直线的方程教案

教学过程

一、 复习预习

1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角,当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为直线倾斜角的取值范

围是．

2．直线的斜率：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是

．

3．两条直线平行

对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有∥． 4．两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即．

另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况．

x x αα0︒0180α︒︒≤<α90︒k tan (90)k αα︒

=≠90︒90︒(,)-∞+∞12,l l 12,k k 1l 212l k k ⇔=1-1-12121l l k k ⊥⇔⋅=-

二、知识讲解

考点1直线的五种形式

点斜式：，不表示斜率不存在的直线 斜截式：，不表示斜率不存在的直线

两点式：，不表示斜率为0和斜率不存在的直线

截距式：

，不表示斜率为0，斜率不存在和过原点的直线 一般式：（其中不同时为0）．

)(00x x k y y -=-b kx y +=1

21

121x x x x y y y y --=--1=+b

y

a x 0=++C By Ax ,A B

考点2两条直线的交点坐标

将两条直线的方程联立，得方程组

若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．

111222

0,

0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩

考点3点到直线距离和两平行直线之间的距离 点到直线距离公式：

点到直线的距离为：．

两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为．

),(00y x P 0:=++C By Ax l 2

2

00B

A C

By Ax d +++=1l 2l 1l 01=++C By Ax 2l 02=++C By Ax 1l 2l 2

2

21B

A C C d +-=

三、 例题精析

【例题1】

【题干】若直线被两平行线与所截得的线段的长为，

则的倾斜角可以是（ ）

① ② ③ ④ ⑤

其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 【答案】：如下图

正确答案①或⑤

【解析】：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用．

m 1:10l x y -+=2:30l x y -+

=m 15︒30︒45︒60︒

75

︒︒

30

【题干】：已知直线经过直线与的交点．若点到的距离为3，求的方程． 【答案】：

解法一：由 得交点．若直线的斜率不存在，则的方程为

，显然满足题意．若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为

．由点到直线的距离公式得．解得

．所以，直线的方程为．∴的方程为或．

解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为

，即．

，即，∴或． ∴的方程为或．

【解析】：本题考查两直线的交点坐标及直线方程． 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线． 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解． 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想．要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力．

l 250x y +-=20x y -=(5,0)A l l 250,

20,x y x y +-=⎧⎨

-=⎩

(2,1)P l l 2x =l k l (12)y kx k =+-3d =

=4

3

k =

l 4350x y --=l 2x =4350x y --=(25)(2)0x y x y λ+-+-=(2)(12)50x y λλ++--=3=22520λλ-+=2λ=12

λ=

l 2x =4350x y --=︒

30

【题干】：光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．

【答案】： ∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，

同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上， ∴264

223

A B k +=

=---． 故所求直线方程为y －6=－2（x +2）

， 即2x +y －2=0． 【解析】：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称． 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题． 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透．

【题干】：长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如

果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示．

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

【答案】：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点，，则

直线的两点式方程为

，整理得．

由，解得． 所以y 与x 之间的函数关系式为，其中． （2）代入，得96755

1

=-⨯=

y ． 所以，该旅客应当购买9元行李票．

【解析】：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程．

(60,6)(80,10)660

1068060

y x --=--165y x =-1

605

y x =->30x >1

65

y x =-30x >75x =1

65

y x =

-（千克）