高中数学所有知识点概括

知识点一：三角函数公式 （一）基本关系 公式组一1cos sin 22=+x x xxx cos sin tan =公式组二 (k Z ∈)sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x xk x x k x xππππ+=+=+=+=公式组三sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x xx xx x-=--=--=-=-公式组四 公式组五xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x xx xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ公式组六sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x xx x x xππππ-=-=--=--=-(二)两角和与差公式 公式组一βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组二: αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=公式组三1cos()sin 2παα-=,1cos()sin 2παα+=-1sin()cos 2παα-= 1sin()cos 2παα+=, 1tan()cot 2παα-=,1tan()cot 2παα+=-常用数据: 30456090、、、的三角函数值 6sin15cos 754-==,42615cos 75sin +==3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos ,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。

如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、22αβαβα+-=+、22αβαββ+-=-、()ααββ=+-等.③降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab 确定。

知识点二：不等式的性质 1．不等式的性质：⑴(对称性或反身性)a b b a <⇔>; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>，⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（） ⑹(开方法则)0,20a b n N n >>∈⇔>（≥） ⑺(倒数法则)110a b ab ab⇒>><， 注意：条件与结论间的对应关系，是“⇒”符号还是“⇔”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2．定理1：如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2ba +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a ba b++（当且仅当a = b时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：⑴3322a b a b ab++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc++-=++++---可推出3333a b c abc++≥(0a b c++>等式即可成立,0a b c a b c==++=或时取等);⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么3a b c++（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：123123(0)a b a b a b aba a a a a a--+++++⑴≤≤≥时,取等号⑵≤注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.4. 线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式0Ax By C++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C++=某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式0Ax By C++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线0Ax By C++=同侧的所有点的坐标(,)x y代入Ax By C++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)x y，从00Ax By C++的正负即可判断0Ax By C++>表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当0C≠时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。

由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=。

在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。

又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

知识点三：导数 导数概念与运算 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地Oyx A CB 430x y -+=1x = 35250x y +-=有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f ’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。