浙江大学期末考试微积分上试题

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浙江大学-2014学年秋冬学期-微积分i期末试卷

浙江大学2013 — 2014学年秋冬学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系：理学院数学系考试形式：闭卷，允许带笔入场考试日期：年月日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。

解题时写出必要的解答过程。

1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。

9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。

10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。

11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。

12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则：设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。

浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题

x→0 1
13、求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、若 lim = ，求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、求 2、求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、求
1 dx ． x+5x
5、求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、证明：若 e < a < b < e 2，则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
第 4 页共 10 页
e x sin x 26、已知 F ( x ) = x a
5、设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .

浙江微积分试卷上

考试试卷(2)课程名称：微积分(上) 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟班级名称：学号：姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、函数6323arcsin2--+-=x x xx y 的定义域为。

2、=-+→552limx x x 。

3、要使函数xx x f )sin(sin )(=在0=x 处连续，须补充定义=)0(f _________。

4、设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f 。

5、已知某商品的需求函数为210PQ -=，则当价格3=P 时的需求弹性为。

（其中Q 为需求量，P 为商品的单价）6、函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值是。

7、设xx f -=e )(，则⎰='x xx f d )(ln 。

8、⎰=+x x d 232 。

二、单项选择题(每题3分,共15分) 1、下列命题中，正确的是( )。

(A) 无界数列必发散 (B) 有界数列必收敛(C) 发散数列必无界(D) 收敛数列的极限不一定唯一2、当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小量的是( )。

(A) x sin(B) 2x x +(C)3x (D) x cos 1-3、设函数,0,00,1sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x xx x f 则0=x 是函数的( )。

(A) 间断点 (B) 连续点但不可导点 (C) 可导点但不连续点(D) 连续且可导点4、设)(x f 在点0=x 处连续，且1)(lim=→xx f x ，则命题不正确的是（）。

(A) 0)(lim 0=→x f x(B) 0)0(=f (C) 0)0(='f (D)1)0(='f5、设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰]d )([d x x f （）。

(A) )(x f(B) x x f d )((C) C x f +)( (D) x x f d )('三、计算题(每小题5分,共20分) 1、计算)43)(1(lim 24+-+++∞→n n n n n 。

浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷

精品文档浙江大学2013 — 2014学年秋冬学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系：理学院数学系考试形式：闭卷，允许带笔入场考试日期：年月日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。

解题时写出必要的解答过程。

1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：0x →4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。

9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。

10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。

11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。

12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则：设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x o內可导，且()0.g x '≠ （3）0()lim()x x f x A g x →'='（或∞）。

微积分3试卷(07)

L AC
原式
L AC

0
CB

( x y) d x ( x y) d y
3 1
dx x
[(cost sin t )( sin t ) (cost sin t ) cost ]dt ln 3 ln 3

方法 2: 设 C (1,1), D(3,1),
解 2：直接法（第二类曲面积分）.
S : x 1 y z , Dyz : 0 z y 1, 1 y 0, cos 0 S : z 1 x y, Dxy : 0 x y 1, 1 y 0, cos 0 S : y x z 1, Dxz : 0 z 1 x, 0 x 1, cos 0 I dy
I

LOB BO

AB

（格林公式）

2
3 d 3 d (e x sin x 1)dx 0 0 2 2
1 2

解 2: I (e
L

x2
sin x 3 y )d x + cos y d x x sin y d y y 4d y
3
计算平面第二型曲线积分
y [1 y
l
1
2
f ( x y )] d x
x 2 [ y f ( x y ) 1] d y. y2
3
参考解答：
4 5 2 一．（1） R ；（2） 11 a ；（3） 37 A ；（4） 2 ; (5) 16 a .
2
5
3

微积分1试卷(10年)浙江大学

y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2：原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1

13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数， f (0) 0, f ( x) 0, 证明：(1) f ( x) 至多有两个零点，至少有一个零点；(2) 若 f ( x) 的确有两个零点，则此两零点必反号（注： f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 的根）.
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则， lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |

2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2

1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期《微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分，10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.

浙江大学2005-2006学年春夏学期《常微分方程》期末考试

浙江大学2005-2006学年春夏学期《常微分方程》期末考试
数学系必修课方道元 2006-07-05
Moqi@88 根据记忆整理，仅供参考
一、（21分）考虑初值问题0
220x x dy x y dx y y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中00,x y 是实数。

1. 写出毕卡叠代序列的前三项
2. 应用解的存在定理确定000,0x y ==时解的最大存在区间
3. 讨论一般情形解的最大存在区间
二、（16分）已知方程30xy y xy y ′′′′′′+−−=的一个解1y x
=
，求出方程的通解三、（20分）求解下述初值问题 (0)(0)0y y tgx y y ′′+=⎧⎨′==⎩
四、（16分）求解线性方程组
3253232dx x y z
dt dy x y z dt
dz x y z dt ⎧=−−+⎪⎪⎪=−−⎨⎪⎪=−−⎪⎩
五、（20分）求系统
3
(0)16dx y dt dy x y x dt
αα⎧=⎪⎪≥⎨⎪=−−+⎪⎩其中的奇点并确定其类型。

画出草相图并讨论系统稳定性。

六、（7分）求解如下边值问题0,(0)0,(1)(1)0x x x x x λ′′′+==+=。

浙江大学微积分复习资料

I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.

浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续

常见的等价无穷小量：
• 当x → 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ∼ x ； (2) tan x ∼ x ； (3)ln(1 + x) ∼ x ； (4) e x − 1 ∼ x ； x2 ； (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、求： lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中： lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
6、求： lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】：I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】：记 y = (e − x) ，则： lim ln y = lim

浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷

《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 1 页共 2 页浙江大学2013 — 2014学年秋冬学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系：理学院数学系考试形式：闭卷，允许带笔入场考试日期：年月日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。

解题时写出必要的解答过程。

1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分：21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。

9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。

10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。

《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 2 页共 2 页11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。

浙江大学级微积分期终考试试卷

浙江大学级微积分（上）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、选择题：（每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）.（）.a（）.b（）.c（）.d.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.（）.1y x=+（）.1y x=-+（）.1y x=--（）.1y x=-.下面的四个论述中正确的是（）.（）.“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（）.函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；（）.“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要；（）.“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件..下面四个论述中正确的是（）.（）.若0nx≥(1,2,)n=，且{}n x单调递减，设lim nnx a→+∞=，则0a>；（）. 若0nx>(1,2,)n=，且limnnx→+∞极限存在，设limnnx a→+∞=，则0a>；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则0nx≥(1,2,)n=；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则存在正整数N，当n N>时，都有2nax>.二、填空题：（每空格分，共分）只填答案. 2lim (1)tgxx x π→-；2lim (1)tgxx x π→--..函数()f u 可导，(sin )y f x x =，则dy dx.. cos sin x xxe e dx e ⎰. . 50sin tdt π⎰；50cos tdt π⎰.三、求极限：（每小题分，共分）.数列{}n x通项21n x n =++++，求lim n n x →+∞..求300sin lim sin xx t dt t x x→-⎰.四、求导数：（每小题分，共分）. 2sin 1xx y x x =+，求dydx.. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx ，22d ydx ..函数()y y x =由sin x y y +=确定，求221,;x y dydxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分：（每小题分，共分） .求21(1)x dx x x ++⎰..求0sin cos x x dx π-⎰..求0⎰(0)a >..计算2cos x e xdx π+∞-⎰.六、（分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第题，未学常微分方程的专业做第题..求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩.有一半径为M 的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高M 的水箱内，问至少要做多少功？七、（分）在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA （即区间[]0,1）作n 等分，分点(,0)k n记作k P ，对1,2,,1k n =-，过k P 作抛物线2y x =的切线，切点为k Q ..设k k P Q A ∆的面积为k S ，求k S ；.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题（分）设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()0f x >，0()()xG x tf x t dt =-⎰.证明：对任意,(,)a b ∈-∞+∞，且a b ≠，必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学级微积分（下）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、填空题：（每小题分，共分）只填答案.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z-+=垂直，则此平面的方程是。

浙江大学《微积分》课程期末考试试卷

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1．1lim()xx x e x →-= .2．设()f x 可导，2(cos )f x y x =则d d yx= . 3．ln (0)xy x x=>的值域范围为 . 4．3121x x -=⎰5．设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6．当0x →时，20cos d 2x tx e t t x --⎰与B Ax 等价无穷小，则常数A = ，B = .二、计算题1.求221d .22x x x x +++⎰ 2．已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续，求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3．求2+∞⎰.4．求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5．在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大．三、求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和.四、证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五、已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.（1）求常数a ；（2）证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1．2110ln()lim()lim x x x x x x e x e x e →→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x e e e →→---===．2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅． 3． (1,]e-∞ ．4.3121x x -+⎰．111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰，令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t = a r c s i n y t =，d d y t =d 1d y x t =-，2221d d yt x==．6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰， 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=，其中：232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即1,412A B =-=. 二、计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++．2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰．5. 解:（1）过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-，令0y =，得22()a a x a -=-，得2a x =，令8x =，得222(8)16y a a a a a =+-=-，令221()(8)(16)(8)222a aS a a a a =--=-，213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ，令()0S a '=，得163a =，16a =（舍）．1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ，16316()1680323S ''=⋅-=-<，所以，当163a =时，三角形面积最大．三、因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+，所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑．四、设 2()ln ,()f x x g x x ==，在[,]a b 上由柯西定理，有 222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降，得222(),()x e x e e ϕ><<，有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五、 (1）因为 0sin lim1x x e xx→=，所以1a =． (2）0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===，所以，2(s i n c o s )s i n,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e xx →+-02cos lim 12x x xe x x →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2)，且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c =2.设12()sin d x f x t t =⎰，则(1) 10()d f x x =⎰ ；(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若011lim ,2a x x →=则a = 4.当x = 时，函数2x y x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = （此题不作要求）二、求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三、求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定，求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-()y x '. 四、求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰．2.x ．3.1321(x x x -+⎰． 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰．五、设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分，试求常数a .六、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七、设()f x 在(,)a +∞内可导，且lim (),x f x a →∞'=证明：()limx f x a x→∞=．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、计算题1. 由2y ax bx c =++，有2,2y ax b y a '''=+=，得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+=由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导，152()2()022x y y '-+-=，得1,21x y y =='=，5222()02x y y y y ''''++-=，得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y '''；得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，所以有2,3,3a b c ==-=.2. （1）11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰＝111220sin d sin d xx t t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- ．（2）1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-. 3. 因为，当0x →时2112x, 所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x x y x x '=+,令()0,22ln 20x x y x x '=+=，解得 1ln 2x -=，由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x x x x y x x x ''=++=+，当1ln 2x =-时，1()0ln 2y -''>，所以当1ln 2x -=时，()2x y x x =⋅取到极小值．5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+，所以，切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =．二、求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--，注：当0x →时1,ln(1)x e x x x --- , 20cos 11lim2x x x →-==-． 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ，而 20cos 11limsin 2x x x →-=-，1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=，所以 11sin2lim(cos )xx x e-→=．三、求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y -+=,得 d d xy =11cos x-, 222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx x yx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =，d d y t =d d d d d yy t x t==, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦．3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x x y x e e e e e x e =---+=-++，2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四、１.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰ 2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11x x -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注：令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=.4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰＝22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五、由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰，022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰，由12S S =，得212323=⋅，所以 3a =.六、由12()arctan 12x f x x -=+， 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑， 210(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f xn π∞+=-'=+=-+∑⎰，当12x =时，210(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑，得 0(1)214nn n π∞=-=+∑.七、解法一：由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二：① 若0a =，由lim ()0x f x →+∞'=，按定义知0ε∀>，10x ∃>，当1x x >时，恒有()2f x ε'<．1(,)b x ∀∈+∞，当x b >时，有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-，由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-，有()()2f x f b x b ε≤+-，再取2x b >，使得2()2f b x ε<，当2x x >时，有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=，所以，()lim0x f x x→+∞=． ② 若0a ≠，由lim ()x f x a →+∞'=，则有 lim [()]0x f x ax →+∞'-=，设()()F x f x ax =-，有lim ()0x F x →+∞'=，由①知，()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==，得证．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分（1）设sin43(arctan 2)ln 2x y x x =++，求d d yx .（2）设22d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰，求t =d d y x 及22d d y x .（3）设()y y x =是由方程210x y e x xy +---=确定的x 的可导函数，求0d x y =. 二、求积分（4）求60x ⎰.（5）求2arctan d xxe x e ⎰. （6）求1+∞⎰.三、求极限（7）求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. （8）设()f a ''存在，()0f a '≠，求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.（9）设1121)1))nn n u n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦（（（1，求lim n n u →∞. 四、选择题（10）设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰，则0x →时 [ ]（A ）αβ与是同阶但不等价无穷小. （B ）αβ与是等价无穷小. （C ）αβ是的高价无穷小. （D ）βα是的高价无穷小. （11）设级数1n n a ∞=∑收敛，则下述结论不正确的是[ ]（A ）11()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （B ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（C ）2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （D ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（12）设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则()0F x x =在处[ ]（A ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续（C ）连续但不可导（D ）可导（13）设()y f x =为连续函数，除点x a =外，()f x 二阶可导，()y f x ''=的图形如图，则() [ ]y f x =（A ）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B ）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C ）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D ）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.五、（14）设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D ．(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ；（II ）求a 的值使()V a 为最大.六、（15）将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）并指明成立范围.七、（16）设0,x >证明2()(4)(2)20x x f x x e x e =---+<．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1） sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x -=⋅+⋅++． (2) 由 20d ts x e s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d ty t s s =-⎰，令t s u -=，得0220sin d sin d tty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x y e x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=，将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分（4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解令x e t =，2arctan d xxe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++．（6）解t =，1+∞⎰202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim ()()(()())x a f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='-- ＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-．（9）解由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1，取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑,则 11100011limln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u e e-→∞==．四、（10）解：因为262000arcsin d limlim (1)d xx x t t te tαβ→→=-⎰⎰注：由洛必达法则2222331arcsin 3lim 1x x x x xe -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅，所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ．（11）解：（A ）因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n a a a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛，但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ．（13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点；同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点；在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点；在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点，所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图），直线OA 的方程y x =．（Ｉ）旋转体体积 ()Va 2224()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+，（II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >，当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之，20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑．右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-．七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x x f x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<，于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、(每小题6分)（1）设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++，求d d y x .（2）设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩，确定了y 为x 的函数()y y x =，求曲线()y y x =的凹、凸区间及拐点坐标（区间用x 表示，点用(,)x y 表示）.（3）求210sin lim()x x x x→（4）求(2)]x x →+∞+二、(每小题6分) （5）求21d (1)x x x +⎰.（6）求arcsin d xxe x e⎰. （7）求230d x xe x +∞-⎰.三、（第(8)-(11)小题每小题8分，第(12)小题6分）（8）（8分）设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定，求131()d lim (1)x x y t tx →-⎰.（9）（8分）设2()231x f x x x =-+，试将()f x 展开成x的幂级数，并求()(0)(1)n f n ≥.（10）（8分）设常数0a >，讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数. （11）（8分）设0a <，曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =，试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.（12）（6分）设()f x 在区间(0,1)内可导，且()f x M '≤（M 为常数）证明：① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛； ② 1lim ()2n n f →∞存在.四、选择题（四选一，每小题4分）（13）设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-，并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在，则下列结论正确的是 [ ]（A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.（14）曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ]（A ）4条（B ）3条. （C ）2条. （D ）1条.（15）设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+，则()f x 的不连续点的个数为 [ ] （A ）0个（B ）1个. （C ）2个. （D ）多于2个. （16）设()f x [,]a b 上可导，且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] （A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >；（B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >；（C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．（17）设0(1,2,)n a n >=，下列结论正确的是[ ]（A ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +<，则1n n a ∞=∑必收敛. （B ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +>，则1n n a ∞=∑必发散. （C ）若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +<，（D ）若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +>．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、(每小题6分)（1）24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y xx e x e x x x x x =++-．（2）由22x t t =+，d 2(1)d x t t =+，ln(1)y t t =-+，d d 1y t t t =+，2d d 2(1)y tx t =+， 224d 1d 2(1)y tx t -=+，令 22d 0d y x =，得 1t = 当11t -<<时，22d 0d yx> 曲线凹；当1t >时，22d 0d yx< 曲线凸，当1t =时，对应拐点．换成,x y ，当13x -<<时，曲线()y y x =凹；当3x >时，曲线当()y y x =凸，点(3,1ln 2)-为拐点．（3）解因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x ex→→= ，而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-，201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-，所以 21160s i n l i m ()x x xe x-→=．（4）lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()limx x x --=sin 42lim 1x x --==- ．二、（5）22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰ =1ln ln 1x x C x--+++．（6）方法1：令 arcsin x e t =，则cos sin ,ln sin ,d d sin x te t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t tx t e t=⎰⎰1d()sin t t =-⎰ 1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+，或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--++．方法2：令 x e t =，则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-．（7）2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=．三、（8）解由32210y xy x x ++-+=，1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数，有23220y y xy y x ''+++-=，得222()3x yy x y x--'=+，1lim ()0x y x →'=， 222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+，1lim ()2x y x →''=-．由洛必达法则，1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰．（9）解：()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥（10）解：令()2ln f x ax x =-，有2()f x a x'=-，令()0f x '=，得2x a=，22()f x x''=，由于()0f x ''>，所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值，为最小值.以下讨论最小值的符号.①若222ln 0a->，即2a e >时，()0f x >，()f x 无零点，两曲线无公共点；②若2a e=，则当且仅当a e =时，()0f x =，()f x 有唯一零点，两曲线在第一象限中相切；③若20a e <<，有2()0f a<时，有因0lim ()x f x +→=+∞，lim ()x f x →+∞=+∞，所以在区间2(0,)a 与2(,)a+∞内，()f x 各有至少一个零点，又因为在这两个区间中()f x 分别是严格单调的，所以()f x 正好有两个零点，即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点．（11）解：因0a <，且当01x ≤≤时，0y ≥，所以如下图1211()d 323b ax bx x a +=+=⎰，所以312a b =-， 221220()d ()523a ab b V ax bx x ππ=+=++⎰21()51030b b π=-+，d 1()d 1015V b b π=-+，22d d 15V bb π=，令d 0d V b =，32b =，2232d 0d b V b=>，为唯一极小值，故32b V=为最小值，此时53,42a b =-=．（12）① 由拉格朗日中值定理 1111111111()()()()()()222222n n n n n n f f f f M ξξ++++''-=-=≤，而1112n n ∞+=∑收敛，所以，1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛；② 111()()22n n S f f +=-,因为lim n n S →∞存在，所以1lim ()2n n f →∞存在．四、（13）解（A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.不正确，例如 211(),()u x v x x x ==， 221111(),()f x g x x x x x=+=-，此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()x g x →也不存在．（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.不正确，例如 11(),()u x v x x x ==，2(),()0f x g x x==，此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()0x g x →=存在．（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在，由()()2()f x g x u x +=，得0lim ()x u x →存在，与已知矛盾，所以结论正确．（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.由上述（Ｃ），说明0lim ()x g x →必存在不正确．所以结论正确的是Ｃ，本题选Ｃ．（14）解，因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-，1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线（0,1x x ==）2条，因为1lim[ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-，有水平渐近线（0y =）1条，又因为 2()1l n (1)l i m l i m []1,1(1)xx x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-,1lim[()]lim[ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线（y x =）1条，所以本题共有4条渐近线，选A.（15）解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩，则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. （16）解取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:（A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >，成立, （B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >；成立, （C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；成立,（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．不成立. 所以本题选D（17）解（A ）不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, （B ）成立,若存在0N >，当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>，则必有lim 0n n a →∞≠ 则1n n a ∞=∑必发散.（C ）不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛，但不存在0N >，当n N >时必有11n n a a +<，（D ）不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >，当n N >时有111n na n a n +=<+．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微分(每小题6分)（1）设sin 3(cos )(arcsin 2)x y x x e π=++，求d y .（2）设由参数式3arctan 16x t t y t t=++⎧⎨=+⎩，所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d yx , 及二阶导数22d d yx.二、求极限(每小题6分)（3）011lim()1x x x e →--, （4）lim x(5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三、求积分(每小题6分)（6） 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰, （7）11(2)x x x -+⎰, （8）已知2d 2x ex +∞-=⎰，求0xx -+∞⎰．四、(每小题6分)（9）试将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. （10）求幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五、(每小题8分)（11）求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由．（12）求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .（13）设()f x 在[0,1]上连续，(0)0f =，并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=，又设0x +→时，220()()d ()d x x F x x f u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小，求常数n 及A 的值．六、(每小题8分)（14）设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，（Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；（II ）如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>．（15）设n 为正整数，24021()d d 1nx x e t F x e t t t -=++⎰⎰（I ）试证明：函数()F x 有且仅有一个（实）零点（即()0F x =有且仅有一个实根），并且是正的，记此零点n x ；（II ）试证明级数21n n x ∞=∑收敛．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(每小题6分)（1）sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)x y x x x x x x x =-+．（2）222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t +==++，21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+=222222d d()d 66(1)d 2d d 21yy t t t x t x x t t +===+++， 221d 4d t y x =-=-．二、求极限(每小题6分)（3）00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=-- 注1,0x e x x -→ 201lim x x e xx →--= 011lim 22x x e x →-==．（4）limlim x x =lim2x ==-．(5)21201ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=，而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==，注：ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以，21lim(sin cos )x x x x x →+=三、求积分（6） 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-．（7）112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=．(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰0]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四、（9）12()arctan12xf x x -=+， 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑， 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑．（10）记!n nn a n =，由11(1)!11(1)limlim lim lim !1(1)(1)n n n n n n n n n nnn a n n n a n en n++→∞→∞→∞→∞++====++．所以，收敛半径R e =，收敛区间为(,)e e -，在x e =±处，级数成为1!()nnn n e n∞=±∑，考察!n n n n u e n =，有111(1)n n n u eu n+=>+，所以lim 0n n u →∞≠，并且也有lim(1)0n n n u →∞-≠，所以在x e =±处，该级数都发散．（11）由3222220y y xy y x -++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x '-+++-=,令0y '=,得y x =与3222220y y xy y x -++-=联立,有3222(21)0x x x x x x -+=-+=,解之得唯一解0x =.相应地有0y =, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x '-+++-=解出y ',故0x =为驻点. 再有 222()6421x yy y y x -'''=-++ 2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y x y y x ''-++----++=-++．以0x y ==,及0y '=代入,得20y ''=>,故当0x =时, y 为极小值,极小值0y =.（12）由2,2y x y x ⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-，则由上图22221[(4)(4(2)]d V x x x π-=---+⎰2241(1249)d x x x x π-=+-+⎰235211108[1223]55x x x x ππ-=+-+=．(13)220000()d ()d ()lim lim x x n nx x x f u u u uF x Ax Ax++→→-=⎰⎰22201()2()d ()2lim x n x xf x x f u u x x Anx+-→+=⎰2201200()()2limlim (1)x n n x x f u duf x xAnx An n x++--→→==-⎰ 2302()lim (1)n x f x An n x +-→=-25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→-=- 按题意, 0()lim 1n x F x Ax +→=,又220()(0)lim (0)1x f x f f x++→-'==, 若5n >则25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→--为∞, 若5n <则25202()(0)lim 0(1)n x f x f An n x x +-→-=-为,均与题意不符,故 5n =，于是25202()(0)1lim (1)10n x f x f An n x x A +-→-=-⨯,所以110A =． (14)(I)略,(II)设存在0(,)x x a b =∈,使0()0,f x >在区间0[,]a x 上用拉格郎日中值定理,存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂使得00()()()0f x f a f x aξ-'=>-, 如果存在0(,)x a b ∈,使0()0,f x <在区间0[,]x b 上用拉格郎日中值定理类似可证． (15) (I) 24021()d d 1nx xe t F x e t t t -=++⎰⎰，2014021(0)d d 01t F e t t t -=+<+⎰⎰， 2140211()d d 01e tn F e t t nt -=+>+⎰⎰，24()01nxx nx ne F x ee -'=+>+，故知存在唯一的n x 使 1()0,0n n F x x n =<<．(II) 因为 221nx n <,211n n∞=∑收敛，故21nn x∞=∑收敛．。

zucc 浙江大学城市学院07-08第二学期微积分_BII期末试卷_答案

诚信应考考出水平考出风格浙江大学城市学院2007—2008学年第二学期考试试卷《微积分B(II)》开课单位：计算分院；考试形式：闭卷；考试日期：08年6月26日；考试时间：120分钟一．填空题(本大题共 10题，每题 3分，共30 分)1．齐次型微分方程()yy f x '=，通过变换xyu =可化为可分离变量的方程。

2．微分方程4y y '=的通解为xCe y 4=。

3．通过点0(1,2,0)P 且与平面331x y z ++=垂直的直线方程为13231zy x =-=-。

4. 曲面22z x y =+在点(1,1,2)处的切平面方程为____该题不作要求___________。

5．设(,)f x y x y =+-(3,4)y f '=1/5。

6．设2x y z e +=，则dz =dy e dx e y x yx 222+++。

7．曲线34,2,x t y t z t ===在点(1,2,1)处的切线方程为___该题不作要求。

8．设222{(,)}D x y x y a =+≤，k 为常数，则Dkd σ=⎰⎰____2a k π_________。

9．设l 为圆周224x y +=，则第一类曲线积分l=_该题不作要求10．设l 为抛物线2y x =从点(0,0)到(1,1)的一段弧，则lxdx ydy +=⎰__不作要求二.计算题（本大题共 4题,每题 5 分，共 20分） 1．求解微分方程 21,1x xyy x y ='=+=。

625213121232-+=x x y2.求解微分方程 3223x y x y x e -'-=。

用公式法⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-C e e y x x 332613.求解微分方程 y y x '''-=。

21221C e C x x y x ++--=4．平面:260x y z π-+-=与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，求经过A 点与B 点的直线方程。

浙江大学2012-2013学年秋冬学期_微积分I期末试卷

浙江大学2012 — 2013学年秋冬学期
考生姓名：所在院系：
学号：
………………………………………..装………………………………….订………………………………….线………………………………………………………
《微积分I》课程期末考试试卷课程号： 061B0170，开课院系：理学院数学系
考试形式：闭卷，允许带笔入场
.
要的解答过程。

1. 设，求；
2. 设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求；
3. 设是由参数方程所确定，求；
4. 计算定积分；
5. 计算反常积分；
6. 求极限；
7. 求极限；
8. 求；
9. 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
10. 将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间；
11. 求不定积分；
12．设在上为正值的连续函数，试证明：
（Ⅰ）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积；
（Ⅱ）若增设可导且，则（1）中的是唯一的。

13．设在区间内可导且，.
（Ⅰ）求（当）；
（Ⅱ）讨论曲线在区间内的凹凸性并求其拐点坐标。

14．设，，
（Ⅰ）计算，并证明，（当）；（Ⅱ）证明级数条件收敛。

浙江大学期末考试微积分上试题

浙江大学2001级期末考试微积分上试题浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷系__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________一二三四五六七八总分复核题号得分评卷人一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设，其中，，，互不相等，且，则的值等于（）.（A）.（B）.（C）.（D）.2.曲线，当时，它有斜渐进线（）.（A）.（B）.（C）.（D）.3.下面的四个论述中正确的是（）.（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，，那末是在处取到极值的充分条件；（C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.4.下面四个论述中正确的是（）.（A）.若，且单调递减，设，则；（B）. 若，且极限存在，设，则；（C）. 若，则；（D）. 若，则存在正整数，当时，都有.二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1. =____________；=____________.2.函数可导，，则=____________.3. =____________.4. =____________；=____________.三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列通项，求.2.求.四、求导数：（每小题7分，共21分）1. ，求.2. 求，.3.函数由确定，求五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求.2.求.3.求.4.计算.六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？七、（6分）在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.1.设的面积为，求；2.求极限.八、证明题（5分）设在上连续，且，.证明：对任意，且，必有.。

浙江大学2006-2007学年微积分1期末参考答案

浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷解答一、求导数或微分 (1）sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x-=⋅+⋅++． (2) 由 20d t s xe s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d t y t s s =-⎰，令t s u -=，得220sin d sin d t ty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t t t t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x yex xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=，将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分（4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解令xe t =，2arctan d x xe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++．（6）解t =，1+∞⎰＝202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]xx x e x +→=-注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx xex x ++-→ 2012cos limln()3x x x →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim()()(()())x af x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-．（9）解由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1，取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑, 则11100011lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u ee-→∞==．四、（10）解：因为2620000arcsin d lim lim (1)d x x x tt t e tαβ→→=-⎰⎰ 注：由洛必达法则 2222331arcsin 3lim 1x x x x x e -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅，所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ．（11）解：（A ）因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()nn n aa ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n aa a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n aa ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()nn n n n n n aa a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n aa a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛，但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ．（13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点；同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点；在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点；在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点，所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图），直线OA 的方程y x =．（Ｉ）旋转体体积 ()Va 22240()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+，（II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >，当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+ 21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之， 20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑．右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-．七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x xf x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<，于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．。

微积分上册期末考试试题

微积分上册期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续也不可导D. 有界但无界的2. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相切的点是：A. \( (0,0) \)B. \( (2,8) \)C. \( (1,1) \)D. \( (4,16) \)3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，则函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 3C. 无穷大D. 不存在4. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的最大值是：A. 1B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \pi \)D. \( \frac{\pi}{4} \)5. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，且 \( f(x) \) 在\( [0,1] \) 上连续，则 \( f(x) \) 在 \( [0,1] \) 上的平均值是：A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数是：A. \( x \ln(x) \)B. \( x \ln(x) + x \)C. \( x \ln(x) - x \)D. \( x \ln(x) + C \)7. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的零点是：A. 0, 3B. -3, 0C. 1, 3D. -3, 18. 若 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 3 \)，且 \( f(x) = x^2 \)，则\( a \) 和 \( b \) 的值分别是：A. \( -1, 1 \)B. \( 0, 2 \)C. \( -2, 2 \)D. \( 1, 2 \)9. 函数 \( f(x) = \tan(x) \) 在区间 \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) 上是：A. 连续的B. 可导的C. 有界但无界的D. 不连续也不可导10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，则\( f(x) \) 在无穷远处的渐近线是：A. \( y = 0 \)B. \( y = x \)C. \( y = -x \)D. \( y = \infty \)二、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。

浙江大学城市学院微积分期末试题

浙江大学城市学院2004——2005学年第二学期期末试卷课程名称：微积分B 考试形式：闭卷考试时间：2小时6分，共18分）1．设→→→→++=k j i a 2，→→→→++=k j i b 4，求→→→⨯+b b a )2(。

2．求过点)2,0,1(-且与平面012=-+y x 及平面0324=-+-z y x 都平行的直线方程。

3．求直线=+33x =-+22y 1z 与平面0622=+++z y x 的交点的坐标。

二．求解下列各题（每小题6分，共18分）1．设),(y x z z =由方程333a xyz z =-所确定（a 是常数），求x z ∂∂，y z ∂∂。

2．设()y x xy x f z 222,-=，求x z ∂∂，yz ∂∂。

3．设()sin y z x y =+，求dz 。

三．求解下列各题（每小题6分，共18分）1．求二重积分⎰⎰D xydxdy ，其中D 是由直线x y -=2，x y =及0=x 所围成的平面区域。

2．求二重积分⎰⎰+D d y x σ22，其中{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 。

3．求三重积分⎰⎰⎰Ωxdv ，其中Ω是平面12=++z y x 与三个坐标平面所围的空间区域。

四．求解下列各题（每小题6分，共18分）1．判定级数∑∞=12)sin(n n n n 的敛散性，并给出理由（若是收敛，要说明是条件收敛还是绝对收敛）。

2．证明级数∑∞=--11ln )1(n n n n 收敛。

3．求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛半径、收敛区间（包括端点）及和函数。

五．求解下列各题（每小题6分，共12分）1．计算第一类曲线积分⎰l dl y 2，其中l 是上半圆周222a y x =+，0≥y 。

2．计算第二类曲线积分⎰Γ+OA ydy x dx xy 22，其中OA Γ是抛物线2x y =自点)0,0(至点(3,9)的有向弧。

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