计算流体力学作业习题

2014级西安理工大学计算流体力学作业1.写出通用方程，并说明其如何代表各类守恒定律。

由守恒型对流-扩散方程：()()()div U div T grad S t φφρφρφφ∂+=+∂ 其中φ为通用变量；T φ为广义扩散系数；S φ为广义原项。

若令1;1;0T S φφφ===时，则得到质量守恒方程（mass conservation equation ）()()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 若令;i u φ=时，则得动量守恒方程（momentum conservation equation ） 以x 方向为例分析，设;u Pu S S x φφ∂==-∂，通用方程可化为：()()()()(2)u uu vu wu P udivU t x y z x x x ρρρρλη∂∂∂∂∂∂∂+++=-++∂∂∂∂∂∂∂z v u u w F y x y z z x ηηρ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂⎡∂∂⎤⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦同理可证明y 、z 方向的动量守恒方程式 若令;;T pT T S S C φφλφ===时，则得到能量守恒方程(energy conservationequation)()()()()hh div Uh div U div gradT S t ρρρλφ∂+=-+++∂()()()Tp h div Uh div gradT S t C ρλρ∂+=+∂证毕2.用控制体积法离散0)(=+++s dxdT k dx d dx dT u dt dT ，要求对S 线性化，据你的理解，谈谈网格如何划分？交界面传热系数何如何计算？边界条件如何处理？根据守恒型对流-扩散方程： ()()()u T S t x x x ρφρϕφ∂∂∂∂'+=+∂∂∂∂，对一维模型进行分析，则有：0)(=+++s dx dTk dx d dx dT u dt dT将该一维模型的守恒形式在图A 所示的控制容积P 在△t 时间内做积分。

图A[]()()()()()et tt tet ttew e w wttwTT TT dx uT uT dt Kdt Sdsdt x x +∆+∆+∆∂∂⎡⎤-+-=--+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （1）非稳态项选定T 随x 变化且为阶梯式，既有：()()et t t t t t P P wT T dx T T x +∆+∆-=-∆⎰（2）对流项选定T 随t 的变化规律符合阶梯显示，既有：[]()()()()t tt tew e w tuT uT dt uT uT t+∆⎡⎤-=-∆⎣⎦⎰（3）扩散项()()()()t ttt e w e w tT T T T dt t x x x x +∆∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤-=-∆⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎰()()E Pe e T T T x x δ-∂=∂ ()()P w w T T Tw xx δ-∂=∂ （4）原项令S 对t 和x 呈阶梯式变化，既有：t tettwSdsdt S x t+∆=∆∆⎰⎰综上所述，可以推导出下式：2()()22t t t t tt t t t E wE P w P P u u T T T T T K S t x x φφ+∆--+-+=-+∆∆∆由图A 可知，本次网格划分采用的是外节点法结构化网格划分。

对于交界面的传热系数的数值确定，可根据算术平均法（arithmetic mean ），在图B 中在P 、E 两点间的λ与x 构成线性关系，则可由P,E 两点的λ值，确定在e 点的传热系数λ值的大小。

即：()()()()e e e P E e e x x x x δδλλλδδ++--⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在计算求解是，若边界为第一边界则可以直接进行迭代计算，若边界为第二、三边界（边界节点的数据为未知数），则采用附加原项计算法进行求解。

3.用幂函数格式离散三维通用方程。

在直角坐标系下，三维通用方程的离散方程可表述为：P P E E w wa a a φφφ=+4.采用有限体积法离散对流——扩散方程中的对流项时，根据你的理解写出格式的进化过程。

由《数值传热学》知，对流-扩散方程表达式：2j j j j uu S t u x x φφφλ∂∂∂+=+∂∂∂∂其中j j u u φ∂∂为对流项；2j j ux x λ∂∂∂为扩散项。

现以一维对流-扩散方程问题模型方程来阐述对流项格式演变进化过程。

()()d d d u dx dx dx φρφ=Γ为了分析数值传热问题，人们最早先提出了控制体积中心差分法，即在P 点控制容积处做积分，取分段线性型线，最终可演化得：p P E E W Wa a a φφφ=+12E e a D Fe =- 12W w a D Fw =- ()P E W a a a Fe Fw =++-该类方程的优点在于，连续性方程在数值计算过程中始终得到满足，系数E a 、W a 包括了扩散和对流作用对热传导问题的影响；与流量有关的部分则是界面上分段线型在均匀网格下的表现，很好地体现了对流作用。

但是当P ∆>2后，中心差分所解得的解将会失去物理意义，因为当P ∆>2时，则E a <2，又因为E a W a P a 三个系数的值都应当大于零，故在这种情况下使用中心差分格式将会使得计算存在问题。

为了克服由于对流项因为采用中心差分算法引起的问题，进一步提出了对流项的迎风格式算法，在该格式中对流项的一二阶导数均为线性的型线，同时一阶迎风格式离散方程系数E a 、W a 永远大于零，因而无论在何种条件下计算都不会引起解得震荡，其解永远具有物理 意义。

并且在迎风格式的使用实践，也能为构造更优良的结构网格提供了启示和指导。

5.简述压力校正法的基本思想及过程（用详细的方程离散说明）。

压力校正法的基本思想：在对于Navier-Stokes 方程的离散形式迭代求解的任一上层次，可以给定一个压力场，它可以给是假定的或是上一层次计算所得出的。

一个给定的正确的压力场应该使得计算得到速度场满足连续性方程。

但是根据这样的给定的压力场计算而得到的速度场，未必能满足连续性方程，因此要对给定的压力场进行修正。

图A在时间间隔△t 内对主控制体（如上图A 所示）做积分，且以0P P t ρρ-∆代替t ρ∂∂，采用全隐格式，可得：[][]0()()()()0P Pe w n s x y u u y v v x tρρρρρρ-∆∆+-∆+-∆=∆将改进后的速度式*//*//()()e e e P E n n n P E u u d p p u u d p p =+-=+- 代入整理得关于P 一阶导数的代数方程：/////P P E E W W N N S S a p a P a P a P a P b=++++其中：,,,E e e W w w N n n S s s a d y a d y a d y a d yρρρρ=∆=∆=∆=∆P E W N sa a a a a =+++****()()()()()P P w e s n b u u y v v x tρρρρρρ-⎡⎤⎡⎤=+-∆+-∆⎣⎦⎣⎦∆ 即压力修正算法可以归纳为以下4个基本步骤：（1）假定一个压力场，记为*P ；（2）利用*P ，求解动量离散方程，得出相关的速度**u v ；（3）利用质量守恒方程来改进压力场，并要求改进后的压力场对应的速度场能满足连续性方程要求；（4）以*/()P P +以及*/()u u +，*/()v v +作为本层次的解并据此开始下层次的计算迭代。

6以具体方程式为例详细说明离散方程的迁移特性的概念。

我们将中心差分应用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式：0u t xφφ∂∂+=∂∂ 有：其中流速u 为常数。

采用类似的分析方法，对于节点位于1112n nn n i i i i utx φφφφ++---=-∆∆（i+1）在（n+1）时层有：11122n n n ni i i iutxφφφφ++++--=-∆∆其中：120,n ni i φφ++== 所以 11(),2n i u t x εφ++∆=∆而在i -1点处则有：11122n n n n i i i i utxφφφφ+-----=-∆∆因为120,n n i i φφ--==于是得到11(),2n i u t x εφ+-∆=∆。

可见在i 点的扰动同时沿着相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分不具有迁移性。

下面对u>0的情况来进行分析。

对节点i+1，在n 时层产生在节点i 的扰动对i+1点的影响由下式确定：111111,(0)2n n n nn i i i i i utxφφφφφ++++-+--=-=∆∆由此可得 11(),n i u tx φε++∆=∆ 而在i -1处则有11122n n n ni i i iutxφφφφ++++--=-∆∆得 110n i φ+-=可见采用一阶迎风格式时，扰动仅仅向着流动的方向传递，故一阶迎风格式具有迁移性。

7．以具体方程式为例详细说明离散方程的守恒性的概念。

为了便于分析现将一维对流-扩散方程简化为纯对流方程：()0u t tφφ∂∂+=∂∂ 再将方程离散为显式格式，然后在一定大小范围内求和。

为了讨论书写简便故将对流项中的时间标记删去。

11111()2n ni i i i i i u u txφφφφ+++----=-∆∆在如下图所示的均匀网格系统中，任取一段有限区间进行分析，得：2211()l l l l u dx dx t tφφ∂∂=-∂∂⎰⎰2211111()()2n nI I i i i i i I i I u u tx φφφφ++-==--=-∆∆∑∑或 2211111()()(){}2I I n n i i iii Ii I u u x t φφφφ+-+==--∆=∆∑∑进一步分析可得：2110()[()()]I n n ii in ut i I x u u t φφφφ+=-∆=-∆∑上式表明在△t 时间内流入与流出某区域中的通量之差等于改时间间隔内该区域中φ的增量，又由守恒性质可得：2111[()()]()()I iu i in out i I u u u u φφφφ-+=-=-∑8．详细说明差分格式的相容性和收敛性的概念。

以一维稳态对流-扩散方程为例，用符号,()i nL φ表示对函数φ在点（I,n ）作某些微分运算的算子。

2,,2()()i ni nL u S t x xφφφφρρ∂∂∂=+--∂∂∂Γ 其中,()0i n L φ=是节点（I,n ）处的一维模型方程。