均匀随机数的产生 (35张)
3.3.2均匀随机数的产生
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
均匀随机数的产生
注意 用模拟的方法得到的计算结果是估计值.
（一维型的几何概型）
那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
例1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断
解（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的N个均匀随机数a1． （2）经过伸缩变换，a=a1*（3-0）+0转化到【0，3】的均匀随机数 （3）统计出[1，2]内随机数的个数n． n 即为概率P（A）的近似值． （4）计算频率fn(A)=
4m 的值近似等于 n
(用模拟的方法近似计算不规则图形的面积)
例4
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的 图形的面积. y
1 -1 0 1 x
解：
(1)利用计算机产生N组［0,1］上的均匀随机数， a1=RAND( ), b1=RAND( ) ；
(2)进行伸缩变换：a=a12-1；
(3)统计试验总数N和落在阴影内的样本点数n，用几何概 型的概率公式计算阴影部分的面积.
N
（二维型的几何概型）
例2
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 y 父亲离家时间 为事件A 7 P(A)= 2 1 8
新
1.均匀随机数
均匀随机函数-------rand()
课
解决几何概型的问题,利用计算机或计算器产生 均匀随机数.
且只能产生［0,1］区间上均匀随机数
思考：
(1) 产生［3,7］区间上均匀随机数呢？ (2) 产生［100,150］区间上均匀随机数呢？
变换
结论： 产生［a,b］区间上均匀随机数
均匀随机数的产生 课件
类型一 几何概型的识别
例1 下列关于几何概型的说法错误的是
√A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基 本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.
类型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1 m的概率为多少？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中 间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13 .
知识点二 几何概型的概率公式
思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之 比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积) 成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.
反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本 事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等， 即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6×6＝36(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。
在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。
1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。
具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。
这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。
2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。
它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。
具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。
2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。
3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。
4)最后得到的序列即为随机排列。
3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。
该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。
梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。
4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。
它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。
具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。
2)赋予一个初始值X0。
3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。
4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。
均匀随机数的产生 课件
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是_R_A_N_D____函数．
②Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为
“__ra_n_d_(_) ______”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 ①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计 试验结果． ②计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生[0，1]区间上均匀随机 数进行模拟(注意操作步骤)．
几何概型 均匀随机数的产生
1．几何概型的概念 (1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与_构__成__该__事__件_区__域__的__长__度__(_面_积__ _或__体__积__)____成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几
何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多_个__．
于是 P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝AACB′＝AACB＝ 22.即 AM 小于 AC 的
概率为
2 2.
1．(变条件)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与直线 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率．
[解] 由题意，应看成射线 CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在 AB 上截取 AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为 6970.5＝34.
2．(变结论)本例条件不变． (1)若求 AM 不大于 AC 的概率，结果有无变化？ (2)求 AM 大于 AC 的概率． [解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为 0， 包含与不包含一点，不改变概率的结果． (2)如图，点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 的长度为试验 的全部结果所构成的区域长度，在 AB 上截取 AC′＝AC，当点 M 位 于线段 C′B 上时，AM>AC，
均匀随机数的产生学习课件PPT
• 一、随机数就是在一定范围内随机产生的 数，并且得到这个范围内的每一个数的机 会一样，它可以帮助我们模拟随机试验， 特别是一些成本高、时间长的试验，用随 机模拟方法可起到降低成本，缩短时间的 作用．
• 二、随机数的产生方法 • 1．实例法 • 如掷骰子、掷硬币、抽签、从一叠纸牌中 抽牌、正多边形旋转器，或钟表式图形转 盘等等． • 例如：掷硬币，1表示正面，0表示反面， 连掷四枚硬币就可得到二进制数 0000 到 1111，即十进制0～15. • 2．计算器或计算机模拟法 • (1)现在的大部分科学计算器都能产生 0～1 之间的均匀随机数(实数)，例如：
• 例3是用随机数和几何概型估计 π的近似值， 用随机模拟撒豆子试验计算豆子落在正方 形内切圆内的频率，估计概率和用几何概 型计算得到的概率相比较，从而说明这种 随机模拟试验的可行性和有效性． • (1)抽象成几何概型，随机撒一把豆子，假 设豆子落在正方形内任何一点是等可能的， 则落在某个区域的豆子数只与区域的大小 有关，而与区域的位置和形状无关，符合 几何概型的条件，用几何概型公式， A ＝ “豆子落在圆内”，
• 可以看到随着试验次数的增多，大多数估 计值越接近概率值，但试验次数多的不一 定就是比次数少的精度高，体现出试验估 计值的“随机性”，并且1000次试验得到 π的估计值精确度并不高，由此体会实际 实验的时间太长，因此可采用计算机随机 模拟. • 例4为求不规则图形的面积，其一般方法 为将不规则图形放在一个规则图形的内部 （一般内接）然后利用两图形的面积比等 于概率，如果概率用频率来近似，则不规 则图形的面积近似等于规则图形的面积乘
• ①利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上 的均匀随机数，试验结果是区间[0,1]内的任 意一个实数，而且出现任何一个实数是等 可能的．
人教版数学必修三第三章3.3.2 均匀随机数的产生 经典课件(共56张PPT)
P
11515
2
9
.
2020 32
答案：9
32
2.设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1=RAND， b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到[-8，8]与 [-7，7]上的均匀随机数. (3)统计满足-8<a<8，-7<b<7的点(a，b)的个数N.满足1<a2+b2<4的点 (a，b)的个数N1. (4)计算频率fn(A)= N 1 即为所求概率的近似值.
【解题指南】1.典例1中，用随机模拟方法估计面积型几何概型与长 度型几何概型有何区别? 提示：用随机模拟方法估计长度型几何概型只需产生一组均匀随机数， 而面积型几何概型需产生两组均匀随机数.
2.典例2中，利用随机模拟方法对面积型几何概型进行概率估计的关 键是什么?对于本题应如何理解? 提示：(1)关键是利用两组均匀随机数，分别表示横坐标、纵坐标， 确定点的位置. (2)本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟 的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须 有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.
【解析】(1)如图，设送报人到达的时间为x，小王离家去工作的时间 为y.(x，y)可以看成平面中的点，
3.3.2 均匀随机数的产生
【知识提炼】 1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个 实数是_等__可__能__的__，则称这些实数为均匀随机数. 2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在_一__定__范__围__内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_相__等__.
均匀随机数的产生 课件
N1 N
【拓展提升】用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的 步骤 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数x, x=RAND. (2)经过伸缩变换y=(b-a)x+a,得到一组[a,b]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1. (4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.
形的面积为4，设阴影部分的2 面积为S，则有 ,所1 以000
S=1.328.
S 332 4 1 000
答案：1.328
2.(1)利用计算器或计算机分别产生［-1，1］和［0，2］上
的均匀随机数：a=-1+2RAND和b=2RAND，得随机数组(a，
b)．
(2)统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1(满足
二、用模拟方法近似计算某事件概率的方法 1.试验模拟法 做两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验效果,进行近似计 算. 2.计算机模拟法 用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟,注意操作步 骤.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数,对于试验结 果在[2,5]上的试验,无法用均匀随机数进行模拟估计试 验.( ) (2)x是[0,1]上的均匀随机数,则利用变量代换y=(b-a)x+a可 得[a,b]上的均匀随机数.( ) (3)已知a是[0,1]上的均匀随机数,b=2(a-1),则b是[0,1]上的 随机数.( )
探究提示: 1.用随机模拟法近似计算不规则图形的面积的关键是利用随 机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率,然后通过 解方程求得相应部分的面积的近似值. 2.应注意两点:一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概 率公式正确地计算概率.
均匀随机数的产生 课件
填要点、记疑点
3．[a，b]上均匀随机数的产生． 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移 交换，x＝ x1*(b-a)+a 就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b] 上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．
探要点、究所然
探究点一：均匀随机数的产生
探要点、究所然
探究点三：用模拟法估计面积型的几何概率
所以P＝阴 矩影 形面 面积 积＝1609080， 即阴影面积S＝矩形面积×1609080＝2×1609080＝1.396. 反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概 率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一 是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．
父亲在离家前能得到报纸的次数
盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P(A)＝
试验的总次数
.ห้องสมุดไป่ตู้
方法二 用计算机产生随机数模拟试验．X是0～1之间的均匀随机数，Y也是0～1
之间的均匀随机数．如果Y＋7>X＋6.5，即Y>X－0.5，那么父亲在离开家前能得
到报纸．在计算机上做M次试验，查一下Y>X－0.5的Y的个数，如果为N，则所求
探要点、究所然
探究点一：均匀随机数的产生
思考2 计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等 可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么 办法解决？ 答 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用 伸缩和平移变换：Y＝X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数．
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法下面将介绍几种常见的均匀随机数产生算法：1. 线性同余法算法（Linear congruential generator, LCG）：线性同余法算法是最常见的随机数产生算法之一、它的基本原理是通过以下递推公式得到随机数：Xn+1 = (a * Xn + c) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+1是下一个随机数，a、c、m是常数，通常选择合适的a、c、m可以产生具有良好均匀性的随机数序列。
2. 递推式产生器（Recursive generator）：递推式产生器是一种基于数学递推公式的随机数产生算法。
其基本原理是通过递推公式不断更新随机数的值，从而产生一系列随机数。
递推式产生器的一个常见例子是Fibonacci递推式：Xn+2 = (Xn+1 + Xn) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+2是下一个随机数。
3. 平方取中法（Middle-square method）：平方取中法是一种简单的随机数产生算法。
它的基本原理是通过将当前的随机数平方并取中间的几位数字作为下一个随机数。
具体步骤如下：-将当前的随机数平方，得到一个更大的数。
-取平方结果的中间几位作为下一个随机数。
-若需要较大的随机数，再次对下一个随机数进行平方取中操作。
4. 梅森旋转算法（Mersenne Twister）：梅森旋转算法是一种基于梅森素数（Mersenne prime）的随机数产生算法。
它具有周期长、随机性好等特点，广泛应用于模拟、统计等领域。
该算法基于以下递归公式生成随机数：Xn=Xn-M^(Xn-M+1，u)其中，Xn是当前的随机数，Xn-M和Xn-M+1是前面两个随机数，u是一系列位操作（如或运算、异或运算等）。
通过选择不同的Xn-M和Xn-M+1，可以生成不同的随机数序列。
混合线性同余法是一种多元随机数产生算法。
它的基本原理是将多个线性同余法的结果进行线性组合，从而产生更高质量的随机数。
均匀随机数的产生
(2)经过伸缩变换：x＝ x1*6-3， y＝ y1*6-3 ，得到 [-3,3]上的均匀随机数. (3) 统计试验总数 N 和满足条件：-2 ≤ x - y ≤2 且-2 ≤ y≤2 的点（ x， y）的个数 n;
3． 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影 区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域 2 内的概率为 ，则阴影区域的面积为________． 3
典例导悟
• 类型一 用随机模拟法估计长度型 几何概型的概率 • [例1] 在长为12 cm的线段AB上任取 一 点 M ， 并 以 线 段 AM 为 边 作 正 方 形．试求这个正方形的面积介于 36 cm2与81 cm2之间的概率．
• [分析] 正方形的面积只与边长有关，此题 可以转化为12 cm长的线段上取一点M，求 使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概 率． • [解] (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机 数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝a1*12 得到[0,12] 内均匀随机数． (3)统计试验总 数N和[6,9] 内随机数个数 N1 ． (4) 计算频 N1 率 ． N
a1 rand(),b rand();
(2)进行平移和伸缩变换：
a (a1 0.5) * 2;
(3)数出落在阴影内的样本点数
m ，阴影部分的面积为：
模拟试验
• [解] 记事件A＝{硬币落下后与格线有公共 点}，事件B＝{硬币落下后与格线没有公共 点}．为了确定硬币的位置，以正方形的中 心为原点平行于正方形边的直线为坐标轴， 建立如图3所示的平面直角坐标系． • (1)利用计算机或计算器产生一组0～1区间 的均匀随机数：x1＝RAND，y1＝RAND，
图2
解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无 限个，属于几何概型．设落在阴影区域内为事件 A， 则事件 A 构成的区域为阴影部分， 设阴影区域的面积 为 S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则 S S 2 8 P(A)＝ ，∴ ＝ ，即 S＝ . 4 4 3 3
均匀分布随机数的产生-Read
第二章补充一随机数的产生方法1.均匀分布随机数的产生产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类:1）利用专门的随机数表。
这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。
2）物理方法产生随机数例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。
这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。
缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。
3）数学方法产生随机数常用的方法有：平方取中法和线性同余法。
i.平方取中法：平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(V on Neuman and Metropolis)提出的。
其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N 位作第一个随机数。
将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。
平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。
所以必须注意初值的选取。
ii.线性同余法当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。
使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为：x i+1＝(λxi+μ)(mod m)其中，i＝1，2，…λ≠0 。
这里A称为乘子，μ为增量，m为模。
在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。
当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。
乘同余法的迭代公式为：xi+1=λxi(mod m)例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。
＝11，按下面步骤计算：第i步x i-1λx i-1λx i-1(mod m)1 11 209 92 9 171 713 71 1349 494 49 931 315 31 589 89由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。
均匀随机数的产生 课件
用随机模拟法估计长度型的概率
取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用 随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率． 【解】 设“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A. 法一：①利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数 a1＝RAND； ②经过伸缩变换，a＝3a1； ③统计出[1，2]内随机数的个数 N1 和[0，3]内随机数的个数 N； ④计算频率 fn(A)＝NN1即为概率 P(A)的近似值．
■名师点拨 (1)均匀随机数与整数值随机数的异同点 ①相同点：随机产生的随机数．在一定的“区域”长度上出现的几 率是均等的； ②不同点：整数值随机数是离散的单个整数值．相邻两个整数值随 机数的步长为 1，而均匀随机数是小数或整数，是连续的，相邻两 个均匀随机数的步长是人为设定的．
(2)[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 x1＝RAND，然 后利用伸缩和平移变换，x＝x1·(b－a)＋a 就可以得到[a，b]内的 均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一 个实数的出现都是等可能的．
3．均匀随机数的产生 (1)计算器产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数是 RAND. (2)Excel 软件产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数为“rand”． (3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或 计算机产生． 4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验效 果，进行近似计算． (2)计算机模拟法：用 Excel 软件产生[0，1]上的均匀随机数进行模 拟，注意操作步骤．
若本例条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不
合格的概率？ 解：设事件 C 表示“该特种兵跳伞的成绩为不合格”． (1) 利 用 计 算 器 或 计 算 机 产 生 两 组 [0 ， 1] 上 的 均 匀 随 机 数 ， a1 ＝ RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8] 与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8<a<8，－7<b<7 的点(a，b)的个数 N，满足 a2＋b2>25 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(C)＝NN1，即为所求概率的近似值．
均匀随机数的产生 课件
又 2π＝8NN1，所以 π≈4NN1.
[a，b]内的均匀随机数
探究 1 如何产生[a，b]内的均匀随机数？ 【提示】 利用计算机(或计算器)产生[0,1]上的均匀随机数 x1＝RAND，然 后利用伸缩和平移变换，令 x＝x1] 探究 2 产生[a，b]内的均匀随机数时，[a，b]上的任何一个实数，都是等 可能的吗？ 【提示】 产生[a，b]内的均匀随机数时，试验的结果是[a，b]上的任何一 个实数，并且任何一个实数都是等可能的．
用随机模拟法估计长度型几何概率
取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段 的长都不小于 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m 的概率有多大？
【精彩点拨】 用模拟方法并进行相应转化求概率． 【尝试解答】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共 N 个)0 到 1 区间 的均匀随机数，a1＝RAND； (2)经过伸缩变换，a＝a1*3；
一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的 x，y来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件， 利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.
[再练一题] 2.如图 3-3-10，在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板， 上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2 cm，4 cm,6 cm， 某人站在 3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板 时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中 圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？ 图 3-3-10 【解】 记事件 A＝{投中大圆内}，事件 B＝{投中小圆与中圆形成的圆环 内}，事件 C＝{投中大圆之外}． (1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 a1＝RAND，b1＝RAND；
备课资料( 均匀随机数的产生)
备课资料赌棍“考验”数学家对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求.传说,17世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注32个金币.双方约定,梅累如果先掷出三次6点,或者赌友先掷出三次4点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经两次掷出6点,赌友已经一次掷出4点.这时候梅累接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?赌友说,他要再碰上两次4点,或梅累要再碰上一次6点就算赢,所以梅累分64个金币的32,自己分64个金币的31.梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了4点,他还可以得21,即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币,所以他应该分64个金币的43,赌友只能分得64个金币的41.两人到底谁说得对呢？ 梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题.帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了.他苦苦思考了近三年,到1654年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并取得了一致的意见：梅累的分法是对的,他应得64个金币的43,赌友应得64个金币的41.这时有位荷兰的数学家惠更斯,在巴黎听到这件新闻,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）,这就是概率论的最早一部著作.除保险事业之外,各行各业都经常会碰到“某事件发生的可能性大小”的问题.因此,概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了19世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题：“设圆内接等边三角形的边长为a,在圆上任作一弦,问其长度超过a 的概率是多少？” 贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.贝特朗奇的解法如下：解法一：任取一弦AB,过点A 作圆的内接等边三角形（如右图）.因为三角形内角A 所对的弧占整个圆周的31.显然,只有点B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长a,故所求概率是31.解法二：任取一弦AB,作垂直于AB 的直径PQ.过点P 作等边三角形,交直径于N,并取OP 的中点M （如下图）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦,如果通过MN 线段的,其弦心距均小于ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形的内切圆（如右图）,这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的21,它的面积是大圆的41,设M 是弦AB 的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是41.细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样,对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论.概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支.（设计者：邓新国）。
均匀随机数产生
4·
思考 计算机只能产生[0，1]上的均匀 随机数，如果需要产生[a，b]上的均匀 随机数，对此，你有什么办法解决？
首先利用计算器或计算机产生[0，1] 上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸 缩和平移变换： Y=X*(b—a)＋a计算Y的 值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.
均匀随机数的产生
1·
1.几何概型的含义是什么？它有哪两个 基本特点？
含义：每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度（面积或体积）成比例 的概率模型. 特点:（1）可能出现Fra bibliotek结果有无限多个;
（2）每个结果发生的可能性相等.
2·
2.在几何概型中，事件A发生的概率计算 公式是什么？
P （ A ） = 构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 ) 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )
（1）圆面积︰正方形面
积=落在圆中的豆子数︰
落在正方形中的豆子数.
（2）设正方形的边长为2，
则 落p =在圆中的豆子数
÷落在正方形中的豆子数
×4.
8·
例2 利用随机模拟方法计算由y=1和 y=x2 所围成的图形的面积.
y
1
-1 0
1
x
以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形， 用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀 随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
基本思想是，构造一个包含这个图形的
规则图形作为参照，通过计算机产生某
区间内的均匀随机数，再利用两个图形
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
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第三章 概率
用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函 数 y＝2－2x－x2 与 x 轴围成的图形)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换 a＝a1*4－3，b ＝b1*3 得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3) 统计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b＜2－ 2a－a2 的点(a，b)数)．(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的 概率的近似值．(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公 式得点落在阴影部分的概率为1S2，所以1S2≈NN1.所以 S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性
变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数．
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第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B ) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的 误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不 正确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不 正确．
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第三章 概率
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
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第三章 概率
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第三章 概率
3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
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第三章 概率
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴 影区域的面积约为(3 解析：.∵SS正阴方影形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.
D．无法计算
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第三章 概率
3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(D )
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第三章 概率
解：设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8， 8]与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
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第三章 概率
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2， 3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数 m 及试验总次 数 n； (3)则概率 P(A)的近似值为mn .
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第三章 概率
方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总
体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机 产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可 以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过
上机实习才能掌握．
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第三章 概率
用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率 有多大？ (链接教材 P137 例 2)
A．0.25
B．0.5
C．0.6
D．0.75
解析：由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝12.5＝
0.75.
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第三章 概率
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第三章 概率
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第三章 概率
3．3.2 均匀随机数的产生
第三章 概率
1．问题导航 (1)如何产生均匀随机数？ (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？ (3)如何计算不规则图形的面积？
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第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值 或不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法近似计算不规则图形的面积．
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第三章 概率
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；(× ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数．( × )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上
的整数值随机数等；
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第三章 概率
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这 50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估 计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
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第三章 概率
解：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小 明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a ＝RAND，b＝RAND，c＝RAND 分别表示小军、小燕和小 明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b ＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝NN1，fn(B)＝NN2，即分别为事件 A，B 的概 率的近似值．
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第三章 概率
(5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在 阴影部分的概率为 P＝S4，所以NN1≈S4，所以 S≈4NN1即为阴影 部分面积的近似值．
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公 式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的 近似值．
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第三章 概率
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都
是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一 个实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造 一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区 间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分 别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
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第三章 概率
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步 骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x， y)的坐标．如果一个点的坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在 区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方 形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 S≈MN.
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第三章 概率
1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_R_A_N_D______ 函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “__r_a_n_d_(______”) ． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)___随__机__模__拟_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)__计__算__机__模__拟____的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．