均匀随机数的产生 (35张)
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栏目 导引
第三章 概率
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都
是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一 个实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造 一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区 间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分 别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
栏目 导引
第三章 概率
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
栏目 导引
第三章 概率
栏目 导引
第三章 概率
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2， 3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数 m 及试验总次 数 n； (3)则概率 P(A)的近似值为mn .
栏目 导引
第三章 概率
方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总
体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机 产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
栏目 导引
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
栏目 导引
第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
栏目 导引
第三章 概率
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；(× ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数．( × )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上
的整数值随机数等；
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第三章 概率
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步 骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x， y)的坐标．如果一个点的坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在 区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方 形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 S≈MN.
栏目 导引
第三章 概率
用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函 数 y＝2－2x－x2 与 x 轴围成的图形)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换 a＝a1*4－3，b ＝b1*3 得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3) 统计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b＜2－ 2a－a2 的点(a，b)数)．(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的 概率的近似值．(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公 式得点落在阴影部分的概率为1S2，所以1S2≈NN1.所以 S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
栏目 导引
第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性
变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数．
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第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B ) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的 误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不 正确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不 正确．
A．0.25
B．0.5
C．0.6
D．0.75
解析：由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝12.5＝
0.75.
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第三章 概率
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Leabharlann Baidu
第三章 概率
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则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
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第三章 概率
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这 50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估 计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
栏目 导引
第三章 概率
解：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小 明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a ＝RAND，b＝RAND，c＝RAND 分别表示小军、小燕和小 明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b ＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝NN1，fn(B)＝NN2，即分别为事件 A，B 的概 率的近似值．
栏目 导引
第三章 概率
3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
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第三章 概率
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
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第三章 概率
数学思想 用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值 用随机模拟方法求函数 y＝ x与 x 轴和直线 x＝1 围
成的图形的面积． [解] 如图所示，阴影部分是函数 y＝ x的图象与 x 轴和直线 x＝1 围成的图形，设阴影部分的面积为 S.
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第三章 概率
随机模拟的步骤： (1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND， y1＝RAND； (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x 的点(x，y)的个数)； (3)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值； (4)直线 x＝1，y＝1 和 x，y 轴围成的正方形面积是 1，由几 何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S.
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第三章 概率
[解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的均匀随机 数，x＝RAND； (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数； (3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数 m； (4)则概率 P(A)的近似值为mn . 法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度 [0，5](这里 5 和 0 重合)；
栏目 导引
第三章 概率
解：设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8， 8]与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
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第三章 概率
1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_R_A_N_D______ 函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “__r_a_n_d_(______”) ． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)___随__机__模__拟_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)__计__算__机__模__拟____的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
第三章 概率
3．3.2 均匀随机数的产生
第三章 概率
1．问题导航 (1)如何产生均匀随机数？ (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？ (3)如何计算不规则图形的面积？
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第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值 或不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法近似计算不规则图形的面积．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可 以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过
上机实习才能掌握．
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第三章 概率
用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率 有多大？ (链接教材 P137 例 2)
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴 影区域的面积约为( B )
4
8
A.3
B.3
2 C.3 解析：.∵SS正阴方影形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.
D．无法计算
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第三章 概率
3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(D )
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第三章 概率
3．b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间
__[_－__6_，__－__3_]_上的均匀随机数．
解析：0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是[－6，－3]， 即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
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第三章 概率
4．整数值随机数与均匀随机数有何异同？ 解：二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现 的机率是均等的,但是整数值随机数是离散的单个整数值,相 邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数, 是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的 ．
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第三章 概率
(5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在 阴影部分的概率为 P＝S4，所以NN1≈S4，所以 S≈4NN1即为阴影 部分面积的近似值．
栏目 导引
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公 式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的 近似值．
第三章 概率
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都
是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一 个实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造 一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区 间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分 别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
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第三章 概率
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
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第三章 概率
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第三章 概率
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2， 3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数 m 及试验总次 数 n； (3)则概率 P(A)的近似值为mn .
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第三章 概率
方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总
体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机 产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；(× ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数．( × )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上
的整数值随机数等；
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第三章 概率
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步 骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x， y)的坐标．如果一个点的坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在 区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方 形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 S≈MN.
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第三章 概率
用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函 数 y＝2－2x－x2 与 x 轴围成的图形)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换 a＝a1*4－3，b ＝b1*3 得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3) 统计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b＜2－ 2a－a2 的点(a，b)数)．(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的 概率的近似值．(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公 式得点落在阴影部分的概率为1S2，所以1S2≈NN1.所以 S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性
变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数．
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第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B ) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的 误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不 正确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不 正确．
A．0.25
B．0.5
C．0.6
D．0.75
解析：由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝12.5＝
0.75.
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第三章 概率
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则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
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第三章 概率
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这 50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估 计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
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第三章 概率
解：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小 明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a ＝RAND，b＝RAND，c＝RAND 分别表示小军、小燕和小 明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b ＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝NN1，fn(B)＝NN2，即分别为事件 A，B 的概 率的近似值．
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第三章 概率
3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
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第三章 概率
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
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第三章 概率
数学思想 用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值 用随机模拟方法求函数 y＝ x与 x 轴和直线 x＝1 围
成的图形的面积． [解] 如图所示，阴影部分是函数 y＝ x的图象与 x 轴和直线 x＝1 围成的图形，设阴影部分的面积为 S.
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第三章 概率
随机模拟的步骤： (1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND， y1＝RAND； (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x 的点(x，y)的个数)； (3)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值； (4)直线 x＝1，y＝1 和 x，y 轴围成的正方形面积是 1，由几 何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S.
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第三章 概率
[解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的均匀随机 数，x＝RAND； (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数； (3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数 m； (4)则概率 P(A)的近似值为mn . 法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度 [0，5](这里 5 和 0 重合)；
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第三章 概率
解：设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8， 8]与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
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1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_R_A_N_D______ 函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “__r_a_n_d_(______”) ． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)___随__机__模__拟_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)__计__算__机__模__拟____的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
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3．3.2 均匀随机数的产生
第三章 概率
1．问题导航 (1)如何产生均匀随机数？ (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？ (3)如何计算不规则图形的面积？
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第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值 或不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法近似计算不规则图形的面积．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可 以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过
上机实习才能掌握．
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第三章 概率
用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率 有多大？ (链接教材 P137 例 2)
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴 影区域的面积约为( B )
4
8
A.3
B.3
2 C.3 解析：.∵SS正阴方影形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.
D．无法计算
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3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(D )
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3．b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间
__[_－__6_，__－__3_]_上的均匀随机数．
解析：0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是[－6，－3]， 即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
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第三章 概率
4．整数值随机数与均匀随机数有何异同？ 解：二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现 的机率是均等的,但是整数值随机数是离散的单个整数值,相 邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数, 是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的 ．
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(5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在 阴影部分的概率为 P＝S4，所以NN1≈S4，所以 S≈4NN1即为阴影 部分面积的近似值．
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公 式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的 近似值．