拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法、对偶问题、KKT条件、半二次方分裂法、ADMM
拉格朗⽇乘⼦法、对偶问题、KKT 条件、半⼆次⽅分裂法、ADMMTo Be Continued~共轭函数假设 f :R n →R ，函数 f ∗:R →R 。
若两函数满⾜：f ∗(y )=sup x ∈domf (y T x −f (x ))则 f ∗ 是 f 的共轭函数，共轭函数是使上式的上确界⼩于 ∞ 的部分。
可以理解为对于每⼀个确定的 y ，y T x 都是⼀个线性函数，此时 y T x −f (x ) 变为线性函数与原函数在 x 的定义域上的差值，这个差值即为 y T x −f (x ) 的值域，若此时确定的 y 不能使值域的上确界⼩于⽆穷⼤，则不保留，反之则保留。
所有保留的 y 构成共轭函数的定义域，⽽所有 y T x −f (x ) 不是 ∞的上确界构成共轭函数的值域。
易知共轭函数是凸函数⽰例放射函数：f (x )=ax +b 的共轭函数为：f ∗(y )=sup (yx −ax −b )观察易得，如果 y ≠a ，那么⽆论 y 取值多少，yx −ax −b 的上确界都是 ∞。
但是当 y =a 时，yx −ax −b 为常数 −b ，上确界为 −b ，即此共轭函数定义域为 a ，值域为 −b 。
负对数函数：f (x )=−log x 的共轭函数为：f ∗(y )=sup x >0(yx +log x )⾸先f ∗(y )′′<0， 对于某⼀ y 有 f ∗(y )′=y +1x =0 时，共轭函数取得最⼤值，此时 x =−1y 使得共轭函数取得上确界，即共轭函数简化为 f ∗(y )=−log(−y )−1拉格朗⽇乘⼦法⾸先解释拉格朗⽇函数的形式的原因由简单的⼆维形式，并且受到等式约束的例⼦出发min f (x ,y )s .t .g (x ,y )=c其中 g (x ,y )=c 可以理解为等⾼线，即 z =g (x ,y ) 为三维曲⾯，当 z =c 时，可以想象为⽤平⾯ z =c 去截 z =g (x ,y ) 这个三维曲⾯所获得的曲线，⽽这条曲线上满⾜g (x ,y )=c 。
KKT条件的推导
KKT条件的推导
KKT条件第⼀项是说最优点必须满⾜所有等式及不等式限制条件，也就是说最优点必须是⼀个可⾏解，这⼀点⾃然是⽏庸置疑的。
第⼆项表明在最优点，必须是和的线性组合，和都叫做拉格朗⽇乘⼦。
所不同的是不等式限制条件有⽅向性，所以每⼀个都必须⼤于或等于零，⽽等式限制条件没有⽅向性，所以没有符号的限制，其符号要视等式限制条件的写法⽽定。
我们把这个⽬标函数称为原函数构造该函数的对偶函数如下：
假设是原函数的⼀个可⾏点（满⾜原函数的约束），是对偶函数的⼀个可⾏点，因为，所以；同理。
因此，我们有，对于任意的满⾜原函数约束的和满⾜对偶函数约束的有：
记为原函数的⼀个最优点，最优值为；为对偶函数的⼀个最优点，最优值为。
我们有：
(weak duality)
如果能够使得成⽴，则称strong duality成⽴，即
现在假设strong duality能够成⽴，并且假设是原函数的最优解，为对偶函数的⼀个最优点，那么
第⼀个等式是strong duality，第⼆⾏等式是对偶函数的定义，第三⾏不等式是inf的定
义，第四⾏不等式是因为。
因此，我们有因为对每个，所以有
(Complementary slackness)
因为是使得最⼩的点，（注意上⾯的第三⾏等式成⽴）所以关于的导数在处为0，即：
综上所述我们得到了的条件：。
kkt条件和拉格朗日乘除法之间的关系
kkt条件和拉格朗日乘除法之间的关系一、介绍KKT条件和拉格朗日乘除法是优化问题中常用的两种方法。
它们在求解约束最优化问题时起到了关键作用。
本文将从KKT条件和拉格朗日乘除法的基本概念入手，详细阐述它们之间的关系。
二、KKT条件1. 基本概念KKT条件是指在最优化问题中，满足一定条件的点必须同时满足一组等式约束、不等式约束以及对偶性条件。
这组条件就是KKT条件。
2. KKT条件的数学表达式设最优化问题为：$$\min_{x\in R^n}f(x)$$$$s.t.\begin{cases}g_i(x)\leq0,i=1,2,\cdots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdo ts,p\end{cases}$$则KKT条件为：$$\begin{cases}\nabla f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_i\nablag_i(x)+\sum_{j=1}^p\mu_j\nablah_j(x)=0\\\lambda_i\geq0,g_i(x)\leq0,\lambda_ig_i(x)=0,i=1,2,\cd ots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdots,p\end{cases}$$三、拉格朗日乘除法1. 基本概念拉格朗日乘除法是一种求解约束最优化问题的方法。
它将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件加入到目标函数中。
2. 拉格朗日乘除法的数学表达式设最优化问题为：$$\min_{x\in R^n}f(x)$$$$s.t.\begin{cases}g_i(x)\leq0,i=1,2,\cdots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdo ts,p\end{cases}$$则引入拉格朗日函数：$$L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_ig_i(x)+\sum_{j =1}^p\mu_jh_j(x)$$其中，$\lambda_i$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。
kkt条件的几何意义
kkt条件的几何意义
KKT条件是指在优化问题中，通过求解拉格朗日函数的一阶条件和二阶条件，得到的一组必要条件。
这组条件由四部分组成：最优性条件、原始可行性条件、对偶可行性条件和互补松弛条件。
其中，最优性条件描述了最优解在约束空间中的位置，原始可行性条件描述了最优解在约束空间内部，对偶可行性条件描述了对偶问题的可行性，互补松弛条件描述了原始问题的约束与对偶问题的决策变量之间的
关系。
在几何意义上，KKT条件可以用于描述优化问题的最优解在约束空间中的位置。
通过对拉格朗日函数求一阶导数和二阶导数，可以得到最优解点的一些性质，比如最优解点处的梯度向量、海森矩阵和拉格朗日乘子等。
这些性质可以用于判断最优解点是否在约束空间内部、是否处于约束边界上、是否存在约束条件等等，从而确定最优解点的几何位置。
同时，KKT条件还可以用于研究优化问题的对偶形式。
通过对拉格朗日函数进行对偶化，可以得到原始问题和对偶问题之间的关系，进而得到对偶问题的最优解以及对偶乘子的几何意义。
这些信息可以用于判断原始问题是否存在最优解、对偶问题的可行性、对偶乘子的符号等等，从而确定优化问题的整体几何结构。
总之，KKT条件是优化问题中最重要的一组条件之一，它不仅可以提供最优解的信息，还可以揭示优化问题的几何形态和对偶形式。
在实际应用中，KKT条件的几何意义可以为我们提供优化问题的直观
理解和可视化，从而更好地理解和解决实际问题。
拉格朗日乘子法和KKT条件
拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件0 前⾔上”最优化“课，⽼师讲到了⽆约束优化的拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件。
这个在SVM的推导中有⽤到，所以查资料加深⼀下理解。
1 ⽆约束优化对于⽆约束优化问题中，如果⼀个函数f是凸函数，那么可以直接通过f(x)的梯度等于0来求得全局极⼩值点。
为了避免陷⼊局部最优，⼈们尽可能使⽤凸函数作为优化问题的⽬标函数。
凸集定义：欧式空间中，对于集合中的任意两点的连线，连线上任意⼀点都在集合中，我们就说这个集合是凸集。
凸函数定义：对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y，有f( ax + (1-a)y ) <= a * f(x) + (1-a) * f(y)，⼏何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值，⼤于等于两点之间某点的函数值。
凸函数的任⼀局部极⼩点也是全局极⼩点半正定矩阵的定义：特征值⼤于等于0的实对称矩阵。
半正定矩阵的充要条件：⾏列式（n阶顺序主⼦式）等于0，⾏列式的i阶顺序主⼦式>=0，i从1到n-1凸函数的充要条件：如果f(x)在开凸集S上具有⼆阶连续偏导数，且f(x)的海塞矩阵（⼆阶偏导的矩阵）在S上处处半正定，则f(x)为S上的凸函数。
2 约束优化定义考虑带约束的优化问题，可以描述为如下形式其中f(x)是⽬标函数，g(x)为不等式约束，h(x)为等式约束。
若f(x)，h(x)，g(x)三个函数都是线性函数，则该优化问题称为线性规划。
若任意⼀个是⾮线性函数，则称为⾮线性规划。
若⽬标函数为⼆次函数，约束全为线性函数，称为⼆次规划。
若f(x)为凸函数，g(x)为凸函数，h(x)为线性函数，则该问题称为凸优化。
注意这⾥不等式约束g(x)<=0则要求g(x)为凸函数，若g(x)>=0则要求g(x)为凹函数。
凸优化的任⼀局部极值点也是全局极值点，局部最优也是全局最优。
3 等式约束考虑⼀个简单的问题⽬标函数f(x) = x1 + x2，等式约束 h(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2 ，求解极⼩值点。
拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是一种用于求解有等式约束的无约束极值问题的方法。
它基于拉格朗日函数的构建，通过引入拉格朗日乘子将等式约束转化为无约束问题，进而求解极值点。
首先，对于有等式约束的问题，我们可以将其建模为以下形式：$$\begin{align*}\text{min} \quad &f(x) \\\text{s.t.} \quad &g(x) = 0\end{align*}$$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为自变量，$g(x)$为等式约束。
为了处理这类问题，我们构建拉格朗日函数：$$L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)$$其中，$\lambda$为拉格朗日乘子。
接下来，我们求解拉格朗日函数的极值。
首先对$x$求偏导，得到：$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partialf(x)}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0$$然后对$\lambda$求偏导，得到：$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x) = 0$$最后，我们得到一组方程：$$\frac{\partial f(x)}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0$$$$g(x)=0$$这组方程被称为KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）。
KKT 条件是拉格朗日乘子法的核心。
KKT条件定义了一组必要条件，使得函数$f(x)$在满足等式约束$g(x)=0$的前提下可以达到极值。
KKT条件包含了以下几个要素：1. 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）：雅可比矩阵是目标函数$f(x)$对自变量$x$的偏导数组成的矩阵，表示了目标函数的梯度。
kkt条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件
kkt条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件
KKT条件是Karush-Kuhn-Tucker条件，它是求解约束最优值问题的一种重要方法。
这种方法可以将多元函数的约束优化问题转化为一个无约束的问题，而无约束的优化问题可以用拉格朗日乘子法解决。
KKT条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件，它是上述无约束优化问题在给定约束情形下的一阶必要条件，即使存在约束，我们仍然能够得出一阶必要条件。
这些条件组合在一起形成了一个系统的方程组，通过求解该方程组，就可以求出原问题的最优解。
svm对偶问题的kkt条件
支持向量机（SVM）的对偶问题是通过拉格朗日乘子法将原始问题转换得到的。
对偶问题中的KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker 条件）是解决凸优化问题的一个重要条件，它表示了原始问题和对偶问题之间的等价关系。
KKT条件包括以下几个部分：
1. 互补性条件：对于任意一个样本点xi，有αi≥0，其中αi 是拉格朗日乘子法中的乘子。
2. 线性无关条件：所有拉格朗日乘子αi之和等于1，即∑αi=1。
3. 梯度的一阶条件：在原始问题中，对偶问题中的w（超平面法向量）满足以下条件：
αi * (yi * wT * xi - 1) = 0，对于所有i （i=1,2,...,n）。
4. 梯度的二阶条件：在原始问题中，对偶问题中的w满足以下条件：
αi * (yi * wT * xi - 1)²≥ 0，对于所有i （i=1,2,...,n）。
5. 二次规划的约束条件：对于所有i（i=1,2,...,n），有αi * yi = 1。
6. 对偶问题的等式约束条件：对于所有i（i=1,2,...,n），有αi * (yi * wT * xi - 1) = 0。
满足KKT条件时，原始问题和对偶问题达到最优解。
在SVM中，KKT条件有助于找到最优超平面，使得分类间隔最大。
通过解决对偶问题，我们可以得到拉格朗日乘子αi，进而计算出最优超平面。
需要注意的是，KKT条件是原始问题和对偶问题等价的充要条件。
在实际应用中，我们可以通过求解对偶问题，然后验证KKT条件是否成立，从而确保求解结果的正确性。
关于拉格朗日乘子法的理解
关于拉格朗日乘子法的理解2018-11-071 关于拉格朗日乘子法有拉格朗日乘子法的地方，肯定会是一个组合优化的问题。
带约束的优化问题很好说，比如下面这个问题：注：在数学里面s.t.是subject to 的缩写，受约束的意思按中文习惯应该是使得...满足...s.t. = subject to这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。
那么如果假设没有这个约束条件，这个问题该如何求解呢？直接f对x求导等于0，解x就可以了，可以看到没有约束的话，求偏导等于0，那么各个x均等于0，这样f=0了。
但是x都为0不满足约束条件。
在这里说一点，为什么上面说求导为0就可以呢？理论上多数问题是可以的，但是有的问题不可以。
如果求导为0一定可以的话，那么f就是一个凸优化问题，什么是凸呢，下图：图1凸就是开口朝一个方向（向下或者向上）。
准确的数学关系就是：注意的是这个条件是对函数的任意值x取值。
如果满足第一个就是开口向上的凸，反之开口向下的凸。
对于凸问题可以去求导，从图中可以很容易看出只有一个极点，那么它就是最优点，直观也很合理。
类似的如下图，有时候满足第一个关系，有时候满足第二个关系。
所以它是一个非凸的问题，对它进行求导会得到很多个极点。
从上图可以看出，只有一个极点是最优解，其他的是局部最优解，那么真实问题时候你选择哪个？所以，拉格朗日乘子法是一定适合于凸问题的，不一定适合其他的问题。
有约束的问题，既然有了约束不能直接求导，那么把约束去掉不就可以了吗。
那么怎么去掉呢？拉格朗日来实现。
既然是等式约束，那么就把这个约束乘一个系数加到目标函数里面去，比如上面的函数就变为：现在这个优化目标函数没有约束条件，既然这样，我们对于x求偏导等于0，如下所示：把它再带到约束条件中去，可以解出α1 和α2两个变量，这样再带回去求x就可以了。
那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法解决了。
那么带有不等式的约束问题怎么办呢？因此，我们需要更一般化的的拉格朗日乘子法和KKT条件来解决这些问题。
KKT条件详解
KKT条件详解KKT条件详解主要参考和这个知乎回答。
KKT最优化条件是Karush[1939]，以及Kuhn和Tucker[1951]先后独⽴发表出來的。
这组最优化条件在Kuhn和Tucker发表之后才逐渐受到重视，因此许多情况下只记载成库恩塔克条件（Kuhn-Tucker conditions)它是⾮线性规划领域的重要成果，是判断某点是极值点的必要条件。
对于凸规划，KKT条件就是充要条件了，只要满⾜则⼀定是极值点，且⼀定得到的是全局最优解（凸问题）。
KKT条件的引⼊推⼴了拉格朗⽇乘⼦法，拉格朗⽇乘数法原本只是解决等式约束下的优化问题，本科的⾼数⾥就讲了（我竟读研了才学懂，惭愧），⽽引⼊KKT条件的拉格朗⽇乘⼦法可⽤于更普遍的有不等式约束的情况。
（⼀）问题模型“等式约束+不等式约束” 优化问题是最复杂也最常见的⼀种模型。
问题建模为：min f ( x ) s . t . h k ( x ) = 0 , g j ( x ) ≤ 0 j = 1 , 2 … , n ; k = 1 , 2 … , l \min f(x) \quad s.t.h_k(x)=0\quad,\quad g_j(x)\leq0\quadj=1,2\ldots,n;k=1,2\ldots,lminf(x)s.t.hk(x)=0,gj(x)≤0j=1,2…,n;k=1,2…,l思路是要把问题转化为⽆约束的简单优化问题，分为两步：1. 先把不等式约束条件转化为等式约束条件。
how？→ \to→引⼊松弛变量，即KKT乘⼦2. 再把等式约束转化为⽆约束优化问题。
how? → \to→引⼊拉格朗⽇乘⼦（⼆）⼀点铺垫后⾯要⽤这个结论：实质上，KKT条件描述的是：这个点已经是可⾏域（满⾜所有约束条件的n维空间）的边界了，再⾛⼀点就不满⾜约束条件了。
显然，最优解⼀定在可⾏域的边界上的，以初中学的线性规划作为简单的例⼦，这张图的紫⾊区域就是四个不等式约束限定的可⾏域，如果求z=x+2y的最⼤值，结果当然是红星点取得最⼤值，总之极值点应该在可⾏域的边界，这在⾃变量多的⾼维可⾏域空间也是如此，只是不好画图直观去看了。
KKT条件
深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。
当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。
KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。
之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。
一. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类：(i) 无约束优化问题，可以写为:min f(x);(ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:min f(x),s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n(iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：min f(x),s.t. g_i(x) <= 0; i =1, ..., nh_j(x) = 0; j =1, ..., m对于第(i)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。
对于第(ii)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) ，即把等式约束h_i(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。
通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。
扩展拉格朗日乘子优化方法kkt条件
扩展拉格朗日乘子优化方法kkt条件拉格朗日乘子优化方法是一种常用的求解约束最优化问题的方法。
它的核心思想是通过引入拉格朗日乘子来将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为一个无约束最优化问题。
通过求解这个无约束问题，可以得到原问题的最优解。
在拉格朗日乘子优化方法中，基于一些约束条件，我们引入了一个拉格朗日函数，它是目标函数和约束条件的线性组合。
然后，我们将原优化问题转化为求解拉格朗日函数的最小值，从而得到原问题的解。
在求解拉格朗日函数的最小值时，我们需要考虑一些约束条件，这就是KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。
KKT条件对于确定最优解的可行性和存在性非常重要。
KKT条件由一组等式和不等式条件组成。
下面，我们将对这些条件进行详细介绍。
首先，我们考虑等式约束条件。
对于一个等式约束条件g(x)=0，其中g(x)是一个多元函数，KKT条件要求拉格朗日函数在最小值处的梯度与等式约束条件的梯度成比例。
换句话说，对于每个等式约束条件，拉格朗日函数的梯度乘以对应的拉格朗日乘子的总和应该为零。
其次，我们考虑不等式约束条件。
对于一个不等式约束条件h(x)<=0，其中h(x)是一个多元函数，KKT条件要求拉格朗日函数在最小值处的梯度和不等式约束条件的梯度相互垂直。
此外，拉格朗日乘子必须大于等于零，以确保不等式约束条件得以满足。
如果对于一些不等式约束条件，拉格朗日乘子大于零，则该不等式约束条件被称为“活跃”，如果等于零，则当前解满足该约束条件。
最后，我们考虑原优化问题的可行性和最优性。
KKT条件要求目标函数的梯度与拉格朗日函数的梯度成比例，并且拉格朗日乘子必须满足非负性。
这些条件确保了最小值点处的约束条件和原优化问题的可行性。
总结起来，KKT条件是拉格朗日乘子优化方法中的关键条件，它包括等式约束条件、不等式约束条件以及最优性条件。
这些条件对于确定最优解的可行性和存在性至关重要。
因此，在使用拉格朗日乘子优化方法求解约束最优化问题时，我们需要确保满足KKT条件，以得到准确的最优解。
拉格朗日乘数法解含不等式约束的最优化问题
拉格朗⽇乘数法解含不等式约束的最优化问题
拉格朗⽇乘数法解含不等式约束的最优化问题
拉格朗⽇乘⼦法(Lagrange Multiplier)和 KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要⽅法，在有等式约束时使⽤拉格朗⽇乘⼦法，在有不等约束时使⽤KKT条件。
当然，这两个⽅法求得的结果只是必要条件，只有当⽬标函数是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。
带有不等式约束的最优化问题通常可以表述为如下形式：
min f(X)
s.t.g k(X)≤0,k=1,2,…,q
还是看⼀个具体的例⼦
min f(d1,d2)=d21+d22−2d2+2
s.t.d21+d22≤4
⾸先写出拉格朗⽇函数
g(d1,d2,λ,η)=f(d1,d2)+λ(d21+d22−4+η2)
λ是拉格朗⽇乘⼦，引⼊的新的η是⼀个松弛变量，⽬的是为了将不等式约束经过松弛后，变为等式约束，注意λ≥0 。
这是不等式约束与等式约束最优化问题拉格朗⽇乘数法的⼀个重要区别。
然后对四个未知量分别求导，且令导函数为0，有
{
2ηλ=0
d21+d22−4+η2=0
2d2−2+2λd2=0
2d1+2λd1=0
λ≥0
由d1+λd1=0 知d1=0 ,ηλ=0 情况需要分开判断，假设λ=0 则d2=1,η=√3, 若λ>0,则η=0, 求出η<0 与假设⽭盾
Processing math: 100%。
支持向量机(SVM)、支持向量机回归(SVR)：原理简述及其MATLAB实例
支持向量机（SVM）、支持向量机回归（SVR）：原理简述及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法2）关于KKT条件2、范数1）向量的范数2）矩阵的范数3）L0、L1与L2范数、核范数二、SVM概述1、简介2、SVM算法原理1）线性支持向量机2）非线性支持向量机二、SVR：SVM的改进、解决回归拟合问题三、多分类的SVM1. one-against-all2. one-against-one四、QP（二次规划）求解五、SVM的MATLAB实现：Libsvm1、Libsvm工具箱使用说明2、重要函数：3、示例支持向量机（SVM）：原理及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法首先来了解拉格朗日乘子法，为什么需要拉格朗日乘子法呢？记住，有需要拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。
那么带约束的优化问题很好说，就比如说下面这个：这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。
那么你可以想想，假设没有约束条件这个问题是怎么求解的呢？是不是直接 f 对各个 x 求导等于 0，解 x 就可以了，可以看到没有约束的话，求导为0，那么各个x均为0吧，这样f=0了，最小。
但是x都为0不满足约束条件呀，那么问题就来了。
有了约束不能直接求导，那么如果把约束去掉不就可以了吗？怎么去掉呢？这才需要拉格朗日方法。
既然是等式约束，那么我们把这个约束乘一个系数加到目标函数中去，这样就相当于既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。
现在这个优化目标函数就没有约束条件了吧，既然如此，求法就简单了，分别对x求导等于0，如下：把它在带到约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，可以求解，最终可以得到,这样再带回去求x就可以了。
那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法完美的解决了。
更高一层的，带有不等式的约束问题怎么办？那么就需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来解决这种问题了。
简述svm中的kkt条件
SVM中的KKT条件1. 引言支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
SVM通过将数据映射到高维空间，并在该空间中找到最优的超平面来进行分类。
在SVM的求解过程中，KKT条件是一个重要的理论基础，它能够帮助我们理解SVM算法的原理和性质。
2. KKT条件KKT条件是由Karush-Kuhn-Tucker在20世纪50年代提出的一种非线性规划问题的最优性判断条件。
对于SVM而言，其决策函数可以表示为：nf(x)=∑αiy i K(x i,x)+bi=1其中，x是输入样本，n是样本数量，αi是拉格朗日乘子，y i是样本标签，K(x i,x)是核函数。
KKT条件可以分为三个部分：互补松弛条件、拉格朗日对偶性和原始可行性条件。
2.1 互补松弛条件互补松弛条件表明，在最优解处满足以下关系：$$ \alpha_i^* (y_i f(x_i) - 1 + \xi_i^*) = 0 \\ \mu_i^* \xi_i^* = 0 $$其中，αi∗和μi∗是最优解的拉格朗日乘子，ξi∗是松弛变量。
互补松弛条件的作用是确保支持向量（即满足0<αi<C）对应的函数间隔等于1，并且非支持向量对应的函数间隔大于1。
2.2 拉格朗日对偶性拉格朗日对偶性表明，在最优解处满足以下关系：$$ L(w^*, b^*, \alpha^*, \mu^*, \xi^*) = \frac{1}{2}||w||^2 -\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(y_i(f(x_i) - 1 + \xi_i)) -\sum_{i=1}^{n}\mu_i\xi_i \\ \max_{\alpha, \mu} L(w, b, \alpha, \mu, \xi) \\ s.t. \\ \quad 0 < \alpha_i < C \\ \quad y_if(x_i) - 1 + \xi_i = 0 \\ \quad \mu\xi = 0 $$其中，L(w,b,α,μ,ξ)为拉格朗日函数。
扩展拉格朗日乘子优化方法kkt条件
扩展拉格朗日乘子优化方法及其KKT条件1. 引言拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，用于求解约束条件下的最优化问题。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数中的等式约束，从而将原问题转化为无约束的优化问题。
然而，传统的拉格朗日乘子法只适用于等式约束和不等式约束均为线性的情况。
为了解决这个限制，扩展拉格朗日乘子法被提出。
扩展拉格朗日乘子法是对传统拉格朗日乘子法的一种拓展和推广。
它能够处理更一般的非线性约束条件，并且可以用于求解凸优化问题。
本文将介绍扩展拉格朗日乘子法及其KKT条件。
2. 扩展拉格朗日乘子法2.1 基本思想扩展拉格朗日乘子法通过引入辅助变量和松弛变量，将原始问题转化为一个无约束的优化问题。
具体来说，对于一个带有等式和不等式约束条件的最优化问题：min x f(x)s.t. g i(x)=0, i=1,2,...,mℎj(x)≤0, j=1,2,...,n其中，f(x)是目标函数，g i(x)和ℎj(x)分别是等式约束和不等式约束。
扩展拉格朗日乘子法的基本思想是引入拉格朗日乘子λi和松弛变量s j，将原始问题转化为以下无约束的优化问题：min x,λ,s L(x,λ,s)=f(x)+∑λimi=1g i(x)+∑s jnj=1ℎj(x)其中，λi和s j分别是对应于等式约束和不等式约束的拉格朗日乘子和松弛变量。
2.2 求解步骤扩展拉格朗日乘子法的求解步骤如下：步骤一：构造拉格朗日函数L(x,λ,s)=f(x)+∑λimi=1g i(x)+∑s jnj=1ℎj(x)步骤二：求解无约束优化问题min x,λ,s L (x,λ,s ) 步骤三： 判断最优解的可行性通过判断等式约束和不等式约束的满足程度，来确定最优解的可行性。
具体来说，对于等式约束g i (x )=0，需要满足λi g i (x )=0；对于不等式约束ℎj (x )≤0，需要满足s j ℎj (x )=0。
步骤四： 求解原始问题根据最优解的可行性来求解原始问题。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：1.拉格朗日乘子法的基本原理2.不等式约束下的拉格朗日乘子法求解过程3.KKT条件在不等式约束中的应用4.实际问题中的应用案例及分析正文：不等式约束拉格朗日乘子法是一种求解带不等式约束的非线性优化问题的方法。
本文将详细介绍拉格朗日乘子法在不等式约束下的求解过程，KKT条件在不等式约束中的应用以及实际问题中的应用案例。
一、拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法是一种求解多元函数条件极值的方法。
它通过构建拉格朗日函数，求解偏导数，并利用拉格朗日乘子来找到满足约束条件的最优解。
拉格朗日乘子法可以应用于等式约束和不等式约束问题。
二、不等式约束下的拉格朗日乘子法求解过程在不等式约束问题中，我们需要找到满足g(x)<0的解。
首先，我们将不等式约束转化为等式约束，即g(x)=0。
然后，构建拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ为拉格朗日乘子。
接下来，求解拉格朗日函数的偏导数，并令偏导数等于0，得到方程组。
最后，求解方程组，得到最优解。
三、KKT条件在不等式约束中的应用KKT条件是判断最优解的重要条件之一。
在不等式约束问题中，KKT条件包括以下几个方面：1.梯度的一阶条件：f(x)=0，即目标函数的偏导数等于0。
2.梯度的二阶条件：f(x)≥0，即目标函数的二阶偏导数非负。
3.拉格朗日乘子与约束条件的梯度之积为0：g(x)λ=0。
4.拉格朗日乘子满足不等式：λ≥0，且λg(x)≤0。
四、实际问题中的应用案例及分析1.案例一：企业利润最大化问题假设企业的利润为z，通过构建拉格朗日函数和求解KKT条件，可以找到使利润最大化的生产策略。
2.案例二：资源分配问题在资源分配问题中，我们需要在不等式约束下找到最优的资源分配方案。
通过构建拉格朗日函数和求解KKT条件，可以找到满足约束条件的最优解。
总之，不等式约束拉格朗日乘子法是一种有效的方法，可以应用于各种实际问题中。
扩展拉格朗日乘子优化方法kkt条件
扩展拉格朗日乘子优化方法kkt条件（最新版2篇）目录（篇1）1.引言2.拉格朗日乘子优化的基本原理3.扩展拉格朗日乘子优化的方法4.KKT条件的数学解释5.KKT条件的应用6.结论正文（篇1）一、引言拉格朗日乘子优化方法是一种在约束优化问题中考虑约束条件下的最大化或最小化目标函数的方法。
该方法通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件，从而得到最优解。
扩展拉格朗日乘子优化方法是一种改进的拉格朗日乘子优化方法，可以在更广泛的约束条件下应用。
二、拉格朗日乘子优化的基本原理拉格朗日乘子优化方法的基本思想是在目标函数和约束条件之间引入一个拉格朗日乘子，通过最大化或最小化目标函数和最小化拉格朗日乘子的方式来处理约束条件。
该方法可以通过对偶性进行求解，即通过最大化或最小化目标函数和最小化拉格朗朗日乘子的对偶问题来得到最优解。
三、扩展拉格朗日乘子优化的方法扩展拉格朗日乘子优化方法是一种改进的拉格朗日乘子优化方法，可以在更广泛的约束条件下应用。
该方法通过引入一个额外的变量来处理约束条件，从而避免了传统拉格朗日乘子优化方法中可能出现的鞍点问题。
该方法可以通过对偶性进行求解，即通过最大化或最小化目标函数和最小化扩展拉格朗日乘子的对偶问题来得到最优解。
四、KKT条件的数学解释KKT条件是拉格朗日乘子优化方法的一个重要性质，它描述了目标函数的最优解与约束条件之间的关系。
KKT条件包括充分条件和必要条件两个方面。
目录（篇2）1.拉格朗日乘子优化的基本概念2.扩展拉格朗日乘子优化方法3.KKT条件的应用正文（篇2）一、拉格朗日乘子优化的基本概念1.拉格朗日乘子的定义及其在优化问题中的作用。
2.目标函数、约束条件和拉格朗日乘子的关系。
3.拉格朗日乘子的变化对优化问题的解的影响。
二、扩展拉格朗日乘子优化方法1.扩展拉格朗日乘子优化方法的原理。
2.目标函数、约束条件和扩展拉格朗日乘子的关系。
3.扩展拉格朗日乘子的变化对优化问题的解的影响。
KKT条件理解
KKT条件理解在学习过程中，⼀直纠结于KKT条件到底是怎么来的，然后翻阅资料，发现这个博主写的很好，就给引⽤过来了。
⼀、带等式约束的优化问题带等式约束的优化问题是指我们有个求最⼤值或者最⼩值的⽬标函数，同时，针对该⽬标函数我们还有⼀些约束条件，这些约束条件是等式。
该问题的形式化描述如下：求解上述问题⼀般有两种⽅法，⼀种是消元法，就是把这些等式联⽴，然后求解即可。
也就是多元⼀次⽅程组的求解了。
之类不多说了。
另⼀种⽅法是拉格朗⽇乘数法，这是⾼等数学⾥⾯提供的⼀种⽅法。
这是⼀种寻找多元函数在其变量受到⼀个或者多个条件的约束的时候，求极值的⽅法。
该⽅法将⼀个有nn个变量和kk个等式约束条件的最优化问题，转换成⼀个有n+kn+k个变量的⽅程组求解问题。
该⽅法会引⼊⼀组未知数，这些未知数称为拉格朗⽇乘⼦（或者算⼦、乘数等）。
对上式进⾏拉格朗⽇乘数法转换得到⼀个新的函数：这个时候对上述转换后的⽅程求解其极值点会包含原问题所有的极值点，但是不保证每个极值点都是原问题的极值点。
这个理论上有证明这⾥忽略了。
因此，当转换后的公式只包含⼀个极值点的时候，我们可以对上市求偏导后联⽴⽅程，得到的结果就是原来结果的极值点。
上式中的未知数包含了所有的xx和\lambdaλ：拉格朗⽇乘数法有很强的⼏何意义，也可以⽤来解释为何这样做可以求出最终结果。
⼆、带不等式约束的最优化问题与拉格朗⽇乘法类似，如果最优化问题的约束是不等式，那么我们可以使⽤KKT条件来求解。
KKT条件就是拉格朗⽇乘数法在带不等式约束优化问题上的推⼴。
假设我们有如下的最优化问题：那么该问题的拉格朗⽇函数为：KKT条件是指⼀组条件，它是⼀组解成为原问题最优解的必要条件。
如果原问题是凸问题，那么这个条件也是充分条件。
K.K.T.条件包括平稳条件、互补松弛条件、对偶可⾏性条件、原问题可⾏性条件等⼏类。
上述问题的KKT条件如下：原⽂转⾃：。
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拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法无疑是最优化理论中最重要的一个方法。
但是现在网上并没有很好的完整介绍整个方法的文章。
所以小编整理了如下文章，希望能博得大家一赞。
在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。
当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。
KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。
之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。
一. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类
：(i) 无约束优化问题，可以写为:min f(x); (ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:min f(x), s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n (iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：min f(x), s.t. g_i(x) 合成为一个式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 这里把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。
然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。
(b) KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：
1. L(a, b, x)对x求导为零；
2. h(x) =0;
3. a*g(x) = 0;求取这三个等式之后就能得到候选最优值。
其中第三个式子非常有趣，因为g(x)=0，我们可以把f(x)写为：max_{a,b} L(a,b,x)，为什么呢？因为h(x)=0, g(x)<=0，现在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是<=0，所以L(a,b,x)。