计算流体力学作业习题

2014级西安理工大学计算流体力学作业

1.写出通用方程，并说明其如何代表各类守恒定律。

由守恒型对流-扩散方程：

()()()

div U div T grad S t φφρφρφφ∂+=+∂ 其中φ为通用变量；T φ为广义扩散系数；S φ为广义原项。

若令1;1;0T S φφφ===时，则得到质量守恒方程（mass conservation equation ）

()()()()

0u v w t x y z

ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 若令;i u φ=时，则得动量守恒方程（momentum conservation equation ） 以x 方向为例分析，设;u P

u S S x φφ∂==-

∂，通用方程可化为：

()()()()(2)u uu vu wu P u

divU t x y z x x x ρρρρλη∂∂∂∂∂∂∂+++=-++∂∂∂∂∂∂∂

z v u u w F y x y z z x ηηρ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂⎡∂∂⎤

⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦

同理可证明y 、z 方向的动量守恒方程式 若令;;T p

T T S S C φφλ

φ===时，则得到能量守恒方程(energy conservation

equation)

()()()

()h

h div Uh div U div gradT S t ρρρλφ∂+=-+++∂

()()()T

p h div Uh div gradT S t C ρλ

ρ∂+=+∂

证毕

2.用控制体积法离散

0)(=+++s dx

dT k dx d dx dT u dt dT ，要求对S 线性化，据你的理解，谈谈网格如何划分？交界面传热系数何如何计算？边界条件如何处理？

根据守恒型对流-扩散方程： ()()()u T S t x x x ρφρϕφ

∂∂∂∂'

+=+∂∂∂∂，对一维模型

进行分析，则有：

0)(=+++s dx dT

k dx d dx dT u dt dT

将该一维模型的守恒形式在图A 所示的控制容积P 在△t 时间内做积分。

图A

[]()()

()()()e

t t

t t

e

t t

t

e

w e w w

t

t

w

T

T T

T dx uT uT dt K

dt Sdsdt x x +∆+∆+∆∂∂⎡⎤-+

-=--+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰

⎰ （1）非稳态项

选定T 随x 变化且为阶梯式，既有：

()()e

t t t t t t P P w

T T dx T T x +∆+∆-=-∆⎰

（2）对流项

选定T 随t 的变化规律符合阶梯显示，既有：

[]()

()()()t t

t t

e

w e w t

uT uT dt uT uT t

+∆⎡⎤-=-∆⎣⎦⎰

（3）扩散项

()()()()t t

t

t e w e w t

T T T T dt t x x x x +∆∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤-=-∆⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎰

(

)()E P

e e T T T x x δ-∂=∂ ()()P w w T T T

w x

x δ-∂=∂ （4）原项

令S 对t 和x 呈阶梯式变化，既有：

t t

e

t

t

w

Sdsdt S x t

+∆=∆∆⎰

⎰

综上所述，可以推导出下式：

2()()22t t t t t

t t t t E w

E P w P P u u T T T T T K S t x x φφ+∆--+-+=-+∆∆∆

由图A 可知，本次网格划分采用的是外节点法结构化网格划分。对于交界面的传热系数的数值确定，可根据算术平均法（arithmetic mean ），在图B 中在P 、E 两点间的λ与x 构成线性关系，则可由P,E 两点的λ值，确定在e 点的传热系数λ值的大小。即：

()()()()e e e P E e e x x x x δδλλλδδ++

--⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

在计算求解是，若边界为第一边界则可以直接进行迭代计算，若边界为第二、

三边界（边界节点的数据为未知数），则采用附加原项计算法进行求解。 3.用幂函数格式离散三维通用方程。

在直角坐标系下，三维通用方程的离散方程可表述为：

P P E E w w

a a a φφφ=+

4.采用有限体积法离散对流——扩散方程中的对流项时，根据你的理解写出格式的进化过程。

由《数值传热学》知，对流-扩散方程表达式：

2j j j j u

u S t u x x φφφλ∂∂∂+=+∂∂∂∂

其中j j u u φ∂∂为对流项；2j j u

x x λ∂∂∂为扩散项。

现以一维对流-扩散方程问题模型方程来阐述对流项格式演变进化过程。

()()d d d u dx dx dx φρφ=Γ

为了分析数值传热问题，人们最早先提出了控制体积中心差分法，即在P 点控制容积处做积分，取分段线性型线，最终可演化得：

p P E E W W

a a a φφφ=+

12E e a D Fe =- 1

2W w a D Fw =- ()

P E W a a a Fe Fw =++-

该类方程的优点在于，连续性方程在数值计算过程中始终得到满足，系数E a 、

W a 包括了扩散和对流作用对热传导问题的影响；与流量有关的部分则是界面上

分段线型在均匀网格下的表现，很好地体现了对流作用。但是当P ∆>2后，中心差分所解得的解将会失去物理意义，因为当P ∆>2时，则E a <2，又因为E a W a P a 三个系数的值都应当大于零，故在这种情况下使用中心差分格式将会使得计算存

在问题。