解斜三角形

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解斜三角形方法

解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2．会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

知识梳理：1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高；（2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。

解斜三角形教案

授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=
︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。

(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素题型二：判断三角形的形状题型三：解决与面积有关问题题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析：由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

01解斜三角形

第一讲解斜三角形【知识要点归纳】公式公式变形功能正弦定理余弦定理三角形内角和定理锐角三角函数【经典例题】例1 解下列三角形（1）已知在△104530ABC c A C a b B ==°=°中，，，，求，和（2）在△601ABC b B c a A C =°=中，，，求和，（3）△452ABC c A a b B C ==°=中，，，求和，例2 解下列三角形（1）△45ABC a c B b A ===°中，，求和（2）（2009年广东文）已知△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，若a c ==且75A ∠=D ，则b = （）A ．2B ．4＋C ．4—D 例3 如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y =A sin ωx （A >0， ω>0） x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S （3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP =120° （I ）求A ， ω的值和M ，P 两点间的距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？例 4 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b −=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b例5 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+−B C A ,ac b =2，求B.例6 △ABC 中，A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin sin tan cos cos A BC A B+=+，sin()cos B A C −=.（1）求,A C ；（2）若3ABC S Δ=+，求a c ，.例7 根据已知条件，判断下列三角形的形状（1）b cos A ＝a cos B（2）sin B ·sin C ＝cos 22A（3）（a +b +c ）（a +b －c ）=3ab ，且2cos A sin B =sin C【课堂练习】1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为__________；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为__________；若 a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为__________ 2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为__________ 3. 如右图，△ABC 三个顶点坐标为（6，5）、（－2，8）、（4，1），求cos A4.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0（2）.112cos 2cos 2222ba b B a A −=− 5. 在△ABC 中，BC =a ， AC =b ，a ，b 是方程02322=+−x x 的两个根，且2cos （A +B ）=1求：（1）角C 的度数（2）AB 的长度（3）△ABC 的面积6.（2010辽宁文数）在△ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断△ABC 的形状.7.（2010浙江文数）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝4（a 2＋b 2－c 2）. （Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）求sin A ＋sin B 的最大值. 8.（2010天津文数）在△ABC 中，cos cos AC BAB C=. （Ⅰ）证明B =C ；（Ⅱ）若cos A =－13，求sin 43B π⎛⎞+⎜⎟⎝⎠的值.答案：1、钝角三角形，直角三角形，锐角三角形2、等腰三角形3、解法一：∵ |AB | ＝73)85()]2(6[22=−+−−|BC | ＝85)18()42(22=−+−−|AC | ＝52)15()46(22=−+−ACAB BCAC AB A ⋅−+=2cos 222=3652∴ A ≈84°解法二：∵ ＝（–8，3），＝（–2，–4）∴ cos A ＝AC AB ⋅•=36525273)4(3)2()8(=×−×+−×−，∴ A ≈84° 4、证明：（1）左边＝（a 2－b 2－c 2）BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+−+ 右边==+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−++−+−+−=−+⋅⋅+−+−+⋅⋅−−=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b cb a ac b bc R a c b a 故原命题得证（2）22222222222222222212sin 12sin 112sin 2sin ((2)sin (2)sin 112211(2)(2)A B a b A B a b R A R B a b R R a b −−=−=−−+=−−+=−=左边右边故原命题得证　5、解：（1）cos C =cos[π−（A +B ）]=−cos （A +B ）=−21∴C =120°（2）由题设：⎩⎨⎧=−=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2−2AC •BC •cos C D120cos 222ab b a −+=ab b a ++=22102)32()(22=−=−+=ab b a 即AB =10（3）S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅==D ab C ab 6、7、解：（Ⅰ）由题意可知12ab sinC=4，2ab cosC.所以tan C .因为0<C <π，所以C=π3. （Ⅱ）解：由已知sin A +sin B =sin A +sin （π-C -A ）=sin A +sin （2π3-A ）=sin A +2A +12sin A （A +π6）.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A +sin B .8、证明：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin sin B C =cos cos BC.于是sin B cos C －cos B sin C =0，即sin （B －C ）=0.因为B C ππ−<−<，从而B －C =0.所以B =C .解：（Ⅱ）由A +B +C =π和（Ⅰ）得A =π－2B ，故cos2B =－cos （π－2B ）=－cos A =13.又0<2B <π，于是sin2B =3.从而sin4B =2sin2B cos2B =9，cos4B =227cos 2sin 29B B −=−.所以sin(4sin 4coscos 4sin33318B B B πππ−+=+=。

解斜三角形(余弦定理)

解斜三角形
余弦定理
赵臻
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正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中， (1 ) 已知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1，求 B ; ( 2 ) 已知 a 2， b 2， c
2 2
3 1，求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a

2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角；余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理

s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b

例谈求解斜三角形的几种常见题型

例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。

斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。

首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。

斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。

角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。

其次，我们还可以针对斜边面积的求解。

斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。

最后，还有内角和外角的求解。

内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。

而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。

总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。

锐角三角函数-解斜三角形【完整版】

锐角三角函数——解斜三角形萧红中学石加泽最新年10月17日基础知识：解斜三角形的规律与技巧专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A、tanB.⑵已知：求∠B、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tan B=12，AB=5，AC=3，求BC。

⑷已知：tan∠ACD=23，AB=10，AC=13，求BC.③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tan B=2，AC=6，AB=5k，BC=k+4，求AB。

④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tan C=43，AB=26x，AC=5x，BC=3x+4，求AB。

⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，si n C=31313，AB=6，求BC。

⑻已知：tan∠ACD=43，tan B=12，AB=45，求sinA.⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tan B=13，tan C=12，AB=2k+1，AC=5k，求BC。

几种特殊的斜三角形:1.已知：AB=3，BC=7，∠A=120°，求AC的长.2.已知：AB=5，AC=8，∠A=60°，求BC的长.BA3.已知：AB=1，AC=2，BC=7，求∠A 的度数.4.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求∠B 的度数。

5.如图，在△ABC 中，AB=6，∠B=30°，AC=33，求tan ∠C 的值.6.如图，在△ABC 中，tanB=2，tanC=3，CB=5，求AB 的长。

7.如图，在△ABC 中，21tan B ，∠C=45°，AC=4，求BC 的长。

8.如图，在△ABC 中，∠B=30°，AB=6，AC=23，求BC 的长.9.如图，在△ABC 中，tanB=43，tanC=21，AB=t ，BC=9-t ，求t 的值。

10.如图，在△ABC 中，∠C=120°，AB=3+4t ，BC=5t ，AC=3t，求t 的值。

《三角函数》第6讲：解斜三角形(学)

《三角函数》第6讲：解斜三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2．三角形面积公式：S △ABC ＝ (h 表示边a 上的高) ； S △ABC ＝12ab ＝12 sin A ＝ a sin B ； S △ABC ＝abc4R ；（海伦公式）S △ABC ＝，其中 p =a+b+c 2为半周长3．一些tips1．在△ABC 中，若sinA ＞sinB ，则2．在△ABC 中，大边对，对小角，即若a ＞b ，则 3．在△ABC 中，若三个角成等差数列，一定有个角为4．在△ABC 中，A+B+C= ，如sinC=sin[180°—(A+B)]= 5．解斜三角形的方法：1)化边为角；2)化为6．如何选用定理？正定：已知或者；余定：已知或者典例剖析题型一利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A. 15 B. 59 C. 53D ．1变式训练在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．题型二利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3变式训练在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .题型三综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B. 932 C. 332D ．3 32．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于( ) A ．22 B ．2 3 C . 6－ 2 D ．43. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B. 3＋1 C ．23－2 D. 3－14．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．课后作业一、选择题1． (2015广东文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 32．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝( ) A ．25 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．54．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A. 16B. 17C. 18D. 196．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．17．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A. 1010B. 105C. 31010D. 558．(2014年江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3二、填空题9．(2015福建文)在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10． (2015重庆文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.11． (2015北京文)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.三、解答题12． (2015天津文)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．(2015新课标Ⅰ文)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。

高三数学解斜三角形

5.4 解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A asin =Bb sin =Cc sin .利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ；①b 2=c 2+a 2－2ca cos B ；②c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+； cos B =cab ac 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A.sin A +cos A =51B.·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角.由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝角.由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0.∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由Bbsin =Cc sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+B.1+3C.232+D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =acb c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bca cb 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.答案：（1，5）●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A-－22cos 1B -=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bca cb 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bbc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（acb c a 2222-+）2－1=2222c c b b cc b ）（）（++－1=bb c 2-.所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B . （2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a+=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DCBC =BCAC ，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .A BCDab c 21又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B .（2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53.∴tan （A +B ）=－43，即B A BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6.设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CDtan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为cb 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bca cb 2222-+=bc bc2=21，∴∠A =60°. 在△ABC中，由正弦定理得sin B =aA b sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23.解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B .∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cB b sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练夯实基础1.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. 答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π.答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b =20，A =45°，C =80° B.a =30，c =28，B =60° C.a =14，b =16，A =45°D.a =12，c =15，A =120°解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A ，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2.7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值. 解：（1）由22（sin2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224Ra －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =abc b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°. （2）S =21ab sin C =21×23ab=23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233.8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB 的取值范围.解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a，sin C =xa （图略），且由正弦定理得sin B =ax sin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k1－sin A ），所以k +k 1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以AC AB 的取值范围为［215-，215+］. 探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°. 则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10，ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C .2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A +CB C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1， ∴y ≥cot A +AAcos 1sin 2+=2tan22tan 12A A -+2tan2A =21（cot2A +3tan2A ）≥2cot 2tan3A A ⋅=3.故当A =B =C =3π时，y min =3.评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a =abcb a ca b ac cb 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。

解斜三角形的题型解法例析

解斜三角形的题型解法例析湖北省孝感高级中学韩松桥４３２１００正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为如下四种类型：(1)已知两角及一条边．如已知A 、B 、a 解ΔＡＢＣ．解法：①根据A+B+C=π，求出角C ； ②根据B b A a sin sin =及Cc A a sin sin =，求b ，c ；例１在ΔＡＢＣ中，已知c=10，A=045，C=030，求a 、b 、B ．解：由A+B+C=π，得Ｂ＝π－（A+C ）＝0105；由C c A a sin sin =得21030sin 45sin 10sin sin 0===C A c a ；由B b A a sin sin =得)26(545sin 105sin 210sin sin 00+===A B a b ．(2)已知两边和它们的夹角．如已知ａ、ｂ、Ｃ，解ΔＡＢＣ．解法：①根据C ab b a c cos 2222-+=，求出边ｃ； ②根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ③由Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ），求出角Ｂ．例２在ΔＡＢＣ中，已知ｂ＝８，ｃ＝３，Ａ＝060，求ａ、Ｂ、Ｃ．解：由A bc c b a cos 2222-+=得 4960cos 382380222=⨯⨯-+=a 7=∴a ．7142649492cos 222-=-+=-+=∴ac b c a B ，71arccos -=∴πB ； 14131********cos 222=-+=-+=∴ab c b a C ，1413arccos =∴C ．(3)已知三边ａ、ｂ、ｃ，解ΔＡＢＣ．解法： ①根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ②根据acb c a B 2cos 222-+=，求出Ｂ； ③由Ｃ＝π －（Ａ＋Ｂ），求出Ｃ．例３在ΔＡＢＣ中，已知62=a ，326+=b ，34=c ，求Ａ、Ｂ、Ｃ．解：由已知ａ＜ｃ＜ｂ，Ｂ最大．由余弦定理得23)326(3422448)32448(2cos 222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A 030=∴A22)326(62248)32448(242cos 222=+⨯⨯-++=-+=ab c b a C 045=∴C于是Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）＝0105． .45,105,30000===∴C B A(4)已知两边及其中一条边所对的角，如已知ａ、ｂ、Ａ，解ΔＡＢＣ．解法：①根据Bb A a sin sin =，经过讨论求出角Ｂ；②由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ； ③由Cc A a sin sin =，求出边ｃ．或 ①根据A bc c b a cos 2222-+=，求出边ｃ； ②由acb c a B 2cos 222-+=，求出角Ｂ； ③由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ；例４在ΔＡＢＣ中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求ｃ、Ｂ、Ｃ．解法一：由B b A a sin sin =得23222232sin sin =⨯==a A b B ． A b sin ＜ａ＜ｂ∴ 这个三角形有两组解．0012060==∴B B 或．由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π得当060=B 时，Ｃ＝075)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 75sin 22sin sin 0+===A C a c ；当0120=B 时，Ｃ＝015)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 15sin 22sin sin 00-===A C a c ；故26,75,6000+===c C B ；或26,15,12000-===c C B ．解法二：由A bc c b a cos 2222-+=得 022245cos 322)32()22(⨯⨯-+=c c 即04622=+-c c ，解得 261+=c ，262-=c ．当261+=c 时，426)32222)348(1282cos 2221-=⨯⨯+-+=-+=ab c b a C ，故0175=C ．0160=B同理可求得当262-=c 时，0202120,15==B C ．。

高中数学解三角形知识点总结

⾼中数学解三⾓形知识点总结三⾓形⼀直是数学中较难的知识点之⼀，⾝为⾼三的同学该如何学号三⾓形知识呢。

以下是由店铺编辑为⼤家整理的“⾼中数学解三⾓形知识点总结”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。

⾼中数学解三⾓形知识点总结解斜三⾓形 1、解斜三⾓形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的⾯积的公式。

2、能解决的四类型的问题：(1)已知两⾓和⼀条边(2)已知两边和夹⾓(3)已知三边(4) 已知两边和其中⼀边的对⾓。

解直⾓三⾓形 1、解直⾓三⾓形的主要定理：在直⾓三⾓形ABC中，直⾓为⾓C，⾓A和⾓B是它的两锐⾓，所对的边A、B、C，(1) ⾓A和⾓B的和是90度;(2) 勾股定理：A的平⽅加上+B的平⽅=C的平⽅;(3) ⾓A的正弦等于A⽐上C，⾓A的余弦等于B⽐上C，⾓B的正弦等于B⽐上C，⾓B的余弦等于A⽐上C;(4)⾯积的公式S=AB/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。

2、解直⾓三⾓形的四种类型：(1)已知两直⾓边：根据勾股定理先求出斜边，⽤三⾓函数求出两锐⾓中的⼀⾓，再⽤互余关系求出另⼀⾓或⽤三⾓函数求出两锐⾓中的两⾓;(2)已知⼀直⾓边和斜边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1);(3)已知⼀直⾓边和⼀锐⾓，可求出另⼀锐⾓，运⽤正弦或余弦，算出斜边，⽤勾股定理算出另⼀直⾓边;(4)已知斜边和⼀锐⾓，先算出已知⾓的对边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1)。

拓展阅读：⾼中数学快速提分的学习⽅法⼀、回归基础查缺漏⾼中数学快速提分考⽣应当结合数学课本，把⾼中数学知识点从整体上再理⼀遍，要特别重视新课程新增的内容，看看有⽆知识缺漏，若有就应围绕该知识点再做⼩范围的⾼考复习，消灭知识死⾓。

⼆、重点知识再强化⾼中数学以三⾓、概率、⽴体⼏何、数列、函数与导数、解析⼏何、解三⾓形、选做题为主，也是数学⼤题必考内容，这些板块应在⽼师指导下做⼀次⼩专题的强化训练，熟悉不同题型的解法。

解斜三角形公式、定理

A
25º C 12m D
35º
B
解：由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由两边和其中一正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。

解斜三角形应用举例3

（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。
（2）仰பைடு நூலகம்和俯角：在视线和水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫仰角。（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。
方位角的其它表示：东南方向等。
（4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球
内交叉而成的角。
例1：某人向正东方向走了xkm，他向右转1500,然后朝新方向走了3km, 结果他离出发点恰好 3 km,那么x的值是多少?
30
A
45
60
O
B
解斜三角形应用举例
[知识点]
1、解有关斜三角形应用题的一般步骤：
（1）准确理解题意，弄清已知和所求；（2）根据题意，画出示意图；（3）分析与研究一个或几个三角形；（4）正确运用正、余弦定理有序的求解。
（5）回答实际问题
关键：将实际问题转化为数学问题。
2、解斜三角形中的有关名词、术语：
A B
C
D
例4：某渔轮在A处测得北偏东 45 的 C处有一个鱼群，离渔港9海里，并发现鱼群正沿南偏东 75 的方向以每小时10海里的速度游去。渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕。问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？
(cos38 13' 0.7857)
*例5：如图，地平面上由一个旗杆 OP,为了测得它的高度h在地面上取一条基线AB，AB=20m,在处测得P点的仰角OAP 30 ，在B处测得P点的仰角 OBP 45 ，又测得AOB 60 ， P 求旗杆的高h。
例2：某人骑车以每小时a km的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2akm时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和风向。

化斜为直，解斜三角形

2013-08方法交流ABCD 45°60°解有关三角形问题时，常常把斜三角形化为直角三角形来解决，现举例如下.一、化斜为直求线段长度例1.如图1，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救.已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上.求A 、C 之间的距离.（结果精确到0.1海里，参考数据2√≈1.41，3√≈1.73）解：作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD =45°，∠ABD =30°，设CD=x ，在Rt△ACD 中，可得AD=x ，在Rt△ABD 中，可得BD =3√x ，又∵BC =20，即x +3√x =20，解得：x =10（3√-1）∴AC =2√x ≈10.3.答：A 、C 之间的距离为10.3海里.例2.如图2是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由.（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2√≈1.41，3√≈1.73，5√≈2.24，6√≈2.45）解：（1）如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt△ABD 中，AD =ABsin45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，∵∠ACD =30°∴AC =2AD =42√≈5.6即新传送带AC 的长度约为5.6米.（2）结论：货物MNQP 应挪走.解：在Rt△ABD 中，BD =AB cos45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，CD=AC cos30°=42√×3√2=26√∴CB=CD-BD =26√-22√=2（6√-2√）≈2.1∵PC=PB-CB ≈4-2.1=1.9<2∴货物MNQP 应挪走.二、化斜为直求建筑物高度例3.如图3所示，小明在自家楼顶上的点A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B 处的仰角为45°，底部C 处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD =15米，求电梯楼的高度BC.（结果精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴四边形ADCE 是矩形，∴CE=AD =15，在Rt△ACE 中，AE =CE tan26°=150.49≈30.6，在Rt△ABE 中，BE=AE ·tan45°=30.6，∴BC=CE+BE =15+30.6=45.6.答：电梯楼的高度BC 为45.6米.例4.如图4，小山岗的斜坡AC 的坡度是tanα=34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）解：∵在Rt△ABC 中，AB BC =tanα=34，∴BC =4AB3∵在Rt△ADB 中，∴AB BD=tan26.6°=0.50即：BD =2AB ∵BD -BC=CD =200∴2AB -43AB =200解得：AB =300，答：小山岗的高度为300米.三、化斜为直巧判断例5.如图5，一艘货轮在A 处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C 处.（1）求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离.（2）若货轮以45海里/时的速度由A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）解：（1）作CD ⊥AB 于点D ，在Rt△ADC 中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD .在Rt △CDB 中，∵∠CBD =30°，∴DC BD=tan30°，∴BD=3√DC .∵AB=AD+BD=CD +3√CD =200，化斜为直，解斜三角形文/范艳伟北北C DA BACDB Q N MP A DC B45°26°ABCD 26.6°200米α图1图2图3图4图. All Rights Reserved.2013-08方法交流∴CD =100（3√-1）；（2）∵海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，∴海盗到达D 处用的时间为100（3√-1）÷50=2（3√-1），∴警舰的速度应为［200-100（3√-1）］÷2（3√-1）=503√千米/时.例6.如图，海中有一小岛B ，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C 处，发现B 岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：3√≈1.7，2√≈1.4）解：作BD ⊥AC 于点D 设BD=x 海里，则在Rt△ABD 中，tan30°=x AD ，∴AD =3√x .在Rt△CBD 中，tan45°=x CD，∴CD=x .∴AC=AD-CD =3√x-x ∵AC =30×12=15，∴3√x-x =15∴x ≈21.4>15.∴无危险.（作者单位山东省德州市第九中学）改革开放以来，我国的英语教育规模不断扩大，但在实际教学中却出现了各种各样的问题，值得我们教师去反思、去解决。

解斜三角形的应用

解：应用正弦定理，C=45 ° 应用正弦定理， BC/sin60°=10/sin45° ° ° BC=10sin60 °/sin45° °
答： A C
60° ° 75° °
B
5 6 海里
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道要测量隧道口为了开凿隧道,要测量隧道口间的距离,为为了开凿隧道要测量隧道口D,E间的距离为间的距离此在山的一侧选取适当的点C(如图如图),测得此在山的一侧选取适当的点如图测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得又测得A,B ∠ 又测得两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m 两点到隧道口的距离 (A,D,E,B在一直线上计算隧道的长在一直线上).计算隧道在一直线上计算隧道DE的长由余弦定理可解AB 析：由余弦定理可解进而求DE。长。进而求。解略。解略。
复习2. 复习2.
下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根问题, 下列解△ABC问题分别属于那种类型？据哪个定理可以先求什么元素？据哪个定理可以先求什么元素？
余弦定理先求出A,或先求余弦定理先求出A,或先求 ,b ,c （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ；出B =1，（2）b=1，c= 2 ，A=105º ；余弦定理先求出a _________________________________ 正弦定理先求出b 正弦定理先求出b （3）A=45º，B =60º， a=10； =45º， =60º， =10； ________________________________ 正弦定理先求出B(60 正弦定理先求出B(60o或120 （4）a=2 3 ，b=6，A=30º. ________________________________ o) =6，无解第4小题A变更为A=150o呢？_____________________ 小题A变更为A=150