条件概率学案
《条件概率》学案
能够做到这两点，你就非常地OK 啦！§2.2.1条件概率（第一课时）（学案）东阳市横店高级中学 周永刚一、学习内容：本节内容是必修的独立性》的基础.在本节中，我们将学习条件概率的概念和它的许多计算方法.很有趣哦！二、学习目标：1.你需要深刻理解条件概率的概念；2.你还要掌握条件概率的的计算方法. 三、学习过程：有三扇门，只有一扇门后有奖品.你选了一扇，主持人从你没选的两扇门中排除一扇没有奖品的门，问你改不改变你原来的选择？这是美国的一个电视台在某次节目中抛出的一个题目.数学家不休的争论呢！你会作这样的选择？能够用概率的知识说明吗？问题情境1：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取, 问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？是否比其他同学小？请研读教材P51-52.并思考以下三个问题：思考1：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？思考2：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？思考3：对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？问题情境2：抛掷一枚质地均匀的硬币两次.（1）第一次是正面的概率是多少？（2）第二次是正面的概率是多少？（3）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？思考：已知有一次正面向上的条件下为什么会影响两次都正面向上的概率？类比思考：对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？1.条件概率的概念一般地，设A ,B 是两个事件，且0)(>A P ，称=)(A B P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率. )(A B P 读作 . 为了区别于条件概率，我们也可以把不涉及到其他事件的概率称为无条件概率.2.条件概率的性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都啊0和1之间，即 ；（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则=⋃)(A C B P .思考： (1)=Φ)(A P ；=)(A A P ；=Ω)(A P ；(2)当A 与B 互斥时，=)(A B P ； (3)=+)()(A B P A B P .3.条件概率计算公式：（1）定义式：=)(A B P ； （定义法）（2）对于古典概型，有=)(A B P )()(A n AB n . （缩减样本空间法） 4.概率乘法公式：⋅=)()(A P AB P ⋅=)(B P .A 级1.把一枚硬币任意抛掷两次，事件=A “第一次出现正面”，事件=B “第二次出现正面”，求)(A B P .2.已知21)()(==A B P B A P ,31)(=A P ,则=)(B P .3.盒子中有10个外形相同的球，其中5个白的2个黄的3个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.B 级4.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A =“三个人去的景点不相同”，B =“甲独自去一个景点”，则概率=)(B A P .5.一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求：（1）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率；（2）第一次是白球的情况下，第二次取得白球的概率.第一关：条件概率的判定例1.判断下列是否属于条件概率：（划去错误的选项）（1）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.则第一次抽到A ，第二次也抽到A 的概率（是，不是）条件概率.（2）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.则第二次抽到A 的概率（是，不是）条件概率.（3）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.已知第一次抽到A ，则第二次也抽到A 的概率（是，不是）条件概率.点评：看一个事件的概率算不算条件概率，就看这个事件有没有涉及到别的事件，是否建立在别的事件已经发生的基础上.某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。
高中数学教案-条件概率
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品
中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，
问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？
记A={取到一等品}，B={取到正品}
P(A )=3/10， P(B) 7
P(A B )=3/10， 10
P(A|B)=？3 3 10 P( A B) 7 7 10 P(B)
AB B
A
深化理解
1、准确把握公式的形式。
P（B A） P(A B) P（A |
P( A)
B）
P(A B) P(B)
在A发生的条件 下事件B的概率
在B发生的条件 下事件A的概率
2、计算条件概率的两种思维。
(1) 用上面的公式计算;
(2)根据加入条件后改变了的情况来计算.
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.
解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，
P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(A∩B)=0.12， 则
P(A | B) P(A B) 0.12 0.67 , P(B) 0.18
P(B | A) P( A B) 0.12 0.60, P( A) 0.2
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余 的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依 次抽取.
2022年《条件概率》参考学案
.1条件概率学习目标了解条件概率的概念了解条件概率的乘法公式学习过程一、课前准备预习教材找出疑惑之处，并准备解决下面问题:在一次抛掷两粒质地均匀骰子试验中，问两粒骰子正面向上数字之和是7的概率二、新课导学【学习探究】一抛掷一枚质地均匀的硬币两次.〔1〕两次都是正面向上的概率是多少？〔2〕在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？〔3〕在有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？新知1 条件概率一般地，假设有两个事件A和B，在事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，那么称此概率为B已发生的条件下A的条件概率.记为.试试用条件概率的相关知识表示一下学习探究一中的问题思考假设事件A与B互斥，那么等于多少？新知2 事件AB表示事件A和事件B同时发生【学习探究】二通过具体事例来发现，三者的关系，证明不作要求。
新知 3 条件概率公式乘法公式一般地，假设,那么事件B已发生的条件下A发生的条件概率是乘法公式【数学运用】例1 教材例1例2 教材例2例3 教材例3小结〔1〕条件概率的“条件〞可以理解为“前提〞的意思〔2〕本章中条件概率仍可用古典概型知识求解学习评价当堂练习1.练习1,22．P(B|A)=,P(A)=,那么P(AB)=_______________．3．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，假设用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，那么P(A|B)=_______________．4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，那么在下雨天里，刮风的概率为_______________．课后拓展1．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为，活到25岁以上的概率为.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是________．2．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表〔1〕求这个代表恰好在第一小组内的概率〔2〕求这个代表恰好是团员代表的概率〔3〕求这个代表恰好是第一小组内团员的概率〔4〕现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率3．一个家庭中有两个小孩，其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？〔每个小孩是男孩和女孩的概率相等〕本课时小结。
4.1.1条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册。教师需提前检查教材的完整性，确保学生能够跟随教学进度。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些关于条件概率的实例，如疾病与症状之间的关系、判断事件的独立性等，以帮助学生更好地理解概念。此外，还可以准备一些实际问题，让学生在课堂上进行讨论和解决。
5. 条件概率的应用：
条件概率在实际生活中有着广泛的应用，例如判断疾病的症状与疾病之间的关系、判断事件的独立性、求解概率的最大值等。通过条件概率的学习，学生可以更好地理解和解决实际问题。
七、教学反思与总结
今天讲授的是条件概率，这个概念对学生来说相对抽象，且与之前学习的概率知识有较大的区别。在教学过程中，我尝试采用了多种教学方法和策略，以提高学生的理解和应用能力。
8. 教学反思表：准备一份教学反思表，让学生在课后对自己的学习情况进行评估，以便教师了解学生的学习效果，调整教学方法和策略。
9. 作业布置：根据教学内容，布置相应的作业，让学生巩固所学知识。作业应包括习题和实际问题，以培养学生的应用能力。
10. 课后辅导：为那些在课堂上没有完全理解的学生提供课后辅导机会，可以安排课后答疑时间，或者建立线上辅导群，以便学生随时提出问题，教师及时解答。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习条件概率时，学生可能对全概率公式和贝叶斯公式的理解有困难，不知道如何正确运用这些公式。此外，学生可能对如何将实际问题转化为条件概率模型感到困惑，不知道如何从实际问题中提取关键信息。还有，学生在解决实际问题时，可能不知道如何判断事件的独立性，以及如何求解概率的最大值等。这些都是学生在学习本节课时可能遇到的困难和挑战。
4.1.1条件概率学案-高二下学期数学人教B版选择性
2020a x ++，则202013a ++=【主问题的提出】如何利用条件概率公式解决一些简单的实际问题【主问题的解决】【情景与问题】金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力。
以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是 12 .如果某个家庭中先后生了两个小孩：（1)当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？（2)当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？【尝试与发现】已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人，现从这个班级中随机抽出一名学生：（1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率；（2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率．【尝试与发现】观察上述A 与B 之间的关系，试探讨怎样才能求出()B A P条件概率定义：当事件B 发生的概率大于0时（即()0>B P ),一直事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为条件概率，记作()B A P ，且()()()B P B A P B A P =. 【主问题的应用】【典型例题】例1.掷红、蓝两个均匀的骰子，设A:蓝色骰子的点数为5或6；B ：两骰子的点数之和大于7. 求已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()A B P .例2.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为%20与%18，且两地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里：（1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；（2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 例3.已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率为多少？。
高中数学《条件概率》导学案
2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率导学案一、学习目标：1．在具体情境中，了解条件概率的概念． 2．掌握求条件概率的两种方法．3．利用条件概率公式解一些简单的实际问题. 教学重点难点（教学重点）掌握求条件概率的两种方法．（教学难点）利用条件概率公式解一些简单的实际问题.二、学习过程 导入新课问题1：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取一张，那么最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？问题2：如果已经知道第一名同学没有中奖，那么最后一名同学中奖的概率是多少？问题1中我们不难用古典概型概率公式计算出先抽与后抽的概率同为1/3 ；而问题2就是我们今天要研 究的条件概率问题.探究点1 条件概率的概念及性质我们来解决引入时提出的问题2，设三张奖券分别为X ,X ,Y 12 ，其中Y 表示中奖奖券，且Ω 为所有结果组成的全体，“最后一名同学中奖”为事件B ，则所研究的样本空间211.423=> 可设“第一名同学没有中奖”为事件A {}12211221.,,,=X YX X YX X X Y X X Y由古典概型概率公式，所求概率为211.423=> 因为已知A 发生导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，所以B ⊆ A; 而在事件A 发生的情况下，事件B 发生 ----事件A 和B 同时发生，即事件AB 发生.而此时A ∩B=B. ()()()n AB P B A n A =记和 为事件AB,事件B 和事件A 包含的基本事件个数. 提问：既然前面计算 ()()()=n AB P B A n A ,涉及事件A 和AB ，那么用事件A 和AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表示P (B |A ）吗？条件概率一般地，设A ，B 为两条件概率个事件 ，且 ，称为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.事件B 发生的条件概率.P(B |A ）读作A 发生的条件下B 发生的概率， P(B|A ）相当于把A 当作新的样本空间来计算AB 发生的概率.{}122112211221Ω=X YX ,X YX ,X X Y,X X Y,YX X ,YX X ，{}1221,.B X X Y X X Y =(),()n AB n B ()n A ()()()/()()()()/()()Ω===Ωn AB n AB n P AB P B A n A n A n P A ()0>P A ()()()=P AB P B A P A ()()()()()==n AB P AB P B A n A P A条件概率的性质：（1）有界性：()0 1.≤≤P B A（2） 可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则探究点2 条件概率的简单应用例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.【变式练习】掷两颗均匀骰子,问:⑴ “ 第一颗掷出6点”的概率是多少？ ⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?⑶ “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？解题总结你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？求解条件概率的一般步骤：1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB ），P(A)或n(AB),n(A)(3)利用条件概率公式求例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率.(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. ()()().=+P B C A P B A P C A ()()()()()==P AB n AB P B A P A n A三、总结反思（a ）求条件概率的常见方法有哪些？计算事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，有两种方法： (1)利用定义计算：分别计算概率P (AB )和P (A )，然后将它们相除得到，即条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)利用缩小样本空间的观点计算:在这种观点下，原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为事件AB ，从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型计算概率的公式计算条件概率，即P (B |A )＝n （AB ）n （A ）（b ）知识体系小结： 1. 条件概率的定义：2. 条件概率的性质：(1)有界性.（2）可加性.3. 条件概率的计算方法：（古典概型）；4. . 求解条件概率的一般步骤用字母表示有关事件---------求相关量---------代入公式求四、随堂检测1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于( )A. 56B. 910C. 215D. 1152．抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.353.某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人.来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是_________.()()()n AB P B A n A =()().()=P A B P B A P A。
高中数学教案_条件概率
高中数学教案_条件概率一、教学目标：1、了解条件概率的概念和公式。
2、掌握简单的条件概率计算方法。
二、教学重点：2、通过练习，能够熟练的进行条件概率的计算，能够应用条件概率计算实际问题。
1、掌握能够应用条件概率计算实际问题。
2、分析实际问题时要确定条件。
四、学法指导：通过练习辅助学习。
五、教学方法：1、课堂讲解法。
3、练习法。
六、教学过程：条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，在记作P(A/B)。
它表示的是在B发生的条件下，A发生的可能性大小。
（1）乘法公式P(A∩B)=P(A/B)×P(B)其中，P(A∩B)表示A与B的交集的概率，P(A/B)表示B发生的条件下，A发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
（2）全概率公式设S为样本空间，E1,E2,E3,………En为互不相交的有限个事件，且它们构成了一个完备事件组，即E1∪E2∪E3∪……En＝S，且P（Ei）≠0(i=1,2,…n)，则对于任一事件A，有P(A)=P(A/E1)P(E1)+P(A/E2)P(E2)+…+P(A/En)P(En)（3）贝叶斯公式例1：有五件产品，其中两件有缺陷。
从这五件产品中随机抽两件检验，已知第一次检验的产品没有缺陷，求第二次检验的产品也没有缺陷的概率。
解：设事件A为第一件产品无缺陷，事件B为第二件产品无缺陷，则所求概率为P(B/A)。
根据条件概率公式有由于第一次检验产品无缺陷，因此共有4种情况，即AB、AC、AD、AE。
而AB满足第二次检验产品无缺陷，因此P(A∩B)=1/4，P(A)=3/4，故P(B/A)=1/3。
例2：已知一种疾病患病率为0.01，一种检查疾病的方法的准确率是90%，若检查结果显示疾病有，求实际患病的概率。
由题可知，P(A)=0.01，P(B/A)=0.9，P(B/∁A)=0.01，P(∁A)=0.99，代入公式中可得P(B)=0.9×0.01+0.01×0.99=0.019七、作业：1、小球堆问题：有一堆共10个小球，其中有些白的，有些黑的，每次从中随机取出一个小球进行观察，观察后将小球放回原堆中，现已知连续两次取出的小球的颜色均相同，求第三次取出白色小球的概率。
4.1.1条件概率 学案-2021-2022学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册
学科 数学 年级 高二 时间 2022 年月 日 课题 2.2.1条件概率课型新授课课时共1课时主备教师刘海刚学习目标1.在具体情境中，了解条件概率，能利用条件概率的公式解决简单的问题。
2.通过实例探究条件概率的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的探究方法，学会求条件概率的方法．3.体会数学来源于实践又服务于实践，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．学习重点 加强对条件概率的理解，以及如何求条件概率。
学习难点 加强对条件概率的理解，以及如何求条件概率。
课前预习学生预习提纲一、知识点复习：古典概型求概率的方法：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()P A =5655fjs lj。
二、条件概率：条件概率的定义：一般地，当事件B 发生的概率大于0时（即()0P B >），已知 的条件下，事件A 发生的概率叫做条件概率，记作 ，而且(|)P A B =dfsfsfsfsdffsfdsf.例1 抛掷红、蓝两个均匀的骰子，设A ：蓝色骰子的点数为5或6， B ：两颗骰子的点数之和大于7.求已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率(|)P B A .课前预习学生预习提纲【针对性练习】抛掷红、蓝两个均匀的骰子，设A：蓝色骰子的点数为1或2， B：两颗骰子的点数之和小于5.求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率(|)P B A.例2已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%,且两地同时下雨的概率为12%.求春季的一天里：（1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；（2）已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率。
【针对性练习】气象资料表明，某地区每年7月份刮台风的概率为35，该地区每年7月份下大雨的概率为45，该地区每年7月份即刮台风又下大雨的概率为2750.求该地每年7月份：（1）已知刮台风的条件下，也下大雨的概率；（2）已知下大雨的条件下，也刮台风的概率。
条件概率 教案
条件概率教案教案标题：条件概率教学目标：1. 理解条件概率的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握条件概率的计算方法。
3. 能够运用条件概率解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书工具及白板。
3. 学生练习题集。
教学过程：引入活动：1. 引导学生回顾概率的基本概念，并与实际生活中的例子联系起来。
2. 提出问题：当我们已知某个事件A已经发生时，另一个事件B发生的概率会受到影响吗？知识讲解：1. 解释条件概率的概念：条件概率是指在某个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。
2. 介绍条件概率的计算公式：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
3. 通过实际例子演示如何计算条件概率。
示例练习：1. 提供一些练习题，让学生通过计算条件概率来解决实际问题。
2. 引导学生思考如何应用条件概率解决实际生活中的问题，例如天气预报、医学诊断等。
讨论与总结：1. 引导学生讨论他们在解决练习题过程中的思路和方法。
2. 总结条件概率的重要性及其在实际生活中的应用。
3. 鼓励学生提出问题和疑惑，并进行解答和讨论。
作业布置：1. 布置一些练习题，要求学生运用条件概率解决问题。
2. 鼓励学生在日常生活中观察和思考条件概率的应用场景，并记录下来。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步研究条件概率的相关知识，如贝叶斯定理等。
2. 推荐相关阅读材料或在线资源，以加深学生对条件概率的理解。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂讨论和练习中的表现。
2. 学生提交的作业练习。
教学资源：1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书内容的照片或复印件。
3. 学生练习题集。
教学反思：1. 教师应根据学生的理解情况和学习进度，适时调整教学内容和节奏。
2. 教师应鼓励学生积极参与讨论和思考，提高他们的问题解决能力和创造力。
条件概率的学案
§2.1条件概率与独立事件（导学案）【学习目标】1、了解条件概率的概念，能利用概率公式解决有关问题；2、理解事件的相互独立性，掌握相互独立事件同时发生的概率. 【学习重难点】重点：条件概率的计算公式及相互独立事件同时发生的概率的求法 难点：条件概率和互相独立事件概念的理解 【学法指导】1、讨论法和勾画圈点法。
2、借助“导学教程”，从整体上把握本节的主要知识点。
3、将预习中不能解决的问题标出来。
【预习导学】 （一）温习1、什么叫互斥事件？对立事件？2、什么叫古典概型？古典概型的特征是什么？3、写出古典概型的计算公式：(二)、探究探究问题1：100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格。
用A 表示取出的产品长度合格，用B 表示取出的产品质量合格，用C 表示取出的长度、质量都合格 1、求()()()P A P B P C2、任取一件产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？3、观察问题2所得概率与()()P A P C 和之间有何关系？由上述问题抽象概括：给出条件概率的定义：1、当()0P B >时，B 发生时A 发生的概率为：()P A B =2、当()0P A >时，A 发生时B 发生的概率为：()P B A = 探究问题二：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随即取出1张，用A 表示取出的牌是“Q ”，用B 表示取出的牌是红桃，是否可以利用P （B ）及P （AB ）计算()P A 、()P A B 并比较这两个概率之间关系？暗含什么结论？ 由上述问题抽象概括：1、当事件B 发生不影响事件A 的概率时， ()P A =2、什么叫相互独立事件？相互独立事件同时发生的概率公式为:()P AB = 【注】：1、独立事件与互斥事件两者之间关系：(1)独立事件强调一个事件的发生对另外事件没有影响；互斥事件强调的是两事件不能同时发生。
人教A版选择性必修第三册 第七章 第1课时 条件概率 学案
§7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率第1课时 条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 导语集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是：袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案：(1)若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱；(2)若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？一、条件概率的理解问题 抛掷一枚质地均匀的硬币两次．(1)两次都是正面向上的概率是多少？(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？提示 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{}正正，正反，反正，反反，其中两次都是正面向上的事件记为B ，则B ＝{}正正，故P (B )＝14. (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A ，则A ＝{}正正，正反，反正，那么，在A 发生的条件下，B 发生的概率为13.在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为C ，则C ＝{}正正，正反，那么，在C 发生的条件下，B 发生的概率为12.在事件C 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． 知识梳理条件概率：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．注意点：A 与B 相互独立时，可得P (AB )＝P (A )P (B )，则P (B |A )＝P (B )．例1 判断下列几种概率哪些是条件概率：(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率．(2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率．(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是．反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率答案 B解析 由条件概率的定义知B 为条件概率．二、利用定义求条件概率例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n (Ω)＝A 26＝30. 根据分步乘法计数原理，得n (A )＝A 14A 15＝20，所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35. 延伸探究 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到语言类节目”为事件C ，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC .P (A )＝23，P (AC )＝830＝415，∴P (C |A )＝P (AC )P (A )＝25. 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )．(2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．跟踪训练2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解 设A ＝“抽到的两张都是假钞”，B ＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P (A |B )．∵P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217.三、缩小样本空间求条件概率例3 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 延伸探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A 为“甲抽到的数大于4”，事件B 为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解 甲抽到的数大于4的样本点有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5,2)，(6,1)，共2个，所以P (B |A )＝212＝16. 反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A ，原来的事件B 缩小为事件AB .(2)数：数出A 中事件AB 所包含的样本点．(3)算：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求得结果． 跟踪训练3 (1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )等于( )A.112B.14C.29D.23答案 C解析 由题意知，事件A 包含的样本点是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的样本点是(1,3)，(3,1)，共2个，所以P (B |A )＝29. (2)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．答案 12解析 设第1次取到新球为事件A ，第2次取到新球为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3×23×4＝12.1．知识清单：(1)条件概率的理解．(2)利用定义求条件概率． (3)缩小样本空间求条件概率．2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法．3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．1．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )等于( ) A.12B.29C.19D.49答案 A解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12. 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45答案 A解析 根据条件概率公式得所求概率为0.60.75＝0.8.3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( )A.49B.29C.12D.13答案 C解析 由题意可知．n (B )＝C 1322＝12， n (AB )＝A 33＝6，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. 4．从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________．答案 34解析 由题意，知从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数所包含的样本点有(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，共8个；第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的样本点有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，共6个，因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为P ＝68＝34.。
4.1.1条件概率教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
教学设计课程基本信息课题4.1.1条件概率教学目标1. 结合古典概型，了解条件概率的概念。
2. 结合古典概型，能计算简单随机事件的条件概率。
3.了解条件概率的性质。
教学内容教学重点： 条件概率概念的理解 教学难点： 条件概率概念的理解教学过程一、情境与问题1. 金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力.以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是12.如果某个家庭中先后生了两个小孩：（1）求两个小孩中有男孩的概率为多少？（2）当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？ （3）当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩的概率为多少？ 2.对于事件A 和事件B ，当它们互斥时，和事件A B 的概率()()()P A B P A P B =+；当它们不互斥时，有()()()()P A B P A P B P A B =+-;当它们相互独立时，积事件A B的概率()()()P AB P A P B =.当它们不独立时，如何计算()P A B 呢？二、尝试与发现 1.问题解答情境1中的问题：从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是12.如果某个家庭中先后生了两个小孩： （1）求两个小孩中有男孩的概率为多少？（2）当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？ （3）当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩的概率为多少？解答：（古典概型）用(),g b 表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，该试验的样本空间{}(,),(,),(,),(,)g b g g b g b b Ω=（1）记“两个小孩中有男孩” 为事件D ，{}(,),(,),(,)D g b b g b b =，故()3()()4n D P D n ==Ω. （2）记“较大的小孩是女孩” 为事件A ，记“较小的小孩是男孩” 为事件B ，{}(,),(,)A g b g g = “已知较大的小孩是女孩的条件下，求较小的小孩是男孩的概率”，相当于以A 为样本空间，看事件AB 发生的概率, {},AB g b =（）,故所求概率为(AB)1(A)2n n =. （3）记“两个小孩中有女孩” 为事件C ，记“两个小孩中有男孩” 为事件D ，{}(,),(,),(,)C g b g g b g =“已知两个小孩中有女孩的条件下,求两个小孩中有男孩的概率”，相当于以C 为样本空间，看事件CD 发生的概率, {},,CD g b b g =（）,（）,故所求概率为()2()3n CD n C =. 指出为什么这里要看“事件AB 发生的概率”，“事件CD 发生的概率”，便于转化为在样本空间 Ω考虑问题. 2.思考探究“当已知两个小孩中有女孩的条件下,求两个小孩中有男孩的概率” 这样的概率称为条件概率，记事件“ 两个小孩中有男孩”为事件A ,“两个小孩中有女孩”为事件B ，即求已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，记作(A )P B .一般地，怎样求(A )P B ？法1：在缩小的样本空间上计算事件的概率. 以B 为样本空间，看事件AB 发生的概率. 思考：能否利用(),(),()P A P B P AB （不一定全要用到）来求()P A B ？法2：情境问题1，{}(,),(,),(,),(,)g b g g b g b b Ω=,第（2）问中“较大的小孩是女孩且较小的小孩是男孩”的概率为14，“较大的小孩是女孩”的概率为2142=，所求“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩”的概率为1114122p ==；第（3）问中“两个小孩中有女孩且有男孩”的概率12，“两个小孩中有女孩”的概率34，所求“当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩“的概率为2122334p ==.归纳有：()()()()()()()()()n A B n A B P A B n P A B n B n B P B n Ω===Ω3.抽象概括 一般地，当事件B 发生的概率大于0时（即()0P B >），已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为条件概率，记作(A )P B ，且()()()P A B P A B P B =.注：①谈到条件概率如(A )P B ，默认()0P B >②条件概率的概念和相关公式对一般随机事件的概率都适用，具有普遍意义. ③()P A B 与()P B A 的意义不一样，一般情况下，它们不相等,如图.Ω ABA BΩ④ ()1;()0P A P A Ω=∅=；()1P A A =; ⑤公式的变形()()()P AB P B P A B =⋅，及公式()()()P A B P B A P A =的变形()()()P A B P A P B A =⋅回答了情境2中的问题.三、理解与运用例1、掷红、蓝两个均匀的骰子，设A ：蓝色骰子的点数为5或6；B ：两骰子的点数之和大于7.求已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()P B A .解:用数对(,)x y 来表示抛掷结果，其中x 表示红色骰子的点数，y 表示蓝色骰子的点数，则样本空间可记为{}(,),1,2,3,4,5,6x y x y Ω==，可用图2直观表示，共包含36个样本点.{}A (,)1,2,3,4,5,6,5,6x y x y ===，包含样本点共12个，则121(A)363P ==； {}B (,)7,1,2,3,4,5,6x y x y x y =+>=且{}(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)A B =, A B 包含样本点共9个, 则91()364P BA ==； 因此1()34()1()43P B A P B A P A ===. 答：3()4P B A =. 另法：()93()()124n B A P B A n A ===.小结：1.样本空间及图形表示 2.求条件概率的方法 *3.条件概率与独立性的关系上例中155()3612P B ==，1()34()1()43P B A P B A P A ===，()()P B A P B ≠，说明事件A 的发生影响了事件B 发生的概率。
条件概率学案
数学概率学案
学习目标：
1.理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算方法；
2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题•
预习案
阅读理解：
1.什么叫做条件概率？如何表示？
2•什么叫做事件A与B的交(或积)？
3.条件概率的公式是什么?
即时练习1: 一个家庭中有两个小孩。
假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？
即时练习2:设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为
0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
探究案
1.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S 1,2,3,4,5,6 ，令事件
A 2,3,5，
B 1,2,4,5,6，求P(A),P(B),P(A B),P(A|B).
2•在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求: (I )第1次抽到理科题的概率；
(2 )第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3 )在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
3.把一枚硬币任意抛掷两次，事件A= “第一次出现正面”，事件B= “第二次出现正面”，求P(BA).
4.抛掷红、蓝两个骰子，事件A “红骰子出现4点”，事件B “蓝骰子出现的点数是偶数”，求P(BA).
5.盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任
意取出一球，已知它不是黑球，试求他是黄球的概率？
3个孩子的家庭中，已知有一个男6.假定生男孩或者女孩是等可能的，在一个有孩，
求至少有一个女孩的概率.
课堂总结。
高中数学教案条件概率
高中数学教案条件概率一、教学目标：1. 理解条件概率的定义和性质。
2. 学会计算条件概率。
3. 能够应用条件概率解决实际问题。
二、教学内容：1. 条件概率的定义：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，记作P(B|A)。
2. 条件概率的性质：(1) P(B|A) = P(A∩B) / P(A)(2) 0 ≤P(B|A) ≤1(3) P(B|A) ≠P(B)三、教学重点与难点：1. 教学重点：条件概率的定义和性质，条件概率的计算方法。
2. 教学难点：条件概率的计算方法，如何正确运用条件概率解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际例子学会计算条件概率。
3. 运用练习法，让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：通过一个简单的概率问题引入条件概率的概念。
2. 讲解：讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
3. 案例分析：分析几个实际例子，让学生学会计算条件概率。
4. 练习：布置一些练习题，让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对条件概率的理解程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握条件概率计算方法的情况。
3. 课后作业：布置相关课后作业，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。
2. 针对学生的疑惑，进行答疑和辅导。
八、课后作业：1. 复习条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将条件概率应用到实际问题中。
九、拓展与延伸：1. 研究条件概率在实际问题中的应用，如统计学、概率论等领域。
2. 了解贝叶斯定理与条件概率的关系，进一步拓展知识面。
十、教学计划：1. 下一节课内容：独立事件的概率。
2. 教学目标：理解独立事件的定义，学会计算独立事件的概率。
3. 教学方法：讲授法、案例分析法、练习法。
7.1.1条件概率教案
7.1.1条件概率教案 在概率论中，条件概率是指在已知发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
它是概率论中的重要概念之一，广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
本教案将详细介绍条件概率的概念、计算方法和实际应用，并通过举例说明，帮助学生深入理解。
一、概念介绍1. 条件概率的定义： 条件概率指的是在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。
用符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下的概率"。
2. 条件概率的性质： - 条件概率非负性：对于任意事件A、B，P(A|B) ≥ 0。
- 总概率公式：对于任意事件B和其互斥事件B1、B2、B3...，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)... 。
- 乘法公式：对于任意事件A、B，有P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)。
二、计算方法1. 直接计算法： 当已知事件A和事件B的联合概率P(A∩B)和事件B的概率P(B)时，可以通过直接计算的方式求解条件概率P(A|B)。
根据乘法公式，有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2. 事件列举法： 当样本空间较小且事件A和事件B之间的关系可以通过列举方式明确时，可以通过统计的方法求解条件概率。
将事件B发生的样本点列举出来，然后计算事件A在这些样本点中的出现次数，最后用出现次数除以总样本数来得到概率。
3. 全概率公式和贝叶斯公式： 当已知事件A和其互斥事件B1、B2、B3...的概率，以及事件A在条件B1、B2、B3...下的概率时，可以利用总概率公式和贝叶斯公式求解条件概率。
总概率公式可以用来计算P(A)，而贝叶斯公式可以通过已知的P(A|B)来计算P(B|A)。
三、实际应用举例1. 疾病诊断： 假设某种罕见疾病的发病率只有 1%，而医生诊断该疾病的准确率为 99%。
现有一个患者去医院检查，检查结果为阳性。
学案2：7.1.1 条件概率
7.1.1条件概率学习目标1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．基础·初探知识点一条件概率一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝______为在事件____发生的条件下，事件____发生的条件概率．P(B|A)读作____发生的条件下____发生的概率．100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．思考1试求P(A)，P(B)，P(AB)．思考2任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．思考3P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．知识点二概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝为概率的乘法公式．知识点三条件概率的性质1．任何事件的条件概率都在之间，即.2．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝．归纳·升华·领悟1．事件B发生在“事件A已发生”这个附加条件下的概率通常情况下与没有这个附加条件的概率是不同的．2．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．3．P(B|A)＝P(A∩B)P(A)可变形为P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第三个值．4．事件AB 表示事件A 和事件B 同时发生．把事件A 与事件B 同时发生所构成的事件D 称为事件A 与B 的交(或积)，记为D ＝A ∩B (或D ＝AB )． 题型探究探究一 条件概率的定义及计算 命题角度1 利用定义求条件概率例1.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.8反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．跟踪训练1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A ．12B ．14C ．16D ．19命题角度2 缩小样本空间求条件概率例2.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P (B |A )．反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A ，原来的事件B 缩小为AB . (2)数：数出A 中事件AB 所包含的基本事件． (3)算：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求得结果． 跟踪训练2.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1，2，3，4，5，6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )的值为( ) A.12 B.13 C.14D.16探究二 概率的乘法公式例3.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 反思感悟 概率的乘法公式(1)公式P (AB )＝P (A )P (B |A )反映了知二求一的方程思想．(2)该概率公式可以推广P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2|A 1)·P (A 3|A 1A 2)，其中P (A 1)>0，P (A 1A 2)>0. 跟踪训练3.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________． 探究三 条件概率的性质及应用例4.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．反思感悟 条件概率的性质及应用(1)利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练4.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 当堂检测1.已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )为( )A ．950B ．12C ．910D ．142.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( ) A ．35B ．34C ．12D ．3103.某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( ) A ．8225B ．12C ．38D ．344.某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000 小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________． 5.考虑恰有两个小孩的家庭．(1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；(2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．参考答案知识点一1．P (AB )P (A )A B A B思考1 【答案】P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (AB )＝85100.思考2 【答案】事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格， 其概率为P (A |B )＝8590. 思考3 【答案】P (A |B )＝P (AB )P (B ). 知识点二 概率乘法公式 P (A )P (B |A ) 知识点三1．0和1 0≤P (B |A )≤1 2．P (B |A )＋P (C |A ) 例1．【答案】B【解析】记事件A 表示“该动物活到20岁”，事件B 表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A 包含事件B ，从而有P (AB )＝P (B )＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.40.8＝0.5.跟踪训练1．【答案】A【解析】由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P (A )＝12，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P (AB )＝12×12＝14，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.例2.解：将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以(i ，j )表示第一次，第二次分别取得第i 号，第j 号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A 有9种情况，事件AB 有6种情况，P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝69＝23.跟踪训练2.【解析】选B.根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．所以事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件， 所以事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1612＝13.例3.【答案】0.4【解析】记“射中第一个目标”为事件A ，“射中第二个目标”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.5，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4. 跟踪训练3.【答案】3350【解析】设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 是“取出的数是3的倍数”． 则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C ) ＝P （AC ）P （C ）＋P （BC ）P （C ）－P （ABC ）P （C ） ＝2×(25100＋16100－8100)＝3350.例4.解：法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130．∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝145110＝1045＝29，P (C |A )＝P (AC )P (A )＝130110＝13．∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59．∴所求的条件概率为59．法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n (B ∪C |A )＝C 12＋C 13＝5， ∴P (B ∪C |A )＝59．∴所求的条件概率为59．跟踪训练4.解：记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358． 故所求的概率为1358．当堂检测 1.【答案】B 2.【答案】C【解析】在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P ＝24＝12.3.【答案】C【解析】设事件A 为下雨，事件B 为刮风，由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110415＝38.4.【答案】23【解析】记事件A 为“用满3 000小时不坏”，P (A )＝34；记事件B 为“用满8 000小时不坏”，P (B )＝12.因为B ⊆A ，所以P (AB )＝P (B )＝12，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝12×43＝23.5．解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B ＝“有男孩”，则B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A ＝“有两个男孩”，则A ＝{(男，男)}，B 1＝“第一个是男孩”，则B 1＝{(男，男)，(男，女)}， 于是得(1)P (B )＝34，P (BA )＝P (A )＝14，所以P (A |B )＝P （BA ）P （B ）＝13；(2)P (B 1)＝12，P (B 1A )＝P (A )＝14，所以P (A |B 1)＝P （B 1A ）P （B 1）＝12.。
高中数学选择性必修三 7 1 1 条件概率 导学案
7.1.1 条件概率1.通过实例,了解条件概率的概念；2.掌握求条件概率的两种方法；3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.重点：运用条件概率的公式解决简单的问题难点：条件概率的概念1.条件概率一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,.称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B)P(B)2. 概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.3.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.一、问题探究在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ）如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手.问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 301545问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，A A B即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）=n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有P（B|A）=n(AB)n(W)n(A)n(W)=P(AB)P(A).一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=P(AB)P(A).问题1. 如何判断条件概率?问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?条件概率与事件独立性的关系探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。
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数学概率学案
学习目标：
1.理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算方法；
2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题•
预习案
阅读理解：
1.什么叫做条件概率？如何表示？
2•什么叫做事件A与B的交(或积)？
3.条件概率的公式是什么?
即时练习1: 一个家庭中有两个小孩。
假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？
即时练习2:设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为
0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
探究案
1.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S 1,2,3,4,5,6 ，令事件
A 2,3,5，
B 1,2,4,5,6，求P(A),P(B),P(A B),P(A|B).
2•在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求: (I )第1次抽到理科题的概率；
(2 )第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3 )在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
3.把一枚硬币任意抛掷两次，事件A= “第一次出现正面”，事件B= “第二次出现正面”，求P(BA).
4.抛掷红、蓝两个骰子，事件A “红骰子出现4点”，事件B “蓝骰子出现的点数是偶数”，求P(BA).
5.盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任
意取出一球，已知它不是黑球，试求他是黄球的概率？
3个孩子的家庭中，已知有一个男6.假定生男孩或者女孩是等可能的，在一个有孩，
求至少有一个女孩的概率.
课堂总结。