第1讲-绝对值和绝对值不等式的解法
《绝对值不等式的解法---说课稿
∴ 1 x ∴ 1 x ≤5;
3
3
⑶当 x ≤ 3 时,原不等式可变形为5 x (2x∴综上所述,原不等式的解集为 (, 7) ( 1 , ) 3
5、课时小结
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用 “零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符 号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键． (3)构造函数，结合函数的图象求解．
-2x-6 (x<-2) 由图象知不等式的解集为
x x≥2或x ≤3
-2 1
-3
2 -2
x
方法小结
方法小结:
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
主要方法有：
⑴ 运用绝对值的几何意义, 数形结合；
⑵ 零点分段法:分类讨论去绝对值符号；
（含两个或两个以上绝对值符号）
①
②
③
x1
ax+b>c 或 ax+b<-c
思考：如何求不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集？
2.探究：怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5
呢? 解绝对值不等式关键是去绝对值符号,
你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
结合近三年来全国卷的高考真题，加以巩固提高 ，培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力， 对培育学生思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学 生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的
绝对值不等式的解法步骤
绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。
绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。
绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。
三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。
2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。
四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。
2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。
五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。
2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。
3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。
4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。
六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。
另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。
解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
绝对值方程与不等式
绝对值方程与不等式一、绝对值不等式的基本性质绝对值不等式的定义与绝对值方程类似，只是将等号换成不等号。
对于任意实数a，绝对值不等式可以写成如下形式：a，≤b或，a，≥b其中b为实数。
绝对值不等式的解集可以用区间表示。
例如，对于，a，≤b，解集为闭区间[-b,b]；对于，a，≥b，解集为两个开区间（负无穷，-b）和（b，正无穷）的并集。
与绝对值方程类似，可以利用绝对值的定义解绝对值不等式。
对于，a，≤b，我们可以将绝对值去掉，得到两个不等式，然后分别求解，并将解集取交集。
对于，a，≥b，我们可以将不等式拆解为两个绝对值不等式，再分别求解，并将解集取并集。
在解绝对值不等式时，需要注意以下几个性质：1.两个非负实数的绝对值相等，当且仅当这两个实数相等。
也就是说，如果，a，=，b，那么a=b或a=-b。
2.如果，a，=c，c≥0，那么a=c或a=-c。
这些基本性质对于解决绝对值不等式非常有帮助，可以帮助我们化简不等式，提取出能够直接进行计算的部分。
二、绝对值不等式的解法解绝对值不等式的方法包括图像法、分段讨论法和代数法。
1.图像法：使用数轴上的图像表示法，通过观察图像来找到解集。
例如，对于不等式，2x-1，≤3，可以先画出2x-1的图像，然后找出使得，2x-1，≤3的x的取值范围。
这种方法在直观上很直接，但对于复杂的不等式可能不太适用。
2.分段讨论法：将不等式分成几个条件，然后分别讨论每个条件下的解集，并将解集取并集。
例如，对于不等式，x-2，>3，可以将不等式分成两个条件，即x-2>3和x-2<-3，分别求解得到x>5和x<-1，最后将解集取并集得到(-∞,-1)∪(5,+∞)。
3.代数法：利用绝对值的定义和基本性质，将绝对值不等式转化为一系列等价的不等式，然后求解。
这种方法在理论上较为严谨，适用范围更广。
例如，对于不等式，3x+2，≥5，可以将不等式拆解为3x+2≥5和3x+2≤-5，分别求解得到x≥1和x≤-7/3，最后将解集取并集得到(-∞,-7/3]∪[1,+∞)。
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
绝对值不等式的解法和步骤
绝对值不等式的解法和步骤嘿，咱今儿就来唠唠绝对值不等式这玩意儿的解法和步骤哈！你说这绝对值不等式啊，就像是个调皮的小精灵，有时候藏得深，有时候又蹦跶得欢。
那怎么对付它呢？咱先说说简单点的情况。
就好比一个数的绝对值小于另一个数，那这时候就相当于这个数在以另一个数为中心的一个小范围内蹦跶呢。
比如说，|x|＜5，那这 x 不就是在-5 和 5 之间嘛，简单不？这就好像你找东西，知道它就在那一块儿，范围缩小了，就好找多啦！再说说复杂点的，要是一个绝对值大于另一个数呢？那就像是这个数得跑到离中心更远的地方去啦。
比如说，|x|＞3，那 x 要么比 3 大很多，要么比-3 小很多呀，是不是挺形象的？那要是遇到多个绝对值凑一块儿的呢？这就有点像打小怪兽啦，得一个一个来解决。
先把每个绝对值里的情况分析清楚，再综合起来看。
比如说，|x-1|+|x+2|＜5，咱就得分情况讨论咯。
当 x＜-2 时，那这两个绝对值里的式子都得变号，然后再解不等式；当-2≤x＜1 时，只有一个绝对值变号，另一个不变，再接着解；当x≥1 时，两个都不变号啦，继续解。
是不是感觉像在走迷宫，得找对路才行呀！解绝对值不等式啊，就像是在解题的海洋里航行，有时候风平浪静，有时候波涛汹涌。
但只要咱掌握了方法，那就能稳稳地向前开。
咱再举个例子哈，|2x-3|≤7，这时候咱就可以把它分成-7≤2x-3≤7 来解呀，先加 3，再除以 2，答案不就出来啦！哎呀，这绝对值不等式啊，其实没那么可怕。
只要咱多练练，多琢磨琢磨，就一定能把它拿下！就像爬山一样，虽然过程有点累，但等爬到山顶，看到那美丽的风景，就觉得一切都值啦！所以啊，大家别害怕绝对值不等式，勇敢地去解它，你会发现其中的乐趣和成就感的！加油吧，朋友们！相信自己，绝对能行！。
不等式第一讲--绝对值不等式
第一讲含绝对值的不等式一、知识梳理知识点一：绝对值的几何意义1、绝对值的意义⑴意义：在数轴上a表示a对应的点到原点的距离，a b-表示a与b之间的距离.代数表达式为：(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩它的一个重要性质是：a b a b a b-≤±≤+⑵(0)x a a<>：(0)x a a>>：2、基本绝对值不等式的解法(0)x a a<>的解集为：{}x a x a-<<x a>的解集为：{|x x a<-或}x a>巧记方法为“小于找中间，大于找两边”知识点二、绝对值不等式的基本解法类型一：ax>()0>a；ax<()0>a；cbax>+()0>c；cbax<+()0>c；()0,><+<dcdbaxc例1、⑴258x-≤⑵237x->⑶325x<-+⑷652x+≤例2、⑴329x≤-<⑵2227x≤--<类型二：含有多个绝对值的不等式（平方法、零点分段法、几何意义法）例3、142x--<例4、⑴12+>-xx⑵xx≥+2例5、⑴2133x x-++<⑵125x x-++<类型三：()()x gxf>和()()x gxf<型不等式例6、（1）143-<-xx；（2）3215+>-xx；类型四：含有参数的不等式例7、()Raax∈<-+132例8、已知关于x的不等式2(3)2ax a x+>--；若a R∈，求不等式的解集A；设不等式212x +<的解集为B ，使得A B ⋂ 1|12x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值课后练习1、不等式32-5>x 的解集是（ ）。
A ．{}|4x x >B . {|1x x <或}4x >C . {}|14x x <<D . {|1x x <-或}4x >2、不等式210x -+<的解集是（ ）A ．{}|13x x <<B . {|1x x <或}3x >C . RD . ∅3、已知集合{}|13A x x =-<，B ={}|13x x ->，则A B = （ ）A ．{}|24x x -<<B . {}20x -<<C . {|20x x -<<或24}x <<D . {|0x x <或}4x >4、已知集合{||2|5},{|A x x B x =+>=|3|2}x -<，则A B = （ ）A ．{|7x x ≤或1}x >B . {|17}x x -≤<C . {}|x x R ∈D . {|7x x ≤-或3}x ≥5、集合{|0|1|3}x N x ∈<-<的真子集个数为（ ）A ．16B . 15C . 8D . 76、实数,a b 满足0ab >，那么（ ）A ．||||||a b a b -<+B . ||||a b a b +>-C . ||||a b a b +<-D . ||||||||a b a b -<+7、已知{||1|2},{||M x x N x x =-<=+2|4}≥，则下列结论正确的是（ ）A ．M N R =B . {|23}M N x x =≤<C . M N R =D . {|6}M N x x =<-。
试讲教案模板(含绝对值的不等式解法)
试讲教案模板(含绝对值的不等式解法)第一章：绝对值概念介绍1.1 绝对值的定义与性质引入绝对值的概念，解释绝对值表示一个数与零点的距离。
探讨绝对值的性质，如非负性、奇偶性等。
1.2 绝对值不等式介绍绝对值不等式的概念，即含有绝对值符号的不等式。
举例说明绝对值不等式的形式，如|x| > 2 或|x 3| ≤1。
第二章：绝对值不等式的解法2.1 绝对值不等式的基本性质讲解绝对值不等式的基本性质，如|a| ≤b 可以转化为-b ≤a ≤b。
引导学生理解绝对值不等式与普通不等式的区别与联系。
2.2 绝对值不等式的解法步骤介绍解绝对值不等式的步骤，包括正确理解不等式、画出数轴、分类讨论等。
通过具体例子演示解绝对值不等式的过程，如解|x 2| ≤3。
第三章：绝对值不等式的应用3.1 绝对值不等式在实际问题中的应用通过实际问题引入绝对值不等式的应用，如距离问题、温度问题等。
引导学生运用绝对值不等式解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.2 绝对值不等式的综合应用提供综合性的题目，让学生练习将实际问题转化为绝对值不等式。
引导学生运用解绝对值不等式的技巧，求解综合应用问题。
第四章：含绝对值的不等式组4.1 不等式组的定义与性质引入不等式组的概念，即由多个不等式组成的集合。
探讨不等式组的性质，如解的交集、解的传递性等。
4.2 含绝对值的不等式组的解法讲解含绝对值的不等式组的解法，如先解每个绝对值不等式，再求交集。
提供例子，演示解含绝对值的不等式组的过程。
第五章：含绝对值的不等式解的应用5.1 含绝对值的不等式在实际问题中的应用通过实际问题引入含绝对值的不等式应用，如几何问题、物理问题等。
引导学生运用含绝对值的不等式解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
5.2 含绝对值的不等式的综合应用提供综合性的题目，让学生练习将实际问题转化为含绝对值的不等式。
引导学生运用解含绝对值的不等式的技巧，求解综合应用问题。
第六章：绝对值不等式的图形解法6.1 绝对值不等式与数轴介绍如何利用数轴来解绝对值不等式。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
绝对值与绝对值不等式
绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中常见的一个概念，它用来表示一个数离0点的距离。
在数学中，绝对值的定义通常如下：若a是一个实数，那么(|a|)的值满足以下两个条件之一：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|= -a。
绝对值不等式则是对含有绝对值的不等式进行推导和求解。
关于绝对值不等式，我们可以分为以下几个方面进行讨论。
一、绝对值不等式的基本性质在研究绝对值不等式时，我们首先需要了解绝对值不等式的一些基本性质，以便于后续的推导和求解。
1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。
2. 正定性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|a|=0。
3. 反对称性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|-a|=|a|。
4. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
二、绝对值与绝对值不等式的运算接下来，我们来研究绝对值与绝对值不等式的运算规则。
在推导和求解绝对值不等式时，我们经常需要运用到以下两个常用的运算法则：1. 绝对值的开放性质：对于任意实数a和b，有|ab|=|a||b|。
2. 绝对值的分割性质：对于任意实数a和b，如果|a|<b，那么-a<b<a。
三、绝对值不等式的求解方法在实际求解绝对值不等式的过程中，我们可以根据不等式的形式进行分类讨论与推导。
下面，我们举例介绍两种常见的绝对值不等式及其求解方法。
1. 不等式形式：|x-a|<b，其中a和b为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以得到两个方程组。
当a≥0时，得到 -b<x-a<b；当a<0时，得到 -b<a-x<b。
综合以上两种情况，我们可以得到 -b<x-a<b，即|x-a|<b。
所以，不等式|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
2. 不等式形式：|ax+b|≥c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以分别得到两个方程组。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
选修4-5第1讲绝对值不等式
不等式选作第1讲 绝对值不等式 1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．考点一__含绝对值不等式的解法________________解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.[解] 法一：如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不少于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5， 解得x ≥2或x ≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[规律方法] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a <b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．1.解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.考点二__绝对值不等式性质的应用______________确定“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件．[解] ∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<m ＋m ＝2m ， ∴|x －a |<m 且|y －a |<m 是|x －y |<2m 的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |<m ＝2.5， 故|x －a |<m 且|y －a |<m 不是|x －y |<2m 的必要条件．故为充分不必要条件． [规律方法] 两数和与差的绝对值不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．2.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a ≤3即可．故a 的取值范围为(－∞，3]． 考点三__绝对值不等式的综合应用______________(2013·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．3.(2015·唐山市第一次模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}． 2．在实数范围内，解不等式||x －2|－1|≤1.解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.故x 的取值范围是[0，4]． 3．(2015·山西省忻州市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1. 4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|1|ax +＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围． 解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝|1|a x +＋|x －a |≥|)(1|a x ax --+＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)f (3)＝|13|a+＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.5．(2015·大连市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，32∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤2所以1<a ≤2，因为a ∈N *所以a ＝2.(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4，所以f (x )的最小值是4. 6．(2015·新乡许昌平顶山调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，只需a －1≥1，解得a ≥2，所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．1．(2015·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ）（2t≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2， ∴a ＝1.(2)∵f ）（2t ≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.∴y min ＝72，∴m ≥72.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是(－1，43]．3．(2015·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －3>2，解得x <12或x >52.∴所求实数x 的取值范围为(－∞，12)∪(52，＋∞)．(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，∴f (x )≤2.∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >52}，∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤52}，∴所求实数x 的取值范围为[12，52]．4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2.(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4.(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[14，＋∞)．。
绝对值不等式的解法
画出数轴
在数轴上标出关键点，如$a$和 $a+b$，以及不等式的解集范围。
确定解集
根据数轴上的位置关系，确定不等式 的解集。例如，对于不等式$|x-a| < b$，解集为$(a-b, a+b)$。
区间表示法
开区间表示法
使用开区间表示不等式的解集，例如$(a, b)$表示$a < x < b$。
闭区间表示法
使用闭区间表示不等式的解集，例如$[a, b]$表示$a leq x leq b$。对于一元一次绝对值不等式，通常使用开区间表示 法。
03
一元二次绝对值不等式解法
转化为一元二次不等式组
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为一元二次 不等式组。
解一元二次不等式
利用一元二次不等式的解法，分别求出不等式组的解 集。
其中$a, b, c, d, e$为常数，且$c neq 0, e neq 0$）的不等式。
几何意义与数轴表示
几何意义
绝对值不等式表示数轴上的点到某一点的距离与某个值的大小关系。例如，不等式$|x - a| < b$（其 中$b > 0$）表示数轴上到点$a$的距离小于$b$的点的集合。
数轴表示
通过数轴可以直观地表示绝对值不等式的解集。例如，对于不等式$|x - a| < b$（其中$b > 0$）， 解集为$(a - b, a + b)$，在数轴上表示为以点$a$为中心、长度为$2b$的开区间。
绝对值不等式的解法
汇报人：XX
• 绝对值不等式基本概念 • 一元一次绝对值不等式解法 • 一元二次绝对值不等式解法 • 高次及分式绝对值不等式解法 • 含有参数绝对值不等式解法 • 总结与拓展
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。
本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。
一、绝对值不等式的定义和性质绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。
在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。
绝对值函数的性质如下：1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。
2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。
绝对值函数在a不等于0时取正数。
3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。
二、绝对值不等式的解法思路对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。
2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。
3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。
下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。
例一：|x+2|<5首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：情况一：x+2>0时，即x>-2将不等式转化为：x+2<5，即x<3根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2<x<3例二：|2x-1|≥3同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2情况二：2x-1<0时，即x<1/2将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。
初中数学教案：绝对值不等式的解法
初中数学教案：绝对值不等式的解法绝对值不等式是初中阶段数学中非常重要的概念之一，不仅在初中数学中，也会涉及到高中数学、甚至是大学数学中的一些想法。
在初中数学教案中，绝对值不等式的解法也是一个非常重要的部分，涉及到了不等式的基本应用和数学知识点的理解。
下面我们将详细探讨初中数学教案中的绝对值不等式的解法。
一、绝对值不等式的定义在初中数学教案中，我们常常说到绝对值不等式，那么什么是绝对值不等式呢？通俗来讲，绝对值不等式就是用来描述数值大小关系的不等式表达式。
其基本形式如下：|f(x)|≤a 或者|f(x)|≥a其中，f(x)是一元函数，a是正数。
二、绝对值不等式的解法1.范围首先在解绝对值不等式时，需要求得变量x的取值范围，然后根据取值范围得出相应的解法。
在求取变量x的取值范围时，需要根据不等式中绝对值符号的正负性情况以及a的取值情况来进行不同情况的讨论。
① |f(x)|≤a如果a>0，则有- a≤f(x)≤a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有0≤f(x)≤a，所以x ∈[b,c]，其中0≤b≤c≤a。
当f(x)＜0时，有-a＜f(x)＜0，所以x∈(d,e)，其中-a<d<e<0。
综合起来，得到x∈[b,c]∪(d,e)。
② |f(x)|≥a如果a≥ 0，则有f(x)≥a或f(x)≤- a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有f(x)≥a，所以x∈[f,g]，其中g≥f≥a。
当f(x)＜0时，有f(x)≤- a，所以x∈(-h,-i]∪[i,h)，其中-i≤h＜i≤-a。
综合起来，得到x∈(-h,-i]∪[f,g]∪[i,h)。
2.常规解法另一种常规的解法是将绝对值符号去掉。
当然，在去掉绝对值符号后需要分别考虑函数f(x)≥0和f(x)＜0两种情况。
如果函数f(x)≥0，则有：f(x)≤a 或f(x)≥-a如果函数f(x)＜0，则有：-f(x)≤a 或-f(x)≥-a通过两种情况的判断，最终得到的解法可以修正前面所得到的结论。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
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第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法5.1 绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．例如，2-到原点的距离等于2，所以22-=．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩． 5.1.1 绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4解：A【例2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3解：C当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．解：3；1，1-，3-．练习1：已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc+++的值 解：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，（1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=．原式0=．【例4】若42a b -=-+，则_______a b +=． 解：424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=． 结论：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________解：1,2a b =-=．练习2：若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 解：由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例5】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：⑴当1x ≤-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<<时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值解：令20x +=，解得2x =-，所以2x =-是2x +的零点；令40x -=，解得4x =，所以4x =是4x -的零点．（2）化简代数式24x x ++-解：⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；⑵当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；⑶当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．（3）化简代数式122y x x =-+- 解：当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．综上讨论，原式()()()531312352x x x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．5.1.3 绝对值函数常见的绝对值函数是：,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其图象是绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0x =．思考如何画y x a =-的图象？我们知道，x 表示x 轴上的点x 到原点的距离；x a -的几何意义是表示x 轴上的点x 到点a 的距离．【例6】 画出1y x =-的图像解：（1）关键点是1x =，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出2y x =-的图像； （2）画出2y x =的图像【例7】画出122y x x =-+-的图象解：（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．（3）图象如右图所示．【例8】 画出函数223y x x =-++的图像解：（1）关键点是0x =（2）去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++；当0x <时，223y x x =--+（3）可作出图像如右图【例9】 画出函数232y x x =-+的图像解：（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+；当12x <<时，232y x x =-+-（3）可作出图像如右图1．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________． 3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数4．若x x >，那么x 是________数． 5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象8．化简523x x ++-．9.画出23y x =+的图像10.画出223y x x =-++的图像答案：1．35；3π-； 3.1415π- 2．2或1- 3．C 4．负5．-4 6．37．23,21,2123,1x xy xx x--≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如下8．32,538,52332,2x xy x xx x⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩9．如图所示10．如图所示5.2 绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．【例1】解方程：21x-=．解：原方程变为21x-=±，∴3x=或1x=．【例2】解不等式1x<．解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1-和1，自然只有在1-和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是{|11}x x-<<．练习1．解不等式：（1）3x<；（2）3x>（3）2x≤解：（1）{|33}x x-<<（2）{|33}x x x<->或（3）{|22}x x-≤≤结论：（1）(0)x a a<>的解集是{|}x a x a-<<，如图1．（2）(0)x a a>>的解集是{|}x x a x a<->或，如图2．【例3】解不等式 21x -<． 解：由题意，121x -<-<，解得13x <<，所以原不等式的解集为{|13}x x <<．结论：（1）(0)ax b c c c ax b c +<>⇔-<+<．（2）(0)ax b c c ax b c +>>⇔+>或ax b c +<-练习1：解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；解：（1）由题意，3103x -<-<，解得713x <<，所以原不等式的解集为{|713}x x <<．（3）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <，，所以原不等式的解集为73{|}22x x x ><或． （3）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤≤，所以原不等式的解集为{|14}x x -≤≤．练习2：解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 解：由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤，① 由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<，② 由①②得，4233x -<<，所以原不等式的解集为42{|}33x x -<<． 练习3：解不等式1215x ≤-<． 解：方法一：由215x -<，解得23x -<<；由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥，联立得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或． 方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或．【例4】解不等式：4321x x ->+解：方法一：（零点分段法）（1）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <；（2）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >； 综上所述，原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 方法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >，所以原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 结论：（1）()()()ax b f x f x ax b f x +<⇔-<+<． （2）()()ax b f x ax b f x +>⇔+>或()ax b f x +<-．练习4：解不等式：431x x -≤+． 解：由431x x -≤+得(1)431x x x -+≤-≤+，解得2453x ≤≤，原不等式的解集为24{|}53x x ≤≤．【例5】解方程：（1）213x x ++-= （2）215x x ++-=（3）314x x +--= （4）324x x +--=【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若a 和b 是数轴上的两个数，那么当a x b <<时，数x 到a 和b 的距离之和等于a 与b 的距离；当x a <或x b >时，数x 到a 和b 的距离之差的绝对值，等于a 与b 的距离．以上所有问题都可以用此方法解决．解：（1）等式左边式子21x x ++-的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，而2-和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x 位于2-和1之间时，x 到2-和1的距离之和就刚好为3，所以x 的取值范围是21x -≤≤．（2）等式左边式子的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，由于2-和1的距离是3，所以x 一定在2-和1的两边，经过计算，可知当x 位于3-和2时，满足条件．（3）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和1的距离之差，由于3-和1的距离刚好是4，所以当x 位于3-到1的两边时，x 到3-和1的距离之差刚好为4，x 的取值范围是3x ≤-或1x ≥．（4）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和2的距离之差，由于3-和1的距离刚好是5，所以x 一定位于3-到2之间，可知当x 位于52-和32时，满足条件． 【例6】解不等式：215x x ++-<方法1：利用零点分区间法（推荐）分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x ．2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．解：当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ； 当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x ； 当1>x 时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ． 综上，原不等式的解集为{}23<<-x x ．说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值．方法2：利用绝对值的几何意义 解：215x x ++-<的几何意义是数轴上的点x 到1和2-的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35--=<，易知当3x =-或2x =时，215x x ++-=，所以x 位于3-和2之间（不含端点），所以32x -<<，所以原不等式的解集为{}23<<-x x ．说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显．练习1．217x x ++-<解：{|43}x x -<<练习2．解不等式：324x x +--≤ 解：3{|}2x x ≤练习3．23228x x ++-≤解：97{|}44x x -≤≤ 【例7】解不等式：123x x x -+->+解：当1x <时，原不等式变为：312x x x -+->+，解得：0x <；当12x ≤≤时，得312x x x -+->+，无解当2x >时，得312x x x -+->+，解得：6x >．综上，原不等式的解集为{|06}x x x <>或．【例8】解关于x 的不等式231x a +-<解：原不等式变为231x a +<+ （1）当1a ≤-时，10a +≤，原不等式无解；（2）当1a >-时，(1)231a x a -+<+<+，解得2122a a x --<<-． 综上所述，当1a ≤-时，原不等式无解；当1a >-时，原不等式的解集为21{|}22x a a x --<<-．1.已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________. 4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .a 0b c5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<精品文档随意编辑 8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+答案1.B2. {|51}x x -<<；{|04}x x <<3. 3{}84.05. {|71511}x x x -<≤-≤<或6. 35{|}22x x -<<7. {|1124}x x x -<≤≤<或 8. 3{|5}5x x x <>或9．1{|5}3x x <<。