](1)设n ＝(x ，y )，由得x ＋y ＝－1，x ＋y ＝－1，－12＝cos3π，即2 2 ＝1，2＋y 4x ＋y2xx ＝－1，x ＝0， ∴n ＝(－1,0) 或(0，－1)．解得或y ＝0y ＝－1，(2) ∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)，＋＝cos x ， 2co s 2π－x－ 1＝ cos x ，cos 2π －x ，nb3 234πx2222π1＋cos2x1＋cos 3 －2 故|n ＋b | ＝cos x ＋cos3 －x = 2 ＋214π 1π ＝1＋2 cos2x ＋cos3－2x ＝1＋2 cos2x －cos3 －2x11 31 131π＝1＋2cos2x －2cos2x －2sin2x ＝1＋2 2cos2x －2sin2x ＝1＋2cos2x ＋3，123 26∴2≤|n ＋b |≤2，故2≤|n ＋b |≤2.命题方向：平面向量的夹角问题[例3] a ，b 都是非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．a ·b[分析]由公式cos<a ，b>＝||| |可知，求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积．a b此题中| a|＝| | ＝| a－ b |的充分利用是求数量积的关键，考虑怎样对条件进行转化．b2 22 2212[解析]方法一：由|a | ＝| b |＝|a －b |得|a |＝|b | ，|b |＝a －2a ·b ＋b ，所以a ·b ＝2a .22221 22而|a ＋b | ＝| a | ＋2a ·b ＋| b | ＝2|a | ＋2×2| a | ＝3| a |，所以|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，那么2＋12aa ＋ba2a3cos θ＝|a || a ＋b | ＝ 3|a |2＝2 ，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.2222 21122 )，由|a |＝|b |＝|a －b |得，|a |＝| b | ，|a －b |＝a －2a ·b ＋b ，方法二：设a ＝(x ，y)，b ＝(x ，y22222222所以x 1 ＋y 1 ＝x 2＋y 2＝x 1＋y 1＋x 2 ＋y 2－2x 1x 2－2y 1y 2，1 2 2 即x 1x 2＋y 1y 2＝2(x 1 ＋y 1)，2222 2222 2所以|a ＋b | 12＋(y121＋y12212 1 211)，＝(x ＋x )＋y )＝x＋x＋y＋2x x ＋2yy ＝3(x＋y故|a ＋b |＝322设a 与a ＋b 的夹角为θ，x 1＋y 1.221 2 2aa ＋bx 1＋y 1＋ 2 x 1＋y 13那么cos θ＝| a ||a ＋b | ＝2 222＝，x 1＋y 1 3x 1＋y 1 2由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.[点评]1.求向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2) 数量积大于 0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得 a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．3．假设a 与b 的坐标，那么可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 22来求夹角．x 2221 ＋y 1x 2＋y 2跟踪练习 3：(2021·全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，那么〈a ，b 〉＝()A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案]B[解析] 此题主要考查向量运算的几何意义．|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c∴如下列图就是符合的向量，易知 OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴〈 a ，b 〉＝120°.〔五〕思想方法点拨高中数学高考专题讲义12平面向量(二)11 / 1111。

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