江苏省南京市2020届三模数学

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江苏省南京市2020届06月03日高三年级三模数学+评分标准

F E DS 0For i From 1 To 4 S S+i End For Print S+ 2 f (-x ), x > 0,南京市届高三年级第三次模拟考试一、填空题：本大题共 14分，共计分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．已知集合 A = {x |2 < x < 4}, B {x |1 < x < 3}, 则 ▲ .2. 若 z = a+ i (i 是虚数单位)是实数，则实数 a 的值为 ▲.1 i3. 某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ .4. 如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ▲ .5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ .6. 已知函数 f (x ) = 2sin (ωx + φ) (其中 ω > 0, - π < φ ≤ π )的部分图22象如图所示，则 f (π ) 的值为 ▲.7. 已知数列 {a n } 为等比数列.若 a 1 = 2,且 a 1, a 2, a 3 - 2 成等差数列，则 {a n } 的前 n 项和为 ▲ . 8. 在平面直角坐标系 x O y 中,已知双曲线 x 2 - y 2 = ( > , > )a 2b 2 1 a 0 b 0 的右焦点为 F .若以 F 为圆心 , a 为半径的圆交该双曲线的一条斯近线于 A , B 两点，且 AB = 2 b 则该双曲线的离心率为 ▲ .9. 若正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2, 则三棱锥 A - B 1CD 1 的体积为 ▲ .10．已知函数 f ( x ) =x + 2, x ≤ 0g ( x ) = f ( x - 2 ). 若 g ( x - 1 ) ≥ 1 , 则实数 x 的取值范围为▲ .11. 在平面直角坐标系 xOy 中, A , B 是圆 O : x 2 + y 2= 2 上两个动点，且 OA ⊥ OB .若 A , B 两点到直线 l : 3x + 4y - 10 = 0 的距离分别为 d 1 , d 2, 则 d 1 + d 2 的最大值为 ▲ .12. 若对任意 a ∈ [e , + ∞) (e 为自然对数的底数)，不等式 x ≤ e ax + b 对任意 x ∈ R 恒成立，则实数 b的取值范围为 ▲.13. 已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内,满足 AP = λAB +μAC , 且 2λ + 3μ = 1, 延长 AP 交边BC 于点 D . 若 BD = 2DC ,则 PA ∙ PB 的值为 ▲ .14. 在 △ A BC 中， ∠ A = π ， D 是 BC 的中点.若 A D ≤ 2BC , 则 sin B sin C 的最大值为 ▲.32 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 P作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 , 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , PA ⏊ PD , E , F 分别为 AD , PB 的中点 . C求证 : （1） EF // 平面 PCD ; （2）平面 PAB ⏊ 平面 PCD .ABy-π23 O2π 3x-2北B16．（本小题满分 14 分）已知向量 m = (cos x , sin x ), n = (cos x , - sin x )，函数 f (x ) = m ∙ + 1.2 （1）若 f ) = 1, x ∈ (0, π), t an (x + π) 的值;2 4（2）若 f (a ) = - 1 , a ∈ π , 3π , sin β = 7 2 , β ∈ (0, π)，求 2α + β 的值.10 2 4 10 217．（本小题满分 14 分）如图 , 港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有条直线航道 OD ，航道和正东方向之间有一片以 B 为圆心，半径为 8 5 海里的圆形暗礁群 ( 在这片海域行船有触礁危险 )，其中 OB =20 13 海里 , t a n ∠ A O B = 2 , c o s ∠ A OD = 3 5 5 现一艘科考船以 10 5 海里 / 小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇以 50 海里 / 小时的速度准备从港口 A 出发 , 并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇 .（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险 , 并说明理由 ; （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等 x 小时出发 , 求 x 的最小值 .18．（本小题满分 16 分）x 2Oy 2A东3 如图，在平面直角坐标系 x O y 中，椭圆 C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 经过点 (-2, 0) 和 (1,C 上三点 A ， M ， B 与原点 O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标；（3）若 A ， M ， B ， O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．)，椭圆 2yMABOxen2n19．（本小题满分 16 分）x 已知函数 f (x ) = x 2 - ax + a(a ∈ R 为自然对数的底数．（1）若 a = 1，求函数 f (x ) 的单调减区间；（2）若函数 f (x ) 的定义域为R (a )，求 a 的取值范围；（3）证明：对任意 a ∈ (2, 4)，曲线 y = f (x ) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．（本小满分 16 分）若数列 a n 满足 n ≥ 2, 时， a ≠ 0, 则称数列a na n + 1(n ∈ Na n的“L 数列”.（1）若 a 1 = 1，且 a n 的“L 数列”为 1 ，求数列 a n 的通项公式；（2）若 a n = n + k - 3(k > 0)，且 a n 的“L 数列”为递增数列，求 k 的取值范围；（3）若 a n = 1 + p n - 1，其中 p > 1，记 a n的“L 数列”的前 n 项和为 S n ，试判断是否存在等差数列 c n ，对任意 n ∈ N ，都有 c n < S n < c n + 1 成立，并证明你的结论．y = sin θ数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）a ∈ R1) 在矩阵 A 的变换下得到点 P (0, -2).1）求矩阵（2）求点 Q (0, 3) 经过矩阵 A次变换后对应点 Q的坐标．B.[选修4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）线 C 的参数方程为 x 1 + c o s θ,（θ 为参数），直线 l 的参数方程为x = y = 1 +为参数），求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．C ．[选修：不等式选讲 10 分）非负实数，求证： a 3 + b 3 ≥ ab (a 2 + b 2)．A 1 A【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱中 ABC - A 1B 1C 1， AB ⏊ AC ， AB = 3， AC = 4， B 1C ⏊ AC 1.（1）求 AA 1 的长；（2）试判断在侧棱 BB 1 上是否存在点 P ，使得直线 PC 与平面 AA 1C 1C 所成角和二面角 B - A 1C -A 的大小相等，并说明理由.B 1C 1PBC23.（本小题满分 10 分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 2n + 1(n ∈ N 次．若取出白球的累计次数达到 n + 1 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 P n ．（1）求 P 1；（2）证明： P n + 1< P n .。

江苏省南京市2020届高三第三次模拟考试(6月) 数学 Word版含答案

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|2＜x ＜4}，B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B________．2. 若z ＝a1＋i＋i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________． S ←0For i From 1 To 4 S ←S ＋i End For Print S(第 4 题) (第6题)5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F.若以F为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f （－x ），x ＞0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围是________．13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin Bsin C 的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，点E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：(1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)，函数f(x)＝m·n ＋12.(1) 若f(x2)＝1，x ∈(0，π)，求tan(x ＋π4)的值；(2) 若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sin β＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．17. (本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现有一艘科考船以105海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．(1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(－2，0)和(1，32)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；(3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e xx 2－ax ＋a(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a ＝1，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若函数f(x)的定义域为R ，且f(2)＞f(a)，求a 的取值范围；(3) 求证：对任意a ∈(2，4)，曲线y ＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20. (本小题满分16分)若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p ＞1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n ＜S n ＜c n ＋1成立，并证明你的结论.2020届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1. (1) 求AA 1的长；(2) 试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等，并说明理由．23. 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n ∈N *)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n .(1) 求P 1；(2) 求证：P n ＋1＜P n .2020届高三模拟考试试卷(十九)(南京)数学参考答案及评分标准1. {x|1＜x ＜4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8. 62 9. 83 10. [2，4]11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. 证明：(1) 取PC 的中点G ，连结DG ，FG .在△PBC 中，因为点F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且点E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG.(4分)因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD.(10分)因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA.(12分)因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分)16. 解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)，所以 f(x)＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos 2x ＋12.(2分)因为f(x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3·tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) 若f(α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分)所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22.(12分)因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，且A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55，所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ，即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55. 化简得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0.因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分)此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.答：x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. 解：(1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和(1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 204＋y 20＝1，（x 0＋2）24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝±32，所以M(－1，±32)．(6分) (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分)因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2，所以M(－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2)．(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化简得4m 2＝4k 2＋1 ①.(12分)因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4 ②.(14分) 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ＞0，因此k ＝±112.所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 解：当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2.令f′(x)＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 解：由函数f(x)的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.(4分)(解法1)由f(x)＝e xx 2－ax ＋a ，得f′(x)＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a ，2)上单调递减，所以f(a)＞f(2)，不符题意．(6分) ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，所以f(a)＜f(2)，满足题意．综上，a 的取值范围是(2，4)．(8分)(解法2)由f(2)＞f(a)，得e 24－a ＞e aa .因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e aa(4－a)．设函数g(x)＝e xx (4－x)－e 2，0＜x ＜4.(6分)因为g′(x)＝e x ·－（x －2）2x 2≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．所以a 的取值范围是(2，4)．(8分) (3) 证明：设切点为(x 0，f(x 0))，则f′(x 0)＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2，所以切线的方程为y －ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(x －x 0)．由0－ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(0－x 0)，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分) 设h(x)＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点.由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R ，h ′(x)＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a.因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h′(x)＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1＜x 2. 列表如下：所以函数h(x)最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h(0)＝－a ＜0，h(1)＝a －2＞0，h(2)＝a －4＜0，h(5)＝50－11a ＞0，所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0.因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．(16分)20. 解： (1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n－1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1. (解法1)设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3（n ＋1）＋k －3＝1－1n ＋k －2. 因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N *恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N *恒成立．(4分) 因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1（n ＋k －2）（n ＋k －1），所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0.当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．(6分) 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0. 综上，k 的取值范围是(1，＋∞). (8分)(解法2)令f(x)＝1－1x ＋k －2，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k ，＋∞)上单调递增.当0＜k ＜1时，f(1)＝1－1k －1＞1，f(2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．(6分)当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．(8分)(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋pk ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)．因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p ).(1p ＋1p 2＋ (1)n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p)n ]．(14分) 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p. 设c n ＝n p ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意. (16分)2020届高三模拟考试试卷(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分) 因为点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0.(4分) (2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2，(6分) 所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6，所以点Q′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 解：由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，得直线l 的方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分) ＝⎪⎪⎪⎪2cos （θ＋π3）＋1＋32.(6分) 当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分) 曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分) C. 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a)＝(a －b)[(a)5－(b)5]．(4分)若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5，得(a －b)·[(a)5－(b)5]≥0.(6分)若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5，得(a －b)·[(a)5－(b)5]＞0.(8分)综上，a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．(10分)22. 解：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AA 1＝t(t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)．(2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0. 取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分)所以sin 〈n ，AB →〉＝317. 设P(3，0，m)，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m)．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25，所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分) 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等 .(10分)23. (1) 解：根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×(25)n ＋1×35；(4分) ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n 2n ×(25)n ＋1×(35)n ＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]，(6分) 因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]} ＝(25)n ＋1×{(1－35)×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]} ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×(35)2＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]}(8分) ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n 2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×[C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1－C n 2n ＋1×(35)n ＋1－C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n 2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)．因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n 2n ＋1)＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1，所以P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1＜0，因此P n ＋1＜P n .(10分)。

【试题】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)

【试题】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5，现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”．（1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1．（1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝．答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A U B ＝(1，4)． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为．答案：2 考点：复数解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为．答案：60考点：分层抽样解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3；第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为．答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为．考点；三角函数的图像与性质解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1，又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为．答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为．答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为．答案：[2，4]考点：函数与不等式解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为．答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u r D 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为．答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈；当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-；综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为．答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r又2BD DC =u u u r u u u r，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u r u u u r u u u r ，则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为．答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，BEA COD xy所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为5危险），其中OB ＝2013tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD 55海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ．因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55，所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去），所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ．设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ．由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2．设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2，所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4．方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减，所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0．设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ．因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2．因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”．（1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=，所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1．方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈，所以2111111(1)()1111n n nn S p p p p p p -=+-++++++++L ，又因为1p >，所以110p->，所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ，即11(1)n n n n S p p p p<<+-，因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<，设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<，所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1．（1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC故以A 为原点，{AB uuu r ，AC u u u r ，1AA u u ur }为正交基底建立空间直角坐标系设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )，1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC u u u u r＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r(0，0，4λ)，(0,1)λ∈，则P(3，0，4λ)，则CP u u u r＝(3，﹣4，4λ)AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB uuu r＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=u u u r u u u r，设平面BA 1C 的法向量为n r＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB uuu r ＝(3，0，0)由（1）知：1AC u u u r＝(0，4，﹣4)，BC uuu r ＝(﹣3，4，0)，AC u u u r ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，令3y =，则n r ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=r u u u r ，因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=；（2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn n n nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n nn n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯-- 11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-，所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。

2020年6月江苏省南京市普通高中2020届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题(含附加题)答案

1 绝密★启用前
江苏省南京市普通高中
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学试题参考答案
2020年6月
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8．62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94
14．38
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ．因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,。

南京2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

南京2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|2<x<4}，B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B ＝________．2. 若z ＝a1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________．5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，－π2<φ<π2 的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则数列{a n }的前n 项和为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，f （－x ），x>0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上的两个动点，且OA → ⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为________． 13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证： (1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16. (本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m·n ＋12.(1) 若f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，x ∈(0，π)，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值； (2) 若f (α)＝－110，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值.17. (本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 正东方向的100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现一艘科考船以105海里/小时的速度从点O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇． (1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； (3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．已知函数f(x)＝e xx 2－ax ＋a(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a ＝1，求函数f (x )的单调减区间；(2) 若函数f (x )的定义域为R ，且f (2)>f (a )，求实数a 的取值范围；(3) 证明：对任意a ∈(2，4)，曲线y ＝f (x )上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20. (本小题满分16分)若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N * 时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k >0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求实数k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p >1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n <S n <c n ＋1成立，并证明你的结论．2020届高三年级第三次模拟考试(二十)数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.(1) 求AA1的长；(2) 试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成的角和二面角B-A1C-A的大小相等，并说明理由．23. (本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N* )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n.(1) 求P1；(2) 证明：P n＋1<P n.2020届高三年级第三次模拟考试(二十)(南京)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 2 36. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形，所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ，所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分) 又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55，所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ，即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55，化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112，所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减，所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立，所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0，所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋pk ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )．又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面 ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25，所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分) 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分)(2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C nn ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n×(35)n ]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n 2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)．因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1，所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0，因此P n ＋1<P n .(10分)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形，所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ，所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分) (2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分)又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55，所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ，即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55，化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112，所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减，所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立，所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0，所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋pk ＝1p ＋1－1p 1＋p k ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )．又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面 ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25，所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分)因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×(35)n ]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分)＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)．因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1，所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0，因此P n ＋1<P n .(10分)。

【数学解析版】南京2020届高三年级三模数学卷(解析版)

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EF 平面 PCD ， DG 平面 PCD EF / / 平面 PCD （2）四边形 ABCD 是矩形 AB AD 平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD AB 平面 ABCD AB 平面 PAD PD 平面 PAD AB PD PA PD AB PA A AB, PA 平面 PAB PD 平面 PAB PD 平面 PCD 平面 PAB 平面 PCD 【点评】第一问考查线面平行的判定定理，第二问考查面面垂直的性质定理，以及面面垂直的判定定理，属于基础题型。（优能中学教育）
S 0 For i From 1 To 4
S S i End For Pr int S
第4题 5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为_______. 【答案】 2
3 【解析】列举法：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种排列方式，甲乙相邻的排列方式有 4 种，故概率为 2
【解析】（1）取 PC 中点Ｇ，并连接 DG ， FG 在 PBC 中， F,G 分别为 PB, PC 中点 FG / /BC, FG 1 BC
2 四边形 ABCD 是矩形 AD / /BC, AD BC FG / / AD, FG 1 AD
2 E 为 AD 中点 FG / /ED, FG ED 四边形 DEFG 为平行四边形 EF //DG
2 10
5
2
,
3 4
2
,
3 2
sin 2 1 cos2 2 4 5
sin
72 10
,
且
0,
2
cos 1 sin 2 2 10
sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 4 2 ( 3 7 2) 2

2020年江苏省南京市中考数学第三次模拟考试试卷附解析

2020年江苏省南京市中考数学第三次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列不等式组的解，在数轴上表示为如图所示的是（）A ．1020x x ->⎧⎨+≤⎩B ．1020x x -≤⎧⎨+<⎩C ．1020x x +≥⎧⎨-<⎩D ．1020x x +>⎧⎨-≤⎩2．在下列实数中，无理数是（）A ．13B ．πC ．16D ．2273．将如图所示的图案绕其中心旋转n °时与原图案完全重合，那么n 的最小值是（）A ．60B ．90C ．120D ．1804．把多项式m 2（a-2）+m （2-a ）分解因式等于（）A ．（a-2）（m 2+m ）B ．（a-2）（m 2-m ）C ．m （a-2）（m-1）D ．m （a-2）（m+1）5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（） A ．ay ax y x a +=+)( B ．4)4(442+-=+-x x x xC ．)12(55102-=-x x x xD ．x x x x x 3)4)(4(3162+-+=+-6．如图，∠1和∠2是同位角的是（）7．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M C ，点将线段MB 分成:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为（）A ．2cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后3个顶点的坐标是（）A．（2，3），（3，4），（1，7）B．（-2，3），（4，3），（1，7）C．（-2，3），（3，4），（1，7）D．（2，-3），（3，3），（1，7）9．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．310．下列推理正确的是（）A．∵a>0，b>0，∴a>bB．∵a>0，b>a，∴b>0C．∵a>0，a>6，∴b>0D．∵a>0，a>b，∴ab>O11．某班共有45位同学，其中近视眼占60%，下列说法不正确．．．的是（）A．该班近视眼的频率是0.6 B．该班近视眼的频数是27C．该班近视眼的频数是0.6 D．该班有18位视力正常的同学12．如图，已知圆锥形烛台的侧面积是底面积的 2 倍，则两条母线所夹的∠AOB 为（）A．30°B．45°C．60°D．120°13．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为（）A．82米B．163米C．52米D．30米14．如图所示，一只蚂蚁在正方形纸片上爬行，正好停在质数上的概率是（）A．14B．13C．49D．5915．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米16．如图，跷跷板的支柱OC 与地面垂直，点O 是AB 的中点，AB 可以绕着点O 上下转动．当A 端落地时，∠OAC ＝20°，那么横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA ）是（）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°二、填空题17．如图，点 M 是⊙O 外一点，MC 、MD 分别交⊙O 于点B 、C 、A 、D ，弦AC 、BD 交于点 P ，且∠DAC=40°, ∠ADB=10°，那么∠DBC= 度，∠ACB= 度，∠CMD= 度．18．已知2()4|5|x y z x z z +-++-=--，那么32z x y -+的值是 .19．已知方程组3523x y y x =-⎧⎨=+⎩，用代入法消去x ，可得方程．(不必化简). 20．计算：32()5-= ；332⨯= ；3(32)⨯= ；32(3)(4)-⨯-= ； 22233()44--= ．三、解答题21．如图所示，F 表示路口交通信号灯的位置，一辆小汽车停在一辆货车后面，点C 表示小汽车司机的头部，间小汽车司机抬头向正前方望去，他能否看到信号灯F ？为什么？22．如图，在直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求（1）y的值；（2）角α的正弦值．23．将图中的△ABC 依次做下列变换，画出相应的图形.(1)沿y轴正向平移1个单位；(2)以B点为位似中心，放大到2倍.24．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN= 12cm，EF=16cm，求弦 MN和EF之间的距离．25．要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少?26．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图所示．求这个几何体的表面积．27．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图，写出这个几何体的名称，并求出这个几何体的表面积.28．尺规作图：把图(实线部分)补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法，保留作图痕迹).29．在依次标有数字3、6、9、12……的卡片中，小明拿到3张卡片，它们的数字相邻，且数字之和为117.（1）小明拿到的卡片是标有哪些数字的？（2）你能否拿到数字相邻的4张卡片，使其数字之和为177？若能，请指出这4张卡片中数字最大的卡片，若不能，请说明理由．30．七(1)班一次数学测验平均成绩是 85 分，老师以平均成绩为基准，记为 0，超过 85 分的记为正，那么92 分、78 分各记作什么？若老师把某 3 名同学的成绩简记为：-5，0，+8，则这3 名同学的实际成绩分别为多少分？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．B3．C4．C5．C6．D7．B8．C9．A10．B11．C12．C13．A14．C15．C16．A二、填空题17．40，10，3018．-919．2(35)3y y =-+20． 8125-，24,216,432,4516三、解答题21．由图可知小汽车司机看不到信号灯F ，因为信号灯被前面的汽车挡住了，处于小汽车司机的盲区中.22．（1）4；（2）54． 23．如图所示.24．如解图所示，过点O作OA⊥MN于点 A，作OB⊥EF于点B．∵MN∥EF，∴.A、O、B 三点在一直线上．连结OM、OE，∵MN=12 cm，EF= 16 cm，∴AM= 6 cm，BE= 8 cm，∴.Rt△AOM 和 Rt△BOE 中，221068OA=-=，22086OB l=-=∴ AB=8+6= 14 cm 或 AB=8—6=2 cm25．11 cm，6cm26．1432422352362⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=(cm2)27．该几何体为直三棱柱；表面积为36cm228．如图：29．（1）小明拿到的卡片标有的数字是36、39、42（2）设相邻的4张卡片为x，x+3，x+6，x+9，则x+（x+3）+（x+6）+（x+9）=117，994x=不是整数，∴不能拿到数字相邻的4张卡片，使其数字之和为177．30．各记作+7，-7；实际成绩分别为 80 分，85分，93 分。

南京2020届高三三模数学卷

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学2020.06注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合{}{}24,13A x x B x x =<<=<<，则AB =_______. 2. 若1a z i i=++（i 为虚数单位）是实数，则实数a 的值为_______. 3. 某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为_______.4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______.5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为_______.6. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（其中0,22ππωϕ>-<<）的部分图像如图所示，则()2f π的值为_______. 7. 已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且123,,2a a a -成等差数列，则{}n a 的前n 和为_______.8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于,A B 两点，且2AB b =，则该双曲线的离心率为_________.9. 若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥11A B CD -的体积为_________.0S ←For i From 1 To 4S S i ←+End ForPr int S 第6题第4题10. 已知函数()()()()2,0,2,0x x f x g x f x f x x +≤⎧⎪==-⎨->⎪⎩.若()11g x -≥，则实数x 的取值范围为_________. 11. 在平面直角坐标系xOy 中，,A B 是圆22:2O x y +=上两个动点，且OA OB ⊥ 若,A B 两点到直线:34100l x y +-=的距离分别为12,d d ，则12d d +的最大值为__________.12. 若对任意[),a e ∈+∞，（e 为自然对数的底数），不等式ax b x e +≤对任意x R ∈恒成立，则实数b 的取值范围为 ___________.13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若2BD DC =，则PA PB ⋅的值为___________.14. 在ABC ∆中 3A π∠=，D 是BC 的中点，若2AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为_________. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上．15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ，F E PD PA ,,⊥分别为PB AD ,的中点.求证：（1）//EF 平面PCD ；（2）平面⊥PAB 平面.PCD16. （本小题满分14分）已知向量m ()x x sin ,cos =，n ()x x sin ,cos -=，函数()=x f n m ⋅21+. （1）若()π,0,12∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πx 的值；（2）若()1372,,,sin ,0,,1024102f πππααββ⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求βα+2的值.如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为58海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中1320=OB 海里，55cos ,32tan =∠=∠AOD AOB ，现一艘科考船以510海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,0)-和3(1,)2.椭圆C 上三点,,A M B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若,,,A M B O 四点共圆，求直线AB 的斜率.已知函数2()()xe f x a R x ax a=∈-+，其中e 为自然对数的底数. （1）若1a =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意的(2,4)a ∈，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点.20.（本小题满分16分）若数列{}n a 满足*2,n n N ≥∈时，0n a ≠，则称数列1()n n a n N a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭为{}n a 的“L 数列”. （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3(0)n a n k k =+->，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p -=+，其中1p >，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题2020.06注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵11,0A a R a -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,2)P '-. （1）求矩阵A ；（2）求点(0,3)Q 经过矩阵A 的2次变换后对应点Q '的坐标.B. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x ，（θ为参数），直线l 的参数方程为,13⎪⎩⎪⎨⎧+==ty t x （t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.22．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在直棱柱中111ABC A B C -，11,3,4,.AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥（1）求1AA 的长；（2）试判断在侧棱1BB 上是否存在点P ，使得直线PC 与平面11AAC C 所成角和二面角1B AC A --的大小相等，并说明理由.23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球，现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球()*21n n N+∈次.若取出白球的累计次数达到1+n 时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖.记获奖概率为n P .（1）求1P ;（2）证明：n n P P <+1.。

江苏省南京市2020届高三第三次模拟考试(6月)数学试题含答案

S←S＋i End For Print S
(第 4 题)
(第 6 题)
5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．
ππ
π
6. 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中 ω＞0，－ 2 ＜φ＜ 2 )的部分图象如图所示，则 f( 2 )
的值为________． 7. 已知数列{an}为等比数列．若 a1＝2，且 a1，a2，a3－2 成等差数列，则{an}的前 n 项
x2 y2
3
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点(－2，0)和(1，2 )，
椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标；
(3) 若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
1
则实数 b 的取值范围是________． 13. 已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足A→P＝λA→B＋µA→C，且 2λ＋3µ＝1，
延长 AP 交边 BC 于点 D.若 BD＝2DC，则P→A·P→B的值为________．
π
2
14. 在△ABC 中，∠A＝ 3 ，点 D 是 BC 的中点．若 AD≤ 2 BC，则 sin Bsin C 的最大
值为________．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，
点 E，F 分别为 AD，PB 的中点．求证： (1) EF∥平面 PCD； (2) 平面 PAB⊥平面 PCD.

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题

答：若快艇立即出发有触礁的危险．
(2)设快艇所走的直线 AE 与圆 B 相切，且与科考船相遇于点 E．
设直线 AE 的方程为 y＝k(x－100)，即 kx－y－100k＝0．
|60k－40－100k|
因为直线 AE 与圆 B 相切，所以圆心 B 到直线 AC 的距离 d＝
＝8 5，
12＋k2
即 2k2＋5k＋2＝0，解得 k＝－2 或 k＝－1． 2
10
24
102Biblioteka 17．（本题满分 14 分）如图，港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有条直线航道 OD，航道和正东方向之间有一片以 B
为圆心，半径为 8 5 海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中 OB＝ 20 13 海里，tan∠AOB＝ 2 ， 3
cos∠AOD＝ 5 ，现一艘科考船以10 5 海里/小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇 5
因为四边形 AMBO 为平行四边形，所以 AM∥BO，且 AM＝BO＝2．
设点 M(x0，y0)，则 A(x0＋2，y0)．
南京三模数学试题第 8 页共 13 页
x02＋y02＝1， 4
x0＝－1，
因为点 M，A 在椭圆 C 上，所以
(x0＋2)2＋y02＝1，解得 4
y0＝± 3， 2
所以 M(－1，± 3)． 2
．
8．在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F．若以 F
为圆心，a 为半径的圆
交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB＝2b，则该双曲线的离心率为

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)含答案

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5，现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”．（1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1．（1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝．答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A U B ＝(1，4)． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为．答案：2 考点：复数解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为．答案：60考点：分层抽样解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3；第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为．答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为．考点；三角函数的图像与性质解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1，又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为．答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为．答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为．答案：[2，4]考点：函数与不等式解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为．答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u rD 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为．答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈；当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-；综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为．答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r又2BD DC =u u u r u u u r，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u r u u u r u u u r ，则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为．答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan∠AOB ＝23，cos∠AOD 海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ．因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55，所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去），所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ．设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ．由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2．设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)．(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2，所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4．方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减，所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0．设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ．因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2．因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”．（1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；（3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=，所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1．方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈，所以2111111(1)()1111n n nn S p p p p p p -=+-++++++++L ，又因为1p >，所以110p->，所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ，即11(1)n n n n S p p p p<<+-，因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<，设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<，所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1．（1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC故以A 为原点，{AB uuu r ，AC u u u r ，1AA u u u r}为正交基底建立空间直角坐标系设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )，1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC u u u u r＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r(0，0，4λ)，(0,1)λ∈，则P(3，0，4λ)，则CP u u u r＝(3，﹣4，4λ)AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB uuu r＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=u u u r u u u r，设平面BA 1C 的法向量为n r＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB uuu r ＝(3，0，0)由（1）知：1AC u u u r＝(0，4，﹣4)，BC uuu r ＝(﹣3，4，0)，AC u u u r ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，令3y =，则n r ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=r u u u r ，因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=；（2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn n n nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n nn n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯-- 11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-，所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(含解析)

3 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO． 2
（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标；（3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
3
19．（本题满分 16 分）
已知函数
f
(x)
=
x2
ex − ax + a
的离心率为
．
9．若正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A—B1CD1 的体积为
．
1
10．已知函数
f
(x)
=
x
f
+ 2, x (−x),
0 x
0
，
g
(
x)
=
f
(x − 2) ，若 g(x −1) 1 ，则实数 x
的取值
范围为
．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且 OA ⊥ OB ，若 A，
(a R)，其中
e
为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）若函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (2) f (a) ，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a (2，4)，曲线 y = f (x) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处
的切线经过坐标原点．
20．（本题满分 16 分）
)部分图象如图所示，则
f(
)
2
2
2
的值为
．Leabharlann 7．已知数列an 为等比数列，若 a1 = 2 ，且 a1 ，a2 ，a3 − 2 成等差数列，则an 的前 n 项

南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试及答案解析

y
2
－π
3
O
2π
x
2
3
（第 4 题图）
（第 6 题图）
7．已知数列{an}为等比数列．若 a1＝2，且 a1，a2，a3－2 成等差数列，则{an}的前 n 项和
为▲．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F．若以 F 为 a2 b2
圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9．若正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A－B1CD1 的体积为 ▲ ．
则实数 b 的取值范围为 ▲ ． →→→
13．已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足 AP ＝λ AB ＋μ AC ，且 2λ＋3μ＝1，延
长 AP 交边 BC 于点 D．若 BD＝2DC，则→ PA ·→ PB 的值为 ▲ ．
14．在△ABC 中，∠A＝π，D 是 BC 的中点．若 AD≤ 2BC，则 sinBsinC 的最大值为 ▲ ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 B 是椭圆 C 的左顶点，求点 M 的坐标；
（3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
y
A M
O
x
B
(第 18 题图)
19．(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝ ex (a∈R) ，其中 e 为自然对数的底数． x2－ax＋a （1）若 a＝1，求函数 f(x)的单调减区间；（2）若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(2)＞f(a)，求 a 的取值范围；（3）证明：对任意 a∈(2，4)，曲线 y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．

首发江苏省南京市2020届高三年级三模数学

・1 -南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学I11. 在平面直角坐标系xOy^,A,B 是圆O:x 2+ y 2= 2±两个动点，且。

云丄异.若&3两点到直线Z: 3a; + 4; — 10 = 0的距离分别为妃则di + d 2的最大值为 ▲ .12. 若对任意a e [e, + co ）（e 为自然对数的底数），不等式x^e a!c + b对任意xeR 恒成立，则实数b 的取值范围为▲13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP = MB+nAC ，且2A + 3// = 1,延长AP 交边BC 于点D.若BD = 2DC,则虱•应的值为 ▲ .14. ______________________________________________________________________________ 在△ABC 中，/厶=壹，。

是3。

的中点.若ADV^BC,则sinBsinC 的最大值为一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 已知集合 A = ｛x\2 <x< 4：｝,B = （x|l < x < 3｝,则厶 U B= ▲. 若，=土 + 1。

是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ▲.某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为▲ . I 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为|亠已知函数f （a;） = 2sin （球+ <p ）（其中。

> 0,一号 < 歹V 号）的部分图|象如图所示，则/•傍）的值为▲. 已知数列｛a n ｝为等比数列.若⑶=2,且⑶,a 2, a 3- 2成等差数列，贝U ｛%.｝的前n 项和为 ▲. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线g — $ = l （a > 0, b > 0）的右焦点为F 若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条斯近线于厶，3两点，且AB=2b 则该双曲线的离心率为▲.若正方体ABCD - A.B.C.D,的棱长为2,则三棱锥A - B.CD, 的体积为 ▲. ；+匕"气二g （x ）=j （*— 2）.若g^—1）多1,则实数a;的取值范围为 f （F,力 >0, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9.10.己知函数f (%)=▲S 0For i From 1 7b4S S+7 End For Print S2?rTD________________________________________________________________________________________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内p作答，解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD丄平面ABCD, PA丄PD, E, F分别为AD, P3的中点.求证：（1） EF 〃平面PCD;（2）平面R43丄平面PCD.16.(本小题满分14分)巳知向量m= (cosa;?sinx),n= (cos%, — sin%), 函数f(z) =m・n +扌，(1)若了(3)= 1,居(0,兀),求tan(勿 + j)的值；(2)若/(Q)=—：(詩,苧),sing=料#，廿e(0,奇)，求2a+ 廿的值.17.(本小题满分14分)如图，港口4在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道QD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为弘万海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB = 20V13海里,tan Z AOB = j,cosZ AOD = 寸现一艘科考船以10^/5海里/小时的速度从。