初等数论模拟试题四套(附答案)
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初等数论模拟试题二
一、单项选择题
1、=),0(b（C ）.
A
b B b- D 0
2、如果a b，b a，则(D ).
A b
a±
a≤ D b
=
a-
= C b
a= B b
3、如果1
(b
ab+=（C ）.
,
a
b
a，则)
,
)
(=
A a
B b
C 1
D b
a+
4、小于30的素数的个数（A ）.
A 10
B 9
C 8
D 7
5、大于10且小于30的素数有（C ）.
A 4个
B 5个
C 6个
D 7个
6、如果n3，n5，则15（A ）n.
A 整除
B 不整除
C 等于D不一定
7、在整数中正素数的个数（C ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
二、计算题
1、求24871与3468的最大公因数?
解： 24871=3468⨯7+595
3468=595⨯5+493
595=493⨯1+102
493=102⨯4+85
102=85⨯1+17
85=17⨯5,
所以,(24871,3468)=17.
2、 求[24871,3468]=?
解：因为
（24871,3468）=17
所以
[24871,3468]= 17
346824871⨯ =
所以24871与3468的最小公倍数是。
3、求[136,221,391]=?
解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[
391,17
221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=⨯=40664. 三、证明题
1、 如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.
因此q q '=,r r '=. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……
则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使
()b q a qb 1+≤ .
我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.
2、 证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.
证明： 因为62332n n n ++=)32(6
2n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即6
2332n n n ++是整数.
3、 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数
n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.
证明： 因为
=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,
n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,
所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =
).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a
而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.
4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n
所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.
初等数论模拟试题三
一、单项选择题
1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),(
2、不定方程210231525=+y x （A ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解
二、求解不定方程
1、144219=+y x .
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；
化简得48
+y
x；
7
3=
考虑1
-
=y
,2=
x，
x，有1
3=
7
+y
所以原方程的特解为48
-
x，
=y
,
96=
因此，所求的解是Z
3
48
=,
96。
-
7
,
=
+
t
t
y
t
-
x∈
2、18
x.
-y
6=
17
解：因为18
,6(,所以有解;
17
)
考虑1
,3=
=y
x;
-y
x,1
17
6=
所以18
=y
x是特解,
,
54=
即原方程的解是
17
54-
-
,
=
=
t
18
y
t
x6
3、25
x.
+y
37
107=
解：因为（107，37）=125，所以有解；
考虑1
x，
+y
37
107=
有26
=y
x，
=
,9-
所以，原方程特解为25
x=225，25
9⨯
=
y=-650，
=
-
26⨯
所以通解为t
-
=
+
=
225-
,
37
t
y
650
x107
4.求不定方程4
y
+z
x的整数解.
13
+
7
25=
解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x+13y=t, t+7z=4.