2021年中考数学压轴题专项训练反比例函数含解析202102192297

2021年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》

1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；

（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的解析式为y1＝，

∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣1，

∴B（﹣3，﹣1），

∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，

∴，

∴，

∴一次函数的解析式为y2＝x+2；

（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，

∴①当OA＝OP时，

∵A（1，3），

∴OA＝，

∵OP＝，

∵点P在x轴上，

∴P（﹣，0）或（，0），

②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，

∵A（1，3），

∴P（2，0），

即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．

2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．

（1）求m的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC 围成的区域（不含边界）为W．

①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．

解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，

（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），

如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；

②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k

＝，

当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，

观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．

3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；

动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时

间为t秒，PQ2＝y．

（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；

（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．

解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，

∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，

∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；

故答案为：．

（2）当时，

整理，得5t2﹣16t+12＝0，

解得：t1＝2，．

（3）经过点D的双曲线的k值不变．

连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC＝3，BC＝4，

∴．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴，

∴OD＝3．

∵CB∥OA，

∴∠DOF＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，，

∴，，

∴点D的坐标为，

∴经过点D的双曲线的k值为．

4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？

解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，

将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，

∴点B的坐标为（1，﹣6），

将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，

∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；

（2）设AB与x轴相交于点C，如图，

当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，

＝×2×2+×2×6，

＝2+6，

＝8；

（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，

∴点P和点Q不在同一象限，

∴P在第二象限，Q在第四象限．

5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．

（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；

（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．

解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），

∴OA＝OB＝1，

∴∠OAB＝∠CAE＝45°

∵AE＝3OA，

∴AE＝3，

∵EC⊥x轴，

∴∠AEC＝90°，

∴∠EAC＝∠ACE＝45°，

∴EC＝AE＝3，

∴C（4，3），