高等数学竞赛试题含答案

5 2
ex
3 ex 2
0 得x 0
1 ln 2
3, 5
又S ( x 0)
0,
S
(
x
0
)
为极小值S
(
1 2
ln
3) 5
15 .
六、设函数 f (x, y) 可微， f f (x, y),
x
f
0,
2
1
,
且满足 lim n
f
( 0, y 1 n
f 0, y
)
n
e coty
求
f (x, y) .
0
1
13 e4 3 e2 3
2
2
(D :1 x2 y2 4)
五、设幂级数 an xn , 当 n 1 时 an2 n (n 1) an ，且 a0 4, a1 1 ; n0
（1）求幂级数 an xn 的和函数 S(x) ；（2）求和函数 S(x) 的极值.. n0
解（1）令 S (x) anxn, 则S (x) nanxn 1
4
x x2 (y a)2
2a
a
讨论：①当1
k
0,.即k
1, v2
v1时,
则 lim ya
x
0,
可到点B(0, a);
②当1 k
0,即k
1, v2
v1,1 k
2时, 则lim x ya
a, 可达对岸点( a, a)
2
2
③ 当1
k
0即k
1,
v2
v1,1
k
2时,
lim
ya
x 不,
不能对达对岸.
xv eu yv 0
0 ev
eu ev .
dxdy | J | dudv eu evdudv 0 eudu u1 evdv 1eudu 1u evdv e 1 .
D
D
D
1
u 1
0
u1
e
四、设曲面 S 为曲线
z ey
x
0
(1 y 2 ) 绕 z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分
（4） | F (x) f (x) || 1 xa f (t)dt f (x) || 1 [(x a) (x a)] f ( ) f (x) |
2a xa
2a
| f ( ) f (x) | M m (x a x a)
三、求曲线 ln x ln y 1 所围成的平面图形的面积.
n0
n 1
S (x) n(n 1)anx n2 an2x n2 anx n S (x) ， S (x) S (x) 0
n2
n2
n0
S (x) c1e x c2ex
由S (0)
a0
4,
S
(0)
a1
1
，求得
c1
5 2
, c2
3 ,S(x) 2
5 2
ex
3 2
e x
（2）由
S ( x)
ay
ay
dy
ay
(路线满足的微分方程) 令a y ux ，则有
dx k x2 (a y)2 x
u x du dx k
u
,
dx
1 u2 1 x ku
1
1
du
1u2 u
积分ln
x
1 k
ln
1
1 u
u
2
lnu
ln c
(a y)k c
ay
由y(0) 0 得c a, 化简得x a[( a y) 1k ( a y) 1k ]
xy e,
[解
1]去掉绝对值曲线为：
y y
1 x, e ex,
xy
1
,
e
x 1且y 1, x 1且0 y 1 0 x 1且y 1 0 x 1且0 y 1
A
1
1 (ex
e
1 )dx ex
e( e x)dx e 1
1x e
e
[解 2]令 ln x u, ln y v, 则x eu, y e v, D :| u | | v | 1, J xu yu
…………………………… （ B
）
(A)
2
1
f (x) dx
；
0
(B)
3 f (x) dx ； 0
(C) f (3) f (0) ；
(D) 0 .
8. 设任意项级数 an 条件收敛，将其中的正项保留负项改为 0 所组成的级数记为 bn , 将其中
n 1
n 1
的负项保留正项改为 0 所组成的级数记为 cn ，则 bn 与 cn ……………………（
解 如图所示，设 P(x, y) 为船在要时刻的位置
此时两个分速度为
dx dt
v2
v1
sin
dy dt
v1
cos
(0
)
，
2
消去
t
得
dy dx
v1 cos v2 v1 sin
k
cos sin
(k
v2 v1
)
1
k sec tan
， 又 tan x , 则sec x2 (a y)2 , 代 入 得
x2
f (x, y) 1 x sin
f (0,0) y cos2
y
3
则
f
(x,
y)
在点
(0,0)
处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）
(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.
6. 设 f (x) 在 (, ) 连续，且导函数 y f (x) 的图形如图所示，则 f (x) 有……………… （ D ）
（4）设 f (x) 在 x a, x a 内的最大值和最小值分别是 M、m ,求证： F (x) f (x) M m .
解（1） F (x) 1 xa f (t)dt 1 [ xa f (t)dt xa f (t)dt] 1 [G(x a) G(x a)]
2a xa
2a 0
解
lim
f
(0,
y
1 n
)
n
lim 1
f (0, y 1) n
f
(0,
y
)
n
f (0, y 1) f (0, y)
lim
n
n 1 f (0, y)
e
n
fy (0, y)
e f (0,y)
n f (0, y) n
f (0, y)
f y (0, y) d ln f (0, y) cot y ，对 y 积分得 ln f (0, y) ln sin y ln c f (0, y) c sin y
0
2a
（2） F (x) 1 [G '(x a) G '(x a)] 1 [ f (x a) f (x a)]
2a
2a
（3） lim F(x) lim G(x a) G(x a) lim [G(x a) G(x)] [G(x) G(x a)]
a0
a0
2a
a0
2a
1 [G '(x) G '(x)] G '(x) f (x) 2
高等数学竞赛试题
一、选择题 1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ）
（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.
(A) 1 个； (B) 2 个； (C) 3 个； (D) 4 个.
f
(x
t)dt
，
G(x)
1
x
0
g ( xt )
dt
,
则当
x
0
时，F (x)
是
G(x)
的
…………………………………… （ D
）
(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.
5.
设 f (x, y) 在点 (0,0) 的某邻域内连续，且满足
lim
x0 y0
3. 设 为 f (x) arctan x 在 [ 0, b] 上应用 拉格朗日 中值定理的 “中值”，则
lim
b0
2 b2
…………
（C ）
(A) 1； (B) 1 ； (C) 1 ； (D) 1 .
2
3
4
4.
设
f
(x)
,
g(x)
连续，当
x
0 时，
f
(x)
与
g(x)
为等价无穷小，令
F(x)
x 0
(A) 1 个极小值点与 2 个极大值点，无拐点；
(B) 2 个极小值点与 1 个极大值点，1 个拐点；
(C) 2 个极小值点与 2 个极大值点, 无拐点；
(D) 2 个极小值点与 2 个极大值点，1 个拐点.
Байду номын сангаас
7.
设 f 有连续的一阶导数，则
(1,2) f (x y)dx f (x y)dy (0,0)
d 2 e2 z ln 2 zdz 5 e4 e2
S S1 S2
V
e
e
D(z)
22
4zxdydz 2zdzdx (1 z 2)dxdy (1 e 2)dxdy (1 e 2) (e 2 1) ；
S1
D xy
(1 e4)dxdy 4(1 e4); I
5 e e2 (e2 1) 4 (1 e )
S2 Dxy
S S1 S2 S1 S2
2
2
2
e4 3 e2 3
2
[解 2] I (4zx, 2z,1 z 2) (z x, z y, 1)dxdy
D
e 2 x2 y2
D
4x2 x2 y2
2y
1dxdy dxdy
x2 y2
D
2 d 2 e2r (4r cos2 2sin 1)rdr (4 1)
n 1
n 1
n 1
B）
(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上 三种情况 都
可能发生.
1
二、设 f (x) 在区间 (, ) 连续， F (x) 1 xa f (t) dt (a>0), G(x) x f (t) dt ,
2a xa
0
试解答下列问题：（1）用 G(x) 表示 F (x) ；（2）求 F (x) ；（3）求证： lim F(x) f (x) ； a0
2.
设
f
(x)
1, 0,
x x
0 0
，g
(
x)
x 1
sin ,
1 x
,
x x
0 0
则 x 0 是间断点的函数是…………………………（ B
）
(A) f (x) g(x) ； (B) f (x) g(x) ； (C) max f (x), g(x) ； (D) min f (x), g(x) ..
I 4zx dydz 2z dzdx (1 z 2) dxdy
S
[解 1]S 的方程为 z e x2 y2 (1 x 2 y 2 4)
补两平面 S1 : z e(x2 y 2 1, 下侧) S2 : z e2 (x2 y 2 4, 上侧)
2
e2
zdV 2 zdz
f (0, y)
dy
代入
f
(0,
)
1得c
1，
f
(0,
y)
sin
y
又已知 f f
f (x, y) c( y)ex
，
2
x
f (0, y) sin y ，c( y) sin y 故 f (x, y) e x sin y.
3
七、如图所示，设河宽为 a ，一条船从岸边一点 O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点 O 相对 的一点 B 。假设在静水中船速为常数 V1 ，河流中水的流速为常数 V2 ，试求船过河所走的路线(曲 线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点 B .